Exercice n o 1 Divisions euclidiennes - Diviseurs - Multiples.

Exercice n

1

1. Dire quel est le plus grand reste possible dans une division euclidienne par 83.

2. On a 44 193=84×526 +9

Écrire le quotient et le reste de la division euclidienne de 44 193 par 84.

3. Les trois divisions euclidiennes suivantes sont exactes : 1 268 = 317×4 +0

1 268 = 318×3 +314 1 268 = 316×4 +4

Sans calculer, dire si les nombres 317 ; 318 ; 316 sont des diviseurs de 1 268. Justifier.

4. Avec la calculatrice, compléter chaque phrase avec "est un diviseur de" ou "est un multiple de" ou

"n’est ni un diviseur ni un multiple de".

994 . . . . 718 784 . . . . 4 704 727 . . . . 4 362 148 . . . . 147 1 552. . . . 194 1 964. . . . 982

5. Écrire la liste de tous les diviseurs de 830.

Exercice n

2

3e Exercices de révisions Arithmétique

Cette liste des nombres premiers inférieurs à 100 pourra être utile :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Coup de pouce

1. 29 2. 8 044

3. 5 907 4. 6 795

Exercice n

3

Cette liste des nombres premiers inférieurs à 100 pourra être utile :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Coup de pouce

1. À l’aide de la calculatrice, décomposer2 668 050 en produit de facteurs premiers.

2. À l’aide de la calculatrice, décomposer1 291 en produit de facteurs premiers.

3. À l’aide de la calculatrice, décomposer4 897 en produit de facteurs premiers.

Exercice n

4

1. La décomposition en facteurs premiers de1 764 est : 2²×3²×7², a. Compléter le tableau ci-dessous.

× 2⁰ 2¹ 2²

3⁰ ×7⁰ 3⁰ ×7¹ 3⁰ ×7² 3¹ ×7⁰ 3¹ ×7¹ 3¹ ×7² 3² ×7⁰ 3² ×7¹ 3² ×7²

b.En déduire le nombre de diviseurs de 1 764.

c.Enfin, dresser la liste des diviseurs de 1 764.

2. La décomposition en facteurs premiers de2 205 est : 3²×5×7², a. Compléter le tableau ci-dessous.

× 3⁰ 3¹ 3²

5⁰ ×7⁰ 5⁰ ×7¹ 5⁰ ×7² 5¹ ×7⁰ 5¹ ×7¹ 5¹ ×7²

b.En déduire le nombre de diviseurs de 2 205.

c.Enfin, dresser la liste des diviseurs de 2 205.

Exercice n

5

À la question d.une observation judicieuse et argumentée pourra faire gagner du temps !

Coup de pouce

a. Décomposer A= 70 en produit de facteurs premiers.

b.Décomposer B = 130en produit de facteurs premiers.

c.Rendre la fraction A

B = 70

130 irréductible à l’aide des questions a. et b.. d.Rendre la fraction B

A = 130

70 irréductible à l’aide des questions a. et b..

Exercice n

6

Pour l’entretien de sa voiture, Nawel veut se tenir à un calendrier très précis : elle nettoie l’intérieur de sa voiture tous les 28 jours et l’extérieur tous les 20 jours.

Aujourd’hui, elle a fait les deux.

Au bout de combien de temps fera-t-elle les deux dans la même journée ?

Exercice n

7

Boîte de vitesse, transmission de vélo, de moto, perceuse electrique, tout ça fonctionne avec des engrenages ! Mais au fait, comment ça marche, les engrenages ?

Arithmétique des engrenages

3e Exercices de révisions Arithmétique

1. La roue n°1 possède19 dents et la roue n°2 a 28dents.

a. Écrire la liste des multiples de 19et de 28.

Pourquoi peut-on en déduire que 19 et 28 sont des nombres premiers entre eux ?¹ b.En déduire le nombre de tours de chaque roue avant le retour à leur position initiale.

2. La roue n°1 possède35 dents et la roue n°2 a 61dents.

a. Décomposer 35et 61en produit de facteurs premiers.

Pourquoi peut-on en déduire que 35 et 61 sont des nombres premiers entre eux² b.En déduire le nombre de tours de chaque roue avant le retour à leur position initiale.

3. La roue n°2 a maintenant 225 dents. Déterminer le nombre de dents de la roue n°1 qui ferait 5 tours pendant que la roue n°2 en fait 1.

Exercice n

8

1. Un fleuriste dispose de 102 iris et de 238 roses.

Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser un maximum de bouquets contenant tous le même nombre d’ris et le même nombre de roses.

a.Quel est le nombre maximal de bouquets ? b.Quel est le nombre d’ris dans chaque bou- quet ?

c. Quel est le nombre de roses dans chaque bouquet ?

2. Un professeur organise une sortie pédago- gique au Futuroscope pour ses élèves de 3ème.

Il est accompagné de 105 garçons et de 70 filles.

Il souhaite répartir tous les élèves en réalisant un maximum de groupes contenant tous le même nombre de garçons et le même nombre de filles.

a. Quel est le nombre maximal de groupes ? b.Quel est le nombre de garçons dans chaque groupe ?

c. Quel est le nombre de filles dans chaque groupe ?

3. Un boulanger dispose de 396 croissants et de 252 brioches.

Il veut, en utilisant toutes ses viennoiseries, réaliser un maximum de corbeilles contenant toutes le même nombre de croissants et le même nombre de brioches.

a. Quel est le nombre maximal de corbeilles ? b. Quel est le nombre de croissants dans chaque corbeille ?

c.Quel est le nombre de brioches dans chaque corbeille ?

1. Définition : Nombres premiers entre eux Étant donnés deux nombres entiers a et b, lorsque le plus petit

× ×

Exercice n

1

1. Si on divise par 83, il ne peut pas rester plus de 82, sinon c’est qu’on peut encore ajouter au moins 1 fois 83 dans le dividende et donc 1 au quotient.

2. Dans la division euclidienne de 44 193 par 84, le quotient vaut 526 et le reste 9.

3. Le reste de la division euclienne de 1 268 par 317 vaut 0 donc 317 est un diviseur de 1 268 Le reste de la division euclienne de 1 268 par 318 ne vaut pas 0 donc 318 ne divise pas 1 268 Le reste de la division euclienne de 1 268 par 316 ne vaut pas 0 donc 1 268 n’est pas divisible par 316

4. 994 n’est ni un multiple ni un diviseur de 718 car 994=718×1+276 et 718=994×0+718 784 est un diviseur de 4 704 car 4 704=784×6

727 est un diviseur de 4 362 car 4 362=727×6

148 n’est ni un multiple ni un diviseur de 147 car 147=148×0+147 et 148=147×1+1 1 552 est un multiple de 194 car 1 552=194×8

1 964 est un multiple de 982 car 1 964=982×2

5. Pour trouver la liste des diviseurs de 830 on cherche tous les produits de deux facteurs qui donnent 830. En écrivant toujours le plus petit facteur en premier.

Il est suffisant de chercher des diviseurs inférieurs au plus grand nombre dont le carré vaut 830, par exemple ici, 28×28 = 784<830 et 29×29 = 841>830 donc il suffit d’arrêter la recherche de facteur à 28. En effet, si 830 est le produit de deux entiers p×q avec p < q alors si p×p > 830 c’est que q×q < 830 mais dans ce cas p serait supérieur à q sinon p×q serait inférieur à 830 ce qui ne doit pas être le cas.

1×830 = 830

Correction

2×415 = 830 5×166 = 830 10×83 = 830

Chacun des facteurs de la liste ci-dessus est un diviseur de 830.

La liste des diviseurs de 830 est donc 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 83 ; 166 ; 415 ; 830.

Exercice n

2

1. En effectuant la division euclidienne de 29 par tous les nombres premiers inférieurs à √

29, c’est- à-dire par les nombres 2, 3, 5, le reste n’est jamais nul.

29 est donc un nombre premier.

2. Comme 8 044 est pair, il admet donc au moins trois diviseurs qui sont 1, 2 et lui-même, 8 044 n’est donc pas premier.

3. Comme 5 + 9 + 0 + 7 = 21 est un multiple de 3 donc 5 907 aussi, il admet donc au moins trois diviseurs qui sont 1, 3 et lui-même,5 907 n’est donc pas premier.

4. Comme le dernier chiffre de 6 795 est un 5 alors 6 795 est divisible par 5, il admet donc au moins trois diviseurs qui sont 1, 5 et lui-même, 6 795 n’est donc pas premier.

Exercice n

3

1. Il est suffisant de tester la divisibilité de 2 668 050 par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à√

2 668 050 c’est-à-dire inférieurs à 1 633.

Ce sont les nombres de la liste :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ;

59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 ; 101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ;

131 ; 137 ; 139 ; 149 ; 151 ; 157 ; 163 ; 167 ; 173 ; 179 ; 181 ; 191 ; 193 ; 197 ; 199 ; 211 ; 223 ; 227 ; 229 ; 233 ; 239 ; 241 ; 251 ; 257 ; 263 ; 269 ; 271 ; 277 ; 281 ; 283 ; 293 ; 307 ; 311 ; 313 ; 317 ; 331 ; 337 ; 347 ; 349 ; 353 ; 359 ; 367 ; 373 ; 379 ; 383 ; 389 ; 397 ; 401 ; 409 ; 419 ; 421 ; 431 ; 433 ; 439 ; 443 ; 449 ; 457 ; 461 ; 463 ; 467 ; 479 ; 487 ; 491 ; 499 ; 503 ; 509 ; 521 ; 523 ; 541 ; 547 ; 557 ; 563 ; 569 ; 571 ; 577 ; 587 ; 593 ; 599 ; 601 ; 607 ; 613 ; 617 ; 619 ; 631 ; 641 ; 643 ; 647 ; 653 ; 659 ; 661 ; 673 ; 677 ; 683 ; 691 ; 701 ; 709 ; 719 ; 727 ; 733 ; 739 ; 743 ; 751 ; 757 ; 761 ; 769 ; 773 ; 787 ; 797 ; 809 ; 811 ; 821 ; 823 ; 827 ; 829 ; 839 ; 853 ; 857 ; 859 ; 863 ; 877 ; 881 ; 883 ; 887 ; 907 ; 911 ; 919 ; 929 ; 937 ; 941 ; 947 ; 953 ; 967 ; 971 ; 977 ; 983 ;

991 ; 997 ; 1009 ; 1013 ; 1019 ; 1021 ; 1031 ; 1033 ; 1039 ; 1049 ; 1051 ; 1061 ; 1063 ; 1069 ; 1087 ; 1091 ; 1093 ; 1097 ; 1103 ; 1109 ; 1117 ; 1123 ; 1129 ; 1151 ; 1153 ; 1163 ; 1171 ; 1181 ; 1187 ; 1193 ; 1201 ; 1213 ; 1217 ; 1223 ; 1229 ; 1231 ; 1237 ; 1249 ; 1259 ; 1277 ; 1279 ; 1283 ; 1289 ; 1291 ; 1297 ; 1301 ; 1303 ; 1307 ; 1319 ; 1321 ; 1327 ; 1361 ; 1367 ; 1373 ; 1381 ; 1399 ; 1409 ; 1423 ; 1427 ; 1429 ; 1433 ; 1439 ; 1447 ; 1451 ; 1453 ; 1459 ; 1471 ; 1481 ; 1483 ; 1487 ; 1489 ; 1493 ; 1499 ; 1511 ; 1523 ;

1621 ; 1627.

2 668 050÷2= 1 334 025 1 334 025÷3= 444 675 444 675÷3= 148 225 148 225÷5= 29 645 29 645÷5= 5 929 5 929÷7= 847 847÷7= 121 121÷11= 11 11÷11= 1

Finalement on obtient la décomposition suivante :2 668 050 = 2×3²×5²×7²×11²

2. Il est suffisant de tester la divisibilité de 1 291 par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à√

1 291 c’est à dire inférieurs à 35.

Ce sont les nombre de la liste2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31, on se rend compte que1 291 est un nombre premier donc 1 291 = 1 291.

3. Il est suffisant de tester la divisibilité de 4 897 par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à√

4 897 c’est-à-dire inférieurs à 69.

Ce sont les nombres de la liste suivante :

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67.

4 897÷59= 83 83÷83= 1

D’où4 897 = 59×83.

Exercice n

4

1. Avec la décomposition en facteurs premiers de1 764 qui est : 2²×3²×7², a. Le tableau donne :

× 2⁰ 2¹ 2²

3⁰ ×7⁰ 3⁰×7⁰×2⁰ =1 3⁰×7⁰ ×2¹ =2 3⁰×7⁰×2² =4 3⁰ ×7¹ 3⁰×7¹×2⁰ =7 3⁰×7¹×2¹ =14 3⁰×7¹×2² =28 3⁰ ×7² 3⁰×7²×2⁰ =49 3⁰×7²×2¹ =98 3⁰×7²×2² =196 3¹ ×7⁰ 3¹×7⁰×2⁰ =3 3¹×7⁰ ×2¹ =6 3¹×7⁰×2² =12 3¹ ×7¹ 3¹×7¹×2⁰ =21 3¹×7¹×2¹ =42 3¹×7¹×2² =84 3¹ ×7² 3¹×7² ×2⁰ =147 3¹×7²×2¹ =294 3¹×7²×2² =588 3² ×7⁰ 3²×7⁰×2⁰ =9 3²×7⁰×2¹ =18 3²×7⁰×2² =36 3² ×7¹ 3²×7¹×2⁰ =63 3²×7¹×2¹ =126 3²×7¹×2² =252 3² ×7² 3²×7² ×2⁰ =441 3²×7²×2¹ =882 3² ×7²×2² =1 764 b.1 764 a donc (2 + 1)×(2 + 1)×(2 + 1) = 3×3×3 = 27 diviseurs.

En effet, dans la décomposition apparait :

- Le facteur premier 2 avec la multiplicité 2, le facteur 2 apparait donc sous les formes : 2⁰ ou2¹ ou2² d’où le facteur(2 + 1).

- Le facteur premier 3 avec la multiplicité 2, le facteur 3 apparait donc sous les formes : 3⁰ ou3¹ ou3² d’où le facteur(2 + 1).

- Le facteur premier 7 avec la multiplicité 2, le facteur 7 apparait donc sous les formes : 7⁰ ou7¹ ou7² d’où le facteur(2 + 1).

c.Enfin, voici la liste des27diviseurs de1 764issus du tableau ci-dessus :1; 2; 3; 4;6; 7;9; 12; 14; 18;21; 28; 36; 42; 49;63; 84; 98; 126; 147; 196; 252; 294; 441; 588; 882; 1 764.

Correction

2. Avec la décomposition en facteurs premiers de2 205 qui est : 3²×5×7², a. Le tableau donne :

× 3⁰ 3¹ 3²

5⁰ ×7⁰ 5⁰×7⁰×3⁰ =1 5⁰×7⁰ ×3¹ =3 5⁰×7⁰×3² =9 5⁰ ×7¹ 5⁰×7¹×3⁰ =7 5⁰×7¹×3¹ =21 5⁰×7¹×3² =63 5⁰ ×7² 5⁰×7²×3⁰ =49 5⁰×7²×3¹ =147 5⁰×7²×3² =441 5¹ ×7⁰ 5¹×7⁰×3⁰ =5 5¹×7⁰×3¹ =15 5¹×7⁰×3² =45 5¹ ×7¹ 5¹×7¹×3⁰ =35 5¹×7¹×3¹ =105 5¹×7¹×3² =315 5¹ ×7² 5¹×7² ×3⁰ =245 5¹×7²×3¹ =735 5¹ ×7²×3² =2 205 b.2 205 a donc (2 + 1)×(1 + 1)×(2 + 1) = 3×2×3 = 18 diviseurs.

En effet, dans la décomposition apparait :

- Le facteur premier 3 avec la multiplicité 2, le facteur 3 apparait donc sous les formes : 3⁰ ou3¹ ou3² d’où le facteur(2 + 1).

- Le facteur premier 5 avec la multiplicité 1, le facteur 5 apparait donc sous les formes : 5⁰ ou5¹ d’où le facteur(1 + 1).

- Le facteur premier 7 avec la multiplicité 2, le facteur 7 apparait donc sous les formes : 7⁰ ou7¹ ou7² d’où le facteur(2 + 1).

c.Enfin, voici la liste des18diviseurs de2 205issus du tableau ci-dessus :1; 3; 5; 7;9; 15; 21;35;45; 49; 63; 105; 147; 245; 315; 441; 735; 2 205.

Exercice n

5

a. La décomposition en produit de facteurs premier de A= 2×5×7.

b.La décomposition en produit de facteurs premier de B = 2×5×13.

c. A

B = 70

130 = 2×5×7

2×5×13 = 7 13 d. B

A est l’inverse de A

B donc B

A = 130

70 = 2×5×13

2×5×7 = 13 7 .

Exercice n

6

L’intérieur sera nettoyé à chaque multiple de 28 jours, l’extérieur à chaque multiple de 20 jours.

Les nettoyages intérieur et extérieur auront lieu le même jour à chaque multiple commun de 28 et de 20.

Pour trouver le nombre de jours avant un nettoyage intérieur et extérieur, on cherche le plus petit mul- tiple qu’ils ont en commun.

Un moyen d’y arriver est de décomposer les nombres de jours en produits de facteurs premiers et d’iden- tifier les différences entre les décompositions :

28 =2 × 2 × 7 20 =2 × 2 × 5

On multiplie les facteurs communs aux deux décompositions avec les facteurs spécifiques à chaque dé- composition :

2 × 2× 7 × 5 = 140

(Après 5 nettoyages pourle nettoyage intérieur et après 7 nettoyages pourle nettoyage exté- rieur)

140 est bien un multiple de 28 car : 2 × 2 ×7 × 5 = (2× 2 × 7) × 5= 28 × 5

140 est bien un multiple de 20 car : 2 × 2 ×7 × 5 = 2 ×2 × 5 × 7 = (2 × 2 × 5)× 7 = 20 × 7

Exercice n

7

1. a. Liste des premiers multiples de 19:

1×19 = 19; 2×19 = 38; 3×19 = 57; 4×19 = 76; 5×19 = 95;

6×19 = 114;7×19 = 133;8×19 = 152; 9×19 = 171; 10×19 = 190; 11×19 = 209;12×19 = 228; 13×19 = 247; 14×19 = 266; 15×19 = 285; 16×19 = 304;17×19 = 323; 18×19 = 342; 19×19 = 361; 20×19 = 380; 21×19 = 399;22×19 = 418; 23×19 = 437; 24×19 = 456; 25×19 = 475; 26×19 = 494;27×19 = 513; 28×19 = 532;29×19 = 551; 30×19 = 570; . . .

Liste des premiers multiples de 28 :

1×28 = 28; 2×28 = 56; 3×28 = 84; 4×28 = 112; 5×28 = 140; 6×28 = 168;7×28 = 196;8×28 = 224; 9×28 = 252; 10×28 = 280; 11×28 = 308;12×28 = 336; 13×28 = 364; 14×28 = 392; 15×28 = 420; 16×28 = 448;17×28 = 476; 18×28 = 504; 19×28 =532; 20×28 = 560; . . .

Le plus petit multiple commun à19et 28vaut donc ppcm(19,28) = 532.

Leppcm(19; 28) = 19×28donc 19et 28sont des nombres premiers entre eux.³ b.Chaque roue doit tourner de ppcm(19,28) = 532 dents.

Cela correspond à (532 dents)÷(19 dents/tour) = 28 tours pour la roue n°1.

Cela correspond à (532 dents)÷(28 dents/tour) = 19 tours pour la roue n°2.

2. Pour un nombre de dents plus élevé, il est plus commode d’utiliser les décompositions en produit de facteurs premiers.

a. Décomposition de 35en produit de facteurs premiers : 35 = 5×7.

Décomposition de61 en produit de facteurs premiers : 61 = 61.

D’oùppcm(35,61) = 5×7×61.

Leppcm(35; 61) = 35×61donc 35et 61sont des nombres premiers entre eux.⁴ b.Chaque roue doit tourner de ppcm(35,61) = 2 135 dents.

Cela correspond à (2 135dents)÷(35 dents/tour) = 61tours pour la roue n°1.

Cela correspond à (2 135dents)÷(61 dents/tour) = 35tours pour la roue n°2.

3. Puisque la roue n°2, qui a 225 dents, fait 1tour , cela représente 225 dents.

La roue n°1 doit donc aussi tourner de225 dents, ceci en 5 tours . on obtient donc (225 dents)÷(5 tours ) = 45 dents/tour.

La roue n°1 a donc : 45dents.

3. Définition : Nombres premiers entre eux Étant donnés deux nombres entiers a et b, lorsque le plus petit multiple commun àaetb vauta×b (ppcm(a, b) =a×b), on dit queles nombres a et b sont premiers entre eux 4. Définition : Nombres premiers entre eux Étant donnés deux nombres entiers a et b, lorsque le plus petit multiple commun àaetb vauta×b (ppcm(a, b) =a×b), on dit queles nombres a et b sont premiers entre eux

3e Exercices de révisions Arithmétique

Exercice n

8

1. a. - Les diviseurs de 102 sont : 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102.

- Les diviseurs de 238 sont : 1, 2, 7, 14, 17, 34, 119, 238.

34 est le plus grand nombre qui divise à la fois 102 et 238.

Le nombre maximal de bouquets est donc : 34.

b.102÷34 = 3

Le nombre d’ris dans chaque bouquet est :3.

c.238÷34 = 7

Le nombre de roses dans chaque bouquet est :7.

2. a. - Les diviseurs de 105 sont : 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

- Les diviseurs de 70 sont : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

35 est le plus grand nombre qui divise à la fois 105 et 70.

Le nombre maximal de groupes est donc :35.

b. 105÷35 = 3

Le nombre de garçons dans chaque groupe est :3.

c. 70÷35 = 2

Le nombre de filles dans chaque groupe est :2.

3. a. - Les diviseurs de 396 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 18, 22, 33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396.

- Les diviseurs de 252 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252.

36 est le plus grand nombre qui divise à la fois 396 et 252.

Le nombre maximal de corbeilles est donc : 36.

b. 396÷36 = 11

Le nombre de croissants dans chaque corbeille est :11.

c. 252÷36 = 7

Le nombre de brioches dans chaque corbeille est :7.