Économétrie II

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Économétrie II

L3 Économétrie – L3 MASS

Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2 Année 2014-2015

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Rappel

1. E(✏t) =08t :espérance nulle

2. Xvar(✏t) = ²8t :Homoscédasticité

3. Xcov(✏t,✏_s) =08t 6=s :Pas d’auto-corrélation 4. XE(✏txt) =08t :Exogénéité

5. XLa matrice X est de plein rang :Pas de multicolinéarité 6. Le modèle est correctement spécifié

7. La variable dépendante Y est continue

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Ch. 6. Spécification

Table des matières

Ch. 6. Spécification Formes fonctionnelles Tests

Régresseurs omis ou superflus Sélection de régresseur

E(✏)6=0 & rôle de la constante

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Introduction

I 2 aspects : Régresseurs – Coeﬃcients

I Forme fonctionnelle

I Quels régresseurs faut-il inclure dans le modèle ?

I Sous quelle forme (linéaire, polynomiale, logarithmique...) ?

I Manque t-il des régresseurs ? Y en a t-il de trop ? Faut-il inclure une constante ?

I Quelles conséquences ?

I Le modèle est-il eﬀectivement linéaire en les coeﬃcients ?

I Les coeﬃcients sont-il stochastiques ?

I Non traité sauf erreurs de mesure en Ch 5

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Ch. 6. Spécification Formes fonctionnelles

Table des matières

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Quelle forme fonctionnelle ?

I Une régression linéaire (en les coeﬃcients) peut donner de

“bons” résultats même si la relation sous-jacente est non linéaire

I Approximation locale – théorème de Taylor

I Si le modèle estY =F(X, ) +✏par exemple,

I On peut l’approximer parY ⇡ 0+ 1X+ 2X²+RoùRest leRestede Taylor, qui se trouvera dans le terme d’erreur✏

I C’est surtout pour des variables expliquées discontinues que le modèle doit vraiment être non-linéaire

I Une infinité de formes fonctionnelle est envisageable :

I Logarithmes sur les variables expliquées ou explicatives

I Formes quadratiques sur les régresseurs

I Interactions entre régresseurs

I . . .

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Ch. 6. Spécification Formes fonctionnelles

Forme fonctionnelle : approche interprétative vs. test

I Interprétative

I Que dit la théorie économique ?

I Nature de la relation connue (exponentielle, linéaire. . . ) ?

I Concavité / convexité attendue ?

I Quelle interprétation peut-on dériver des résultats ?

I y=↵1+ 1x

I y=↵₂+ 2x+ 2x²

I y=↵3+ 3x1+ 3x2+ 3x1x2 I y=↵4+ 4ln(x)

I ln(y) =↵5+ 5ln(x)

I ... interprétation de @y

@x, @y

@x1, élasticités...

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Table des matières

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Ch. 6. Spécification Tests

Test 1 : significativité

I Tester l’inclusion de termes quadratiques ou de termes croisés par des tests sur la significativité des coeﬃcients associés

I t-tests, F-tests

I Rapidement contraignant de tester toutes les combinaisons possibles

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Exemple : prix immobilier

I Données hprice1.gdtde Wooldridge dans Gretl

I 88 prix de ventes déclarés de maisons, 1990, Boston

I price= p =prix de vente

I lotsize= s =surface de la propriété

I sqrft= h = surface habitable

I bedrooms= c = nombre dechambres

I p = ₀+ ₁s+ ₂h+ ₃c+✏ ou bien

I p = ₀+ ₁s+ ₁₂s²+ ₂h+ ₂₂h²+ ₃c+µ

I Test H₀ : ₁₂= ₂₂=0

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Exécution dans Gretl

I Menu “ajouter” “carrés des variables sélectionnées”

I Menu MCO p= ₀+ ₁s+ ₁₂s²+ ₂h+ ₂₂h²+ ₃c+µ

I Post-estimation : “Tests” “Omission de variables” : mettres² et h²

I Test Wald : F(2, 82) = 14.5 ; p. valeurt4e-06

I Donc RH₀: ₁₂= ₂₂=0

I Les carrés sont significatifs : manquaient dans la forme linéaire ?

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Test 2 : Le test de Ramsey : RESET

I Idée simplificatrice : Au lieu d’inclure toutes les spécifications possibles des régresseurs, tester significativité de fonctionsde la variable ajustée yˆ

I Eﬀet « combiné » desX

I Procédure en 4 étapes

1. Estimation de la forme linéaire :y = ₀+ ₁x₁+...+ _kx_k+✏ 2. Valeurs ajustées :yˆ

3. Estimation de :y = ₀+ ₁x₁+...+ kxk+ ₁yˆ²+ ₂yˆ³+⌫ 4. Test deH₀: ₁= ₂=0 ; test de FisherF⇠F_{2.n k} ₃

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Exemple Gretl : prix immobilier

I Mêmes données que dans l’exemple précédent

I Ramsey “à la main”

I Estimerp= ₀+ ₁s+ ₂h+ ₃c+✏

I pˆ= ˆ₀+ ˆ₁s+ ˆ₂h+ ˆ₃c

I Post-estimation : “sauvegarder” “valeurs ajustées”

I Créer le carré de yhat puis le cube

I “définir une nouvelle variable” : Cube_yhat=yhat^3

I Estimerp= ₀+ ₁s+ ₂h+ ₃c+ ₁pˆ²+ ₂pˆ³+⌫

I Les coef. de ce modèle ne sont pas interprétables

I TesterH₀: ₁= ₂=0

I R hypothèse : F(2, 82) = 4.67, avec p. valeur = 0.012

I 9variabilité danspqui n’est pas expliquée par les variables incluses mais pourrait l’être par leurs carrés/cubes

I Ramsey en post estimation : “tests”

I Résultats identiques

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Test 3 : Alternatives non-imbriquées/anidées/emboîtées

I Deux cas polaires

1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles6=

I Par ex. :y= ₀+ ₁x₁+...+ _kx_k +✏

I Contre :y = ₀+ ₁lnx₁+...+ _klnx_k+⌫ 2. Mêmes formes fonctionnelles mais régresseurs6=

I Par ex. A :y=X +✏

I Contre B :y =Z +⌫

I avecXTZ 6=Ø(pas nécessairement vide mais peut être vide)

I 2 approches

I Minzon & Richard :Principe “englobant”

I Davidson & MacKinnon :Prédiction

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1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6 =

Approche Minzon & Richard : Modèle englobant

I Estimation d’un modèle complet incluant toutes les formes fonctionnelles des explicatives (possiblement sans

interprétation)

I y = ₀+ ₁x₁+...+ _kx_k + ₁lnx₁+...+ _klnx_k +µ

I On teste2 hypothèses nulles (test F par ex.)

I H0X : 1=...= k=0

I H0lnX: 1=...= k=0

I Si on RH_0X mais pasH_0lnX alors le modèle en ln estvalidé par rapport au modèle en niveau

I Nombre important de coef. à estimer

I Multicolinéarité (forte corrélation xm et lnxm)

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1. Mêmes régresseurs mais formes fonctionnelles 6 =

Approche Davidson & MacKinnon : Prédiction

I Si y= ₀+ ₁x₁+...+ kxk +✏est la bonne spécification

I et doncy= ₀+ ₁lnx₁+...+ _klnx_k+⌫ la mauvaise

I Alors yˆ= ˆ₀+ ˆ₁lnx₁+...+ ˆklnxk ne doit pas être significative dansy = ₀+ ₁x₁+...+ kxk +↵yˆ+✏

I Si↵n’est pas significatif, le modèle en niveau estvalidé par rapport au modèle en ln

I S’il est significatif, on ne peut conclure

I On procède pareillement avec l’autre modèle

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2. Mêmes formes fonctionnelles mais régresseurs 6 =

Approche Minzon & Richard : Modèle englobant

I Soit X₂ les régresseurs présents dans Ay =X +✏mais pas dans B y=Z +⌫

I Soit Z₂ les régresseurs présents dans B mais pas dans A

I On estime lemodèle englobant selon B: Y =Z +X_{2 2}+⌫₂

I On testeH0: 2=0 (test enz)

I Si 2 n’est pas significativement6=0, alors A n’apporte rien de plus que B

I On dit que B est englobant par rapport à A

I Ce quivalide B

I On teste pareillement le modèle englobant selon A : Y =X +Z_{2 2}+✏₂

I Mêmes remarques que pour le cas polaire 1

I Beaucoup de coef., multicolinéarité

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Interprétation des tests de spécification

I Il est possible qu’aucune des deux spécifications n’apparaisse dominer l’autre :

I Les deux spécifications sont rejetées

I Significativité des coeﬃcients pour les deux alternatives dans le test de Davidson et MacKinnon

I H0: 1=...= k=0 etH0: 1=...= k=0 sont acceptées dans le test de Minzon et Richard

I Nécessité de spécifier un modèle plus complet

I Les deux sont acceptées

I Les deux spécifications sont « également » acceptables.

I On peut comparer les valeurs desR² pour choisir la spécification.

I Les données sont “trop molles” pour pouvoir trancher (si tant est qu’il faut trancher)

I Rejeter une spécification contre une autre ne signifie pas que la deuxième est la « bonne »

I Elle pourrait être rejetée contre une troisième

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Exemple Davidson & MacKinnon : prix immobiliers

I Mêmes données que dans l’exemple précédent

I Estimer (par exemple) modèle A : lnp = ₀+ ₁s+ ₂h+ ₃c+✏

I Prédire “in-sample” lnˆp= ˆ₀+ ˆ₁s+ ˆ₂h+ ˆ₃c via Post-estimation : “sauvegarder” “valeurs ajustées”

I Estimer modèle B : lnp= ₀+ ₁lns+ ₂lnh+ ₃lnc+µ et prédire de façon semblable, on note la prédiction ln˜p (avec un tilde)

I Tests de validation

I Estimer modèle A avecln˜p:

lnp= ₀+ ₁s+ ₂h+ ₃c+↵1ln˜p+✏

I Si↵₁ n’est pas significatif, le modèle A est validé

I Estimer modèle B aveclnˆp:

lnp= ₀+ ₁lns+ ₂lnh+ ₃lnc+↵₂lnˆp+✏

I Si↵2 n’est pas significatif, le modèle B est validé

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Table des matières

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Régresseurs omis ou superflus

Régresseur omis (hétérogéneité)

I Modèle correctement spécifié Y = ₀+ ₁x₁+ ₂x₂+✏

I Modèle estiméY = ₀+ ₁x₁+⌫

I Alors l’eﬀet du régresseur manquant se retrouve dans l’erreur du modèle estimé : ⌫= ₂x₂+✏

1. Régresseur manquant n’est corrélé avecaucun régresseur présent

I Hétéroscédasticité vraisemblablement si var(x_2t)6=var(x_2s),t6=s

I Peut-être autocorrélation sicorr(x_2t,x_2s)6=0,t 6=s

I Terme d’erreur n’a plus une espérance nulle : ci-dessous

2. Régresseur manquant estcorrélé à un régresseur présent

I Alors, en plus des problèmes ci-dessus :inconsistance

I Exemple de régresseur manquant avec & sans endogénéité : fichier tableur Regr manquant.ods

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Régresseur superflu

I Si le modèle correctement spécifié estY = ₀+ ₁x₁+⌫

I Mais que le modèle estimé estY = ₀+ ₁x₁+ ₂x₂+✏

I Si le modèle Y = ₀+ ₁x₁+⌫ était correctement spécifié au départ, le terme d’erreur est un bruit blanc

I ⌫= ₂x₂+✏,⌫ bruit blanc, comme 2=0,✏est aussi un bruit blanc

I En particulier, il n’est pas corrélé (avec quoi que ce soit)

I DoncE⇣ ˆ₂⌘

=0

I Mais si corrélation(x1,x₂)6=0, alors il peut apparaître de la multicolinéarité, qui induit une perte de significativité de tous les régresseurs (1er semestre)

I Exemple fichier tableur Regr manquant.ods

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Régresseurs omis ou superflus

Étendue du problème

I Inhérent à toute analyse économétrique

I Certains régresseurs sont inobservables ou diﬃcilement mesurables

I dynamisme, charisme, capital social d’un individu, esprit d’équipe dans une entreprise . . .

I Certains régresseurs sont indisponibles

I questions non posées, réponses biaisées sur des sujets sensibles . . .

I Il faut bien rester conscient que certaines variables peuvent capter des eﬀets plus larges “confondants” que ce pourquoi elles sont incluses dans le modèle

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Table des matières

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Ch. 6. Spécification Sélection de régresseur

Sélection de régresseur

I En pratique, quel est l’ensemble des régresseurs pertinents ?

I La théorie n’aide pas toujours car se concentre sur quelques régresseurs

I p.e. équation de demande d’un bien

I devrait dépendre du prix et du revenu de l’acheteur,

I peut aussi dépendre d’autres caractéristiques du bien (packaging, marketing...) ou de l’acheteur (profil sociologique)...

I Sélection successiveforward step : intégrer régresseurs 1 à 1

I Dans beaucoup de logiciels

I À exclure car statistiquement incorrect

I Les régressions antérieures peuvent présenter de

l’inconsistance suite à l’absence de regresseurs pertinents

I Les tests eﬀectués dans la régressions sont conditionnels aux décisions prises sur les régressions antérieures

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Méthodologie la plus couramment admise

I Partir d’un ensemble général de régresseurs sur base d’arguments économiques / théoriques / intuitifs mais pas statistiques

I Éviter multicolinéarité

I Éviter data mining (inclusion de régresseurs sur base d’erreurs de type I ou faux positifs)

I Enlever des régresseurs non significatifs si on juge le modèle trop complexe ou trop colinéaire

I Mais pas une obligation : intéressant de montrer la non-significativité

I Utiliser le test de Wald / F (nullité de plusieurs coeﬃcients) et le test des modèles non-emboîtés

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Table des matières

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E (✏) 6 = 0

I Ne peut être détecté car Xn i=1

ˆ

✏=0 dès que le modèle comporte une constante (sans preuve)

I Nature du problème

I 8✏on peut écrire✏=a+µ, avecE(µ) =0

I doncY = ₀+ ₁X +✏= ₀+ ₁X+a+µ= + ₁X +µ

I ˆ biaisé & inconsistant pour 0 et/oua : problème d’identification

I Pas d’eﬀet sur autres coeﬃcients

I Sauf si E(✏)6=0 à cause de l’omission d’un régresseur

I Dans ce cas, si le régresseur omis est corrélé aux régresseurs présents...

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Flexibilité & rôle de la constante

I Sans point autour du zéro, l’intercept est estimé avec une variance importante

I QueE(✏)soit=0 ou non n’a alors guère d’importance

I 0 alors paramètre de flexibilité : permet que la pente s’ajuste

I Pour cette raison, en général on inclut une constante, même non significative, dans tout modèle