Comment faire pour ?

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Comment faire pour ?

FONCTIONS

1) Étudier le sens de variation d’une fonction sur un intervalle – Vérifier que 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et calculer 𝑓′(𝑥) et étudier son signe.

2) Étudier le signe d’une fonction 𝒇′(𝒙) :

• cas 1 : le signe de 𝑓′(𝑥) est très simple à étudier, par simples résultats d’inégalités.

• cas 2 : le signe de 𝑓′(𝑥) est la succession d’un tableau de signes où les signes des quantités sont simples.

• cas 3 : on est devant un problème plus complexe et on doit raisonner par équivalence pour arriver à un problème plus simple.

• cas 4 : il faut dériver une nouvelle fonction 𝑔 pour déterminer le signe puis chercher la ou les solution(s) à 𝑔^′(𝑥) = 0 (on appelle cette fonction 𝑔 une fonction auxiliaire…).

3) Déterminer l’équation de la tangente à une courbe au point d’abscisse 𝒂 : 𝑦 = 𝑓^′(𝑥)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).

4) Déterminer le(s) point(s) d’intersection de deux courbes C 𝒇 et C 𝒈 – les abscisses des points d’intersection sont les solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

5) Déterminer la position relative de deux courbes C 𝒇 et C 𝒈 – on étudie le signe de 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥).

6) Montrer que l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 admet une unique solution sur [𝒂 ; 𝒃] – on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) en vérifiant bien : • la continuité de la fonction 𝑓 • la stricte monotonie • bien vérifier que 𝑘 appartient à l’intervalle image (attention aux limites) • ne pas oublier le nom du théorème.

7) Déterminer l’existence d’asymptotes – déterminer la limite de la fonction à l’infini ou en la valeur interdite : • limite infinie en un nombre fini : asymptote verticale • limite finie en +∞ ou −∞ : asymptote horizontale.

8) Déterminer la limite d’une fonction composée – penser à 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑏 et 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑏𝑓(𝑥) = 𝑐 donc 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑐.

9) Utiliser les théorèmes de comparaison ou d’encadrement – quand on a un encadrement par deux fonctions qui ont la même limite ou deux suites qui convergent vers la même limite, on utilise le théorème des gendarmes – si on est dans le cas d’une limite infinie ou divergence pour les suites, une seule inégalité suffit.

10) Lever une indétermination sur les limites - • dans de nombreux cas, la factorisation par le terme de plus haut degré et la simplification constituent une très bonne méthode • avec exp, utiliser la croissance comparée 𝑥𝑒^𝑥 en −∞ ou ^𝑒^𝑥

𝑥 en +∞ • avec ln, utiliser la croissance comparée 𝑥 ln 𝑥 en 0 ou ^{ln 𝑥}

𝑥 en +∞.

11) Étudier la dérivabilité sur un intervalle – repérer les opérations et les fonctions usuelles qui interviennent.

12) Résoudre des équations ou inéquations avec exp ou ln – faire attention à l’ensemble de définition de celles-ci quand il y a du ln, et citer la stricte croissance de ln ou exp quand c’est nécessaire.

13) Pour transformer des écritures comportant des exp – on utilise exp(𝑎 + 𝑏) = exp(𝑎) + exp(𝑏) ou exp(𝑎 − 𝑏) =^exp(𝑎)

exp(𝑏) ou (exp 𝑎)^𝑛 = exp(𝑛𝑎),…

14) Pour transformer des écritures comportant des ln – on utilise pour 𝑎 et 𝑏 positifs ln 𝑎 + ln 𝑏 = ln(𝑎𝑏) ou ln 𝑎 − ln 𝑏 = ln (^𝑎

𝑏) ou (ln 𝑎)^𝑛 = 𝑛 ln 𝑎, …

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2 SUITES

1) Démontrer par récurrence – poser la propriété puis • Initialisation : vérifier la propriété au premier rang (souvent 1 ou 0) • Hérédité : on suppose que pour un entier quelconque choisie la propriété est vraie au rang 𝑛 et on cherche à démontrer au rang 𝑛 + 1 • Conclusion : Initialisation + Hérédité on peut conclure que la propriété est vraie pour tout entier 𝑛 (attention aux quantificateurs).

2) • Démontrer qu’une suite (𝒖_𝒏) est arithmétique – pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛+ 𝑟 et on calcule 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛 = ⋯ = 𝑟 ou 𝑢_𝑛+1 = ⋯ = 𝑢_𝑛+ 𝑟.

• Démontrer qu’une suite (𝒗_𝒏) est géométrique – pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣_𝑛+1 = 𝑣_𝑛× 𝑞 et on calcule ^𝑣^𝑛+1

𝑣_𝑛 = ⋯ = 𝑞 ou 𝑣_𝑛+1 = ⋯ = 𝑣_𝑛× 𝑞.

3) Démontrer qu’une suite n’est ni arithmétique, ni géométrique – on utilise un contre-exemple pour montrer que 𝑢_𝑘+1− 𝑢_𝑘≠ 𝑢_𝑘+2− 𝑢_𝑘+1 et ^𝑢^𝑘+1

𝑢𝑘 ≠^𝑢^𝑘+2

𝑢𝑘+1.

4) • Si (𝒖_𝒏) est une suite arithmétique de premier terme 𝒖_𝟎 et de raison r alors pour tout 𝑛 ∈ ℕ 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝟎+ 𝒏𝒓.

• Si (𝒗_𝒏) est une suite géométrique de premier terme 𝒗_𝟎 et de raison q alors pour tout 𝑛 ∈ ℕ 𝒗_𝒏 = 𝒗_𝟎× 𝒒^𝒏.

• Si le premier terme est 𝒖_𝟏 𝒐𝒖 𝒗_𝟏 : 𝑢_𝑛 = 𝑢₁+ (𝑛 − 1)𝑟 et 𝑣_𝑛 = 𝑣₁× 𝑞^𝑛−1.

5) Étudier le sens de variation d’une suite – on étudie le signe de 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛.

6) • Démontrer la convergence d’une suite – soit on peut calculer facilement la limite, sinon on utilise le théorème de convergence monotone (décroissante minorée ou croissante majorée).

• Démontrer la divergence d’une suite – on peut chercher à démontrer que la suite est croissante et non majorée ou décroissante et non minorée.

7) Représenter les termes successifs d’une suite récurrente sur un graphe – on trace le graphe de la fonction 𝑓 qui intervient dans la

relation 𝑢_𝑛+1 = 𝑓(𝑢_𝑛) et la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 pour faire apparaitre une figure qui a la forme d’un escalier si 𝑓 croit et d’un escargot si 𝑓 décroit.

8) Utiliser la calculatrice pour calculer 𝒖_{𝟐𝟎𝟏𝟗} pour une suite récurrente – je vous rappelle que vous devez être capable d’utiliser la calculatrice pour calculer n’importe quel terme d’une suite…

9) Démontrer qu’une suite est majorée ou minorée – utiliser des inégalités simples ou utiliser un raisonnement par récurrence.

INTÉGRATION

1) Déterminer une primitive – utiliser les tableaux du cours ou pour vérifier qu’une fonction est bien une primitive, il suffit de la dériver et de montrer qu’on obtient bien la fonction attendue.

2) Calculer l’intégrale de 𝒂 à 𝒃 de 𝒇 – calculer la différence 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) où 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur [𝑎 ; 𝑏].

3) Calculer l’aire d’une partie du plan – utiliser le fait que, pour une fonction continue positive sur [𝑎 ; 𝑏], l’aire délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 . L’aire entre deux courbes C 𝒇 et C 𝒈 où 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) sur [𝑎 ; 𝑏] est l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 : ∫ [𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)]_𝒂^𝒃 𝒅𝒙. (penser à bien insister sur le fait qu’une des deux courbes est au-dessus de l’autre).

4) Démontrer des encadrements avec les intégrales – utiliser des encadrements sur les fonctions puis les règles sur l’ordre et les intégrales en vérifiant bien que la borne inférieure est plus petite que la borne supérieure.

5) Étudier une fonction définie par une intégrale – on doit utiliser le fait que ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡_𝑎^𝑥 a pour dérivée 𝑓(𝑥).

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3 Les NOMBRES COMPLEXES

1) Passer d’une forme à l’autre (algébrique, trigonométrique ou exponentielle) – pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on développe simplement. Dans l’autre sens, on calcule le module, on factorise par celui-ci dans la forme algébrique et on fait apparaitre les cos et sin.

2) • Démontrer que z est réel – on montre que 𝐼𝑚(𝑧) = 0 ou on prouve que arg(𝑧) = 0 [𝜋] (donc 0 ou 𝜋 modulo 2 𝜋).

• Démontrer que 𝒛 est un imaginaire pur – on montre que 𝑅𝑒(𝑧) = 0 ou on prouve que arg(𝑧) =^𝜋

2 [𝜋] (donc ^𝜋

2 ou −^𝜋

2 modulo 2 𝜋).

3) Démontrer que 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 – on montre que |𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴| = |𝑧_𝐶− 𝑧_𝐴|.

4) Démontrer que 𝑨, 𝑩 𝒆𝒕 𝑪 sont alignés – on montre que 𝑧_𝐴𝐵_{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} = 𝑘 𝑧_𝐴𝐶_{⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

ou arg (^𝑧^𝐵^−𝑧^𝐴

𝑧_𝐶−𝑧_𝐴) = 0 [𝜋].

5) Démontrer que les droites (𝑨𝑩) et (𝑨𝑪) sont perpendiculaires – on montre que 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ou arg (^𝑧^𝐵^−𝑧^𝐴

𝑧_𝐶−𝑧_𝐴) =^𝜋

2 [𝜋].

6) Déterminer l’affixe du milieu d’un segment [𝑨𝑩] – utiliser la formule ^𝑧^𝐴^+𝑧^𝐵

2 .

7) Démontrer que 𝑨𝑩𝑪 est rectangle ou rectangle isocèle en 𝑨 – on pourrait le montrer avec la réciproque du théorème de Pythagore et le calcul des longueurs, mais il est préférable d’utiliser le 5) ou le 3)…

8) Pour montrer que 𝑨𝑩𝑪 est un triangle équilatéral – on peut calculer les 3 longueurs avec l’égalité des 3 modules ou on peut montrer que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 et on a un angle de ^𝜋

3 rad soit

|𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴| = |𝑧_𝐶− 𝑧_𝐴| ou arg (^𝑧^𝐵^−𝑧^𝐴

𝑧_𝐶−𝑧_𝐴) = +𝑜𝑢 −^𝜋

3 [2𝜋].

9) L’ensemble des points 𝑴(𝒛) tels que |𝒛 − 𝒛_𝑨| = 𝒌 avec 𝒌 > 𝟎 est le cercle de centre 𝐴 et de rayon 𝑘.

10) L’ensemble des points 𝑴(𝒛) tels que |𝒛 − 𝒛_𝑨| = |𝒛 − 𝒛_𝑩| est la médiatrice du segment [𝐴𝐵].

La GÉOMÉTRIE Dans L’ESPACE

1) Déterminer une équation cartésienne de plan – on utilise un vecteur normal au plan P et un point.

2) Déterminer une représentation paramétrique de droite – on utilise un vecteur directeur 𝑢⃗ de D et un point. Les coefficients du paramètre de D sont les coordonnées de 𝑢⃗ et les autres coefficients sont les coordonnées du point choisi.

3) Donner une représentation paramétrique du plan – on utilise deux vecteurs directeurs non colinéaires de P et un point.

4) Démontrer que deux plans sont perpendiculaires – On démontre que 𝑛⃗ et 𝑛′⃗⃗⃗ vecteurs normaux respectifs de P et P’ ’ sont orthogonaux (𝑛⃗ . 𝑛′⃗⃗⃗ = 0).

5) Démontrer que deux droites sont orthogonales – on utilise deux vecteurs directeurs des droites (𝑑) et (𝑑^′) et on montre qu’ils sont orthogonaux.

6) Démontrer que deux plans sont parallèles – on utilise deux vecteurs normaux des plans P et P’ ’ et on montre qu’ils sont colinéaires.

7) Déterminer l’intersection de deux plans – on teste la colinéarité de deux vecteurs normaux et s’ils ne sont pas colinéaires, on résout le système formé par les deux équations et on obtient une représentation paramétrique de droite en prenant par exemple 𝑧 = 𝑡 comme paramètre.

8) Démontrer que deux droites sont parallèles – on utilise deux vecteurs directeurs des droites (𝑑) et (𝑑^′) et on montre qu’ils sont colinéaires.

9) Déterminer l’intersection de deux droites – on teste la colinéarité des deux vecteurs directeurs et s’ils ne sont pas colinéaires, on résout le système formé par les deux équations, on égalise les deux « 𝑥 » ;

« 𝑦 » et « 𝑧 ». On résout et on trouve 𝑡 et 𝑡′, chacun unique. On remplace dans la représentation paramétrique 𝑡 ou 𝑡′ par la valeur trouvée et on trouve les coordonnées du point d’intersection.

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4 10) Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan – on utilise un

vecteur directeur de (𝑑) et un vecteur normal de P • s’ils sont orthogonaux, (𝑑) // P • s’ils ne sont pas orthogonaux, alors on résout le système formé par les 4 équations, on remplace « 𝑥 » ; « 𝑦 » et

« 𝑧 » par leur expression avec le paramètre dans l’équation de P, on trouve 𝑡 puis les coordonnées en remplaçant la valeur de 𝑡 trouvée dans la représentation paramétrique de (𝑑).

11) Démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan – on cherche à savoir si un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal au plan.

12) Démontrer qu’un plan est un plan médiateur de [𝑨𝑩] – on démontre que ce plan est formé des points 𝑀 vérifiant 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀 (il suffit de vérifier pour trois points si on a 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 ; 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 et 𝐴𝐸 = 𝐵𝐸 alors (𝐶𝐷𝐸) est plan médiateur de [𝐴𝐵]).

Les PROBABILITÉS

1) Utiliser les probabilités conditionnelles – dans un contexte d’arbre de probabilités ou d’informations dans le texte relatives à des sous- parties (parmi les gens qui vérifient 𝐵, 30 % vérifient 𝐴), on parle de 𝑝_𝐵(𝐴) (sur l’exemple : 𝑝_𝐵(𝐴) = 0,3).

2) Démontrer l’indépendance de deux évènements - 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝(𝐵) ou 𝑝_𝐵(𝐴) = 𝑝(𝐴), (𝐵 n’apporte aucun changement).

3) Avec les probabilités conditionnelles - 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝_𝐵(𝐴) × 𝑝(𝐵) et la règle : la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui y mènent.

4) • Reconnaitre la loi binomiale et l’appliquer – on vérifie qu’il y a répétitions indépendantes 𝑛 fois d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝. Alors la variable aléatoire qui compte les succès suit la loi binomiale B (𝑛 ; 𝑝).

• Calculer l’espérance d’une loi binomiale - 𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑.

5) Densité et espérance d’une loi uniforme sur [𝒂 ; 𝒃] - 𝑓(𝑡) = ¹

𝑏−𝑎 et 𝐸(𝑋) =^𝑎+𝑏

2 .

6) • Densité et espérance d’une loi exponentielle – 𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒^−𝜆𝑡 sur [0 ; +∞[ et 𝐸(𝑋) =¹

𝜆.

• Durée de vie sans vieillissement – pour tout 𝑡 > 0 et ℎ > 0 on a 𝑝_𝑋≥𝑡(𝑋 ≥ 𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑋 ≥ ℎ).

7) Pour 𝑿 suivant une loi N (𝝁 ; 𝝈^𝟐) :

• calculer 𝑝(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏), 𝑝(𝑋 ≥ 𝑎) 𝑒𝑡 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎) utiliser Ncd sur la calculatrice.

• calculer 𝑘 tel que 𝑝(𝑋 ≤ 𝑘) = 𝑐, 𝑝(𝑋 ≥ 𝑘) = 𝑐, ou 𝑝(−𝑘 ≤ 𝑋 ≤ 𝑘) = 𝑐 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢) utiliser InvNorm.

• Se souvenir que 𝑝(−𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎) = 2 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎) − 1.

• Déterminer 𝝁 ou 𝝈 à partir d’un résultat de probabilité – il faut effectuer un changement de variable aléatoire : si 𝑋 suit la loi normale N (𝝁 ; 𝝈^𝟐), on considère la loi 𝑍 qui suit la loi N (𝟎 ; 𝟏) centrée réduite, 𝑍 =^𝑋−𝜇

𝜎 et chercher à se ramener à la fonction de répartition de la loi N (𝟎 ; 𝟏) pour résoudre un problème du type 𝑝(𝑋 ≤ 𝑘) = 𝑐 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢).

8) • Connaitre les conditions d’utilisation de l’intervalle de fluctuation asymptotique - 𝑛 ≥ 30 ; 𝑛𝑝 ≥ 5 𝑒𝑡 𝑛(1 − 𝑝) ≥ 5.

• Connaitre les conditions d’utilisation de l’intervalle de confiance au seuil de 𝟗𝟓 % - 𝑛 ≥ 30 ; 𝑛𝑝 ≥ 5 𝑒𝑡 𝑛(1 − 𝑝) ≥ 5.

9) Prendre une décision à partir de la connaissance d’un échantillon - • si la fréquence de l’échantillon est dans l’intervalle de fluctuation asymptotique, on ne rejette pas l’hypothèse que 𝑝 est la proportion de la population, on dit alors qu’on « accepte l’hypothèse » - • Si la fréquence de l’échantillon n’est pas dans l’intervalle de fluctuation asymptotique, on rejette l’hypothèse que 𝑝 est la proportion de la population.