LES PUISSANCES I.

LES PUISSANCES

I. Puissances d’un nombre.

1. Définition : puissance d’exposant positif

a est un nombre relatif (donc positif ou négatif).

n est un nombre entier.

 ...

facteur

n s

a a a a    a a an .

a

 a¹  a.

 a⁰ 1

Exemples :

 3 3 3 3 3 3 3      ⁶.

 1955⁰ 1.

 2004¹ 2004.

2. Propriétés.

On considére deux nombres relatifs a et b non nuls.

et on considère deux nombres entiers m,n :

 a^m aⁿ  a^{m n} .

 a^m_n ^{m n} a a

  .

 ^{an  bn}







n n

n

a a

b b

  

   

 (a^m)ⁿ a^{m n} .

Exemples : regarder l’activité

3. Définition : puissance d’exposant négatif.



1

n

a

a





 ¹

1

1 1

a a a



 

Exemples :

 ⁴ 1₄

3 3

 

 2 ^{1 1} 2

  .



8 8 15 7

15 7

6 1

6 6

6 6



   



32 32 ( 6) 38 6

5 5 5

5



   



6 6 ( 4) 2

4 2

13 1

13 13

13 13

   

    

Remarque importante

Si le nombre a est positif, a^nsera toujours positif.

4. Règle de priorité.

 En l’absence de parenthèses, on calcule les puissances avant d’effectuer les autres opérations.

 En présence de parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses

Exemples 6 42 5 6 16 5 96 5 101 A

A A A

  

  

 



2

2

4 (3 2) 4 5

4 25 100 B

B B B

  

 

 



II. Puissances de 10.

1. Propriété.

 10ⁿ 100000...0000

nzéros

 .

 10 ⁿ 0,0000...01

nzéros

  

Exemple :

 10⁵ 100000.

 10^3  0,001.

 Attention

4

 0,00004

13

 1300000

III. Ecriture ou notation scientifique.

1. Définition.(exercice 49,53,55 page 137)

L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme : A   a 10

Où « a » est un nombre décimal compris entre 1 et 10 : 1   a 10 ^.

Autrement dit il n’y a qu’un seul chiffre (non nul) à gauche de la virgule.

Et p est un nombre entier relatif (donc il peut être positif ou négatif)

Exemple

2. Utilité de la notation scientifique.

La notation scientifique a pour but de comparer les grands nombres ainsi que les petits nombres.

Méthode :

Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare les exposants des puissances de 10 :

 Si ces exposants sont differents, alors le plus grand nombre est celui qui a le plus grand exposant.

 Si ces exposants sont égaux, alors le plus grand nombre est celui qui a le plus grand nombre compris entre 1et 10 de son ecriture scientifique.

Autrement dit :

On considère deux nombres A et B en notation scientifique : 10ⁿ

A a et B  b 10^m.

 Si nm alors A B.

 Si nm et a b alors A B.