Dynamique des gaz quantiques (particules discernables sans spin)

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Dynamique des gaz quantiques (particules discernables

sans spin)

P.J. Nacher, G. Tastevin, F. Laloë

To cite this version:

P.J. Nacher, G. Tastevin, F. Laloë. Dynamique des gaz quantiques (particules discernables sans

spin). Journal de Physique, 1989, 50 (14), pp.1907-1941. �10.1051/jphys:0198900500140190700�.

�jpa-00211037�

Dynamique

des gaz

quantiques (particules

discernables

sans

spin)

P.J.

_Nacher,

G. Tastevin et F. Laloë

_(*)

Laboratoire de

_Physique

de l’ENS, 24 rue Lhomond, F 75005

Paris,

France

(Reçu

le 5 décembre 1988,

accepté

le 16

_{février 1989)}

Résumé. 2014 Nous

_appliquons

les résultats de deux articles

_{précédents,}

en

_particulier

une

_équation

cinétique généralisant l’équation

de Boltzmann, à _{l’étude des gaz dilués}

_quantiques

hors

d’équilibre.

Par une

_simple

extension de la méthode de

_{Chapman Enskog}

_appliquée

à cette

équation cinétique,

nous calculons les

_propriétés

_{hydrodynamiques}

du gaz. A l’ordre le

_plus

bas

(hydrodynamique d’Euler),

nous obtenons _{des résultats pour la}

pression,

la vitesse du son et la

capacité calorifique qui,

contrairement à ceux de la théorie de _Boltzmann, contiennent les secondes corrections du viriel. A l’ordre suivant

_{(hydrodynamique visqueuse,}

ou de Navier

Stokes),

nous obtenons les corrections du

_premier

ordre en densité aux coefficients de _transport,

et montrons

_qu’il

_peut exister un terme de seconde viscosité,

quadratique

en densité. Ce formalisme donne accès aux

_parties

des corrections du viriel des coefficients de transport

qui

dépendent

des collisions à _{deux corps, mais pas à celles}

_qui

sont dues aux collisions ternaires. Il

est

_quantique

et _permet de réobtenir

l’expression

de Beth et Uhlenbeck de la seconde correction du viriel en fonction des

déphasages.

Abstract. 2014

We

_apply

the results obtained in two

_preceding

_articles, in

_particular

a kinetic

equation

which

_generalizes

the Boltzmann

_equation,

to the

_study

of dilute _{quantum gases} out of

equilibrium.

Extending

the

_Chapman

_Enskog

method to this

_equation,

and

_taking

into account

the

specific expressions

of the

locally

conserved

quantities

in this

_theory,

we calculate the

hydrodynamical properties

of the gas. To lowest order

(Euler hydrodynamics),

we obtain results which include second virial corrections to _{the pressure, sound}

_velocity

and

_specific

heat, which are

not accessible within the usual frame of the Boltzmann

_equation.

To first order

_(viscous,

or Navier Stokes,

hydrodynamics),

we _get linear

_density

corrections to _transport coefficients. We also show that bulk

_viscosity

_may exist,

being proportional

to _{the square of}

_density.

This formalism

_gives

access to the _part of the second virial corrections to _transport coefficients which

correspond

to _transport

_{by binary collisions,}

but

_ignores

the modifications of the

_damping

of

currents due to three

_body

interactions

_(although

it does

_provide

virial corrections to the

_damping

of non

_{hydrodynamical}

_variables).

It is

purely

quantum and, at

_equilibrium,

allows one to recover

the Beth Uhlenbeck

_expression

of the second virial correction to _{the pressure in} terms of the collision

_phase

shifts. It will be extended to

_spin

and statistics in a

_forthcoming

article. Classification

Physics

Abstracts 51.10 - 05.60

Introduction.

Dans deux articles A et B

_précédents

_{[1, 2],}

nous avons

_posé

les bases d’une étude de la

cinétique

des gaz dilués

qui

va au-delà de ce _que

_permet

_{l’équation}

de

_Boltzmann,

car elle

tient

compte

de

_{façon (quasi)}

exacte _{de l’ensemble des effets des collisions à deux corps, y}

compris

des fortes corrélations introduites à courte _{distance par le}

_potentiel

d’interaction. La

première étape,

dans l’article

A,

a été la définition d’une transformée de

_Wigner

_modifiée,

la

transformée «

libre » ;

cette dernière est mieux

adaptée

_{que la} transformée habituelle à une

hypothèse

de factorisation

_{(chaos moléculaire)}

et donc à l’écriture d’une

_équation

_cinétique,

tout en conservant un traitement correct des effets de corrélation entre

_particules

à courte

distance. La seconde

_étape

_{(article B)}

a ensuite été d’écrire

explicitement

cette

_équation

cinétique

et de vérifier

_qu’elle

_présente

les

_propriétés

_requises

de conservation des

_grandeurs

hydrodynamiques

locales,

telles _que densité de

_particules,

de courant ou

_{d’énergie.}

Le

_présent

article

_complète

en

_quelque

sorte ce _programme en calculant

_{explicitement}

les

propriétés

hydrodynamiques

d’un gaz dans ce

_formalisme,

et en vérifiant

_qu’elles

sont bien

compatibles

avec ce _{que l’on sait d’autre}

_part

grâce

à des calculs valables à

l’équilibre :

existence d’une seconde correction du viriel dans la

_pression

_par

_exemple.

Après

avoir écrit une

_{équation cinétique}

_analogue

à celle de l’article

_B,

mais

_plus

commode à utiliser dans la

suite,

nous commencerons _{par étudier les}

_propriétés

d’un gaz à

_{l’équilibre}

et

montrerons comment le _{formalisme que} nous avons

développé

_permet

de retrouver ces

corrections dans un cadre différent. Mais l’intérêt de ce formalisme est

_qu’il

donne accès aux

mêmes

_types

de correction hors

_{d’équilibre ;}

il

_permet

ainsi de calculer ab

_initio,

dans un

cadre entièrement

_quantique,

certaines corrections du viriel aux coefficients de

_transport.

Mathématiquement,

ces corrections

_{apparaissent lorsqu’on généralise}

à cette

_équation

cinétique

la méthode de

_Chapman

et

_Enskog

_{[3, 4] ;}

elles sont des

_{conséquences}

à la fois d’un

terme source linéarisé

_qui

est

_plus

riche _que celui de la théorie

_standard,

et

_{d’expressions}

différentes des courants en fonction de la distribution

_{f qui}

_apparaît

dans

_{l’équation}

cinétique. Physiquement,

elles

_{correspondent}

au

_transport

« _{par les collisions »}

qui

se

_produit

lorsque

le

_potentiel

a une

_portée

non

_{nulle ;}

un tel

_effet,

_{classiquement,}

tend à

_augmenter

les

flux

_{d’impulsion}

et

_d’énergie

_[5],

mais notre formalisme en

_permet

une étude

_quantique

détaillée. En

_{revanche, puisque}

notre

_approche

laisse totalement de côté les collisions à trois corps, dont l’effet tend d’ailleurs

classiquement

à

s’opposer

au

_transport

_{par les collisions}

_[5],

elle est essentiellement

_incapable

de fournir une

_expression

_complète

de l’ensemble des

secondes corrections du viriel aux coefficients de

_transport

à toute

_{température.}

Rappelons

un certain nombre d’autres limitations fondamentales de cette

_{approche :}

les états liés ne sont _pas

_pris

en

_compte,

ce

_qui

en fait ne serait pas fondamentalement

_impossible

mais conduirait à introduire

_{plusieurs équations cinétiques}

_couplées

_(autant

_{que de niveaux}

liés) ;

les collisions successives sont traitées comme

_{indépendantes}

(milieu dilué ;

les « effets

de cage » ne sont _pas

_{traités) ;}

le rôle des

_spins

et de l’indiscernabilité des

_particules

est laissé

de côté : il fera

_l’objet

de l’article D suivant.

Nous commençons, au

_{paragraphe 1,}

_par réécrire sous une forme

_plus

commode

l’équation

cinétique

et les diverses

_{grandeurs hydrodynamiques}

définies dans l’article

B ;

nous

étudie-rons au

_paragraphe

2 le cas

simple

où le

système

est uniforme dans

l’espace,

et où la fonction

de distribution tend

_rapidement

vers une

_{gaussienne ;}

l’étude détaillée des

propriétés

à

l’équilibre

du

_système

sera le

_point

de

_départ

de la suite des raisonnements. Dans le

paragraphe

3 nous aborderons la

_{systématique}

du

_{développement}

de

_Chapman

_Enskog,

_qui

part

d’une définition

_adaptée

à notre cas des variables lentes et

_rapides.

Le

_paragraphe

4 est

consacré à l’étude à l’ordre le

_plus

bas

_{(hydrodynamique d’Euler),}

tandis _que dans le

calorifiques

qu’il

introduit

_{(hydrodynamique}

de

_{Navier-Stokes).}

Notons au _{passage que,}

certains des calculs de cet article étant

_{techniquement}

assez

_lourds,

nous les avons effectués

grâce

à un _programme

_d’Algèbre

Assistée par Ordinateur. Par

exemple,

les résultats

(132)

et

(139)

ont été obtenus de cette

_façon.

1. Réécriture de

l’équation

cinétique.

Rappelons

la forme de

l’équation dynamique

établie dans l’article B :

avec :

Les notations sont les mêmes _que dans l’article B et nous ne les

_{expliciterons}

_{pas à} ce stade.

Mentionnons

_simplement

_que

_{IB désigne l’opérateur}

de collision de Boltzmann

_habituel,

et

que

l’opérateur Kcoll,

dont

_{l’expression}

sera

_{rappelée plus}

bas

(formules (100)

et

_(101)),

fait

intervenir

_quatre

fonctions du

_potentiel

_{atomique :}

Les deux

_premières

ne

_dépendent

_que d’une

_impulsion,

les dernières de deux

_impulsions

relatives. _{On confondra pour}

_simplifier

_dépendance

en nombre d’onde k ou en

_impulsion

q = 2 hk.

Rappelons

_{en outre} la définition du coefficient E

(article

B,

formules

(14a)

_et

(37)) :

qui

joue

un rôle

_important

dans toute la suite.

Il ressort de

_l’analyse

de l’article B

_qu’il

_peut

être

_plus

commode d’étudier l’évolution

dynamique

de la fonction de distribution totale

_{g (r, p, t )}

définie _{par :}

avec, en

_{n’explicitant}

_plus

les

_dépendances

en r et t :

l’évolution de

_{5 f}

peut

être

_décomposée

de la manière suivante :

En utilisant

_(la)

et

_(1b),

on

_peut

_{vérifier que :}

L’évolution

_{de g}

s’écrit alors

_{simplement :}

où

Rÿ

est défini _{par :}

L’équation cinétique

(6)

a

_l’avantage

d’être formellement

_{plus simple}

_que

_{(la) :}

_n’y

_figurent

plus

les termes correctifs

_SIB

et

_BKcoll.

Toutefois ce _{n’est pas} une

_équation

_{fermée pour}

g,

puisque f

figure

au second membre. Les

_équations

₍₆₎

et

₍₇₎

sont le

_point

de

_départ

de tous

les calculs

_qui

suivent.

Les densités de

_particules

_{N (r, t ),}

de courant

_{J(r, t )}

et

_d’énergie

_{U(r, t )}

définies dans l’article B

_{s’expriment}

de manière

_simple

en fonction de g:

Les lois de conservation

_{correspondantes}

nous ont conduits à définir des formes

_{particulières}

pour le tenseur des contraintes

_Q

et le courant de chaleur

_JU

_{(expressions (54)}

et

₍₆₈₎

dans

l’article

_B).

_{En y}

substituant g -

5f

à

_f,

ces relations

_peuvent

être réécrites sous la forme :

où on note l’et 2’ les

_impulsions

Le courant de chaleur s’écrit :

dans l’article

_B,

sont _{donnés par :}

et où on a

_{posé :}

Tout comme

_{l’équation cinétique}

_(6),

ces

_expressions

font intervenir à la

fois g

et

f.

Elles ont été déduites des résultats de l’article

_B,

mais

_peuvent

_également

être directement

établies à

_partir

de

_{l’équation}

₍₆₎

_pour assurer la conservation locale des trois

_quantités

N,

J et U. Le détail de ces calculs est

_présenté

dans

_{l’appendice}

Cl.

2.

_Système

uniforme dans

_l’espace.

2.1 EVOLUTION TEMPORELLE. - Pour un

_système

uniforme dans

_l’espace,

les termes en

Kcoli et

BKcoll

dans

_{l’équation}

_cinétique

_(la)

sont

_nuls,

et celle-ci se réduit à :

La seule différence avec

_{l’équation}

de Boltzmann habituelle est la

_présence

du terme

’6 1 B,

qui

rend le second membre de

_degré

trois en

_f,

et non deux. Formellement

_{l’équation (6)}

devient, elle,

encore

_{plus simple puisqu’elle}

s’écrit :

L’équation (19)

reste

_cependant

assez semblable à

_{l’équation}

différentielle

habituelle ;

en

particulier,

le second membre s’annule

_{également lorsque}

_f

est une fonction

_gaussienne.

L’étude

_{mathématique}

_générale

de ce

_type

_{d’équation}

non linéaire _pose

_déjà

des

_problèmes

difficiles pour

l’équation

de Boltzmann habituelle

_{[6-8] ;}

la

_présence

_{de ’6IB}

ne

_simplifie

_{pas la}

situation -

sans toutefois la bouleverser radicalement dans la mesure où ce terme

supplémentaire

est

_{supposé petit}

devant

_IB

- et nous nous contenterons d’admettre sans

démonstration que,

quelles

que soient les conditions

initiales,

f

tend

toujours

au bout d’un

temps

de l’ordre de

_quelques

fois le

_temps

de collision _rc, vers une fonction

_{gaussienne :}

où

B

=

(kB

T)-’.

L’équation

(20)

montre _que la

fonction g

relaxe,

sur la même échelle de

temps,

vers sa forme

_{d’équilibre qui}

est :

Nous pouvons donc à

présent

calculer toutes les

_quantités

_physiques

introduites dans l’article

B,

pour la solution stationnaire

(22)

dont on connaît la forme

explicite.

2.2 CALCUL DES DIFFÉRENTES

QUANTITÉS

PHYSIQUES. Les différentes

_quantités

à calculer font intervenir les sommes sur p de la

fonction g,

multipliée

par

1, p, p2, p2 p,

etc... Il est alors

plus

commode d’introduire une famille de fonctions

_gaussiennes

_{4J a’}

définies par :

La solution stationnaire s’écrit

_{simplement :}

et

ou encore :

La formulation

_(24c)

fait mieux ressortir la

_possibilité

- abondamment utilisée dans les

lignes

qui

suivent - de transformer pour la deuxième

partie

du membre de droite les sommes sur

p et _q en sommes sur

_p"

et q, où on a

_{posé :}

Alors nous _{pourrons aisément}

_séparer

les deux

_intégrales,

de sorte _que toutes les

_quantités

à calculer

_{s’exprimeront}

_simplement

à

_partir

des différents moments des fonctions

_0,,,

ou

E

_{x 0,,.}

Pour

_alléger

la

_{présentation,}

nous avons écrit et

_regroupé

ceux-ci dans

_{l’appendice}

C2,

auquel

nous ferons souvent référence dans ce

_paragraphe.

Notons dès à

_présent

_que tous les calculs

_présentés

ici

_reposent

exclusivement sur le

caractère

_gaussien

de

_{f eq,}

et notamment sur son _{invariance par rotation dans}

_l’espace

des

impulsions lorsqu’on

se

_place

dans le référentiel où la vitesse _{moyenne des}

_particules

est nulle

(symétrie sphérique

des

_{fonctions cP a).}

Le caractère uniforme de la solution stationnaire

n’intervient _pas directement dans le calcul de

_{N, J, U,}

_Q,

_{etc... ;} tous _{les résultats que} nous

allons obtenir

_pourront

être utilisés aussi dans les cas où la fonction

_f

ne serait que localement

gaussienne.

En

_passant

de la variable _p à la variable

_p’,

avec :

pour le

premier

terme, et à la variable

_p"

- formule

₍₂₅₎

_{- pour le}

second,

on obtient

immédiatement :

où

₂₀

est

_{l’intégrale}

définie _{par la formule}

_(C2.6)

dans

_{l’appendice}

C2. Elle ne

_dépend

_{que de}

la

_{température,}

de la masse m et du

_potentiel

d’interaction.

2.2.2 Densité de courant. - On

_peut

réécrire

₍₉₎

sous la forme :

En utilisant

_{l’expression}

_(24b)

_pour

_geq,

on voit facilement que le

_premier

terme est

_nul,

puisqu’il

s’écrit :

et _que les

_{fonctions Om}

sont

_{paires (effectuer}

le

_changement

de

_p’

en -

_p’

_{pour la}

_première

intégrale,

de

_p’

en -

_p’

et _{de q} en - _{q pour la}

seconde).

Le second terme contribue seul et donne :

2.2.3 Densité

_{d’énergie.}

- De la même

manière,

nous transformons

(10)

en :

Pour g

=

geq,

la deuxième

intégrale

contribue pour :

et _{la troisième pour :}

Il ne reste

_qu’à

calculer la

_{première intégrale,}

notée W:

La contribution du

_premier

terme dans

₍₃₅₎

donne - voir

_appendice

C2 - :

ce

_qui

_{n’est pas} sans

_évoquer

un résultat

_classique

en théorie de Boltzmann.

Pour le second terme, nous avons

_{explicitement}

fait

_apparaître

trois morceaux. Le

_premier

vaut :

le second :

(nul

par

parité) ;

et le troisième est

_égal

à :

qui,

avec la définition

_(C2.6)

de

_{l’appendice}

_C2,

s’écrit :

Par

_{regroupement,}

nous obtenons :

Finalement,

compte

tenu _{du fait que :}

nous _{pouvons écrire :}

La relation entre U et N n’est

_plus

aussi

_simple

_{que la relation} entre

_UL

et

_NL,

obtenue dans

l’article B.

_Remarquons

_que

₍₄₃₎

_peut

_également

se mettre sous la forme suivante :

2.2.4 Tenseur des contraintes et

_pression.

- Les calculs

_requis

sont sensiblement

_plus

lourds que les

précédents.

Aussi,

nous avons choisi d’en

_présenter

le détail dans

_{l’appendice}

C3,

et

Pour le

_système

uniforme

_considéré,

le tenseur des contraintes s’écrit :

Il est à noter _{que les} termes

Q(F)

et

Q(k)

sont

_nuls,

de sorte _{que le} terme -

_Nt

_{Zi /3}

₍₃

correspond

à la contribution de

_Q(E)

seulement.

Compte

tenu de

_{(Cl. 12)}

et

_(43),

le tenseur des

_pressions

est scalaire et vaut :

2.2.5 Courant de chaleur. - Pour un

_système

uniforme,

_JT

est nul. Plus

_{précisément,}

nous montrons dans

_{l’appendice}

_{C3 que}

_chaque

composante

J>, JW), JW)

compense exactement la contribution

_{correspondante}

_{Q ’}

V,

ÕW). V, ÕW). V

introduite par le tenseur des contraintes dans

_{l’expression}

de

_{JT :}

2.3 EQUATION D’ÉTAT ET CHALEUR

SPÉCIFIQUE.

-

Nous pouvons tout de suite écrire

l’équation

d’état du

_système,

_puisque

la densité de

_particules

et la

_pression

viennent d’être

calculées. Nous

_partons

de

_{l’équation}

_(46),

_que nous écrivons :

A l’ordre le

_plus

bas,

nous obtenons :

Le second coefficient du viriel est donc :

Compte

tenu des relations

_(C2.6)

ou

_(C2.8)

de

_{l’appendice}

_C2,

et

_moyennant

un calcul

classique,

on obtient :

Nous retrouvons ainsi un résultat connu

_[9],

dû à Beth et Uhlenbeck

_[10],

mais dans un

contexte différent

_qui

donne

_plus

d’information sur

_l’origine

_physique

des effets. Les formules

(18e)

et

_(18f)

_{de l’article B ainsi que la formule}

_(Id)

_permettent

de

_dégager

les contributions

de la diffusion vers l’avant et de la diffusion

latérale,

ou encore de

_séparer

celle des termes de

retard pur

(en e)

de celle des termes en à

_{(champ moléculaire).}

A

_partir

de la densité totale

_d’énergie

_(43),

on

_peut

calculer la chaleur

_spécifique.

Elle

vaut :

Au

_premier

_ordre,

nous avons :

ou encore

Les formules

₍₄₃₎

et

₍₅₀₎

ne sont _pas

_{indépendantes}

du

_point

de vue de la

_{thermodynamique.}

Si en effet la fonction de

_partition

d’un

_système

_physique

est _{donnée par :}

où

_Zo

est la fonction de

_partition

_{d’un gaz}

_{parfait classique,}

on calcule facilement au

_premier

ordre en AZ que :

où on a

_{posé :}

(conformément

à

_l’usage,

nous notons dans ce

_paragraphe

V le volume du

_système

et non la

vitesse

_qui

n’intervient _pas

_ici).

D’autre

_part,

on a

_{l’égalité}

suivante :

qui

conduit à :

Pour

finir,

en

_comparant

₍₅₆₎

et

_(59),

on a :

Il est facile de vérifier sur

₍₄₄₎

et

₍₄₉₎

_{que les corrections à la densité}

_d’énergie

et à la

_pression

vérifient effectivement cette relation. Nous avons ainsi retrouvé dans un cadre différent des corrections du viriel bien connues ; cela constitue un test de la validité de notre

_approche,

et en

_particulier

de la définition _que nous avons

_prise

_{pour la}

_température

(en

termes de

NL et UL,

et non des vraies densités de

_particules

et

_d’énergie

- cf. article

_B).

3. Méthode de

Chapman

Enskog :

cadre

général.

3.1 DÉFINITION DES VARIABLES LENTES ET RAPIDES. -

L’adaptation

de la méthode de

Chapman

et

_Enskog

à

_{l’équation cinétique (6)}

demande un certain nombre de modifications liées à la

_présence

de la fonction

_f,

dont le lien avec les variables

_{hydrodynamiques}

est

_plus

complexe

que dans le cas habituel. Aussi allons-nous

_rapidement,

dans les

_lignes

_qui

_suivent,

revenir sur le

_principe

de cette méthode.

Pour des raisons

_physiques,

on s’attend à ce _que les véritables variables lentes

(hydrodyna-miques)

du

_problème

soient les

_quantités

_{réellement conservées par les}

_collisions,

à savoir

N,

V

_{(ou J),}

et W

_{(ou U), qui}

sont liées aux trois

_premiers

moments _{de g,} et non

NL

ni

_WL

_{(ou UL)}

liées aux moments de

_{f ;}

nous verrons dans le

_paragraphe

_{3.2 que c’est} effectivement le cas.

_D’après

les résultats du

_{paragraphe précédent}

_{(Eqs. (28)}

et

_(41)),

on a

pour toute situation où

_f

est localement

_{gaussienne :}

Inversement,

ces

_équations

_peuvent

être vues comme un

_système

de deux

_équations

non

linéaires en

_NL

et T

_qui

fixent ces variables en fonction des variables

_{hydrodynamiques}

N et W. On note

NL(0)

et

T(0)

les solutions du

_système

_{d’équations (61),}

elles-mêmes des variables lentes :

Comme nous _{supposons que}

NL

l:o et

_NL

E1

sont

_petits

_{(gaz dilué),}

la solution

₍₆₂₎

reste au

voisinage

du

_couple

de valeurs triviales

_(N,

2

_W/3

_NkB)

et nous _pouvons considérer

_qu’elle

est

_unique.

Il est donc

_possible

de décrire tout état

_{hydrodynamique}

du

_système,

_{caractérisé par} ses

variables

_{N (r, t ),}

_{V (r, t )}

et

_{W(r, t ),}

_par une fonction de distribution localement

_gaussienne

f " 1(p ;

r, t )

donnée par :

C’est cette fonction

f(0),

et la distribution

_g(0)

_associée,

_{qui s’expriment}

en fonction des

seules variables

_lentes,

_que nous

_prendrons

comme ordre zéro du

_{développement}

de

hydrodynami-ques, et la forme localement

_gaussienne

de

_{f (0)}

est la

_plus

_{commode pour les calculs ultérieurs}

(c’est

en effet

_{f qui}

_figure

au second membre de

l’équation cinétique).

En ce

_qui

concerne les variables

_rapides,

ce sont celles

_qui

contiennent le reste de l’information

_qui

_permet

d’obtenir la fonction

_f

_{(donc g) ;}

elles sont en nombre infini

_puisque

f dépend

de la variable continue p. Notons

grap

la contribution

à g

des variables

_{rapides :}

Il est clair _que les valeurs de

_{grap (P)}

_{pour les différentes valeurs de} p ne sont _pas

indépendantes

puisque,

par

construction,

les distributions

g(0)

et g

donnent les mêmes valeurs

aux variables

_{lentes ;}

on a les contraintes :

On

_peut

_{remarquer à} ce _{stade que, si} toutes les

_grandeurs

calculées

_(à

l’ordre

_zéro)

à

_partir

de

_f(0)

_(telles

_{NL(0), WL(o),}

_{T(0) ... )}

sont des fonctions des variables lentes

_seules,

en revanche les

grandeurs complètes correspondantes

(NL,

WL, et

même la

_température

_1),

sont des

mélanges

de variables lentes et

_rapides.

Ainsi a-t-on _pour

_NL

_par

_{exemple :}

3.2 EQUATIONS D’ÉVOLUTION. - Les

équations

hydrodynamiques

exactes

_{(Cl.5), (C1.13)}

et

_(Cl.22)

_peuvent

être réécrites sous la forme :

où

P(0)

est la variable lente définie _par

_(cf.

_{(46)) :}

Dans le membre de

_gauche,

toutes les variables sont des variables

_{hydrodynamiques ;}

dans celui de

droite,

à

_part

le tenseur

Â

des

_gradients

de la vitesse

_qui

est une variable

_lente,

toutes

les variables sont

_rapides.

Ces

_équations

nous

_permettent

de vérifier que les variables

hydrodynamiques

ont une variation

_temporelle

_qui

s’annule pour une situation uniforme dans

l’espace

(ce qui

est _{faux pour les} variables

_rapides)

et sont donc bien des variables lentes.

Quant

à l’évolution des variables

_rapides,

elle

_peut

être obtenue à

_partir

de

₍₆₄₎

et de

l’équation

cinétique ;

on obtient ainsi :

La discussion de l’évolution de

_grap

est alors celle

_qui

a été menée au

_paragraphe

2.1, qui

montre _que la

_présence

de

_{l’intégrale}

de collision de Boltzmann

_IB

conduit à une annulation

rapide

de la

_partie

non

_gaussienne

de

_f,

_{f rap,}

et de

_grap.

Dans

_l’esprit

de la méthode de

Chapman Enskog,

nous allons supposer que les variations

_spatiales

des

_grandeurs

hydrodyna-miques

sont suffisamment _{lentes pour que}

_{f rap,}

c’est-à-dire l’ensemble des variables

_rapides,

reste

_toujours

très

_petit

devant

_{f (0).}

Mathématiquement,

en

_supposant

_qu’à

un instant t donné

_grap

est

_nul,

on voit en utilisant

(69),

que

grap

possède

deux « termes source »

_qui

le

_{régénèrent}

par

couplage

aux variables

lentes ;

le

_premier

est :

où les variations de

_f(0)

_{proviennent implicitement}

de celles des

_grandeurs

_{hydrodynamiques}

contenues dans sa définition

(63),

ces variations étant d’ailleurs elles mêmes données _par

(67) ;

comme

_{l’intégrale}

de collision de Boltzmann est _{nulle pour la fonction}

f(0),

l’autre

source de

_{couplage provient}

du terme :

où,

à nouveau, on

_peut

_exprimer

les variations

_spatiales

de

f(0)

en fonction des

_grandeurs

hydrodynamiques.

Globalement,

si nous _supposons comme

_Chapman

et

_Enskog

_{que les variations}

_spatiales

de

toutes les

_{grandeurs hydrodynamiques}

se font sur des distances très

_grandes

à l’échelle du libre parcours moyen dans le gaz, ces termes source ne sont _{pas suffisants pour} combattre

efficacement l’amortissement des variables

_rapides

induit _par

_{l’intégrale}

de collision de

Boltzmann,

et la fonction

_{grap (et}

avec elle

frap)

reste très

_petite.

La méthode à suivre est alors claire : on va calculer les valeurs de

grap

_par un

_{développement}

en série de

_puissances

du

rapport

entre « termes source » et amortissement de Boltzmann des variables

_rapides,

c’est-à-dire entre _{le libre parcours moyen} et une distance

caractéristique

des variations

spatiales

de

N,

V et W. Nous commençons dans le

paragraphe

suivant par l’ordre zéro de ce

développement.

4.

_{Hydrodynamique}

non

_dissipative.

A l’ordre

_zéro,

les

_{équations dynamiques}

se réduisent aux

_{équations (67)}

sans second

membre :

Dans ces

_équations,

la « dérivée

_{hydrodynamique » Dh}

est _{donnée par :}

confondues,

et nous omettrons de les différencier. Nous nous limiterons en outre aux

_plus

basses corrections en

_densité,

si bien

_{qu’à partir}

de

(61)

et

₍₆₈₎

nous écrirons :

Si l’on élimine V. Ventre la

_première

et la dernière

_équation

de

_(73),

il vient :

soit :

Lorsque

l’on

_néglige,

comme dans la théorie de

_Boltzmann,

les corrections

NXO,L

=

0,

_on

obtient pour

l’équation

d’état du

_système

_(à

l’ordre zéro en

densité) :

qui,

à l’ordre un en

_densité,

devient :

où les dérivées

_partielles

de F

_{apparaissent,}

à un facteur

_{intégrant près,}

dans les coefficients

des dérivées

_{logarithmiques}

de

_{(77) :}

Dans les deux cas,

l’équation

d’état

correspond

à des transformations

adiabatiques puisque

le courant de chaleur reste constamment nul. De cette

_expression

on

_peut

tirer la

_{compressibilité}

isentropique :

On

_peut

_{supposer que} les variables

_{hydrodynamiques}

sont

_proches

de valeurs à

_{l’équilibre}

Ne, ve et Te :

De là on

_peut

déduire

_{l’équation}

de Helmholtz :

où le carré de la vitesse du son est _{donné par :}

A l’ordre

_zéro,

la

_propagation

des ondes sonores est donc non

_dispersive.

5.

Hydrodynamique visqueuse.

Nous allons maintenant un

_{degré plus}

loin dans le

_{développement}

en

_gradients

des

_grandeurs

hydrodynamiques,

c’est-à-dire que nous utiliserons la forme

(69)

de

_{l’équation cinétique}

_pour

déterminer,

à l’ordre le

_plus

bas,

la

_partie

non

_gaussienne

_frap

de

_f,

ainsi _que

grap,

Notant

_f(1)

ces termes linéaires dans le

_{développement}

en

_puissances

des

_gradients

spatiaux,

l’équation cinétique (69)

devient :

où

_{l’opérateur}

de collision linéarisé

Ii

est _{donné par :}

(on

note ici encore l’et 2’ les

_impulsions

p -

_q/2

+

_q’/2

et p -

_{q/2 -}

q’/2).

A l’ordre un,

g(1)

est _{donné par la} linéarisation des

_équations

_{(2) :}

Seuls les ordres zéro des termes en

_{Kcoll et}

_RE

ont été

_gardés

dans

_{(86a), puisque}

leur définition

_comporte

des

_{gradients spatiaux.}

En outre, dans le membre de

_gauche

de

_(86a),

le

gradient spatial

de

_g(1)

_{pourra être}

_négligé

_(ce

serait un terme du deuxième ordre en

gradients),

ce

_qui

_{fait que la}

_partie

linéaire de la

_réponse

stationnaire de la fonction de

distribution à

_{l’application}

de

_gradients

de

_densité,

vitesse et

_température

est _{donnée par :}

Enfin,

f (1)

(et

g(1))

seront entièrement déterminés _{par la} nécessité de vérifier les trois contraintes

_{(65), qui}

donnent :

Un certain nombre de différences

_apparaissent

_{clairement par}

_rapport

au traitement

habituel en théorie de Boltzmann :

- le terme

source

_(membre

de

_droite)

contient des corrections en densité à sa valeur

usuelle

_{Dp f (0),}

à la fois dans le terme source modifié

_(Dp

g(0)

et dans le terme source

- les contraintes

(sur f ) diffèrent,

elles

aussi,

de leur valeur

habituelle,

par des corrections de densité.

Par contre, le terme _{d’amortissement donné par}

_{l’opérateur}

de collision linéarisé est le même

_qu’en

théorie de

Boltzmann,

et ne contient aucune correction de densité. Ce résultat

est

_simplement

la

_conséquence

_{du fait que seules les collisions binaires} sont

_envisagées

dans le cadre de tout ce

_travail,

et nous _{y reviendrons} en conclusion de ce

_paragraphe

5.

Nous allons maintenant

_expliciter

ces différents termes, ce

_qui

nous

_permettra

de calculer

les coefficients de

_transport

_pour un _{gaz modérément} dense.

5.1 TERME SOURCE. - Le terme

source

_{supplémentaire}

fait intervenir le

_gradient

de

f(0),

pour diverses valeurs de

l’impulsion.

Pour une

_{impulsion quelconque p’,}

ce

_gradient

est

donné par :

En

_(62),

nous avions défini

_{NL(0) et}

T(O)

en termes de densité de

_particules

et

_{d’énergie,}

mais il

est ici

_plus

commode de

_remplacer

la donnée de W _{par celle de la}

_{température :}

_par

_exemple,

on désire trouver _{que le} courant de la chaleur est

_{proportionnel}

au

_gradient

de

T et non à une combinaison de

_gradient

de N et de W. On obtient alors :

où les dérivées

_partielles

de

_NL(0)

seront

_{explicitées plus}

loin

_{(formule (99a)).}

La

_partie

modifiée du terme source a,

d’après

la définition

(2)

de

g(0),

pour

expression

Il nous faut

donc,

à

_partir

de la définition

(63),

calculer

l’expression

de l’action de

_{l’opérateur}

Dp

sur

/(0)

_pour une valeur

_p’

de

l’impulsion

(on

l’utilisera _pour

p’ =

p ou _{p -}

_q).

Il

_s’agit

d’un calcul

_classique

en théorie de

_Boltzmann,

_qui

conduit au résultat :

Les termes

_Dp

_N,

_Dp

V et

_Dp

T(0)

sont à calculer à l’ordre

zéro,

par

exemple

à

_partir

des

équations hydrodynamiques (73)

pour les deux

premiers :

où l’accolade du second membre résulte de l’écriture

_explicite

du

_gradient

de la

_pression.

Quant

à

_{Dp T(0),}

il

_peut

être tiré de :

Utilisant

₍₆₇₎

et le fait

_qu’à

l’ordre zéro

_JT

est nul et

P

est

_scalaire,

on obtient :

L’utilisation des formules

_{(95), (96)}

et

₍₉₈₎

dans

_{l’expression}

du terme source

modifié,

et

l’usage

de

_{l’équation (91)}

nous

_permettrons

dans les

_paragraphes

_qui

suivent

_d’exprimer

complètement

le terme source de

_{l’équation cinétique}

linéarisée en fonction des

_gradients

des

grandeurs

physiques

significatives :

densité,

vitesse et

_{température.}

Un certain nombre de dérivées

_{partielles figurent}

dans les formules

_ci-dessus,

dont nous donnons les

_expressions

simplement

tirées de la définition des fonctions

_qu’elles

font intervenir :

avec

Dans

_{l’expression}

de

_{G’l 11,}

nous avons omis d’écrire

_{l’intégrale :}

Celle-ci est en effet

_nulle,

comme le montrent l’utilisation de :

et une

_intégration

de

_q’

autour de

_q.

Examinons maintenant la contribution de chacun des différents

_gradients,

en

_supposant

à

chaque

fois les autres nuls.

5.1.1 Termes en VN. -

Commençons

_par montrer _{que le} terme en

_Kcoll

ne _{contribue pas.}

Puisque

le terme en VN dans

_{V t(O)(p’)}

est

_{simplement proportionnel}

à

_{f (0)(p’),}

le terme issu de

_G!oll

est

_nul,

ainsi _{que le} terme en

_Ak

de

Gcoll.

Le terme en

_AF

est nul lui aussi car

V pt(O)(p’)

est

_{proportionnel}

à

_p’

_{f (0)(p’),}

et les

_projections

_{perpendiculaires}

_{(à q)}

_{de p} et

p - q sont

_égales.

La contribution du terme source modifié

_s’exprime,

en substituant

(95)

et

₍₉₆₎

dans

₍₉₄₎

pour V et

T(o)

uniformes :

où on a

_{posé :}

Utilisant

_(99b),

on montre _que

_AN

_{(p )}

est nul et il vient :

Cette

_expression

est la même _{que celle} du terme en

_Rÿ

obtenue en utilisant

(91),

si bien

_qu’au

total le terme source ne

_dépend

_pas du

_gradient

de la densité.

Il y a là un

_point

_qui

_{n’est pas}

_fortuit,

mais

joue

un rôle

_important

dans la cohérence de la

théorie : la

_présence

d’un terme en p .

VN,

vectoriel vis-à-vis des variables

_angulaires

de p, exciterait le courant de chaleur comme le fait le terme en p. VT calculé au

_paragraphe

5.1.3.

Le _{fait que} nous trouverons un courant de chaleur

_qui

ne

_dépend

_{que du}

_gradient

de la

température

est un contrôle de la

_pertinence

de la définition de T _que nous avons choisie

_plus

haut. On

_peut

_{remarquer que} la seconde correction du viriel à la

_{pression joue}

un rôle

5.1.2 Termes en

Ã.

-

Supposons

maintenant N et

T(o)

_{uniformes ;}

chacun des termes dans

l’expression

(91)

de Vf (0)

introduit une contribution au terme source modifié. Celles résultant

de la substitution de

₍₉₅₎

et

₍₉₈₎

sont

_{proportionnelles}

à V.

V,

tandis que celle issue de la substitution de

₍₉₆₎

_peut

être

_décomposée

en :

où on a

noté À

la

_partie

sans trace de

à :

Introduisons les

_expressions

suivantes :

On

_peut

alors écrire le terme source modifié sous la forme :

Le terme

_Rz

est _{reconstruit par la contribution du} troisième terme de

₍₁₀₆₎

_lorsque

p’ -p-q.

Le calcul des coefficients entrant dans la définition de

_AV.v

_peut

être fait à

_partir

des formules

_(99),

et nous en

_présentons

le résultat limité à l’ordre un en densité

_(première

correction du

_{viriel) :}

On retrouve un résultat

_classique

en théorie de Boltzmann : à l’ordre zéro en

_densité,

il

_n’y

a

pas de terme source

_{proportionnel}

à la

divergence

de la

vitesse,

et seule la viscosité de

cisaillement est

_présente

dans un _gaz

_parfait.

A l’ordre un en densité nous trouvons

_cependant

un terme source non

_nul,

laissant

_présager

l’existence d’une seconde viscosité dans un _gaz

Pour estimer enfin la contribution du terme

_Kcoll,

nous aurons besoin par la suite de

l’expression

du

_gradient

de

_{f(0) ;}

la formule

₍₉₁₎

_peut

être écrite :

où

_Fy

est le tenseur des

_gradients

de la

_vitesse,

dont

A

est la

_partie

_symétrique.

5.1.3 Termes en VT. - Estimons d’abord la contribution du terme

source modifié en

substituant

₍₉₆₎

et

₍₉₈₎

dans

₍₉₄₎

_{pour N} et V uniformes :

La reconstruction d’un terme

_égal

à

_RE

résulte de la

_dépendance

en _p.

VT«»

du terme en

Dp

T(0)

dans

_Dp

_{t(O)(p -}

_q),

_{alors que celle} de

_{AT(P - q)}

est en

(p - q ) .

VT(O).

Pour le calcul de

_Kcoll,

les termes

_{simplement proportionnels}

à

f(0)(p’)

ne contribuent pas

pour les raisons

exposées

au

_paragraphe

5.1.1.

Introduisons,

afin d’obtenir des

_expressions

formellement

_proches

de celles relatives au terme en

À,

le tenseur

r T

_{défini par :}

Avec cette

_notation,

la

_partie

restante de

_{V f(0)(p’),}

_{proportionnelle}

à la densité

_d’énergie

pour

l’impulsion p’,

s’écrit :

Le dernier terme,

indépendant

de

_p’,

ne contribue pas à

_{Kcoll ;}

le

_premier

conduit à un résultat

analogue

à _{celui obtenu pour le} terme en

À.

5.2 RÉPONSE LINÉAIRE. - Dans

ce

_paragraphe

nous utiliserons la structure

_générale

du

terme source écrit

_{précédemment}

_{pour calculer formellement la modification de la}

_pression

et

le courant de chaleur résultant de la

_présence

de

_gradients

de la vitesse et de la

_{température.}

En un

_point

donné de

_l’espace,

ces

grandeurs s’expriment

le

plus

simplement

dans le

référentiel _{où la vitesse V du gaz} est nulle : nous nous _y

_placerons

dans toute la suite. A la limite

_{(hydrodynamique)}

où nous nous sommes

_placés,

les

_paramètres

_NL(0)

et

T(0)

utilisés dans la définition

₍₆₃₎

de

_/(0)

ne diffèrent de la densité libre

NL

et de la

température

T

_qu’à

l’ordre un en

_gradients,

si bien _que nous _{pourrons les confondre dans la solution de}

l’équation cinétique

linéarisée

_(88).

Posant

B

- 1 /kB T,

cette solution

_peut

être

_décomposée

Nous avons, de

façon

_{classique [4, 9],}

utilisé pour cela les

symétries

particulières

du terme source et la linéarité de

_{l’intégrale}

de collision linéarisée

IB

_{(terme d’amortissement).}

Chacune des fonctions

_{’Pv. v’ ’P À et ’PT ne}

_dépend

_que du module _{de p,} et

_peut

être estimée par les méthodes

usuelles ;

nous le ferons de

_façon

élémentaire au

_paragraphe

5.3.

Calculons

maintenant,

dans le cadre _que nous avons

_développé,

la

_pression

et le courant de chaleur.

5.2.1

_{Modifications}

_visqueuses

du tenseur de

_pression.

- L’écart à la

_pression

_{d’équilibre}

provoqué

par un

_gradient

de la vitesse est obtenu

_grâce

à une linéarisation de la formule

(11) :

Les tenseurs linéarisés

_Qlri

sont _{donnés par les formules}

_{(12), (13)}

et

₍₁₄₎

où l’on fait à

_chaque

fois les substitutions :

Examinons d’abord le cas d’un mouvement de

_compression

localement

_isotrope

où

À

= 0. La fonction

g(1)

étant,

_comme

f(1),

scalaire _{en p,}

l’intégrale

_au second membre de

(119)

est

_également

_scalaire,

et il en est de même des trois corrections

_QhQ.

Les contraintes

(89)

sur

g(1)

montrent _que

_{l’intégrale}

est

_nulle,

et la modification de la

_pression

se réduit alors

à :

Nous avons

_remarqué

au

paragraphe

5.1.2 _que le terme source en V . V est une correction du

premier

ordre en densité : il en est _{de même pour çov. v ; la} correction à la

_pression

₍₁₂₁₎

est

donc du second ordre en

_densité,

et le coefficient de seconde viscosité

_qui

s’en déduit

directement est donc a

_priori

au-delà de la validité des calculs.

_Rappelons

en effet _que

l’équation

cinétique

établie dans l’article B est limitée à la

_première

correction du viriel.

Signalons

ici toutefois que notre

_modèle,

sous réserve d’un

_{développement}

suffisant

_(1),

serait

adapté

au calcul à l’ordre non nul le

_plus

bas

_{(donc quadratique}

en

_densité)

de la seconde

viscosité

_puisque

la modification _{de l’amortissement par les collisions à trois corps n’intervient}

qu’à

l’ordre suivant.

La viscosité de cisaillement sera calculée à

_partir

de

_{l’expression}

à l’ordre un en densité de

P :

À

tirée de

_(119),

c’est-à-dire avec

g(1)

à l’ordre un dans

l’intégrale,

et

f(1)

à l’ordre zéro

dans les corrections

Ô.(’).

Utilisant le

_{développement}

en densité

₍₈₇₎

_pour

_g(1),

on

_peut

écrire :

5.2.2 Courant de chaleur. -

Supposant toujours

la vitesse du fluide

_nulle,

nous obtenons le courant de chaleur

_JT

_{par la} linéarisation de la formule

_{(15) :}

Les courants linéarisés

_Jlin(i)

sont _{donnés par les formules}

_{(16), (17)}

et

_(18),

où l’on fait à

chaque

fois la substitution

_(120).

De la même

_façon

_que

_{précédemment,}

il faudra utiliser

g(1)

à l’ordre un en

_densité,

mais

f(1)

à l’ordre zéro dans les courants

Jlin(i).

_Reportons

dans

(123)

la forme

₍₁₁₈₎

de

_f(1),

afin de calculer :

5.3 AMORTISSEMENT. - Dans l’écriture

₍₁₁₈₎

de la solution de

_{l’équation cinétique}

linéarisée

_(88),

nous avons introduit les fonctions

_{q.> A et}

_{ç T du module de p. Leur calcul} est

nécessaire afin de déduire des formules

₍₁₂₂₎

et

₍₁₂₄₎

les

_expressions

de la viscosité et de la conductivité

_thermique.

Nous chercherons les solutions q.> A et _(PT sous forme d’un

développe-ment limité en

_puissances

de

pz :

Les coefficients a et b’ seront déterminés en

_égalant

les

_plus

bas moments non nuls des deux

membres de

_{l’équation cinétique ;}

notant

_SÀ

et

_ST

les termes source calculés aux

Dans ces

_équations

seuls contribuent les termes en a et

_{b’ ;}

les contraintes

₍₈₉₎

sont

automatiquement

vérifiées _{pour la}

_partie

en cP Á de

g(1),

et b sera déterminé par la seconde

d’entre elles pour la

partie

en _CPT. Nous

_employons

en fait une

_{généralisation}

de la méthode habituelle de

_{développement}

en

_polynômes

de Sonine

_(qui

vérifient

_{automatiquement}

les

contraintes semblables à

_(89)),

limitée au

_degré

_significatif

le

_plus

bas. Elle

_pourrait,

au

_prix

de calculs

_plus

_lourds,

donner une meilleure

_{approximation}

aux coefficients de

_transport

en

prenant

pour les fonctions ç A et CPT des

polynômes

en

p2

de

_{degré plus}

élevé.

Il

est bien entendu

_possible

de calculer directement les

_intégrales

des termes en

IB.

Nous éviterons

_cependant

de le faire ici en

_remarquant

_qu’elles

ne contiennent aucune

correction en

densité,

et donnent des résultats

_{proportionnels}

à a et

_b’,

_que nous noterons

al Á

et

_{b’ I T.}

Les facteurs

_{1 Á}

et

_{1 T}

_pourraient

être déterminés en identifiant la solution du

calcul à l’ordre zéro en densité avec les valeurs à l’ordre zéro de la viscosité et de la

conductivité,

données par

exemple

dans

_[4].

Nous n’en aurons toutefois _{pas besoin dans la}

suite.

5.4 MODIFICATION DES COEFFICIENTS DE TRANSPORT. - Nous allons maintenant

calculer,

à

partir

des formules

₍₁₂₂₎

et

_(124),

le

_rapport

de la

viscosité 11

et de la conductivité

K à leurs valeurs

respectives

_n0 et

_{Ko à}

l’ordre zéro en densité. Nous noterons ao,

bo, b’, ST0(P) et SÁo(P)

les valeurs à l’ordre zéro en densité des

_{grandeurs correspondantes}

dans les

_{équations (125)}

à

_(128),

a,,

bl...

leurs corrections du

premier

ordre en densité.

5.4.1 Viscosité.

_{- Développée}

en

_{densité, l’équation (122)}

_peut

être écrite :

où le

_rapport

_al/ao

est donné à

_partir

de

₍₁₂₇₎

_{par :}

Pour calculer

_{explicitement}

les différentes

_intégrales,

on

_peut

_{supposer que}

À

n’a _que deux

composantes

symétriques

non nulles. On obtient

_alors,

_{pour les trois} termes de

_{l’expression}

(129) :

Ces trois contributions

_peuvent

être

_{respectivement interprétées}

comme venant de la

en densité dans la fonction de distribution

(différence

entre

g(1)

et

f(1)),

et des termes

complémentaires

dans la définition de la

_{pression (transport}

_{par les}

_collisions).

Ils

_peuvent

être

_regroupés

sous la forme :

5.4.2 Conductivité

_{thermique. - Développée}

en

_densité,

_{l’équation}

₍₁₂₄₎

_peut

être écrite :

où l’on a

_{posé :}

La seconde des contraintes

₍₈₉₎

donne

_quant

à elle :

L’équation

(133)

peut

donc

s’écrire,

en utilisant

₍₁₃₄₎

et

_{(135) :}

On obtient alors pour les trois termes de

_{l’expression}

_{(136) :}

L’origine

de chacun de ces termes

_peut

être

_{interprétée}

comme dans le cas de la formule

(131)

qui

donne la modification de la viscosité dûe aux effets de densité. Ils

_peuvent

finalement être

regroupés

sous la forme :

Rappelons

enfin ici les

_{approximations}

_{faites pour obtenir les}

_{expressions explicites}

de la viscosité et de la conductivité

_thermique.

La

_première

a consisté à se limiter aux

_plus

basses

corrections de densité aux coefficients de

_transport.

Comme nous l’avons

_remarqué

au

paragraphe

5.2.1 à propos de la seconde

viscosité,

il serait

_possible

d’obtenir l’ordre suivant

(corrections quadratiques

en

_densité)

sous réserve de

_développer

à l’ordre deux en

_gradients

l’équation

cinétique.

La seconde

_{approximation}

_que nous avons faite a été de résoudre

explicitement l’équation cinétique

linéarisée dans un _{espace de} fonctions restreint. Il

_s’agit

là d’une méthode

_{classique qui}

donne en

_général

une bonne estimation des coefficients de

transport

[4].

Aucune de ces

_{approximations}

n’est

_cependant

_{indispensable,}

et il est en

principe

possible

de les améliorer.

Par contre, il convient d’insister sur le fait que notre théorie ne

_prend

en

_compte

_{que les}

collisions binaires entre _atomes, et _{que de} ce fait on ne

_peut

en

_{général espérer}

décrire

complètement

toutes les corrections en densité aux

_propriétés

de

_transport.

Ainsi par

exemple

le terme d’amortissement écrit au

_paragraphe

5.3 doit-il contenir une correction due aux collisions à trois corps, contenant un facteur

supplémentaire

en

densité,

et dont l’effet sur

les coefficients de

_transport

est du même ordre en densité que les corrections que nous avons

calculées. Ce n’est _que dans le cas où _{les effets à trois corps seraient} faibles

_{(limite classique}

de

_{sphères dures,}

comme dans le modèle

_d’Enskog

_par

_exemple),

ou bien les effets à deux corps

importants

(quasi-résonances

du

_potentiel

_atomique,

entraînant

_{d’importantes}

« sections efficaces » pour les termes

_{eF, ek, AF}

ou

_Ak)

_que nous _pourrons

_{espérer prévoir}

quantitativement

les corrections du viriel à la viscosité ou à _{la conductivité d’un gaz} modérément dense.

Conclusion.

L’équation cinétique

obtenue dans l’article B

_remplit

donc son

_{rôle, puisqu’elle}

_permet

de retrouver les résultats

_déjà

connus sur les seconds coefficients du viriel à la

_pression

ou la