Des automorphismes continus d’un corps de s´eries de Puiseux.

Des automorphismes continus d’un corps de s´eries de Puiseux.

Bruno DESCHAMPS Universit´e du Maine

R´esum´e.— Dans cet article, nous donnons, pour un corps K de caract´eristique nulle, une description, sous forme d’un produit semi-direct `a quatre facteurs, du groupes des K-automorphismes continus du corps,Puis(K), des s´eries de Puiseux `a coefficients dans la clˆoture alg´ebrique,K, deK. En application de ce r´esultat, nous d´ecrivons certains sous- groupes du groupeAut(C). Nous montrons aussi que, pour un corpsKde caract´eristique 0, il existe une correspondance bi-univoque naturelle entre les classes deK-isomorphisme de sous-corps r´eels clos deKet les classes deK-isomorphisme de sous-corps r´eel clos con- tinus (i.e. provenant deK-involutions continues) du corpsPuis(K) des s´eries de Puiseux.

Abstract.— In this article, we give, for a fieldK of characteristic 0, a description as a semi-direct product of four factors, of the group of continuousK-automorphisms of the field,Puis(K), of Puiseux’s series. As an application, we describe some subgroups of the groupAut(C). Moreover, we show that, for a given characteristic 0 fieldK, there exists a natural one-to-one correspondance between the K-isomorphism classes of real closed subfield ofKand theK-isomorphism classes of real closed continued subfield (i.e. carried by continuedK-involutions) of the Puiseux’s series fieldPuis(K).

1.— Introduction.

SiKd´esigne un corps, le corpsK((T)) des s´eries de Laurent `a coefficients dans K est un corps complet pour la valuation usuelle. Plusieurs travaux ont abord´e l’´etude du groupe desK-automorphismes du corps K((T)). Nous nous int´eressons dans cet article, pour un corps K de caract´eristique 0, `a l’´etude du groupe des K-automorphismes continus du corps,Puis(K), des s´eries de Puiseux `a coefficients dans la clˆoture alg´ebrique,K, deK(la continuit´e ´etant ici consid´er´ee pour la topolo- gie induite par l’unique extension de la valuation deK((T)) au corps des s´eries de Puiseux).

Dans un premier paragraphe, nous nous int´eressons aux automorphismes d’un corps discrˆetement valu´e de caract´eristique et de caract´eristique r´esiduelle ´egales (appel´e ici corps s´eri´e) hens´elien. En particulier, nous d´ecrivons une loi de groupe

∗ sur l’ensemble O_K^× des unit´es de K((T)) qui fait du groupe (O^×_K,∗) un groupe isomorphe au groupe, (AutK(K((T))),◦), des K-automorphismes de K((T)) (ap- plication de la proposition 1).

Dans un deuxi`eme paragraphe, nous appliquons ces r´esultats `a l’´etude du groupe AutK(Puis(K)) des K-automorphismes continus du corps Puis(K). Nous mon- trons que ce groupe est isomorphe `a un produit semi-direct `a quatre facteurs d’objets arithm´etiques li´es `aK (th´eor`eme 10).

Un troisi`eme paragraphe est consacr´e `a deux applications que nous faisons de ce r´esultat de structure. La premi`ere application concerne l’´etude de sous-groupes du groupe des automorphismes,Aut(C), du corps des complexes. Nous montrons (th´eor`eme 12) que pour tout corps K de caract´eristique 0 et de cardinal≤2^ℵ0, le groupe de Galois absolu, GK =Gal(K/K), deK est un sous-groupe deAut(C).

02000 Mathematics Subject Classification : Primary 12E30, 20E34, 20E45 Secondary 12J10, 12J15, 20E18

La deuxi`eme application corcerne l’´etude des involutions continues dePuis(K).

Nous montrons (th´eor`eme 14) qu’en caract´eristique 0, il existe une correspondance bi-univoque entre l’ensemble des classes de conjugaison d’involutions continues du groupe, AutK(Puis(K)), des K-automorphismes (non n´ecessairement continus) du corpsPuis(K), et l’ensemble des classes de conjugaison d’involutions du groupe AutK(K) = Gal(K/K) (qui est lui-mˆeme en correspondance bi-univoque avec l’ensemble des ordres compatibles sur le corpsK (corollaire 16)). En fin de texte, une s´erie de remarques sur l’existence d’involutions non continues dans et hors de ces classes de conjugaison vient clore cet article.

2.— Les automorphismes d’un corps s´eri´e composable hens´elien.

Dans cet article, on dira d’un corps Ω qu’il est s´eri´es’il est isomorphe `a une extension interm´ediaire d’une extensionK((T))/K(T). De mani`ere ´equivalente un corps Ω est s´eri´e si et seulement s’il existe sur Ω une valuation discr`etevtelle que le corps r´esiduelK= Ω/vsoit de mˆeme caract´eristique que celle de Ω et telle queKse rel`eve en un sous-corps de Ω (cette derni`ere propri´et´e est automatiquement v´erifi´ee si Ω est hens´elien pourv). En effet, si l’on note (bΩ,bv) le compl´et´e de (Ω, v), alors vbest discr`ete et Ω/b bv = K. Il s’ensuit (cf [Ser]) queΩ estb K-isomorphe au corps K((T)) des s´eries de Laurent `a coefficients dansK. Siπd´esigne une uniformisante de Ω, comme K se rel`eve dans Ω, il existe un K-plongement de Ω dans K((T)) qui envoie π sur T et donc Ω est bien s´eri´e. On s’int´eresse ici `a l’´etude des K- automorphismes d’un corps s´eri´e, on peut donc, dans cette perspective, regarder un tel corps directement comme un sous-corps de K((T)) qui contientK(T).

Un corps s´eri´e Ω sera ditcomposablesi la composition laisse stable Ω, c’est-`a-dire si

∀S(T), R(T)∈Ω, v(R(T))>0 =⇒S(R(T))∈Ω

Par exemple, les corps Ω = K(T), K((T)) sont des corps s´eri´es composables.

Tous les corps s´eri´es ne sont pas forc´ement composables (voir plus loin).

Nous allons nous int´eresser ici au groupe desK-automorphisme de Ω lorsque Ω est s´eri´e, composable et hens´elien pourv. Un exemple de tel corps est naturellement le corpsK((T)), car il est complet. Un exemple de corps s´eri´e composable hens´elien non complet est le corps C{{T}} des s´eries de Laurent de rayon de convergence

> 0 (i.e. le corps des germes de fonctions complexes m´eromorphes en 0). Il est visiblement composable et non complet et on pourra trouver dans [Art] une preuve du fait qu’il est hens´elien.

Un exemple de corps s´eri´e hens´elien non composable : Dans le corpsR{{T}}

des s´eries de Laurent r´eelles `a rayon de convergence non nul, on consid`ere la s´erie e^T =X

n≥0

Tⁿ n!

et le corps L0 = R(T)(e^T) ⊂ R{{T}}. On consid`ere aussi dans R{{T}} la s´erie f(T) =e^{T eT}. La s´erief est transcendante surL0. En effet, supposons au contraire qu’il existe un polynˆome irr´eductible

P(X) =Xⁿ+a_n−1(T)Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀(T)∈L₀[X]

tel que P(f(T)) = 0. En consid´erant la d´erivation usuelle sur les s´eries de Laurent (qui, sur L0, correspond `a la d´erivation analytique) on a alors

0 = (P(f(T)))⁰

= a⁰₀(T) + (a⁰₁(T) +a1(T)(1 +T)e^T)f(T) +· · ·

+(a⁰_n−1(T) + (n−1)a_n−1(T)(1 +T)e^T)fⁿ⁻¹(T) +n(1 +T)e^Tfⁿ(T)

= Q(f(T))

avec

Q(X) =n(1 +T)e^TXⁿ+

n−1

X

k=0

(a⁰_k(T) +ka_k(T)(1 +T)e^T)X^k

On en d´eduit donc, par minimalit´e deP, que Qest proportionnel `aP et donc que pour toutk= 0,· · ·, n−1, on a

(Ek) a⁰_k(T) = (n−k)(1 +T)e^Tak(T)

La r´esolution des ´equations diff´erentielles (Ek) montre que, pour tout k = 0,· · ·, n−1, il existe une constanteC_k ∈Rtelle que

a_k(T) =C_ke^{(n−k)T eT}

On a alors obligatoirement Ck = 0, car si l’on regarde maintenant les s´eries comme des fonctions de la variable r´eelle, un simple argument analytique de passage

`

a la limite montre que l’on ne peut pas ´ecrire e^(n−k)xex =

Pp₀

p=0Rp(x)e^px Pq₀

q=0Sq(x)e^qx avecp₀, q₀∈Net R₀,· · ·, R_p0, S₀,· · ·, S_q0∈R(T).

Ainsi,f(T) est bien transcendante surL₀et donc n’est pas ´el´ement de la clˆoture alg´ebrique Lf0 deL0 dans R{{T}}. Le corps Lf0 est visiblement s´eri´e et comme il est alg´ebriquement clos dans R{{T}}qui est hens´elien, il est lui-mˆeme hens´elien.

Par ailleurs, la s´erie compos´eee^{T eT} n’est pas dans Lf0 comme on vient de le voir, ce qui justifie queLf0ne soit pas un corps composable.

Etant donn´e un corpsK, on consid`ereO^×_Kl’ensemble des unit´es deK((T)) (i.e.

l’ensemble des s´eries de valuation nulle). SurO^×_K, on introduit la loi de composition

∗ d´efinie, pourα(T), β(T)∈ O_K^×, par

(α∗β)(T) =α(T).β(T α(T))

Nous allons voir, dans la preuve de la proposition suivante, que∗conf`ere `aO^×_K une structure de groupe. Si Ω d´esigne un corps s´eri´e de corps r´esiduel K, alors il est clair que le groupe des unit´es de Ω vautO_K^×∩Ω.

Proposition 1.— SoitΩ un corps s´eri´e hens´elien de corps r´esiduel K. Il existe une application injective

Θ : AutK(Ω)−→ O^×_K∩Ω

morphique pour ◦et∗(i.e. Θ(µ◦σ) = Θ(µ)∗Θ(σ)). Si, de plus, Ωest composable, alorsΘest un isomorphisme (en particulier, (O_K^×∩Ω,∗) est alors un groupe).

Etablissons, pr´ealablement, deux lemmes :

Lemme 2.— Soit(Ω, v)un corps discrˆetement valu´e hens´elien. Siσ est un auto- morphisme de Ω, alorsσ est continu et de plus, siπ d´esigne une uniformisante de Ω, alors σ(π)est aussi une uniformisante.

Preuve : De mani`ere g´en´erale, siv0 est une valuation non-triviale sur Ω et non-

´

equivalente `a v, alors (Ω, v0) n’est pas un corps hens´elien (cf [Rib1, 3.2.W.β]).

Consid´erons alors, sur Ω, la valuation v0 = v◦σ⁻¹. Puisque σ est un automor- phisme de corps, il est clair que la propri´et´e d’Hensel est respect´ee pourv₀. On en d´eduit donc que v et v₀ sont ´equivalentes et par suite que les anneauxA_v et A_v0 des valuationsv etv₀sont ´egaux. CommeA_v0=σ(A_v) on en d´eduit bien queσ(π)

est une uniformisante.

Par ailleurs, pour les mˆemes raisons que pr´ec´edement, les valuations v et v◦ σ sont ´equivalentes. Donc, si (xn)n d´esigne une suite convergente vers 0 (i.e.

limnv(xn) = +∞) alors limnv(σ(xn)) = +∞ et donc (σ(xn))n converge aussi vers 0. On en d´eduit queσest continu en 0 et, par suite, partout.

——–

Lemme 3.—SoitΩun corps s´eri´e hens´elien de corps r´esiduel K (Ω⊂K((T))et T ∈Ω) et σun K-automorphisme deΩ. Pour tout

S(T) = X

n≥n0

a_nTⁿ∈Ω on a

σ(S)(T) = X

n≥n0

anσ(T)ⁿ (i.e. σ(S)(T) =S(σ(T)))

Preuve : Dans la preuve du lemme 2, on montre que siσest unK-automorphisme de Ω, alors σ(A_v) = A_v (A_v ´etant l’anneau de la valuation), c’est-`a-dire que la restriction de σ `a A_v est unK-automorphisme d’anneau. Il s’ensuit que, puisque les ´el´ements inversibles deA_vsont exactement les s´eries de Ω de valuation 0, l’image d’une s´erie de valuation 0, parσ, est de valuation 0.

Toujours d’apr`es le lemme 2, on sait que σ(T) est une uniformisante, donc la valuation de ω =σ(T) est 1 et par suite, la s´erie compos´ee S(ω) a bien un sens dansK((T)). Pour toutm≥n₀, on a alors

σ(S)(T)−S(ω) =σ X

n>m

anTⁿ

!

− X

n>m

anωⁿ

!

Commeσest continu et quev(ωⁿ) =n, on en d´eduit que le terme de droite de cette

´

equation vers 0 quandmtend vers +∞et, par suite, queσ(S)(T) =S(σ(T)).

——–

Preuve de la proposition 1. Soitσ ∈AutK(Ω). D’apr`es le lemme 2, il existe un ´el´ementα∈ O^×_K∩Ω tel queσ(T) =T α(T). Consid´erons alors l’application

Θ : AutK(Ω) −→ O_K^×∩Ω σ 7−→ α(T) =σ(T)/T

Le lemme 3 assure que σ est enti`erement d´etermin´e par son image enT. On en d´eduit que Θ est injective. Par ailleurs, un rapide calcul montre que Θ(σ◦µ) = Θ(σ)∗Θ(µ).

Si, maintenant, Ω est suppos´e composable, alors si α(T)∈ O_K^×∩Ω, pour tout S ∈Ω, on aS(T α(T))∈Ω et l’application

σ_α:S(T)−→S(T α(T))

d´efinit, dansAutK(Ω), un ant´ec´edent, par Θ, de α. Ce qui justifie que, dans ce cas, Θ est bien un isomorphisme.

——–

Remarques : • La loi ∗ peut paraˆıtre un peu compliqu´ee, elle est pourtant

´

equivalente `a une composition. En effet, si on consid´ere l’ensemble E={S∈K((T))/ v(S) = 1}

alors l’application

f : (O^×_K,∗) −→ (E,◦) α(T) 7−→ T α(T) est un isomorphisme de groupe.

•Dans le cas de Ω =K((T)), on trouve donc que (Aut_K(K((T))),◦) est isomorphe

`a (O^×_K,∗). Consid´erons, dansO^×_K, l’ensemble des unit´es principales 1 +M: 1 +M=

α∈ O^×_K/ α(0) = 1

On remarque que, muni de la loi ∗, cet ensemble devient un sous-groupe de O_K^×. Par ailleurs, on remarque aussi que K^∗ ⊂ O^×_K est aussi, pour la loi ∗, un sous-groupe de O_K^× et qu’en fait, sur ce sous-groupe, la loi∗ n’est rien d’autre que la mutiplication dansK^∗. Le sous-groupe (K^∗, .) agit alors sur un ´el´ementα∈ O^×_K par conjugaison : si a∈K

α^a(T) = (a∗α(T)∗a⁻¹)(T) =α(aT)

Il est alors `a noter que le groupe (O_K^×,∗) est le produit semi-direct des sous- groupes (1 +M,∗) et (K^∗, .).

En effet, il est clair que (1 +M)∩K^∗ ={1} et que (1 +M) et K^∗ engendre (O_K^×,∗) puisque pour toutα∈(O_K^×,∗), on a

α= α

α(0)

∗α(0)

Par ailleurs, 1 +Mest bien distingu´e dansO^×_K.

3.— Les K-automorphismes continus de Puis(K).

Rappelons que, siKd´esigne un corps, le corps des s´eries de Puiseux `a coefficients dans K est le corps lim

−→ K((T^1/n)) o`u K((T<sup>1/n</sup>)) d´esigne le corps de rupture sur K((T)) du polynˆomeX<sup>n</sup>−T (les fl`eches du syst`eme inductif s’entendant d’elles- mˆeme).

On notera, dans la suite de ce texte,Puis(K) ce corps. Il est c´el`ebre que si K est un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0, alorsPuis(K) est un corps alg´ebriquement clos (c’est une clˆoture alg´ebrique du corps K((T))). Par ailleurs, il existe sur Puis(K) une valuation ν naturelle (celle qui ´etend la valuation v de K((T))), d´efinie pour S(T) = X

k≥k0

a_kT^k/n∈Puis(K) (a_k0 6= 0), par

ν(S) =k₀ n

C’est muni de cette valuation que l’on consid´erera le corps Puis(K) dans ce paragraphe, qui d´efinit alors une topologie sur Puis(K). On s’int´eresse aux auto- morphismes continus, plus pr´ecis´ement, pour un corps K de caract´eristique 0, on

´

etudie dans ce paragraphe le groupe

Π =AutK(Puis(K)) desK-automorphismes continus dePuis(K).

Remarquons, pour commencer, qu’au contraire du cas du corps des s´eries de Laurent, il existe des K-automorphismes non continus. En effet, la variable T est transcendante surK. Si l’on consid`ere une extension transcendante pure maximale

deKdansPuis(K),L=K(Xi)_i∈I, telle queXi₀ =T pour un certain indicei0∈I, alors l’application

Xi 7→ Xi pouri6=i0

T 7→ 1/T

d´efinit un K-automorphisme σ de L. Par hypoth`ese de maximalit´e, l’extension Puis(K)/Lest alg´ebrique et comme Puis(K) est alg´ebriquement clos, d’apr`es le th´eor`eme de Steiniz,σ se rel`eve en un K-automorphisme dePuis(K). Ce dernier ne peut ˆetre continu (comme le montrera le lemme suivant) puisqueσ(T) =T⁻¹.

Dans la suite, on noteraPuis[K] l’anneau des s´eries enti`eres de Puiseux, c’est-

`

a-dire le sous-anneau dePuis(K) compos´e des s´eries de valuation≥0 (i.e. l’anneau de la valuationν). Caract´erisons les ´el´ements de Π :

Lemme 4.—SoitσunK-automorphisme dePuis(K). Les propositions suivantes sont ´equivalentes :

i)σ est continu,

ii) la restriction de σ`aPuis[K] est un automorphisme dePuis[K], iii) ν(σ(T))>0 etν(σ(S)) = 0pour toutes s´eriesS de valuation 0.

En cons´equence de quoi, siσ∈Πalors pour tout X

k≥k0

a_kT^k/n∈Puis(K)on a

σ



 X

k≥k₀

akT^k/n



= X

k≥k₀

σ(ak)σ(T^1/n)^k

Preuve : • i)⇒ii) Prenons unS dansPuis[K], posonsr=ν(S) et consid´erons deux cas :

• r >0. Commeσ est continu et que (Sⁿ)_n converge vers 0, on a lim_nν(σ(Sⁿ)) = lim_nnν(σ(S)) = +∞et ainsiν(σ(S))>0.

• ν(S) = 0. Posons alors S⁰ =S−S(0), on a donc ν(S⁰) >0 et, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a alorsν(σ(S⁰)) =ν(σ(S)−σ(S(0))>0. Mais commeS(0)∈Ket que σest unK-automorphisme, on a doncσ(S(0))∈K et doncν(σ(S))≥0.

Ainsiσenvoie injectivementPuis[K] sur lui-mˆeme. En appliquant ce r´esultat

`

a σ⁻¹, on voit aussi que cette application est surjective.

ii)⇒iii) Commeσest un morphisme d’anneau, il envoit le groupe des inversibles de Puis[K] sur lui-mˆeme, de mˆeme pour son compl´ementaire. On a doncν(σ(T))>0 et ν(σ(S)) = 0 pour toutes s´eriesS de valuation nulle.

iii)⇒i) Par hypoth`ese, il existe un rationnel r0 >0 tel que σ(T) =T<sup>r0</sup>α1 o`u α1

est une s´erie de valuation nulle. On en d´eduit que pour tout entiern≥1, il existe une s´erieα1/n de valuation nulle telle que

σ(T^1/n) =T^r0/nα_1/n

la s´erie α_1/n ´etant une des racines n-i`eme de la s´erie α<sub>1</sub>, ces racines existant bien puisque K est un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0 (une s´erie S ∈ L((T)) de valuation nulle poss`ede une racine n-i`eme dansL((T)), avecL de caract´eristique 0, si et seulement si S(0) en poss`ede une dans L). Ainsi, sir > 0 d´esigne un rationnel, alors il existe une s´erieαrde valuation nulle telle que

σ(T^r) =T^rr0αr

Consid´erons maintenant une suite (Sk)k≥1 de s´eries convergente vers 0 (i.e.

limkν(Sk) = +∞). Pour toutk≥1, posons rk=ν(Sk). On a a donc S_k =T^rkω_k

o`uωk est une s´erie de valuation nulle. On en d´eduit que σ(Sk) =T^rkr0αr_kσ(ωk)

mais comme σ(ω_k) est de valuation nulle, onν(σ(S_k)) =r_kr₀ et comme lim_kr_k = +∞, on a bien

lim

k ν(σ(S_k)) = +∞

c’est-`a-dire que la suite (σ(Sk))k converge vers 0. Ainsi σest continu en 0 et, par suite, continu partout.

• Consid´erons X

k≥k0

akT^k/n ∈ Puis(K) et σ ∈ Π. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, ω = σ(T^1/n) est de valuation r >0. Pour tout entierl≥k0, on a donc

σ



 X

k≥k0

a_kT^k/n



− X

k≥k0

σ(a_k)σ(T^1/n)^k

= σ



 X

k≥l

a_kT^k/n



−X

k≥l

σ(a_k)ω^k/n

= ω^l/n



σ



 X

k≥l

akT^(k−l)/n



−X

k≥l

σ(ak)ω^(k−l)/n





ce qui montre que cette s´erie est de valuation≥lr/npour toutl, donc de valuation infinie, d’o`u l’´egalit´e.

——–

3.1.— Une d´ecomposition du groupe Π. Notons GK =Gal(K/K) le groupe de Galois absolu du corpsK. Remarquons que GKpeut ˆetre vu comme sous-groupe de Π. En effet, si σ∈GK, alors l’´el´ement eσd´efini par

eσ



 X

k≥k0

a_kT^k/n



= X

k≥k0

σ(a_k)T^k/n

est clairement un ´el´ement de Π et la correspondance σ 7→ σe est visiblement un morphisme injectif de groupe. C’estviace morphisme que l’on consid`ere maintenant GK comme sous-groupe de Π. Consid´erons aussi le sous-groupe de Π :

∆ =Aut_K(Puis(K))

compos´e desK-automorphismes de Puis(K) continus. On a alors Proposition 5.— Le sous-groupe∆ est distingu´e dans Πet l’on a

Π = G_Kn∆

Preuve : Un calcul rapide assure que ∆ est bien distingu´e dans Π. Il est clair que

∆∩GK ={Id}. Consid´eronsσ∈Π et d´efinissonseσpar

eσ



 X

k≥k0

akT^k/n



= X

k≥k0

σ(ak)T^k/n

C’est un ´el´ement de G_K et l’on aeσ⁻¹◦σ∈∆. Ainsi,σ∈G_K.∆.

——–

3.2.— Une d´ecomposition du groupe∆. Pour tout rationnelr >0, on d´efinit σ_r par

σ_r



 X

k≥k0

a_kT^k/n



= X

k≥k0

a_kT^r(k/n)

Par le lemme 4, σ_r est bien un ´el´ement de Π. Il est aussi clairement dans ∆.

Consid´erons les deux sous-groupes de ∆ :

Γ = {σ∈∆/ ν◦σ=ν}

Λ = {σr/ r∈Q^+∗}

Proposition 6.— Le sous-groupeΓ est distingu´e dans Π(donc dans∆) et l’on a

∆ = ΛnΓ

Preuve : Soitσ∈Π, µ∈Γ etS∈Puis(K) non nulle. On ´ecrit S=T^rα

avec α une s´erie de valuation 0 et r ∈ Q. On pose σ(T^r) = T^r

0

α⁰ o`u α⁰ est de valuation nulle. On a alors

σ(S) =T^r

0

α⁰σ(α) et donc

(µ◦σ)(S) =T^r

0

α⁰σ(α)γ

o`uγ=µ(T^r

0

)

T^r0 .µ(α⁰)(µ◦σ)(α)

α⁰σ(α) est une s´erie de valuation nulle. On en d´eduit donc que

(σ⁻¹◦µ◦σ)(S) =T^rδ

avecδ=σ⁻¹(γ) de valuation nulle. Ainsiν((σ⁻¹◦µ◦σ)(S)) =ν(S) et donc Γ est distingu´e dans Π.

Il est clair que Γ∩Λ ={Id}. Consid´erons maintenant un ´el´ement σ∈∆, il existe un rationnelr₀>0 tel que

σ(T) =T^r0α(T^1/n)

o`uαest une s´erie de valuation nulle etn≥1 un entier. On a donc (σ_r⁻¹

0 ◦σ)(T) =T α(T^{r−10 /n}) ce qui implique que pour tout entierh≥1, on a

(σ_r⁻¹

0 ◦σ)(T^1/h) =T^1/hα^1/h(T^r0−1/n)

o`uα<sup>1/h</sup>d´esigne une des racinesh-i`emes (qui existent bien) deα. On en d´eduit donc que pour tout rationnelr≥0, on a

(σ_r−1

0 ◦σ)(T^r) =T^rβr

o`u βr d´esigne une s´erie de valuation nulle. Ceci montre que σ_r⁻¹◦σ ∈ Γ et par suite queσ∈Λ.Γ.

——–

Remarque : Il est clair que le groupe Λ est isomorphe au groupe (Q^+∗, .). On trouve donc pour Π une d´ecomposition de la forme

Π'G_Kn(Q^+∗nΓ)

mais l’action de GK surQ^+∗ est triviale et comme Γ est distingu´e dans tout Π on en d´eduit qu’en fait

Π'(GK×Q^+∗)nΓ

3.3.— Une d´ecomposition du groupeΓ. Les ´el´ementsσde Γ sont caract´eris´es (en utilisant le lemme 4) par le fait que pour tout entiern≥1, la s´erie σ(T^1/n)

T^1/n est de valuation 0. On consid`ere alors les sous-groupes

H =

σ∈Γ/ σ(T^1/n)

T^1/n (0) = 1 pour toutn≥1

M =

σ∈Γ/ σ(T^1/n)

T^1/n ∈K^∗ pour toutn≥1

On a alors

Proposition 7.— Le sous-groupeH est distingu´e dansΓ et on a Γ =MnH

Preuve : Consid´eronsσ∈Γ etµ∈H. Fixons un entiern≥1, il existe une s´erie α∈K((T)) de valuation nulle telle que

σ(T^1/n) =T^1/nα(T^1/k)

pour un certain entier k ≥ 1. Par hypoth`ese, il existe deux s´eries β, γ ∈ K((T)) telle que β(0) =γ(0) = 1 et deux entiersk⁰, k⁰⁰≥1 tels que

µ(T^1/n) =T^1/nβ(T^1/k

0

) µ(T^1/k) =T^1/kγ(T^1/k

00

) On a donc, par application du lemme 4,

(µ◦σ)(T^1/n) = T^1/nβ(T^1/k

0

)α(T^1/kγ(T^1/k

00

))

= T^1/nα(T^1/k)β(T^1/k

0

)α(T^1/kγ(T^1/k

00

)) α(T^1/k)

et ainsi

(σ⁻¹◦µ◦σ)(T^1/n) =T^1/nσ⁻¹ β(T^1/k

0

)α(T^1/kγ(T^1/k

00

)) α(T^1/k)

!

Par continuit´e deσ, on a donc (σ⁻¹◦µ◦σ)(T^1/n)

T^1/n (0) =σ⁻¹

β(0).α(0) α(0)

=σ⁻¹(1) = 1 et par suiteH est bien distingu´e dans Γ.

Il est clair queM∩H={Id}. Consid´eronsσ∈Γ et pour toutn≥1, posons α_n= σ(T^1/n)

T^1/n (0)

et d´efinissons une applicationµde la mani`ere suivante : µ



 X

k≥k0

akT^k/n



= X

k≥k0

akα_n^−kT^k/n

Montrons que la d´efinition deµne d´epend pas du choix den. Sin|m, disonsm=ln, on a T^1/n=T^l/m et par suite

α_n= σ(T^1/n)

T^1/n (0) = σ(T^l/m) T^l/m (0) =

σ(T^1/n) T^1/n

^l

(0) =α^l_m

ce qui justifie bien que la d´efinition deµen un ´el´ementS∈Puis(K) ne d´epend pas du choix du repr´esentant de S. Il est clair queµest un ´el´ement deM et que pour tout entier n≥1 on a

(σ◦µ)(T^1/n) T^1/n (0) = 1 Ainsiσ∈H.M.

——–

3.4.— Etude des groupes H et M. Le groupe M =

σ∈Π/∀n∈N^∗, σ(T^1/n) T^1/n ∈K^∗

est visiblement ab´elien. Pour tout couple d’entiers (n, m) non nuls tel que n|m (disonsm=kn), consid´erons le morphisme :

ϕm,n: K^∗ −→ K^∗ x 7−→ x^k

Il est clair que le syst`eme (ϕ_m,n, K^∗)_n est projectif, la limite projective lim

←−K^∗ a donc une structure de groupe.

Proposition 8.— On a

M 'lim

←−K^∗ Preuve : On regarde lim

←−K^∗ comme sous-groupe du groupe produitQ

N^∗K^∗ et on consid`ere l’application

Ψ :M −→Y

N^∗

K^∗ d´efinie par

Ψ(σ) =

σ(T^1/n) T^1/n

n

Cette application est visiblement un morphisme et, en application du lemme 4, comme σest enti`erement d´etermin´e par ses valeurs en les T^1/n, on en d´eduit que Ψ est injective. Consid´erons (an)n = Ψ(σ). Pour toutm=knon a

an=σ(T^1/n)

T^1/n = σ(T^k/m) T^k/m =

σ(T^1/m) T^1/m

^k

=a^k_m il s’ensuit que Ψ(σ) ∈lim

←−K^∗. Reste `a montrer la surjectivit´e de Ψ. Consid´erons (an)n∈lim

←−K^∗, alors siS=P

k≥k0λkT^k/n l’applicationσd´efinie par σ(S) = X

k≥k0

λ_ka^k_nT^k/n

(cette d´efinition ne d´epend pas du choix den, `a cause de la compatibilit´e des an) est visiblement un ´el´ement deM qui v´erifie Ψ(σ) = (an)n. D’o`u la surjectivit´e.

——–

Remarque.—Pour toutn≥1, on consid`ere le sous-groupeUndes racinesn-i`emes de l’unit´e dans K^∗. Le groupe lim

←−Un est donc un sous-groupe de lim

←−K^∗. Il est classique qu’il est isomorphe au groupe profiniZb. En effet, la donn´ee d’un syst`eme coh´erent de racines primitivesn-i`emes de l’unit´e (ξn)n permet de d´efinir, pour tout n∈N^∗, des isomorphismes

fn:Un −→Z/nZ

(en posantf_n(ξ_n) = 1) qui v´erifie que, pour toutn|m, le diagramme

Um fm

−−−−−→ Z/mZ







 y

ϕm,n







 y Un

f_n

−−−−−→ Z/nZ

est commutatif. D’o`u l’isomorphisme.

Maintenant, si l’on consid`ere la premi`ere projectionM →K^∗, celle qui `a (an)n

associea₁, on voit que ce morphisme est surjectif. En effet, ´etant donn´ea∈K^∗, si pour un entier n≥1, on noteR_n(a) l’ensemble des racines n-i`emes dea dansK^∗, alors on voit que l’ensemble lim

←−Rn(a)⊂lim

←−K^∗constitue l’ensemble des ant´ec´edents de a par la premi`ere projection. Or les ensembles Rn(a) ´etant finis et non vide, l’ordre n|m surN´etant filtrant `a droite, on en d´eduit que lim

←−Rn(a) est non vide, d’o`u la surjectivit´e.

Le noyau du morphismeM →K^∗ est pr´ecis´ement lim

←−Uⁿ, c’est-`a-dire que l’on a la suite exacte

1−→bZ−→M −→K^∗−→1

Cette suite n’est pas scind´ee. En effet, si elle l’´etait on auraitM 'Zb×K^∗ et par suite il y a aurait de la torsion dans M ce qui est impossible, puisqu’alors il existerait des sous-corps stricts d’indice fini dePuis(K) contenantK(donc√

−1) ce qui est absurde d’apr`es la th´eorie d’Artin-Schreier des corps r´eels clos.

Il n’est pas anodin de trouver ce facteurZb dansM. Une fois choisi un syst`eme coh´erent de racines de l’unit´e (ξ<sub>n</sub>)<sub>n</sub>, un ´el´ement (a<sub>n</sub>)<sub>n</sub>∈Zbcorrespond dansM `a un automorphismeσ∈M v´erifiant pour toutn∈N^∗

σ(T^1/n) =ξ_n^anT^1/n

c’est-`a-dire `a unK((T))-automorphisme dePuis(K). On voit alors que ce facteur Zb correspond pr´ecis´ement au groupe de GaloisGal(Puis(K)/K((T)).

Int´eressons-nous maintenant au groupe H =

σ∈Γ/ σ(T^1/n)

T^1/n (0) = 1 pour toutn≥1

Pour ´etudierH, consid´erons pour tout entiern≥1, le groupe πn =

σ∈Aut_K(K((T^1/n)))/ σ(T^1/n) T^1/n (0) = 1

Comme les corps K((T^1/n)) et K((T)), sont K-isomorphes, on en d´eduit que les groupes Aut_K(K((T^1/n))) et (O^×

K,∗) sont isomorphes. Le sous-groupeπn cor- respond alors dans ce groupe au sous-groupe (1 +M,∗), un isomorphisme ´etant

f_n : π_n −→ 1 +M σ 7−→ σ(T^1/n)

T^1/n Pourm=kn, d´efinissons le morphisme

ϕn,m : (1 +M,∗) −→ (1 +M,∗) α(T) 7−→ α^1/k(T^k)

o`u α<sup>1/k</sup> d´esigne l’unique racine k-i`eme de αdans 1 +M. L’application ϕn,m est bien un morphisme (injectif) puisque

ϕ_n,m(α∗β)(T) = (α∗β)^1/k(T^k) = (α(T)β(T α(T)))^1/k(T^k)

= (α^1/k(T).β^1/k(T α(T)))(T^k)

(car dans 1 +M, on a (α.β)^1/k =α^1/k.β^1/k)

= (α^1/k(T^k).β^1/k(T^kα(T^k))

= (ϕ_n,m(α)∗ϕ_n,m(β))(T)

Il est alors clair que le syst`eme (1 +M, ϕn,m)n est inductif (l’ensemble ordonn´e (N<sup>∗</sup>,|) est filtrant `a droite). On posant, pour toutn|m,

θn,m=f_m⁻¹◦ϕn,m◦fn

on obtient alors un diagramme

π_n −−−−−→^fn 1 +M







 y

θ_n,m







 y

ϕ_n,m

πm fm

−−−−−→ 1 +M

commutatif. Il s’ensuit que le syst`eme (πn, θn,m)n est inductif et que lim−→ πn = lim

−→ (1 +M) On a alors

Proposition 9.— On a un isomorphisme H 'lim

−→ (1 +M)

Preuve : On va montrer queH satisfait la propri´et´e universelle qui d´efinit lim

−→ π_n. Pour cela, on doit commencer par expliciter, pour tous les entiers n6= 0, des mor- phismes

hn:πn−→H

qui font commuter les diagrammes (i.e. pour tout n|m,hn=hm◦θn,m).

Soitσ_n∈π_n, on d´efinitσ(=h_n(σ_n)) pour tout entierh∈N^∗ et toutS =S_h∈ K((T^1/h)) par

σ(S) =θ_n,nh(σ_n)(S_h)

c’est-`a-dire queσest d´efini sur K((T^1/h)) par

σ(T^1/h) =T^1/hα^n/h_n (T^1/n)

avecαn=fn(σn) et o`u α<sup>1/h</sup>n d´esigne l’unique racineh-i`eme deαn dans 1 +M.

Cette d´efinition ne d´epend pas du choix de l’entierh. En effet, sih⁰ =sh, alors on a :

θ_n,nh⁰(σ_n)(T^1/h) =

θ_n,nh⁰(σ_n)(T^1/h

0

)s

=

T^1/h

0

α^n/h

0

n (T^1/n)) ^s

= T^1/hα^n/hn (T^1/n) =θn,nh(σn)(T^1/h)

L’applicationσest unK-automorphisme. En effet, siSh, S_h⁰ sont deux ´el´ements dePuis(K), alorsSh−S_h⁰ et Sh.S⁻¹

h⁰ sont dansK((T^1/hh

0

)) et donc σ(Sh−S_h⁰) =θ_n,nhh⁰(σn)(Sh−S_h⁰) =σ(Sh)−σ(S_h⁰) et

σ(Sh.S_h⁻¹0 ) =θ_n,nhh⁰(σn)(ShS_h⁻¹0 ) =σ(Sh).σ(S_h⁰)⁻¹

c’est-`a-dire que σ est un morphisme de corps. Il est visiblement surjectif, car σ_|K((T1/m))∈π_mpour toutn|mce qui assure aussi, pour finir, queσ∈H.

Il est alors clair que l’applicationhnainsi obtenue est un morphisme de groupes qui satisfait, pour tout n|m,

hn=hm◦θn,m

Ce morphisme est visiblement injectif, car hn(σn)_|K((T1/n))=σn.

Consid´erons maintenant un groupeH⁰ et pour toutn∈N^∗ des morphismes h⁰_n:πn−→H⁰

qui font commuter les diagrammes. Prenons un ´el´ement σ∈H. Il existe un entier n6= 0 tel que

σ(T) =T.α(T^1/n) avecα(0) = 1. Par suite, on a

σ(T^1/n) =T^1/n.α^1/n(T^1/n)

o`u α<sup>1/n</sup> d´esigne l’unique racine n-i`eme deα v´erifiant α^1/n(0) = 1. On en d´eduit donc que pour cet entier n ≥1, la restriction σ_|K((T1/n)) est un ´el´ement σn ∈ πn. On pose alors

Ξ(σ) =h⁰_n(σn)

Puisque le syst`eme est inductif, on voit bien que la valeur deh⁰_n(σn) ne d´epend pas du choix de net donc cela permet de d´efinir une application

Ξ :H −→H⁰

qui fait commuter les diagrammes (i.e. pour toutn6= 0, on ah⁰_n = Ξ◦hn). On voit aussi que Ξ est unique pour cette propri´et´e. Il s’ensuit queH statisfait la propri´et´e universelle qui d´efinit lim

−→ π_n.

——–

On d´eduit donc de ce qui pr´ec`ede le

Th´eor`eme 10.— SiK d´esigne un corps de caract´eristique 0, alors le groupe des K-automorphismes continus du corpsPuis(K)est isomorphe `a

AutK(Puis(K))'(G_K×Q^∗+)n(lim

←−K^∗nlim

−→1 +M) De mani`ere pratique on retiendra que, siτ∈ AutK(Puis(K)), on a

τ



 X

k≥k0

a_kT^k/n



= X

k≥k0

τ(a_k)τ T^1/nk

(τ est enti`erement d´etermin´e par son action sur K et sur les T^1/n) et si on ´ecrit τ = grσµ avec g ∈ G_K, r = p/q ∈ Q^+∗, σ ∈ M et µ ∈ H, il existe une suite (ξ_n)_n≥1 ∈K^∗N

∗

v´erifiant pour tout n, m≥1,ξ^m_nm=ξ_n, un ´el´ement α∈1 +M_K et un entierN ≥1 tel que pour touta∈K











g(a) = g(a) r(a) = a σ(a) = a µ(a) = a et toutn∈N^∗











g(T^1/n) = T^1/n

r(T^1/n) = T^r/n= T^1/qnp σ(T^1/n) = ξ_nT^1/n

µ(T^1/n) = T^1/nα^N/n(T^1/N)

o`u α<sup>1/n</sup> d´esigne l’unique racinen-i`eme de αdans 1 +M_K. On notera alors µ = (α, N) etσ= (ξn)n.

4.— Applications.

4.1. Des sous-groupes de Aut(C). On peut appliquer ce que nous venons de faire `a la description de certains sous-groupes de Aut(C). En effet, on a la proposition suivante

Proposition 11.— Soit Ω₁ et Ω₂ deux corps alg´ebriquement clos de mˆeme car- act´eristique et de mˆeme cardinal ind´enombrable. Les corps Ω₁ et Ω₂ sont alors isomorphes.

Preuve : Les corps Ω1 et Ω2 ´etant de mˆeme caract´eristique ont des sous-corps premiers F₁ et F₂ isomorphes. Consid´erons des extensions transcendantes pures maximales, F₁(X_i)_i∈I et F₂(Y_j)_j∈J, de F₁ et F₂ dans Ω₁ et Ω₂. Pour des raisons

´

evidentes de cardinalit´e, on a

]I=]Ω₁=]Ω₂=]J

on en d´eduit donc queF1(Xi)_i∈I etF2(Yj)_j∈J sont isomorphes et, par application du th´eor`eme de Steiniz, que Ω1 et Ω2 le sont aussi.

——–

On en d´eduit donc que, par exemple, les corps C,Cp,Qp,Puis(C) sont tous isomorphes. On en d´eduit aussi que si K est un corps de cardinal ≤ 2^ℵ0 et de caract´eristique nulle, alorsCetPuis(K) sont isomorphes. Par suite, en appliquant le th´eor`eme 10, on trouve que

Th´eor`eme 12.—SiK d´esigne un corps de caract´eristique0 et de cardinal≤2^ℵ0, alors le groupe de Galois absolu, GK = Gal(K/K), de K est un sous-groupe de Aut(C).

En particulier, G_Q est un sous-groupe. De mˆeme, les groupesFb_ℵ0 et Fb₂ℵ0 (les groupes prolibres `a, respectivement, ℵ0 et 2^ℵ0 g´en´erateurs) sont des sous-groupes deAut(C). En effet, consid´erons un ´el´ementx∈Ctranscendant surQ(resp. une famille d’´el´ements deC, (xi)_i∈2ℵ0,Q-alg´ebriquement ind´ependants) et le corps

K=Q(x) (resp. K=Q(xi)i6=i₀(xi₀))

alors, en cons´equence du th´eor`eme d’Harbater (voir [Har]), on sait que GK 'Fb_ℵ0 (resp. GK 'Fb₂ℵ0).

4.2. Des involutions continues de Puiseux. Le r´esultat arithm´etique fonda- mental de la th´eorie d’Artin-Schreier (dont le lecteur pourra trouver un expos´e dans [Rib2]) ´etablit la correspondance qui existe entre les ´el´ements de torsion du groupe Aut(A) des automorphismes du corps alg´ebriquement closAet certains sous-corps ordonnables de A. Plus pr´ecis´ement si A est de caract´eristique non nulle alors Aut(A) est sans torsion etA ne contient aucun sous-corps ordonnables. Si main- tenantAest de caract´eristique nulle alorsAut(A) contient de la torsion et tous les

´

el´ements de torsion sont des involutions. Sic∈Aut(A) est une involution, alors le corps Rc =A^<c> des ´el´ements de Ainvariants par l’action de c est un corps r´eel clos (i.e. un corps ordonn´e qui ne poss`ede aucune extension ordonn´ee alg´ebrique stricte, un tel corps poss`ede un unique ordre compatible). R´eciproquement, si R d´esigne un sous-corps r´eel clos¹ de A, alors [A : R] = 2 et A = R(√

−1). En particulierGal(A/R) permet de d´efinir une involution deAut(A). Un calcul assez simple montre alors que siRetR⁰ sont deux sous-corps r´eels clos deAetc, c⁰ sont les deux involutions deAut(A) associ´ee respectivement `a Ret R⁰, alors pour tout corpsK contenu dansR∩R⁰, les corpsR etR⁰ sontK-isomorphes si et seulement sicetc⁰ sontK-conjugu´es (i.e. conjugu´es dans leAutK(A) desK-automorphismes de A). Plus exactement, siσ∈AutK(A) est tel queσ(R) =R⁰ alorsc⁰ =σcσ⁻¹ et r´eciproquement. Ainsi, il existe une correspondance bi-univoque entre les classes de conjugaison des involutions dans AutK(A) et les classes deK-isomorphisme de sous-corps r´eels clos deA.

Une question l´egitime d’arithm´etique des corps consiste alors `a s’interroger sur la possibilit´e d’une ´eventuelle ”description”, pour un corps alg´ebriquement closA de caract´eristique 0 donn´e et un sous-corps K de A fix´e, de certaines classes de conjugaison des involutions dans AutK(A). Par exemple, dans le cas o`u A= K est la clˆoture alg´ebrique du corps K, la th´eorie des corps ordonn´es permet une description en terme d’ordres compatibles de toutes les classes de conjugaison des involutions dans AutK(A) = Gal(K/K). Plus pr´ecis´ement, il existe une corre- spondance bi-univoque entre l’ensemble des classes de conjugaison des involutions deGal(K/K) et l’ensemble des ordres compatibles surK(i.e. les relations d’ordres qui font de K un corps ordonn´e). Cette correspondance est ´etablie de la mani`ere suivante : `a un ordre compatible≤surK, on associe l’ensembleC(≤) des involutions c∈Gal(K/K) telles que le corps r´eel closR_c=K^<c> soit une extension ordonn´ee de (K,≤) (i.e. une extension dont l’ordre prolonge ≤). L’ensemble C(≤) est non vide, car on sait (cf [Rib2, Ch. IX 3.h)]) qu’il existe toujours un corps ordonn´e maximal R, extension alg´ebrique ordonn´ee de (K,≤). Si c, c⁰ sont deux ´el´ements de C(≤), les corps Rc et R_c⁰ sont alors deux extensions ordonn´ees alg´ebriques de

1Dans ce texte la terminologie de sous-corps r´eel clos d’un corps alg´ebriquement clos A d´esignera un sous-corps R de A tel que A/R soit une extension alg´ebrique et tel que R soit un corps r´eel clos

(K,≤) et un corollaire du th´eor`eme de Sturm affirme alors qu’il existe un (unique) K-isomorphismeσentreR etR⁰ (cf [Rib2, Ch. IX 5,Th. 9]). Un relev´e deσdans Gal(K/K) conjugue alors c et c⁰. R´eciproquement, si c est un ´el´ement de C(≤), c⁰ ∈Gal(K/K) est une involution etσ∈Gal(K/K) unK-automorphisme tel que c⁰ =σcσ⁻¹, alors σ(Rc) = R_c⁰. Comme l’unique ordre existant sur un corps r´eel clos est d´efini par ses carr´es, l’isomorphismeσpr´eserve donc l’ordre et, par suite, le corps R_c⁰ est lui aussi une extension ordonn´ee de (K,≤). Il s’ensuit que C(≤) est, en fait, une classe de conjugaison dansGal(K/K) d’involutions.

La correspondance ≤7−→ C(≤) est bien sur surjective car si c est une involu- tion de Gal(K/K), l’ordre du corps r´eel clos R_c induit, par restriction, un ordre compatible sur K qui est un ant´ec´edent pour notre correspondance de la classe de conjugaison dec. Cette correspondance est, par ailleurs, bien injective puisque deux ordres compatibles sur K qui ont mˆeme images par la correspondance sont tout deux restriction `a Kde l’ordre unique d’un sous-corps r´eel clos deK et sont, par suite, ´egaux.

On d´eduit de ce r´esultat que, par exemple, dans le cas deK=Q, il n’y a qu’une seule classe de conjugaison d’involutions dansGal(Q/Q), dans le cas deK=Q(√

2) il y a deux classes dansGal(Q/Q(√

2)) et dans le casK=Q(T) il y a une infinit´e de classe dansGal(Q(T)/Q(T)).

La question de la description des classes de conjugaison d’involutions se pr´ecise par exemple lorsque le corps A est un corps topologique et que l’on veut regarder les classes de conjugaison des involutions continues. Par exemple si l’on consid`ere A = C muni de la topologie usuelle, il n’y a qu’une seule telle classe (celle de la conjugaison complexe, qui consitue le seul automorphisme non-trivial deCcontinu).

On s’int´eresse dans cette partie `a cette question dans le cas d’un corps de s´eries de Puiseux muni de sa topologie naturelle.

Consid´erons une involutionc∈GK. S’il n’y a pas d’ambiguit´e, poura∈K, on noteraa`a la place dec(a). Siα(T) = 1 +a1T+a2T²+· · · ∈1 +M_K, on notera

α(T) = 1 +a1T+a2T²+· · ·

On remarque que pour toutα, β∈1 +M_K, on aα∗β =α∗β et donc qu’en particulier on a α⁽⁻¹⁾=α⁽⁻¹⁾ (nous noterons dans ce texte α⁽⁻¹⁾ l’inverse pour∗ de α afin de ne pas confondre avec l’inverse pour le produit au sens de Cauchy).

On consid`ere l’ensemble

U(c) ={a∈K/ a.a= 1}

qui est visiblement un sous-groupe de K^∗. Ce groupe a la propri´et´e suivante : si x∈U(c),y ∈K et n∈N^∗ sont tels quex=yⁿ alorsy ∈U(c). En effet, le corps R_c est corps r´eel clos et comme, par hypoth`eses, on a (yy)ⁿ = 1 etyy∈R_c, on en d´eduit que l’´el´ement yy est une racine de l’unit´e d’un corps r´eel clos. On a donc yy =±1. Par ailleurs, comme K=R_c(√

−1), siy=y₀+√

−1y₁avecy₀, y₁∈R_c, on a yy=y²₀+y₁²≥0. Ainsi on ayy= 1, c’est-`a-dire y∈U(c).

Pour toutλ∈K^∗, on note

Ω(c, λ) ={α∈1 +M_K/ α(λT)∗α(T) = 1}

On a alors :

Proposition 13.—Un ´el´ementτ ∈ AutK(Puis(K))est une involution si et seule- ment si τ =cσµo`uc∈G_K,σ= (ξ_n)_n ∈M et µ= (α, N)∈Ωsont des ´el´ements v´erifiant :

• c est une involution deGK,

• ξ_N ∈U(c),

• α∈Ω(c, ξN).

Preuve : Supposons que l’´el´ement τ = grσµ soit une involution avec g ∈ G_K, r=p/q∈Q^+∗,σ= (ξ_n)_n∈M et µ= (α, N)∈Ω. CommeAut_K(Puis(K)) est un produit semi-direct (G_K×Q^+∗)n(MnΩ), l’´el´ementgrsatisfait (gr)²=Idet, par suite, on a r= 1 et g =Idou g involution. Supposons que g=Id, la restriction de τ `a K ´etantg, on en d´eduit que K est contenu dans le sous-corps de Puis(K) laiss´e fixe parτ. Ceci est impossible car ce sous-corps est ordonnable et√

−1∈K.

Ainsig=cest une involution deGK.

Fixons un entier n∈ N^∗ et regardons maintenant l’action deτ² = (cσµ)² sur l’´el´ement T^1/n. On a

τ²(T^1/n) = cσµcσ T^1/nα^N/n(T^1/N)

=cσµc ξ_nT^1/nα^N/n(ξ_NT^1/N)

= cσµ ξ_nT^1/nα^N/n(ξ_NT^1/N)

= cσ ξ_nT^1/nα^N/n(T^1/N)α^N/n(ξ_NT^1/Nα(T^1/N))

= c ξ_nξ_nT^1/nα^N/n(ξ_NT^1/N)α^N/n(ξ_Nξ_NT^1/Nα(ξ_NT^1/N))

= ξ_nξ_nT^1/nα^N/n(ξ_NT^1/N)α^N/n(ξ_Nξ_NT^1/Nα(ξ_NT^1/N))

= T^1/n

Le terme constant de α^N/n(ξ_NT^1/N)α^N/n(ξ_Nξ_NT^1/Nα(ξ_NT^1/N)) ´etant 1, on en d´eduit queξ_nξ_n = 1 pour toutn∈N^∗, donc en particulierξ_N ∈U(c). Il s’ensuit, en prenant n=N et en appliquant `a nouveau c`a l’´egalit´e, que

α(ξNT^1/N)α(T^1/Nα(ξNT^1/N)) = 1 c’est-`a-dire queα(ξNT)∗α(T) = 1 (i.e. α∈Ω(c, ξN)).

R´eciproquement, siξ_N ∈U(c), la remarque pr´ec´edent l’´enonc´e de la proposition 13 assure alors que pour toutn≥1,ξ_nN ∈U(c) et, par suite, queξ_n=ξ_nN^N ∈U(c).

Le calcul pr´ec´edent montre alors que, sous les hypoth`eses, τ =cσµ est bien une involution.

——–

On s’int´eresse maintenant aux classes de conjugaisons dansAutK(Puis(K)) des involutions continues ainsi qu’aux classes de K-isomorphismes de sous-corps r´eels clos (contenant K) de Puis(K) associ´ees. On dira dans la suite qu’un sous-corps r´eel clos (contenantK) dePuis(K) est continu si l’involution deAutK(Puis(K)) qui le d´efinit est elle-mˆeme continue.

Th´eor`eme 14.— Soit τ = cσµ et τ⁰ = c⁰σ⁰µ⁰ deux involutions continues de Puis(K). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

i)τ etτ⁰ sont continˆument conjugu´ees (i.e. conjugu´ees dansAutK(Puis(K))), ii) τ etτ⁰ sont conjugu´ees dans AutK(Puis(K)),

iii) τ_|K=c etτ⁰

|K =c⁰ sont conjugu´ees dans G_K.

En particulier, il existe une correspondance bi-univoque entre les classes deK- isomorphisme de sous-corps r´eels clos continus de Puis(K) et les classes de K- isomorphisme de sous-corps r´eels clos de K, cette correpondance est celle qui `a un repr´esentantRd’une classe d’isomorphisme deK associe la classe d’isomorphisme dePuis(R).

Preuve : ii)⇒iii) Siπ∈Aut_K(Puis(K)) conjugueτ et τ⁰, alors π_|K conjugue c etc⁰.

iii)⇒i) Soientτ⁰ =c⁰σ⁰µ⁰ une involution continue dePuis(K),c∈G_K une invo- lution etg∈G_K telle quec=g⁻¹c⁰g. Nous allons montrer queτ⁰ est continˆument

conjugu´ee `ac(vu comme ´el´ement deAutK(Puis(K))), ce qui prouvera le th´eor`eme.

Posonsσ⁰ = (ξn)n et µ⁰ = (α, N) et conjugonsτ⁰ parg, on a : g⁻¹τ⁰g= (g⁻¹c⁰g)(g⁻¹σ⁰g)(g⁻¹µ⁰g) =cσ⁰⁰µ⁰⁰

avec σ⁰⁰ = (un)n ∈M o`u un = g<sup>−1</sup>(ξn) pour tout n ≥1 et µ<sup>00</sup> = (β, N)∈ Ω o`u β =α^g−1 d´esigne l’´el´ement de 1 +M_K dont les coefficients sont obtenus `a partir de ceux de αpar application deg⁻¹. En effet, pourn≥1 on a

g⁻¹σ⁰g(T^1/n) =g⁻¹σ⁰(T^1/n) =g⁻¹(ξnT^1/n) =g⁻¹(ξn)T^1/n=unT^1/n et

g⁻¹µ⁰g(T^1/n) =g⁻¹(T^1/nα^N/n(T^1/N)) =T^1/nα^g−1N/n(T^1/N)

Consid´erons maintenant l’´el´ement s = (s_n)_n ∈ M d´efini par s_n = u⁻¹_2n pour tout n≥1, et conjuguonscσ⁰⁰µ⁰⁰ pars, on a :

s⁻¹(cσ⁰⁰µ⁰⁰)s=cµ⁰⁰⁰

o`uµ⁰⁰⁰ = (β(s⁻¹_N T), N) = (γ, N). En effet, pourn≥1 on a un ∈U(c) et, par suite, sn ∈U(c). On a doncs⁻¹_n unsn =u2nu⁻¹_n u2n=u²_2nu⁻¹_n =unu⁻¹_n = 1 et ainsi

s⁻¹σ⁰⁰s(T^1/n) =s⁻¹_n unsnT^1/n=T^1/n Par ailleurs, on a

s⁻¹µ⁰⁰s(T^1/n) =s⁻¹_n snT^1/nβ^N/n(s⁻¹_N T^1/N)

Pour finir la preuve du th´eor`eme, nous avons besoin du lemme suivant : Lemme 15.— Soitc ∈G_K une involution etα∈Ω(c,1). Il existeβ ∈1 +M_K tel que β⁽⁻¹⁾∗α∗β= 1.

Preuve du lemme : La conditionα∈Ω(c,1) est ´equivalente `a α∗α= 1. Etant donn´eα, β∈1 +M_K, disons

α(T) = a₀+a₁T+a₂T²+· · · (a₀= 1) β(T) = b₀+b₁T+b₂T²+· · · (b₀= 1) on a

β(T α(T)) = 1 +X

n≥1

bnTⁿ



 X

k≥0

akT^k





n

= 1 +X

n≥1

b_nTⁿ



 X

k≥0

X

i1+···+in=k

a_i1· · ·a_ik

! T^k





= 1 +X

n≥1

X

k≥0

bn

X

i1+···+in=k

ai₁· · ·ai_k

! T^n+k

= 1 + X

m≥1





m−1

X

k=0

b_m−k X

i1+···+im−k=k

ai₁· · ·aim−k



T^m

= X

m≥0

λmT^m (λ0= 1) et, compte tenu du fait que

α(T).β(T α(T)) =X

n≥0 n

X

m=0

λ_ma_n−m

! Tⁿ