Cours n°1

(1)

Chap.n°19 : équations différentielles linéaires à coefficients constants

Le contexte :

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une

………..……….

Exemple : f’(x)=f(x) : on cherche les fonctions dont les dérivées sont égales aux fonctions elle-mêmes.

Autre exemple: 2f ’(x) – f(x) = 0.

Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Niveau

C19.a 2 Savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

C19.b 2 Savoir résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.

Cours n°1

I) Équations différentielles du premier ordre à coefficients constants.

Définition n°1

Soient

a

,

b

et

c

trois nombres réels,

a

non nul, et

f

une fonction inconnue, dérivable sur un intervalle

I

.

L'équation

..…….……….…………..…..…………..……..

d'inconnue la

………...

est une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Remarque :

- « linéaire » : il n'y a que des multiplications par des nombres et des additions.

- « coefficient constant » :

a

et

b

ne dépendent pas de

x

.

- Toute équation différentielle linéaire à coefficient constant de la forme

af '(x)+bf(x) = c

se ramène à l'équation

f '(x) + αf(x) = β

, en divisant par

a

(puisqu'il est non nul).

Exemple n°1:

f'(x)+2f(x)=2

est une équation différentielle linéaire à coefficients coefficients constants.

f(x)=e

^….…est une solution de cette équation :

………

(2)

………

……….

Théorème n°1: Solutions de l'é.d.

f

'= af

Soit

a

un réel non nul. Les solutions de l'équation différentielle

f '(x)=af(x)

sont les fonctions

f

k,

k ∈ R ,

de la forme :

f

k

(x)=……

Démonstration :

………

(3)

………

Exemple n°2:

Résoudre l'équation différentielle

2f ' + 3f = 0

.

………

………...

……….

………

Théorème n°2 : Solution de l'é.d.

f

'= af

avec condition initiale (x0;y0) Soit

a

un réel non nul. Parmi les solutions

f

kde l’équation différentielle

f'=af

, il en existe une unique, telle que , le couple de valeurs

(x

0

;y

0

)

étant donné,

………….

=

………...

Démonstration :

………

Exemple n°3 :

Déterminer la fonction qui vérifie

2f ' + 3f = 0

et

f(0)=3

.

………

(4)

………

Théorème n°3 : Solutions de l'é.d.

f

'=

af

+

b

Soit

a

et

b

deux réels,

a

étant non nul. La solution de l'équation différentielle

f '(x)=af(x) + b

sont les fonctions

f

k de la forme :

f

k

(x)=……… … ...

.

………

(5)

Exemple n°4 :

1. Résoudre l'équation différentielle

f ' + 0,5f = 1

.

………

2. Quelle solution vérifie

f(0)=3

?

………

Se tester C19.1

Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision

Niveau 1 2 3

C19.a 2 Savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

Se tester du cours n°1 - Exercice n°1

Résoudre l’équation différentielle :

−9 f ’ ( x ) −3 f ( x ) + 9= 9 f ’ ( x ) −2 f ( x ) +1

.

...

(6)

...

Déterminer la fonction solution de l’équation précédente qui vérifie la condition initiale

f(9) = 2

.

...

(7)

Résultats Ex.1 :

f

_k

( x ) = k e

⁻

1 18x

+ 8

Ex.2 :

f ( x ) =− 6 e

⁻

1 18x+1

2

+ 8

Se tester C19.1

Objectifs :

Niveau 1 2 3

C19.a 2 Savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

4 f ’ ( _x ) ₋₃ _f ( _x ) ₊ ₂₌₋₅ _{f ’} ( _x ) ₊₈ _f ( _x ) ₋₅

.

...

(8)

...

Déterminer la fonction solution de l’équation précédente qui vérifie la condition initiale

f(4) = 5

.

...

(9)

f

_k

( x ) = k e

11 9 x

+ 7 11

Ex.2 :

f ( x ) = 48 11 e

11 9x−44

9

+ 7 11

Interrogation n°1

Objectifs

C1.a_Niv2 : Savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

Exercice n°5

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1.

f ' + 2f = 0.

2.

f ' + 3f = 2.

3.

3f ' + 8f = 3

4.

4f ' + f = 8

. 5.

f’ + 2f – 3 = 3f’ – 1

3 f + 2 7

Exercice n°6

Déterminer la fonction solution qui vérifie la condition initiale : 1.

f ' + 2f = 0.

avec

f(6)=2.

2.

f ' + f = 2.

avec

f(1)=3.

3.

f ' - 2f = 2.

avec

f(1)=2.

Exercice n°7

On veut résoudre l'équation différentielle

f '(x) – 2f(x) = 1 – 6x.

1. Montrer que cette équation admet une solution affine.

2. En déduire l'expression de la solution générale de cette équation.

Exercice n°8

On veut déterminer toutes les solutions strictement positives de l'équation différentielle

f ' (x)= f(x)×(5 – f(x)).

1. On pose

g(x) = 1

f ( x ) ^.

^{Que vaut}

^g'(x)

^?

2. Résoudre l'équation différentielle donnée.

Exercice n°9

La désintégration radioactive d'un corps est la transformation progressive de ce corps en un autre corps (par exemple, le plutonium 238 se désintègre en uranium 234). Elle est souvent dangereuse car elle s'accompagne de l'émission de particules à grande vitesse, qui affectent, entre autre, le fonctionnement des cellules (dans le cas du plutonium 238, il s'agit de particules α d'énergie 5,593 MeV)

Si

N(t)

est le nombre de noyaux du corps radioactif présent à l'instant

t

(

t

en années), la variation Δ

N(t)

de ce nombre pendant la durée

Δ

t

est proportionnelle à la quantité de noyaux à l'instant

t

:

Δ N ( t )

Δ t = - k N(t)

.

(k>0)

.

1. On suppose que

t → N(t)

est dérivable. Si

t

tend vers

0

, que vaut

Δ N ( _t ) Δ t

^{? En}

déduire l'équation différentielle à résoudre, et la résoudre.

2. On appelle

t

0,5 le temps

t

au bout duquel la moitié des noyaux s'est transformée.

Exprimer

t

0,5 en fonction de

k

.

3. Pour le plutonium,

t

0,5

=87,75 ans.

Sur un morceau de matériau radioactif, lors d'un

(10)

contrôle, on prélève un échantillon, et on constate qu'il contient encore

80 %

de plutonium. Quand ce morceau de matériau a-t-il été fabriqué ?

4. Pour le carbone 14,

t

0,5

=5730 ans.

Si un fragment d'os contient

71 %

de sa quantité initiale de carbone 14, quel âge a-t-il ?

Résultats des exercices du cours n°1

1

^er

ex

:

k e

^-2x ;

ke

^-3x

+ 2 3

;

ke

−8 3 x

+ 3 8

^;

ke

1 4x

+8

;

ke

49 54x

+ 69 49

2

ex^ème :

f(x) = 2e

^-2x+12;

f(x) = e

^1-x

+2

;

f(x) = 3e

^2x – 2

– 1

. 3

ex^ème : 1.

f

0

(x) = 1+3x

. 2. Indication : on résoudra le système . Résultat :

f

k

(x) = ke

^2x

+3x+1

4

ex^ème : 1.

g’(x) = -5 × g(x) + 1

.

2. Indication : diviser par

[f(x)]

². 5

ex^ème : 1. 2. 3. 4.

Cours n°2

I) Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

Définition n°1 : Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

a

et

b

sont deux réels (ou imaginaires!) , et

g

est une fonction continue. L'équation

f ''(x)+……….=…..

d'inconnue

f

,

f

étant ………..

est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 (à cause du terme ….) à coefficients

constants (car ………..

………..).

Une solution de cette équation différentielle est une fonction, deux fois

………, définie sur le même ensemble de définition que

...

Exemple n°1

f ''(x) + f '(x)

–

2

f(x)

= x² est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 :

a = ……

;

b = ……. ; g(x) = ……

f ''(x) = 4x

est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 :

a = …… ; b = ……. ; g(x) = ……

f ''(x)=4f '(x) – 6f(x) +4x

est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 :

a = ……

;

b = ……. ; g(x) = ……

Théorème n°1 (Solution générale de f ''( x ) + af '( x ) + bf ( x ) = c ( x ) )

Soit

a

et

b

deux réels,

a

étant non nul. Soit

c(x)

une fonction deux fois dérivables sur l'intervalle d'étude.

Les solutions de l'équation différentielle f ''(x) + af'(x) + bf(x) = c(x) sont les fonctions

f

k de la forme :

f

k

(x)= g

p

(x)+g

k

(x)

où la fonction

g

p est une ……….………. de l'équation

f ''(x) + af'(x) + bf(x) = c(x)

,

et les fonctions

g

k les ………... de l'équation différentielle

f ''(x) + af'(x) + bf(x) = …...

.

(11)

Démonstration

………

………...

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

Définition n°2 (équation caractéristique)

On appelle polynôme caractéristique associée à

f ''(x) + af'(x) + bf(x) = c(x)

le polynôme de degré 2 :……….

Exemple n°2

f'' (x)+ f '(x)

–

2 f(x) = x² a pour polynôme caractéristique : ………..

f ''(x) = 4x

a pour polynôme caractéristique : ………..

f ''(x)=4f '(x) – 6

f(x)

+4x

a pour polynôme caractéristique :

………..

Théorème n°2 (Solution générale de f ''( x ) + af '( x ) + bf ( x )

= 0

) Polynôme caractéristique ayant deux racines réelles

Soit

a

et

b

deux réels,

a

étant non nul. Soit

c(x)

une fonction deux fois dérivables sur l'intervalle d'étude. Soit l'équation différentielle

f ''(x) + af'(x) + bf(x) = 0

et son polynôme caractéristique associé

C(x) =

……….

(12)

Les solutions de l'équation différentielle

f ''(x) + af'(x) + bf(x) = 0

sont :

y(x) = ………...

si

C(x)

possède deux

racines réelles distinctes

r

1 et

r

2.

y(x) = ……….

si

C(x)

possède une

racine double

r

1.

y(x) = ………..

si

C(x)

possède deux

racines imaginaires conjuguées distinctes

r + is

et

r – is

.

α

et

β

parcourant R. Démonstration

………

………...

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………...

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

(13)

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

………..………....

………

Exemple n°3

Déterminer les solutions des équations f ''(x) + f '(x) – 2

f(x)

=

0,

f ''(x) = 0

et

f ''(x) = 4f '(x) + 6f(x)

.

……….

(14)

……….

(15)

……….

Exemple n°4

Déterminer l'ensemble solution de f ''(x) + f '(x) – 2

f(x)

= x² .

……….

Exemple n°5

Déterminer l'ensemble solution de

f ''(x) = 4f '(x) + 6f(x) + x² – 4x

, sachant qu'une solution particulière sous forme polynomiale existe.

……….

(16)

……….

Exemple n°6

Déterminer l'ensemble solution de

f ''(x)=4f '(x) + 6f(x) +4x

, sachant qu'une solution particulière sous forme polynomiale existe.

……….

(17)

Se tester C19.2

Objectifs :

Niveau 1 2 3

C19.b 2 Savoir résoudre une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants.

f ’ ’ ( x ) – 11 f ’ ( x ) +24 f ( x ) =3 x + 6

...

(18)

...

f ’ ’ ( x ) +8 f ’ ( x ) + 64 f ( x ) =3 x+6

...

(19)

f

_{α , β}

( x ) = α e

^8x

+ β e

³^x

+ 1

8 x + 59 192

Ex.2 :

f

_{α , β}

( x ) = e

⁻

8 2x

( ^α ^cos ⁽ ⁻⁸ ^√ ² ³ ^x ⁾ ⁺ ^β ^sin ⁽ ⁻⁸ ^√ ² ³ ^x ⁾ ) ⁺ ⁶⁴ ³ ^x ⁺ ⁵¹² ⁴⁵

Se tester C19.2

Objectifs :

Niveau 1 2 3

C19.b 2 Savoir résoudre une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants.

f ’ ’ ( x ) +5 f ’ ( x ) −14 f ( x ) =−4 x+ 9

...

(20)

...

f ’ ’ ( x ) −7 f ’ ( x ) + 49 f ( x ) =− 4 x+ 9

...

(21)

f

_{α , β}

( x ) = α e

⁻⁷^x

+ β e

²^x

+ 2

7 x− 53 98

Ex.2 :

f

_{α , β}

( x ) = e

⁻

−7 2 x

( ^α ^cos ⁽ ⁺⁷ ^√ ² ³ ^x ⁾ ⁺ ^β ^sin ⁽ ⁺ ⁷ ^√ ² ³ ^x ⁾ ) ⁻ ⁴⁹ ⁴ ^x ⁺ ³⁴³ ⁵⁹

Interrogation n°2 Objectifs

C19.b_Niv1 : Savoir résoudre une équation différentielle d’ordre 2.

Exercices du cours n°2 Exercice n°14

Résoudre les équations différentielles suivantes : a.

f’’(x) – 12f’(x)+ 32f(x) = 0

b.

f’’(x) – 15f’(x)+ 56f(x) = 5

c.

f’’(x) – 12f’(x)+ 35f(x) = 3x+4

d.

f’’(x) – 13f’(x)+ 36f(x) = 0

e.

f’’(x) – 11f’(x)+ 28f(x) = 4

f.

f’’(x) – 11f’(x)+ 18f(x) = 8x+2

Exercice n°15

f’’(x) – 4f’(x) = 5

b.

f’’(x) – f’(x) – 20f(x) = 8x

²

c.

f’’(x) – 10f’(x) + 16f(x) = 2x

²

+ 7x + 3

d.

f’’(x) + 8f’(x) + 15f(x) = 9

e.

f’’(x) – 13f’(x) + 36f(x) = 7x

²

f.

f’’(x) – 11f’(x) + 28f(x) = 5x

²

+ 4x + 9

Exercice n°16

a. Résoudre l'équation différentielle f '(x) + f(x) = 0.

b. Montrer que

g(x)=xe

^-xest une solution particulière de f '(x) + f(x) =

e

^–^x. c. En déduire la solution générale de f '(x) + f(x) =

e

^–^x.

d. Déterminer la solution particulière de f '(x) + f(x) =

e

^–^x qui vaut

3

en

0

. Exercice n°17

Résoudre l'équation différentielle f '(x)+2f(x) = x² – 2x + 3 . ( Indication : Une solution particulière est un polynôme de degré 2 )

Exercice n°18

f ''(x) + 2f '(x) + f(x) = 2e

^–^x sachant qu'une solution particulière existe sous la forme

Ax

²

e

^–^x.

Exercice n°19

f ''(x) + f '(x) + f(x) = x

²

+ x +1

f’’(x) + 2 f’(x) + 7 f(x) = 2x² +4x+2

b.

f’’(x) + 2 f’(x) + 5 f(x) = 8x²+8x+9

c.

f’’(x) + 3 f’(x) + 4 f(x) = 9

d.

f’’(x) + 5 f’(x) + 3 f(x) = 8

e.

f’’(x) + f’(x) +6 f(x) = 6x+3

f.

f’’(x) + 3 f’(x) + 3 f(x) = 7

g.

f’’(x) + 5 f’(x) + 4 f(x) = 5x+8

Exercice n°21

On veut résoudre l'équation différentielle f '(x) + f(x) =

1 1+ e

^x^.

a. Donner la solution générale de l'équation différentielle f '(x) + f(x) = 0.

b. Méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière : 1.

1. Déterminer une fonction

g(x)=ln(k + e

^x

)

telle que

g'(x)e

^–^x

= 1

1+ e

^x

.

(22)

2. Montrer que

g(x)e

^–^x

est une solution particulière de f '(x) + f(x) =

1 1+ e

^x^.

3. En déduire la solution générale de f '(x) + f(x) =

1 1+ e

^x^.

c. Déterminer la solution particulière qui s'annule pour

x = 0

On lâche un objet de masse

m

, du haut d’une haute tour. On désire savoir comment évolue la vitesse de l’objet en fonction du temps.

Cet objet est soumis à trois forces :

- la poussée d’Archimède (orientée vers le haut)

Π ⃗

, négligeable dans l’air (pensez à un objet enfoncé dans l’eau, une force s’exerce pour le faire remonter vers la surface).

- une force de frottement

F ⃗

de l’air, qui s’oppose elle aussi à la chute. On admettra que cette force est proportionnelle à la vitesse

⃗ v : ⃗ F = –k ⃗ v

où

k

dépend de la forme du corps et de la composition de l’atmosphère.

- son poids,

P ⃗

, qui vaut le produit de la masse

m

par l’accélération de la pesanteur

g

(qui vaut, pour la Terre,

9,81

).

Si on fait le bilan des forces, on obtient le schéma suivant :

On appelle

y(t)

la fonction qui donne la position de l’objet à un instant

t

.

On rappelle qu’alors,

y’(t)

est la vitesse instantanée (c’est à dire la variation de position), et que

y’’(t)

est l’accélération instantanée (c’est à dire la variation de la vitesse).

Sur l’axe vertical, la somme des forces à l’instant

t

est égale au produit de la masse

m

de l’objet par son accélération

x’’(t)

.

1. Traduire cette phrase par une équation différentielle du premier ordre.

2. Résoudre cette équation différentielle.

3. Répondre à la problématique posée.

Remarque : en réalité, la force de frottement est plutôt proportionnelle au carré de la vitesse

Exercice n°23

On considère le montage suivant, d’un objet fixé horizontalement à un ressort sur un support :

(23)

On appelle

x(t)

la fonction qui donne la position de l’objet à un instant

t

.

On rappelle qu’alors,

x’(t)

est la vitesse instantanée (c’est à dire la variation de position), et que

x’’(t)

est l’accélération instantanée (c’est à dire la variation de la vitesse).

P ⃗

est le poids de la masse et

R ⃗

est la réaction du support ce poids.

T ⃗

est la force de traction du ressort. Plus l’objet est éloigné de la position

d’équilibre, plus cette force de rappel est importante. Elle dépend de la « raideur »

k

du ressort. Les coordonnées du vecteur

T ⃗

sont donc :

T ⃗ (-kx(t);0)

F ⃗

est la force de frottement. Cette force de frottement s’oppose à la vitesse. Plus la vitesse est élevée, plus la force

⃗ F

s’oppose à cette vitesse. On appelle

α

le

« coefficient de frottement », et on a alors :

F ⃗ ( − α x’(t);0)

Le bilan vertical des forces étant nul, on s’intéresse uniquement aux composantes horizontales.

Dans la suite,

k = 94,5 N/m

. (ceci veut dire que, pour une force de 94,5N – autrement dit un poids de 10 kg – le ressort se déforme d’un mètre).

L’objet a une masse

m

de 1 kg.

1. Sur l’axe horizontal, la somme des forces à l’instant

t

est égale au produit de la masse

m

de l’objet par son accélération

x’’(t)

. Traduire cette phrase par une équation différentielle.

α

²

= 4km

, que

x(0)=2 cm

, et que on lâche l’objet sans donner d’impulsion.

a. Quelles sont alors les solutions de l’équation différentielle ?

b. Décrire comment se déplace l’objet, en prenant la valeur de

α

calculée.

α

²

> 4km

.

a. Qu’est-ce que cela veut dire concernant les forces de frottement

F ⃗

et de rappel du ressort

T ⃗

?

b. Quelles sont alors les solutions de l’équation différentielles ? c. Que cela signifie-t-il concrètement ?

d. Décrire comment se déplace l’objet, en prenant une valeur de

α

arbitraire, mais qui satisfait la condition

α

²

> 4km

.

4. On suppose maintenant que

α

²

< 4km

.

a. Qu’est-ce que cela veut dire concernant les forces de frottement

F ⃗

et de rappel du ressort

T ⃗

?

b. Quelles sont alors les solutions de l’équation différentielles ? c. Que cela signifie-t-il concrètement ?

d. Décrire comment se déplace l’objet, en prenant une valeur de

α

arbitraire, mais qui satisfait la condition

α

² <

4km

.

(24)

Résultats et indices des exercices du cours n°2 1^er ex : dans le désordre :

f

α , β

(x)= α e

^4x

+ β e

^7x

+ 1

7

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^4x

+ β e

^8x

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^5x

+ β e

^7x

+ 3

35 x + 176

1225

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^7x

+ β e

^8x

+ 5

56

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^4x

+ β e

^9x

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^2x

+ β e

^9x

+ ...

... x + 1

2

,

α

∈

R

,

β ∈ R

. 2^ème ex : dans le désordre :

f

α , β

(x)= α e

^-3x

+ β e

^-5x

+ 3

5

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^5x

+ β e

^-4x

– 0,4x

²

+ 0,04x

–

0,022

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^4x

+ β e

^7x

+ 5

28 x

²

+ 111

392 x

+

4609

10976

^,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^4x

– 5

4 x + β

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^2x

+ β e

^8x

+ 1

8 x

²

+ 19

32 x + 139

256

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

^4x

+ β e

^9x

+ 7

36 x

²

+ 91

648 x

+

931 23328

^,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

3^ème ex : a.

g

k

(x) = k e

^-x ,

k ∈ R

b. Solution donnée. c.

f

k

(x)= k e

^-x

+ x e

^-x ,

k ∈

Rd.

k= - 3

4^ème ex :

f

k

(x)= k e

^-2x

+ 1 2 x

²

- 3

2 x + 9

4 , k ∈ R

5^ème ex :

f

α , β

(x)= (αx + β ) e

^-x

+ x

²

e

^-x

,

α

∈

R

,

β ∈ R

. 6^ème ex :

7^ème ex : dans le désordre :

f

α , β

(x)= e

⁻

3 2x

( ^α ^cos ⁽ ^√ ² ³ ^x ⁾ ⁺ ^β ^sin ⁽ ^√ ² ³ ^x ⁾ ) ⁺ ⁷ ³

^,

^α

^∈

^R

^,

^β ^∈ ^R

^.

f

α , β

(x)= e

^-x

( α cos ( √ 6 x) + β sin ( √ 6 x ) ) + 2

7 x

²

+ 20

49 x + 30

343

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= e

^-x

( α cos (2x) + β sin (2x ) ) + 8

5 x

²

+ 8

25 x + 129

125

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

⁻

−5−√¹³

2 x

+ β e

⁻

−5+√¹³

2 x

+ 8

3

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

f

α , β

(x)= α e

⁻⁴^x

+ β e

⁻^x

+ 5 4 x+ 7

20

,

α

∈

R

,

β ∈ R

.

(25)

f

α , β

(x)= e

⁻

1 2x

( ^α ^cos ⁽ ^√ ² ²³ ^x ⁾ ⁺ ^β ^sin ⁽ ^√ ² ²³ ^x ⁾ ) ⁺ ^x+ ¹ ³

^,

^α

^∈

^R

^,

^β ^∈ ^R

^.

f

α , β

(x)= e

⁻

3 2x

( ^α ^cos ⁽ ^√ ² ⁷ ^x ⁾ ⁺ ^β ^sin ⁽ ^√ ² ⁷ ^x ⁾ ) ⁺ ⁹ ⁴

^,

^α

^∈

^R

^,

^β ^∈ ^R

^.

8^ème ex : a.

f(x) = ke

^-x b.1.

k = 1

2. Réponse donnée. 3.

ke

^-x

+ e

^-x

( ln (1 + e

^x

)) , k ∈ R

c.

ln(2)e

^-x

+ e

^-x

( ln (1 + e

^x

))

. 9^ème ex : 3.

f(t) = − mg

k e

⁻

k mt

+ mg

k

et

lim

t→+∞

f ( t )

=

mg k

10^ème ex :

Cours n°1

Chap.n°19 : équations différentielles linéaires à coefficients constants

Le contexte :

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une

………..……….

Exemple : f’(x)=f(x) : on cherche les fonctions dont les dérivées sont égales aux fonctions elle-mêmes.

Autre exemple: 2f ’(x) – f(x) = 0.

Objectifs :

Cours n°1

I) Équations différentielles du premier ordre à coefficients constants.

a

b

c

a

f

I

..…….……….…………..…..…………..……..

………...

a

b

x

af '(x)+bf(x) = c

f '(x) + αf(x) = β

a

f'(x)+2f(x)=2

f(x)=e

f

'= af

a

f '(x)=af(x)

f

k ∈ R ,

f

(x)=……

2f ' + 3f = 0

f

'= af

a

f

f'=af

(x

;y

)

=

2f ' + 3f = 0

f(0)=3

f

'=

af

+

b

a

b

a

f '(x)=af(x) + b

f

f

(x)=……… … ...

f ' + 0,5f = 1

f(0)=3

Se tester C19.1

Objectifs :

−9 f ’ ( x ) −3 f ( x ) + 9= 9 f ’ ( x ) −2 f ( x ) +1

f(9) = 2

f

( x ) = k e

+ 8

f ( x ) =− 6 e

+ 8

Se tester C19.1

Objectifs :

4 f ’ ( x ) −3 f ( x ) + 2=−5 f ’ ( x ) +8 f ( x ) −5

f(4) = 5

f

( x ) = k e

+ 7 11

f ( x ) = 48 11 e

+ 7 11

f ' + 2f = 0.

f ' + 3f = 2.

4 f ’ ( _x ) ₋₃ _f ( _x ) ₊ ₂₌₋₅ _{f ’} ( _x ) ₊₈ _f ( _x ) ₋₅

f ( x ) ^.

^g'(x)

Δ N ( _t ) Δ t