COMPORTEMENT NON - LINEAIRE EN FLEXION D'UN POTEAU EN BETON ARME GENERATION DE SIGNAUX ALEATOIRES

(1)

FR9906449

Université d'Evry Val d'essonne

Institut National Des Sciences et Techniques Nucléaires Commissariat à L'énergie Atomique

D.E.A ' Solides, Structures et Systèmes Mécaniques' Option IV : Dynamique Des Structures

RAPPORT DE STAGE

COMPORTEMENT NON - LINEAIRE EN FLEXION D'UN POTEAU EN BETON ARME

GENERATION DE SIGNAUX ALEATOIRES

Responsables De Stage : René-Jean GIBERT Rapport Présenté Par :

Didier BROCHARD Ali CHACHOUA

Laboratoire D'accueil: Centre D'études Mécaniques d'ILE de France(C.E.M.I.F).

JUILLET 1999

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REMERCIEMENTS :

Mes Remerciements à Monsieur René-Jean GIBERT, directeur du C.E.M.I.F et professeur à L' I.N.S.T.N , pour m'avoir accueilli dans son laboratoire à l'université d'EVRY.

Je remercie également Monsieur Didier BROCHARD pour toute l'aide qu'il m'a apporté pour réaliser ce travail.

11

(3)

SOMMAIRE

pages

0- INTRODUCTION 1 0-1 PRESENTATION GENERALE

0-2 CONTENU DE L'ETUDE .

1- LE BETON ARME. 2 2- LOI DE COMPORTEMENT D'UN POTEAU EN BETON ARME 4

SOUS CHARGEMENT ALEATOIRE.

2-1 ETABLISSEMENT DELA LOI (FORCE - DEPLACEMENT) 4 2-2 PROCEDURE DE CALCUL NON LINEAIRE EN FLEXION 6

3- MODELISATION DE LA SOURCE D'EXCITATION SISMIQUE. 13 3-1 ACTIONS SISMIQUES.

3-2 DONNEES ET SPECTRE DE REPONSE DE L'OSCILLATEUR. 14 3-3 GENERATION DE SIGNAUX ALEATOIRES. 16 3-3-1 GENERATION DE SIGNAUX IMPULSIONNELS. 19 3-3-2 GENERATION DE SIGNAUX BRUIT BLANC . 22

- CONCLUSION

- RESULTATS - ANNEXE

- BIBLIOGRAPHIE

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0- INTRODUCTION :

0-1 PRESENTATION GENERALE :

Le parasismique est le domaine privilégié où se manifeste l'intérêt pour le comportement cyclique des structures en béton armé sous des sollicitations de haut niveau jusqu'à rupture . Les modèles de comportement sont intéressants car ils permettent de réaliser des simulations numériques qui sont utilisées, soit pour la justification du

dimensionnement de structures particulières , soit pour élargir par des études paramétriques les conclusions tirées des expérimentations .

Les spécificités essentielles du matériau béton sont la non- linéarité de la relation contraintes - déformations , le développement de fissures entraînant une perte de raideur et l'apparition de déformations plastiques ou résiduelles . Les armatures utilisées dans les structures courantes suivent un comportement élastique avec un plateau plastique . Les objectifs de cette étude sont :

- d'une part de choisir la modélisation la plus adéquate du comportement non linéaire (essentiellement le béton ), sous un chargement aléatoire .

- d'autre part de s'intéresser à la modélisation de la source d'excitation sismique , et plus particulièrement aux modèles fondés sur l'utilisation de signaux impulssionnels et bruit blanc .

0-2 CONTENU DE L'ETUDE :

L'étude se décompose comme suit :

- Le premier chapitre présente les caractéristiques du matériau béton armé ,ainsi qu'un aperçu sur le comportement du béton et de l'acier.

- Dans Le deuxième chapitre nous étudierons le comportement non linéaire d'un

poteau en béton armé sous un chargement aléatoire ., et nous exposerons la procédure de calcul.

- Le troisième chapitre traitera de la modélisation de la source d'excitation sismique, et la génération de signaux synthétiques type impulsionnels et bruit blanc.-

- Au quatrième chapitre , nous présentons les résultats numériques sous forme graphique , et la liste des programmes CASTEM 2000 qui nous ont permis de générer les signaux aléatoires .

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1- LE BETON ARME :

Le béton armé est un matériau composite au comportement particulièrement complexe, ses matériaux constitutifs , l'acier et le béton, ont en effet des propriétés mécaniques très différentes . L'acier a un comportement non linéaire (élastoplastique ) au-dessus d'un certain niveau de sollicitations . le béton ; quant à lui, a un comportement en compression qui dévie de la linéarité pour un niveau de chargement assez faible . Au delà, les déformations sont influencées par le trajet de sollicitations suivi. De plus , il a une résistance en traction très faible , comparée à celle en compression , entraînant, dans le cas de structures en béton armé l'apparition de fissures , très tôt sous charges de service . La fissuration permet alors d'exploiter les capacités de résistance de l'acier, pourvu que l'interface acier-béton transmette les efforts correspondants . Cette interface met enjeu une série de phénomènes non linéaires .

Diagramme contraintes - déformation de l'acier : fig (1-1)

* Cas de la traction

-Droite OA (domaine élastique ) :

proportionnalité déformations - contraintes

coordonnées du point A : es = fe / Es , os = fe . -Horizontale de AB d'ordonnée = as = fe .

(domaine plastique la position du point B correspondant à un allongement es = 10 %

* cas de la compression le diagramme est symétrique à celui de la traction . as • contraintes

fe

10%

.B

0 fe/Es 10% déformations £s

fig(l-l) Diagramme contraintes-déformations de F acier.

-2.

(6)

Diagramme contraintes- déformations du béton : fig (1-2) Le béton est caractérise par :

-sa résistance à la compression après 28 jours fc28= 30Mpa.

- sa résistance à la traction après 28 jours égale : ft28 = 0.6 + 0.06 fc28.

fb

eb

fcb

. Loi de comportement du béton.

• fb = contrainte de compression du béton.

• Eb = module d'élasticité longitudinal du béton.

• sb = déformation du béton à la compression

(7)

2- LOI DE COMPORTEMENT D'UN POTEAU EN BETON ARME SOUS CHARGEMENT ALEATOIRE :

2-1 ETABLISSEMENT DELA LOI (FORCE-DEPLACEMENT):

considérons un poteau en béton armé encastré à sa base , et portant une masse de 2 tonnes à son extrémité supérieure fig ( 2-1 ) .

masse = 2 tonnes

aciers .4.

7(t) accélération du sol

L = 1.44m

EXCITATION SISMIQUE

Fig (2-1) Représentation d'un Poteau en béton armé.

section carrée

La section du poteau est composé d'un matériau hétérogène le béton armé .,et c'est à partir du modèle local (E , I) de la section hétérogène qu'on a détermine les caractéristiques équivalentes CE*, I*) de la section homogène équivalente , ces données sont introduites ensuite dans le modèle global ou

(MODELE GAUVAIN ) qui est un modèle homogénéisé de la section initialement hétérogène . - cas élastique : les contraintes sont reliées aux déformations par la loi de HOOK : a = E(y) x e(y) .

(8)

les grandeurs homogènes équivalentes E* et I* sont les suivantes : E* = 1/S Js E(y) ds , et I* = 1/E* Js E(y-yO) ds .

avec : yO la côte de la fibre neutre.

y la côte de la fibre de calcul s la section transversale du poteau C la courbure

Ce sont ces caractéristiques ( E* , I* ) de la section homogène équivalente qui vont être utilisées pour le calcul élasto-plastique de la section hétérogène initiale du poteau .

-Cas plastique : la déformation totale est partitionnée en : e = ee + ep

<J(y) = E(y) ee (y) = E(y) (e + C (y-yO)- ep).

les expressions des déformations plastiques globales sont données par : ep= 1/E* S Js E(y) epds

C p = l / E * I * Js (y-yO) E(y) ep ds .

Les données caractéristiques du poteau sont calculées à l'aide du module SAMSON, et elles sont ensuite introduites dans le modèle global pour déterminer la loi force-déplacement en flexion.

Le module SAMSON , a pour but d'exprimer la relation qui lie le moment à la courbure dans une poutre composée d'un matériau composite . il ne sera pas détaillé dans cette étude .

* début de fissuration du béton : a = 4.3 Mpa. • e = 0.000121.

* début de plastifiquation des aciers : a =21.5 Mpa e =0.003

* la rupture : c = 23.5Mpa e = 0.008

Le poteau est de section carrée (0.17m x0.17 m ) ,hauteur 1.44 m avec les caractéristiques suivantes : . p* = 2 5 1 6 k g / m3 ; la masse volumique .

. E* = 35510 Mpa ; le module de YOUNG.

. I* = 6.96.10 tf\ ; le moment d'inertie de la section .

* fc28 = 30 Mpa La résistance caractéristique du béton à la compression après 28jours.

. ft28 = 2.4 Mpa La résistance caractéristique du béton à la traction après 28jours.

. fe = 400 Mpa La limite élastique de l'acier. :

. Les aciers sont disposés symétriquement en deux lits d'armatures .

. On prend une distance d'enrobage égale à 2 cm de chaque coté de la section .

(9)

. Même centre de gravité pour les aciers et la section du béton

La méthode décrite précédemment (méthode d'homogénéisation) permet le calcul des caractéristiques équivalentes du poteau . ces données sont injectées dans le modèle global (modèle GAUVAIN).

•Pour établir la loi de comportement :

- - 7 •

Fig (2-2 ) : Relation Force-Déplaceme. t

La loi de comportement fig(2 -2 ) est représentée par 3 points pour la courbe de compression (complétée par symétrie par rapport à l'origine ) et le point origine . Sur la fig (2-2 ) , on distingue trois phases :

- Une partie linéaire élastique entre les points ( 0-1) ( resp. 0-1 ) et la décharge à partir du point 1 se fait sur la même pente.

- Une partie pseudo-élastique entre les points ( 1-2 ) , ( resp 1 - 2' ) les décharges

joignent l'origine et reprennent àpartir de l'origine dans le sens opposé ensuivant la loi de comportement ( 0-1 ' ) lorsque le chargement est inverse .

(10)

- Une partie plastique , entre les points ( 2-3 ) , ( resp 2' - 3 ' ) : on a plastification du béton et des aciers , les décharges se font selon la même pente que celle du segment

joignant 0 à 2 avec les déformations plastiques . Si on inverse le chargement, on atteint le dernier point atteint avant la décharge .

2-1 PROCEDURE DE CALCUL NON LINEAIRE EN FLEXION

Le calcul non linéaire est effectué à l'aide du logiciel CASTEM 2000 développé au C.E.A/D.M.T de SACLAY.

Le poteau est représenté par un modèle simplifié , sous la forme d'un oscillateur non linéaire à un degré de liberté excité par un signal sinusoïdal .

Fext = a sinus ( a> t + <p ).

L'équation du d'équilibre dynamique de l'oscillateur s'écrit : Mx + C x + K x = Fext (t).

Les fréquences propres du poteau sont les fréquences propres d'une poutre en flexion avec une masse localisée à son extrémité supérieure ,et en négligeant la masse du poteau et en ne considérant que sa raideur, le système est un système masse- ressort avec une fréquence propre donnée par la formule :

f l = 1 / 2 J C V ( 3 E I / U ) / M .

f 1 : la première fréquence propre du poteau.

K= 3EI / L la raideur du poteau en flexion . e : l'amortissement réduit.

œ = 2 n f 1 la pulsation propre du poteau . f 1 = 1 / 6.28 V(2.49 ldV(2»10').

fl = 5.6 HZ

l'équation du mouvement précédente s'écrit :

cx + 2£cox+ cox = F e x t ( t ) . x : l'accélération

x : la vitesse .

la réponse temporelle de l'équation se fait en remplaçant un processus continu par un

-7

(11)

processus discret fonction du pas de temps dt.

t ( i + l ) = (ti + dt)

les champs de déplacements et de vitesses sont ainsi calculés à chaque pas x ( i ) et x ( i + l ) Méthode implicite :

Schéma des différences centrées :

L'utilisation des différences centrées peuvent approcher au second ordre les accélérations et les vitesses :

x (t ) = x ( t + dt ) - 2 x (t ) + x (t - dt ) ( d t )

x ( t ) = x f t + dt) - x ( t - d t ) ( 2 d t )

où : dt : est le pas de temps , supposé constant, entre deux instants de calcul successifs .

En portant les équations ci dessus dans l'équation du mouvement, le système algébrique fournit les inconnues x ( t + dt ) connaissant la solution aux pas de temps précédents .

x ( n +1) = (dt) / M [Fext (tn) - Fn (x n ) l + 2(xn) - x (n-1).

- x (n+1) : le déplacement à l'itération ( n +1).

- Fn (xn) : la force de rappel du ressort à l'itération ( n.)

C'est cet algorithme des différences centrées que nous avons programmé en langage GEBIANE, et à chaque phase de chargement, la force de rappel du ressort est paramétrée en fonction de K.

- phase élastique : Kélas = Fe / Xe .

- phase quasi-élastique : Kqua = (Fp - Fe) / ( XP- Xe).

- phase plastique : Kplas = ( F r - F p ) / ( X r - X p ) . Avec : ^

Xe = 9.8? 10

Fe = 2507.3 la limite d'élasticité . Xp= 2.44 lu'2"

Fp = 18052.41 le seuil de plasticité . Xr = 605 10:2

Fr = 19731.7 le seuil de rupture .

Etude du cvclage en tenant compte de l'endommagement D :

(12)

La contrainte effective, est la contrainte rapportée à la section qui résiste effectivement aux efforts : a* = ( c / 1 - D ). ; a* la contrainte effective.

On charge et on décharge suivant un cycle , et à chaque changement de valeur de la charge, on cherche à calculer le déplacement correspondant par une méthode itérative, cette méthode de calcul est

programmée dans le logiciel CASTEM 2000 , le programme est donné en ( ANNEXE A.) Méthode de calcul :

* Pour la phase élastique l'énergie de déformation est récupérée au court de la décharge : Energie = Vi o ee . et la décharge se fait suivant la même pente .

* Pour la phase quasi-élastique on a une décharge élastique avec une pente K(quasi-élastique)

* Pour la phase plasique , une partie de l'énergie sera dissipée est non récupérable après décharge. Le chargement se fait jusqu'à une valeur Fmax avec un Xmax correspondant selon une pente

K(décharge).

Le cyclage :

On effectue un chargement jusqu'à la limite Fmax , ensuite on décharge suivant une pente Kdéch ,en considérant que le déplacement max est le même dans les deux direction (traction et compression ) et à chaque cycle une quantité moyenne d'énergie AE est dissipée.

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On a proportionnalité entre l'amortissement réduit équivalent et l'aire du cycle rapportée à l'énergie moyenne du système (AE/E).

L'énergie moyenne du système est donnée par :

E = -Kdech.X max2

2

On considérera dans une première approximation que le déplacement maximal atteint est le même dans les deux directions (ce qui est une hypothèse dans le cas des excitations sismiques sur ce types de structures)

On calcule maintenant l'énergie moyenne dissipée par cycle

Kdech = p-

ù£ = 2[(X max+ Xpl)F max- (X max- Xpl)F max]

D'où:

E = -KdechX max2

F max = KdecHX max- Xpï)

On obtient l'expression suivante pour l'aire du cycle rapportée à l'énergie moyenne

F max

r, v , Fmax(Xmax )

Fmax.Xpl = / | Kdech _

1 |

E 'Kdech.Xma\2 ' Kdech.X max

On cherche donc l'expression de Kdech de la façon suivante :

(14)

. 1 Fmax Fmax.

s* =^T{X max )

7i Kdech.X max Kdech

On a done :

2 Fmax Fmax² K.Kdech £* = Kdech - •Xmax Xmax2

On a alors une équation du second degré en Kdech :

7t£*.Kdech¹ -^^Kdech+~ * " ~ \ = 0 Xmax Xmax

2 Fmax „ , , Fmax

D'où:

Fmax , IF max² . . Fmax²

„ , y X max y X max² Xmax² 2JI£*

Fmax 1 Kdech = •

Z max 2 ^T£ *

Or:

Kdech = ^-(\-D)=ïD = \- Kdech.^- Xp Fp

On obtient finalement pour les expressions du paramètre d'endommagement O l'amortissement réduit :

(15)

Fmax Xp 1 .——.

Xmax Fp 2JU£*

Ce sont donc ces expressions que nous avons programmé dans l'algorithme de calcul non linéaire, avec cette forme d'amortissement réduit dont nous avons ajusté le paramètre alpha afin de mieux rendre compte des résultats expérimentaux.

.42-

(16)

3- MODELISATION DE LA SOURCE D'EXCITATION SISMIQUE : 3-1 ACTIONS SISMIQUES :

On distingue trois types de tremblements de terre : volcaniques, plutoniques et tectoniques . Les tremblements déterre volcaniques sont fréquents et généralement détectés par des sismographes situés près des volcans . leur énergie libérée est liée à la compression des gaz ou au mouvement du magma.

Les tremblements de terre plutoniques trouvent leur origine à des milliers de mètres sous terre.

Les tremblements de terre tectoniques , d'une origine proche de la surface de la terre , sont les plus dangereux . Ce sont les seuls qui ont un effet significatif sur les

constructions. Ce sont ceux qui intéressent l'ingénieur .

Un tremblement de terre provoque une augmentation des ondes qui sont de trois sortes : - Les ondes primaires ( ou de dilatation ), ce sont des ondes longitudinales .

- Les ondes secondaires (ou tangentielles ). Ce sont des ondes transversales . - Les ondes de surface . Elles sont analogues aux vagues . Il en existe deux types :

Les ondes de Rayleigh , ( déplacement vertical dans la direction du mouvement ) et les ondes de Love (associées à des déplacements horizontaux et perpendiculaires à la direction de propagation ).

Ces trois ondes ne se propagent pas avec la même rapidité . les ondes primaires sont les plus rapides avant les ondes secondaires . les ondes de surface sont les plus lentes .

La figure (3-1 ) représente un sismographe .

Sui f o c i WQvtS

HIM

Les enregistrements par des sismographes ont permis de mieux connaître le phénomène :

(17)

- enregistrement des amplitudes des séismes.

- repérage de l'epicentre (mesure du temps d'apparition des ondes P en plusieurs sites).

Ds permettent de tracer les courbes d'amplitudes maximales (am) en fonction de la distance R à l'epicentre . Ces courbes étant des droites parallèles , RICHTER a proposé la mesure de la puissance d'un tremblement de terre par la quantité M , indépendante de la position :

M = log am - log aO

Où : 4° A0

aO est un séisme de référence , M est l'amplitude du séisme . am est exprimé en (imètres.

3-2 DONNEES ET SPECTRES DE REPONSE :

Les effets potentiels d'un séisme sur une structure localisée en une zone déterminée étudiés à travers les paramètres ( intensité , accélération ,...), ne suffisent pas à décrire complètement le phénomène car toute l'histoire du mouvement du sol, durant le

tremblement de terre , a son importance . il entraîne des effets de résonance qui ont une grande influence , le spectre moyen se situant dans le domaine des fréquences naturelles des constructions .

La figure ( 3-2 ) représente les effets des séismes pour différents types de constructions.

N Electricity tronvniuion Imti

s - - Hijh-riî» buildm<jî Normal buildings

-tARIHUUAKE

Fr«que»cy vIHz) 1 10

i i

To i oi

- des séismes sur les constructions Pour déterminer la réponse d'une construction face à un séisme , des procédures

appropriées aux structures dynamiques doivent être utilisées . On utilise actuellement : - Le spectre de réponse de l'oscillateur ( S.R.O )

- A *

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- La génération de séismes artificiels.

• DEFINITION D'UN S.R.O :

Le spectre de réponse de l'oscillateur d'un séisme est une fonction qui associe la période naturelle T d'un oscillateur simple , de coefficient d'amortissement £ donné, avec la valeur maximale atteinte par la réponse lorsque l'oscillateur est assujetti au séisme considéré . Donc comme on vient de le voir la notion de S.R.O s'attache à la notion de maximum atteint par l'oscillateur en ( déplacements , contraintes , etc,... ) durant l'excitation .

, i'studovtiocity (cm »"')

Ptrkxl T (si Spectre de vitesse d'un s i t e donné

Les séismes artificiels peuvent être engendrés et utilisés comme processus d'entrée dans une intégration pas à pas des équations de mouvement. cette procédure est cependant plus lourde que l'analyse spectrale .

Les spectres de réponse jouent un role important , et cela même dans la génération de séismes artificiels . Beaucoup de méthodes de simulation sont fondées sur les propriétés spectrales des séismes mais elles nécessitent de reproduire avec soin les caractéristiques qui affectent le comportement des constructions .

Le caractère aléatoire des séismes nous amène à nous replacer dans l'optique probabiliste et de considérer que la donnée caractéristique d'un spectre de réponse de l'oscillateur ( S.R.O )

(19)

est un S.R.0 moyen représentant une réalisation d'une variable aléatoire ,et c'est en fait une quantité moyenne associée à cette réalisation que l'on doit considérer. Il y a plusieurs

possibilités : on peut considérer les S.R.O comme étant les maxima moyens de la réponse, ou comme étant les valeurs telles que la probabilité de dépassement du maximum soit inférieure à un certain seuil.

Globalement l'étude des séismes est un domaine de la fiabilité ,et on peut résumer le problème de la façon suivante :

La probabilité qu'une construction résiste aux sollicitations auxquelles elle est

soumise doit être supérieure à un seuil fixé à priori et pendant le temps pour lequel elle est prévue.

Ceci suppose que les paramètres de la sollicitation sismique soient correctement estimés , or , par essence même , les séismes sont aléatoires .

3-3 GENERATION DE SIGNAUX ALEATOIRES :

• GENERALITES SUR LES VARIABLES ET LES PROCESSUS ALEATOIRES : Les variables à prendre en compte pour le calcul d'une structure , rarement déterministe, sont par essence plutôt aléatoires ( résistance mécanique , paramètres géométriques et actions extérieures ), Lorsque les phénomènes sont pratiquement indépendants du temps , on peut en général, les représenter par des variables . Dans le cas contraire , ils nécessitent d'etre étudiés en tant que processus JEnfin ,lorsque seul l'effet maximum de ces variables ou processus est déterminant, il est possible de limiter leur étude aux distributions de leurs valeurs extrêmes ,et c'est précisément le cas des séismes qu'on étudiera par la suite.

* DEFINITION D'UNE VARIABLE ALEATOIRE :

Une variable aléatoire est un nombre réel aléatoire, le résultat d'une mesure ,c'est à dire un nombre réel qui dépend du hasard. la donnée d'une variable aléatoire X est la donnée d'une loi de probabilité P sur son domaine de définition , elle peut être continue ou discrète .

.16

(20)

Sa fonction de répartition Fx (X) est une fonction croissante telle que , si le phénomène est continu :

Fx (X) = P (X < x )

Si le phénomène est discret , Fx ( X ) devient : Fx (X) = S P ( X = xi ) . Nous avons : Fx (-<*>)= 0 ; Fx ( + °° ) = 1.

Si est X est continue la fonction densité de probabilité fx (X), si elle existe est obtenue par la relation : Fx( x ) = J fx ( u ) du.

• VARIABLE ALEATOIRE UNIFORMEMENT DISTRIBUEE :

La densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par les expressions :

1 fx< x > = ^{b a}

. 0

s i a < x < b s i x < a o u x > b Elle correspond à la fonction de répartition :

Fx(x> =

x a s i a < x < b b-a

0 si x < a 1 si x > b ses caractéristiques sont les suivantes :

LOI de GAUSS :

la loi de GAUSS , appellee encore loi normale a pour densité de probabilité

i i

Vin

Cette loi est notée N<m,a>. Sa fonction de répartition est :

<y<X)

.17

(21)

la loi gaussienne réduite , N(O,1), a pour expression :

Elle correspond à la loi de GAUSS avec m(x) = 0 et a(x) = 1.

m(x) : la moyenne et c (x) : l'écart-type .

La densité de probabilité et la fonction de répartition de la loi de GAUSS réduite est représentée par la figure suivante :

K*)

- 3 - 2 -1

-1,0

- 0,5

- 2 - 1

L o i 9a u s s l e n n e réduite

• LES PROCESSUS POISONNIENS :

Un processus de comptage poissonnien est constitué par une séquence d'événements intervenant à des instants distribués aléatoirement tels que la probabilité pour que l'un d'entre eux se produise entre l'instant t et l'instant t + dt soit égale à X dt (on néglige l'incidence de plusieurs événements dans l'intervalle dt ).

D'une façon générale X dépend de t mais ne dépend pas de l'histoire du processus . Nous considérons par la suite des événements tels que X = cte , ce qui nous conduit à un processus stationnaire .

* LOI de POISSON :

La I I

!

t o i e s t

P < X

P^<m> s'appelle à remarquer que

x + 1

=x> = P

la loi de l'on a :

- m e

x

Poisson

x+1 m) •

- m x e m

x !

de paramètre m. i

i

•— P (m) i

x+1 x

Jô

(22)

3-3-1 GENERATION DE SIGNAUX IMPULSIONNELS :

à partir de processus de comptage poissonnien on construit des signaux impulsionnels triangulaires, le processus aléatoire prend des valeurs -1 et +1 et qui passent brutalement de l'une à l'autre à des instants distribués selon une loi de poisson , le processus est stationnaire et à moyenne nulle.

0

M

ti » t

La génération de signaux synthétiques a été réalisée sous CASTEM2000 à l'aide de l'opérateur SIGNSYNT et BRUIT pour les signaux bruit blanc.

Nous avons généré 20 signaux impulsionnels ,chaque signal est échantillonné en un nombre de pas égal à 5000 , répartis sur une durée de 5 secondes .

At le pas de temps égal à 0.001 secondes.

La durée totale du signal généré est : T = ( nombre de pas ) x ( pas de temps ).

T = 5000 x 0.001.

T = 5 secondes.

Donc chaque signal sera analysé dans une durée de 5 secondes .

Le signal est composé d'un certain nombres de puises triangulaires, et chaque puise dure un

(23)

nombre de pas NI = 100.

Les puises composant le signal aléatoire sont espacés de N2 pas . N = 5000

N l = 100 N 2 = 120

le nombre de pas total ,ces pas sont répartis sur une durée de 5 secondes, le nombre de pas composant un puise triangulaires d'une durée dt.

l'intervalle de base pour le placement des puises . La durée d'un puise est donnée par :dt = 100 x At .

dt= 100 x 0.001 = 0.1 s .

la force d'excitation impulsionnelle est représentée en fonction du temps (la durée d'excitation At ) et en fonction des amplitudes d'oscillations .

excitât on

0

V

^dt -> Temps (secondes )

le paramètre de la loi de poisson X , est la probabilité d'envoi d'un puise pendant une durée de temps dtl.

les puises se déplacent à intervalles N2 = 120 . dtl = 120 x At

les 20 signaux générés sur CASTEM 2000 , représentent des réalisations ,et à chaque réalisation on a un résultat d'une mesure , un spectre, et donc une variable aléatoire . cette opération est répétée 20 fois , et on obtient un bloc de 20 tirages indépendants . De point de vue numérique on procède comme suit :

- Initialisation d'un signal à t = 0 suivant un pas de temps At et un nombre de pas égal à 5000.

- 20

(24)

- Le signal est composé de puises espaces de 120 pas.

La probabilité d'avoir un puise pendant le temps dtl = 120 xÀt Prob = X x dtl .

L'opération est effectuée pour 20 itérations et nous permet de générer 20 signaux . On obtient l'évolution de l'amplitude de l'excitation en fonction du temps , avec des amplitudes maximales et minimales . ainsi que le spectre en pseudo-accélération en fonction de la fréquence f , et de l'amortissement réduit e .

Les graphiques obtenus , nous renseignent sur le maximum atteint par l'accélération, et le spectre moyen de l'oscillateur, nous donne le maximum moyen de tous le maximums des 20 spectres obtenus.

Calcul de l'accélération moyenne des 7 premiers spectres :

Les valeurs maximales des 7 premiers spectres sont récapitulées dans Le tableau suivant :

numéro du spectre

1 2 3 4 5 6 7

excitation max 0.117 1.119 1.024 2.525

2.773 1.433 2.316

excitation mini -1.092 -1.175

-1.511 -3.531

-1.612 -0.1016 -1.815

accélération max 4.183 4.270

3.636 6.047 4.354 2.247 6.164

accélération mini 0.2648 0.1020

0.09399 0.3306 0.08142

0.08670 0.2692

Calcul de la moyenne et del' écart-type des amplitudesde l'excitation m(X) = ! X i / n

m = 1.615

l'écart-type a = / m =1.272.

.21

(25)

avec : Xi : les réalisations . et, n : le nombre de spectres . Calcul de la moyenne et de l'écart-type des accélérations max:

m(X) = 4.4147.

l'écart-type: a = 2.1011.

Le programme qui nous a permis de générer les signaux impulsionnels , ainsi que la courbe d'excitation impulsionnelle et le spectre de l'accélération, sont donnés en (ANNEXE B )

3-3-2 GENERATION DE SIGNAUX BRUIT BLANC :

• LE BRUIT BLANC :

le bruit blanc est un processus stationnaire dont la densité spectrale de puissance (DSP) est constante , l'enérgie est répartie partout dans les fréquences; sa fonction de corrélation est do une fonction de Dirac . les variables aléatoires associées à deux instants aussi proches soient ils sont décorrélées .

Dans le logiciel CASTEM2000 les signaux bruit blanc sont générés à l'aide de l'opérateur BRUIT .chaque signal est un tirage aléatoire d'une variable gaussienne.

On a généré successivement 10 signaux bruit blanc ,et ,comme pour les signaux impulsionnels on a initialise le temps à 0 , avec un pas de temps de 0.01 secondes , et un nombre de pas N sur une durée de 20 secondes .

- Chaque signal est échantillonné en N = 2046 points . - Le pas de temps dt = 20 / 2046 = 0.01 secondes .

- On fait varier l'amplitude ,et on obtient le graphe de l'excitation en fonction du temps ainsi que la densité spectrale moyenne des 10 signaux .(les résultats graphiques en ANNEXEE B )

.22.

(26)

ANNEXEA

(27)

DEBPROC OSCFL TDATA*TABLE ;

**************************************************************************

************************ GESTION DE L'ALGORITHME TEMPOREL ****************

**************************************************************************

*OPTI ECHO 1 ;

*

EVTRA = TDATA.'LOI' ; EVF1 = TDATA.'FEXT' ; Ml = TDATA.'MASSE' ; DT = TDATA.'PAS_TEMPS' ; NP1 = TDATA.'NB_P AS' ;

*

LFTRA = EXTR EVTRA ORDO 1 ; LXTRA = EXTR EVTRA ABSC 1 ; LTEM = EXTR EVF1 ABSC 1 ; L F 1 = EXTR E V F 1 ORDO 1 ;

*

LDEP1 = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ; LDPOS = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ; LDNEG = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ; LFNL = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ;

*

TITRE 'DEPLACEMENT' ;

EVDEP1 = EVOL MANU 'S' LTEM 'M' LDEP1 ; TITRE 'ENDOMMAGEMENT POSITIF' ;

EVDPOS = EVOL VERT MANU 'S' LTEM 'ENDOMPOS' LDPOS ; TITRE 'ENDOMMAGEMENT NEGATIF' ;

EVDNEG = EVOL ROUG MANU 'S' LTEM 'ENDOMNEG' LDNEG ; TITRE 'FORCE NON LINEAIRE' ;

EVFNL = EVOL MANU 'S' LTEM 'N' LFNL ; TITRE 'CYCLAGE' ;

EVCYCL = EVOL MANU 'M' LDEP1 'N' LFNL ;

*

TRESU = TABLE 'RESULTATS' ; TRESU.'DEPLACEMENT' = EVDEP1 ; TRESU.'ENDOMPLUS' = EVDPOS ; TRESU.'ENDOMNEG' = EVDNEG ; TRESU.'FORCE_NL' = EVFNL ; TRESU.'CYCLAGE' = EVCYCL ;

* BOUCLE SUR LES PAS DE TEMPS

definition de quelques paramètres

* de* XNMl = XN = 0.

XNPl = FNLN = FNLN1 = DPOS = DNEG = XPLP = XPLN =

finit 0. ;

/ 0. ; 0. ; 0. ; 0. ; 0. ; 0. ; 0. ;

ICOUR = VRAI ; JCOUR = VRAI ; IRECHA =FAUX ; JRECHA = FAUX ; ICYCL = FAUX ; JCYCL = FAUX ; IZONEP = 1 ; JZONEP = 1 ; IZONEN = 1 ; JZONEN = 1 ; ICHR = VRAI ; JCHR = VRAI ; ICAS = 1 ; JCAS = 1 ;

* ICAS =1 OU -1 ELASTIQUE

* 2 OU -2 QUASI ELASTIQUE

* 3 OU -3 PLASTIQUE

* 4 OU -4 DECHARGE à PARTIR DE LA ZONE QUASI ELASTIQUE

(28)

JCAS = 2 ; JZONEP = 2 ;

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; FINSI ;

SI ( XN < XNM1 ) ; DECHARGE DU CYCLE KCYCL = KELAS ; XMACYP = XNM1 ;

XOCYP = XMACYP - ( FNLN / KCYCL ) ; SI ( XN > XOCYP ) ;

ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGE JRECHA = FAUX ;

JCYCL = VRAI ;

FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYP ) ; SINON ;

ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

SI ( IZONEN EGA 1 ) ;

ON VISE LA LIMITE ELASTIQUE KRECH = FME / ( XME - XOCYP ) ; XREFP = XOCYP ;

FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ; SINON ;

ON VISE LE DERNIER POINT

KRECH = FMAXN / ( XMAXN - XOCYP ) ; ( XN - XREFP ) ; XREFP =

FNLN1 = FINSI ; FINSI ; FINSI ; SINON ;

SI ( ( XN

XOCYP ; KRECH *

> XNM1 )) ET ( XN <EG XMAXP ) ) ; ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE

JRECHA = VRAI ; JCYCL = FAUX ;

FNLN1 = FMAXP + ( KRECH * ( XN - XMAXP ) ) FINSI ;

SI ( XN > XMAXP ) ;

ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTION JCOUR = VRAI ;

JRECHA = FAUX ; JCYCL = FAUX ; SI ( XN < XP ) ;

QUASIELASTIQUE JZONEP = 2 ; JCAS » 2 ;

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; SINON ;

PLASTIQUE JZONEP = 3 ; JCAS = 3 ;

FNLN1 = FP + ( KP * ( XN - XP ) ) ; FINSI ;

FINSI ;

SI ( XN < XNM1 ) ; DECHARGE DU CYCLE SI ( IZONEP EGA 2 ) ;

KCYCL = FMAXP / XMAXP ; FINSI ;

SI ( IZONEP EGA 3 ) ;

KCYCL = FP / (XP * ( 1.0 - DPOS ) ) ; FINSI ;

XMACYP = XNM1 ;

XOCYP = XMACYP - ( FNLN / KCYCL ) ; SI ( XN > XOCYP ) ;

(29)

* ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGE JRECHA = FAUX ;

JCYCL = VRAI ;

FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYP ) ; SINON ;

* ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

FNLNl = KRECH * ( XN - XREFP ) ; SINON ;

" ON VISE LE DERNIER POINT

KRECH = FMAXN / ( XMAXN - XOCYP ) ; XREFP = XOCYP ;

FNLNl = KRECH * ( XN - XREFP ) ; FINSI ;

FINSI ; FINSI ; FINSI ; SINON;

" CAS FNL <0

SI ( ( XN < XNM1 ) ET ( XN >EG XME ) )

" ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE JCYCL = FAUX ;

JRECHA = VRAI ;

FNLNl = FME + ( KRECH * ( XN - XME ) ; FINSI ;

SI (XN < XME ) ;

* ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTION JCOUR = VRAI ;

JRECHA = FAUX ; JCYCL = FAUX ; JCAS = -2 ; JZONEN - 2 ;

FNLNl = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) , FINSI ;

SI ( XN > XNM1 ) ;

*• DECHARGE DU CYCLE KCYCL = KELAS ; XMACYN = XNM1 ;

XOCYN = XMACYN - ( FNLN / KCYCL ) ; SI ( XN < XOCYN ) ;

* ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGE JRECHA = FAUX ;

JCYCL = VRAI ;

FNLNl = KCYCL * ( XN - XOCYN ) ; SINON ;

*• ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

" ON VISE LA LIMITE ELASTIQUE KRECH = FE / ( XE - XOCYN ) ; XREFN = XOCYN ;

FNLNl = KRECH * ( XN - XREFN ) ; SINON ;

KRECH = FMAXP / ( XMAXP - XOCYN ) ; XREFN = XOCYN ;

FNLNl = KRECH * ( XN - XREFN ) ; FINSI ;

FINSI ;

(30)

( KQE * ( XN - XME ) )

( KP * ( XN - XMP ) ) FINSI ;

SINON ;

SI ( ( XN < XNM1 ) ET ( XN >EG XMAXN ) ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

FNLN1 = FMAXN + ( KRECH * ( XN - XMAX1 FINSI ;

SI ( XN < XMAXN ) ;

JRECHA = FAUX ; JCYCL = FAUX ; SI ( XN > XMP ) ;

QUASIELASTIQUE JZONEN = 2 ; JCAS = -2 ; FNLN1 = FME + SINON ;

PLASTIQUE JZONEN = 3 ; JCAS = -3 ; FNLN1 = FMP + FINSI ;

FINSI ;

SI ( XN > XNM1 ) ; DECHARGE DU CYCLE SI ( IZONEN EGA 2 ) ;

KCYCL = FMAXN / XMAXN ; FINSI ;

KCYCL = FMP / (XMP * ( 1.0 - DNEG ) ) FINSI ;

XMACYN = XNM1 ;

XOCYN = XMACYN - ( FNLN / KCYCL ) ; SI ( XN < XOCYN ) ;

ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGE JRECHA = FAUX ;

JCYCL = VRAI ;

FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYN ) ; SINON ;

ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

ON VISE LA LIMITE ELASTIQUE FE / ( XE - XOCYP ) ; XOCYN ;

* ( XN - XREFN ) ; KRECH

XREFN

FNLNl = KRECH SINON ;

FNLNl = KRECH * ( XN - XREFN ) ; FINSI ;

FINSI ; FINSI ; FINSI ; FINSI;

SINON ;

*mess 'pas juste avnt le test de icycl' ipas ; SI ICYCL ;

*mess 'pas juste après le test de icycl' ipas

* CYCLAGE

*MESS 'PAS ' IPAS 'CYCLAGE' ; SI (FNLN >EG 0. ) ;

(31)

CAS FNL >0

SI ( ( XN >EG XOCYP ) ET ( XN <EG XMACYP) ON RESTE DUR LA DROITE

JRECHA = FAUX ; JCYCL = VRAI ;

KCYCL = FP / ( XP * ( 1. - DPOS ) ) ; FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYP ) ; FINSI ;

SI ( XN <EG XOCYP ) ;

ON CHANGE DE COTE : DECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ; SINON ;

KRECH = FMAXN / ( XMAXN - XOCYP ) ; XREFP = XOCYP ;

FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ; FINSI ;

FINSI ;

SI ( XN > XMACYP ) ; ON REPREND LA RECHARGE SI ( IZONEP EGA 1 ) ;

SI ( XN <EG XE ) ;

ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE JCYCL = FAUX ;

JRECHA = VRAI ;

FNLN1 = FE + ( KRECH * ( XN - XE ) ) ; FINSI ;

SI (XN > XE ) ;

JRECHA = FAUX ; JCYCL = FAUX ; JCAS = 2 ; JZONEP = 2 ;

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; FINSI ;

SINON ;

SI ( XN <EG XMAXP ) ;

ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

FNLN1 = FMAXP + ( KRECH * ( XN - XMAXP ) FINSI ;

SI ( XN > XMAXP ) ;

JRECHA = FAUX ; JCYCL = FAUX ; SI ( XN < XP ) ;

QUASIELASTIQUE JZONEP = 2 ; JCAS = 2 ;

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; SINON ;

PLASTIQUE JZONEP = 3 ; JCAS = 3 ;

FNLN1 = FP + ( KP * ( XN - XP ) ) ; FINSI ;

FINSI ;

(32)

FINSI ; FINSI ; SINON ;

* CAS FNL<0

*LIST IRECHA ; LIST ICYCL ;

*MESS 'XN XOCYN XMACYN' XN XOCYN XMACYN ;

SI ( ( XN <EG XOCYN ) ET ( XN >EG XMACYN ) )

* ON RESTE DUR LA DROITE JRECHA = FAUX ;

JCYCL = VRAI ;

KCYCL = FMP / ( XMP * ( 1. - DNEG ) ) ; FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYN ) ;

FINSI ; : SI ( XN > XOCYN ) ;

* ON CHANGE DE COTE : DECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

* ON VISE LA LIMITE ELASTIQUE KRECH = FE / ( XE - XOCYN ) ; XREFN = XOCYN ;

FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ; SINON ;

* ON VISE LE DERNIER POINT

FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ; FINSI ;

FINSI ;

SI ( XN < XMACYN ) ;

* ON REPREND LA RECHARGE SI ( IZONEN EGA 1 ) ;

SI ( XN >EG XME ) ;

* ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE JCYCL = FAUX ;

JRECHA = VRAI ;

FNLN1 = FME + ( KRECH * ( XN - XME ) ) ;

FINSI ; 4

SI (XN < XE ) ;

JRECHA = FAUX ; JCYCL = FAUX ; JCAS = -2 ; JZONEP = 2 ;

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ; FINSI ;

SINON ;

SI ( XN >EG XMAXN ) ;

* ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE JRECHA = VRAI ;

JCYCL = FAUX ;

FNLN1 = FMAXN + ( KRECH *: ( XN - XMAXN ) ) FINSI ;

SI ( XN < XMAXN ) ;

JRECHA = FAUX ;' JCYCL = FAUX ; SI ( XN > XMP ) ;

* QUASIELASTIQUE JZONEP = 2 ; JCAS = -2 ;

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ; SINON ;

* PLASTIQUE

(33)

JZONEP = 3 ; JCAS = -3 ;

FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ; FINSI ;

FINSI ; FINSI ;

*MESS XN XOCYN XMACYN FNLN1 ;

*LIST JRECHA ; LIST JCYCL ;

*mess 'pas ' ipas 'avant sinon';

SINON ;

* CHARGE OU DECHARGE DANS LE 1ER OU LE 3èME QUADRANT

*mess 'pas ' ipas 'juste avnt le test de icour' ; SI ICOUR ;

* MESS 'IPAS ON EST SUR LA COURBE' IPAS ;

* ON ETAIT SUR LA COURBE DE TRACTION SI ( ( ABS XN ) >EG ( ABS XNM1 ) ) ;

* ON RESTE SUR LA COURBE DE TRACTION SI ( ( ABS XNM1 ) <EG XE ) ;

* ON ETAIT SUR LA PREMIERE ZONE (ELASTIQUE) SI ( (ABS XN ) <EG XE ) ;

* ON RESTE DANS LA ZONE ELASTIQUE JCOUR = VRAI ;

FNLN1 = KELAS * XN ; SI ( XN >EG 0. ) ;

JCAS = 1 ; JZONEP = 1 ; SINON ;

JCAS = -1 ; JZONEN = 1 ; FINSI ;

SINON ;

* ON ARRIVE DANS LA ZONE 2 QUASI ELEASTIQUE SI ( XN > 0. ) ;

JZONEP = 2 ;

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; JCAS = 2 ;

SINON ;

JZONEN = 2 ;

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ; JCAS = -2 ;

FINSI;

FINSI ; SINON ;

SI ( ( ABS XNM1 ) <EG XP ) ;

* ON ETAIT SUR LA DEUXIEME ZONE (QUASI ELEASTIQUE) SI ( (ABS XN ) <EG XP ) ;

* ON RESTE SUR LA DEUXIEME ZONE (QUASI ELEASTIQUE) SI ( XN > 0. ) ;

JZONEP = 2 ;

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; JCAS = 2 ;

SINON ;

JZONEN = 2 ;

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ; JCAS = -2 ;

FINSI;

SINON ;

* ON ARRIVE SUR LA ZONE PLASTIQUE SI ( XN >EG 0. ) ;

JZONEP = 3 ;

FNLN1 = FP + ( KP * ( XN - XP ) ) ; JCAS = 3 ;

SINON ;

JZONEN = 3 ;

(34)

FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ; JCAS = -3 ;

FINSI ; FINSI;

SINON ;

* ON ETAIT SUR LA TROISIEME ZONE PLASTIQUE ET ON Y RESTE SI ( XN >EG 0. ) ;

JZONEP - 3 ;

FNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ; JCAS = 3 ;

SINON ;

JZONEN = 3 ;

FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ; JCAS = -3 ;

FINSI ; FINSI ; FINSI;

SINON ;

* ON ENTAME UNE DECHARGE JCOUR = FAUX ;

JCHR = FAUX ;

SI ( ( ICAS EGA 1 ) OU ( ICAS EGA -1 ) ) ;

* ON RESTE ELASTIQUE SI ( XN >EG 0. ) ;

JCAS = 1 ; SINON ;

JCAS = -1 ; FINSI ;

JCOUR = VRAI ;

FNLN1 = KELAS * XN ; FINSI ;

SI ( ( ICAS EGA 2) OU ( ICAS EGA -2 ) ) ;

* ON ETAIT QUASI ELASTIQUE ON DECHARGE EN PASSANT PAR 0 KDECH = FNLN / XNM1 ;

SI ( ICAS EGA 2 ) ; JCAS = 4 ;

FINSI ;

SI ( ICAS EGA -2 ) ; JCAS = -4 ;

FINSI ;

FNLN1 = KDECH * XN ; FINSI ;

SI ( ICAS EGA 3 ) ;

* ON ETAIT PLASTIQUE ON DECHARGE EN TENANT COMPTE DE L'ENDOMMAGEMENT JCAS = 5 ;

KDECH = F P / ( X P * ( 1 . 0 - DPOS ) ) ; XPLP = XNM1 - ( FNLN / KDECH ) ;

FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLP ) ; FINSI ;

SI ( ICAS EGA -3 ) ;

* ON ETAIT PLASTIQUE ON DECHARGE EN TENANT COMPTE DE L'ENDOMMAGEMENT JCAS = -5 ;

KDECH = FP / ( XP * ( 1.0. - DNEG ) ) ; XPLN = XNM1 - ( FNLN / KDECH ) ;

FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLN ) ; FINSI ;

FINSI ;

* FINSI ; SINON ;

* ON ETAIT EN DESSOUS LA COURBE DE TRACTION

*MESS 'PAS' IPAS 'EN DESSOUS DE LA COURBE' ; SI ( ICAS EGA 1 ) ;

* DECHARGE SUR LA BRANCHE ELASTIQUE SI ( ( XN >EG 0. ) ET ( XN <EG XE ) ) ;

* ONRESTE SUR CETTE BRANCHE FNLN1 = KELAS * XN ;

(35)

JCOUR = VRAI ;

JCAS = 1 ; SINON ; SI ( XN > XE ) ;

BRANCHE QUASIELASTIQUE

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; JCOUR = VRAI ;

JCAS = 2 ; FINSI ;

SI ( XN < 0. ) ;

ON PASSE DE L'AUTRE COTE SI ( IZONEN EGA 1 ) ;

ON RESTE SUR LA COURBE ELASTIQUE FNLN1 = KELAS * XN ;

JCOUR = VRAI ; JCAS = -1 ; FINSI ;

ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUE KDECH = FMAXN / XMAXN ;

FNLN1 = KDECH * XN ; JCAS = -4 ;

FINSI ;

ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN PLASTIQUE JRECHA = VRAI;

KRECH = FMAXN / XMAXN ; XREFN = 0. ;

FNLN1 = KRECH * XN ; FINSI ;

FINSI ; FINSI ; FINSI ;

SI ( ICAS EGA -1 ) ;

DECHARGE SUR LA BRANCHE ELASTIQUE SI ( ( XN <EG 0. ) ET ( XN >EG XME ) ) ;

ON RESTE SUR CETTE BRANCHE FNLN1 = KELAS * XN ;

JCOUR = VRAI ; JCAS = -1 ; SINON ;

SI ( XN < XME ) ;

BRANCHE QUASIELASTIQUE

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ; JCOUR = VRAI ;

JCAS = -2 ; FINSI ;

SI ( XN > 0. ) ;

ON PASSE DE L'AUTRE COTE SI ( IZONEP EGA 1 ) ;

JCOUR = VRAI ; JCAS = 1 ; FINSI ;

ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUE KDECH = FMAXP / XMAXP ;

FNLN1 = KDECH * XN ; JCAS = 4 ;

FINSI ;

KRECH = FMAXP / XMAXP ; XREFP = 0. ;

FNLN1 = KRECH * XN ;

(36)

FINSI ; FINSI ; FINSI ; FINSI ;

SI ( ICAS EGA 4 ) ;

DECHARGE QUASIELASTIQUE

SI ( ( XN >EG 0. ) ET ( XN <EG XMAXP) ) ; ON RESTE SUR CETTE BRANCHE

JCAS = 4 ;

SI ( XN > XMAXP ) ;

SI ( XN <EG XP ) ;

BRANCHE QUASI ELASTIQUE

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ; JZONEP = 2 ;

JCAS = 2 ; SINON ;

BRANCHE PLASTIQUE

FNLN1 = FP + ( KP * ( XN - XP ) ) ; JZONEP = 3 ;

JCAS = 3 ; FINSI ; FINSI ;

SI ( XN < 0. ) ;

ON PASSE DE L'AUTRE COTE SI ( IZONEN EGA 1 ) ;

JCOUR = VRAI ; JCAS = -1 ; FINSI ;

ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUE KDECH = FMAXN / XMAXN ;

FNLN1 = KDECH * XN ; JCAS = -4 ;

FINSI ;

KRECH = FMAXN / XMAXN ; XREFN = 0. ;

FINSI ; FINSI ;

SI ( ICAS EGA -4 ) ; DECHARGE QUASIELASTIQUE

SI ( ( XN <EG 0. ) ET ( XN >EG XMAXN ) ) ; ON RESTE SUR CETTE BRANCHE

JCAS = -4 ;

SI ( XN < XMAXN ) ;

SI ( XN >EG XMP ) ;

BRANCHE QUASI ELASTIQUE

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ; JZONEN = 2 ;

JCAS = -2 ; SINON ;

BRANCHE PLASTIQUE

(37)

FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ; JZONEN = 3 ;

JCAS = -3 ; FINSI ; FINSI ;

SI ( XN > 0. ) ;

ON PASSE DE L'AUTRE COTE SI ( IZONEP EGA 1 ) ;

JCOUR = VRAI ; JCAS = 1 ; FINSI ;

ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUE KDECH = FMAXP / XMAXP ;

FNLN1 = KDECH * XN ; JCAS = 4 ;

FINSI ;

KRECH = FMAXP / XMAXP ; XREFP = 0. ;

FINSI ; FINSI ;

SI (ICAS EGA 5 ) ; DECHARGE PLASTIQUE

SI ( ( XN >EG XPLP ) ET ( XN <EG XMAXP ) ) ; ON RESTE SUR CETTE BRANCHE

JCAS = 5 ;

FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLP ) ; FINSI ;

SI ( XN > XMAXP ) ;

ON RETOURNE SUR LA COURBE DE TRACTION JCOUR = VRAI ;

FNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ; FINSI ;

SI ( XN < XPLP ) ;

ON PASSE DE L'AUTRE COTE JRECHA = VRAI ;

ON VISE LA LIMITE ELASTIQUE XREFN = XPLP ;

KRECH = FME / ( XME - XREFN ) ; FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ; FINSI ;

SI ( ( IZONEN EGA 2 ) OU ( IZONEN EGA 3) ) ; ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT

XREFN = XPLP ;

KRECH = FMAXN / ( XMAXN - XREFN ) ;

FNLN1 = FMAXN + ( KRECH * ( XN - XMAXN ) ) ; FINSI ;

FINSI ; FINSI ;

SI ( ICAS EGA -5 ) ; DECHARGE PLASTIQUE

SI ( ( XN <EG XPLN ) ET ( XN >EG XMAXN ) ) ; ON RESTE SUR CETTE BRANCHE

JCAS = -5 ;

FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLN ) ; FINSI ;

SI ( XN < XMAXN ) ;

ON RETOURNE SUR LA COURBE DE TRACTION

(38)

JCOUR = VRAI ;

FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ; FINSI ;

SI ( XN > XPLN ) ;

* ON PASSE DE L'AUTRE COTE JRECHA = VRAI ;

* ON VISE LA LIMITE ELASTIQUE XREFP = XPLN ;

KRECH = FE / ( XE - XREFP ) ; FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ; FINSI ;

SI ( ( IZONEP EGA 2 ) OU ( IZONEP EGA 3) ) ,

* ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT XREFP = XPLN ;

KRECH = FMAXP / ( XMAXP - XREFP ) ;

FNLN1 = FMAXP + ( KRECH * ( XN - XMAXP ) ) FINSI ;

FINSI ; FINSI ; FINSI ; FINSI ; FINSI ; IZONEP IZONEN ICHR = ICOUR = ICAS = IRECHA ICYCL =

= JZONEP ;

= JZONEN ; JCHR ;

= JCOUR ; JCAS ;

= JRECHA ;

= JCYCL ;

******************************************************** **************

****************

* CALCUL DU DEPLACEMENT AU PAS N+l

*

XNP1 = ( ( DT * DT / Ml ) * ( FEXTN - FNLN1 ) ) + ( 2.0 * XN ) - XNM1 ;

*LIST IRECHA ; LIST ICYCL ;

*mess ' PAS fext fnl xnpl ICAS' IPAS fextn fnlnl xnpl ICAS ;

*LIST ICOUR ;

SI ( XN >EG XMAXP ) ; SI ( XN <EG XMAXN ) ; SI ( FNLN >EG FMAXP ) SI ( FNLN <EG FMAXN )

XMAXP = XN ; FINSI ; XMAXN = XN ; FINSI ;

; FMAXP = FNLN ; FINSI ;

; FMAXN = FNLN ; FINSI ; REMPLACER LDEP1 ( IPAS + 1 ) XN ;

REMPLACER LDPOS ( IPAS + 1 ) DPOS ; REMPLACER LDNEG ( IPAS + 1 ) DNEG ; REMPLACER LFNL ( IPAS + 1 ) FNLN1 , XNM1 = XN ;

XN = XNP1 ; FNLN = FNLN1 ;

FIN LOOP1 ;

*

FINPROC TRESU ;

*

*****************************************************************************

********************** DONNEES DU CALCUL *********************************

*****************************************************************************

(39)

OPTI DONN 3 ECHO 1 ;

*

DT = 0.005 ;

*TD = 10. ; Ml = 2000. ; Fl = 5.6

AMP1 = 10000. ; NP1 = 2000 ;

*

* e x c i t a t i o n

*

LTEM = PROG 0 . PAS DT NPAS NP1 ;

LF1 = PROG ' S I N U ' F l 'PHAS' 0 . 'AMPL' AMP1 LTEM TITRE 'FORCE D EXCITATION' ;

EVF1 = EVOL ROUG MANU ' S ' LTEM ' N ' LF1 ;

*DESSIN EVF1 ;

*

* COURBE DE TRACTION TRILINEAIRE E0 =

XE = FE = XP = FP = XR = FR = XME FME XMP FMP XMR FMR

35510 ; 1.7E-4 2507.3 2.44E-2

18052.

6.5E-2 19731.7

= -1.0 *

= -1.0 * 1.0 *

= -1.0 *

r }

i

41

} }

XE FE XP FP XR FR

LXTRA = PROG XMR XMP XME 0. XE XP XR ; LFTRA = PROG FMR FMP FME 0. FE FP FR ; TITRE 'COURBE DE TRACTION' ;

EVTRA = EVOL ROUG MANU 'M' LXTRA 'N' LFTRA

*DESSIN EVTRA ;

*

* CALCUL DE LA RéPONSE

*

TDATA = TABLE 'DONNEES' ; TDATA.'LOI' = EVTRA ; TDATA.'FEXT' = EVF1 ; TDATA.'MASSE' = Ml ; TDATA.'PAS_TEMPS' = DT ; TDATA.'NB_PAS' = NP1 ;

*

*OPTI VERI 1 ;

*

TRESU = OSCFL TDATA ; EVX = TRESU.'DEPLACEMENT' ; EVDPOS = TRESU.'ENDOMPLUS' , EVDNEG = TRESU.'ENDOMNEG' ; EVFNL = TRESU.'FORCE_NL' ; EVCYCL = TRESU.'CYCLAGE' ; DESSIN EVX ;

*DESSIN EVDPOS ;

*DESSIN EVDNEG ; DESSIN EVFNL ;

DESSIN ( EVTRA ET EVCYCL) ;

(40)

Xl.E-2 1.50

1.00

0.50

M

0.00

- 0 . 5 0

- 1 . 0 0

- 1 . 5 0

- 2 . 0 0

0.00 2.00 4.00 6 . 0 0 8 . 0 0 1 0 . 0 0 1 2 . 0 0

DEPLACEMENT

(41)

XI. E4 1.50

1.00

0.50

0.00

-0.50

-1.00 _

-1.50

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

FORCE NON LINEAIRE

(42)

o o

E

M

toI

oo ⁰¹o o o

oI

o o

o o o

o ⁱⁿo ^O_o

H»

M

I 03

oo

o o

oo

to

oo

o o

oo

(43)

ANNEXEB

(44)

OPTI DIME 2 ;

*

* GÉNÉRATION DE SIGNAUX COMPOSÉS DE PUISES RÉPARTIS ALÉATOIREMENT

*

* PAS DE TEMPS DT = 1.0E-3 ;

*

* NB PAS POUR LE SIGNAL (DURÉE = DT * NB) NBPA1 = 5000 ;

*

* NB DE SIGNAUX GENERES NBSIGN = 20 ;

*

* NB DE PAS DE TEMPS QUE DURE UN PULSE NBPUL1 = 100 ;

* NB PAS INTERVALLE DE BASE POUR LE PLACEMENT DES PULSES NBDELT = 120 ;

DELTA1 = NBDELT * DT ;

*

* PARAMÉTRE DE LA LOI DE POISSON (PROBA D'AVOI UNPULSE PENDANT DELTA1

* = LAMBDA * DELTA1 ;

*

LAMBDA = 2.1 ;

PR1 = LAMBDA * DELTA1 ;

NBIMP = ENTIER ( PR1 * NBSIGN ) ;

*

* INITIALISATION DES SIGNAUX

*

LTEM = PROG 0. PAS DT NPAS NBPA1 ; TABORD = TABLE 'EXCITATION' ; TABEV1 = TABLE 'SIGNAUX' ; ISIGN = 0 ;

REPETER LOOP1 NBSIGN ; ISIGN = ISIGN + 1 ;

TABORD.ISIGN = 0. * LTEM ; FIN LOOP1 ;

* NB INTERVALLES POUR POSITIONNER UN PULSE

*

NBINTV1 = ENTIER ( NBPA1 / NBDELT ) ;

MESS 'NB INTERVALLES POUR POSITIONNER UN PULSE' NBINTV1 ;

*

* NOMBRE DE VALEURS ALEATOIRES A GENERER

*

NBALEAT = NBINTV1 * NBIMP ;

MESS ' N B DE VALEURS ALEATOIRES À GENERER' NBALEAT ;

*

* GENERATION DES NB ALEATOIRES

*

LUNI1 = BRUI BLAN UNIF ( ( NBSIGN + 1 ) / 2. ) ( ( NBSIGN - 1 ) / 2. ) NBALEAT ; LGAU1 = BRUI BLAN GAUS 0. 1. NBALEAT ;

*

* GENERATION DES SIGNAUX IALEAT = 0 ;

IINTV1 = 0 ;

REPETER LOOP2 NBINTV1 ; IINTV1 = IINTV1 + 1 ;

* CRÉER UNE LISTE DE RÉELS REPRESENTANT CE PULSE

*

LSIG1 = 0. * LTEM ;

NP1 = ENTIER ( NBPUL1 / 2 ) ; NP2 = NBPUL1 - NP1 ;