Poussins et benjamins

V Douine – TS – Travail à distance 24 - CORRECTION

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Poussins et benjamins

Dans un club sportif, chaque année la moitié des benjamins part en minimes, l’autre moitié reste en benjamins, la moitié des poussins part en benjamins, l’autre moitié reste en poussins. Le club recrute aussi, chaque année, 15 nouveaux adhérents en catégorie poussins et 10 en catégorie benjamins. A sa création, année notée 0, le club comptait 35 poussins et 60 benjamins. On souhaite prévoir l’évolution des nombres de poussins et de benjamins en supposant que les mouvements sont les mêmes d’une année à l’autre. On note b _n et p _n les nombres de benjamins et de poussins l’année n (on acceptera des résultats non entiers).

Modélisation à l’aide de matrices

1. Montrer que la situation se traduit par les relations de récurrence

1

1

1 15 2

1 1

2 2 10

n n

n n n

p p

b b p





  

 

   



.

Les poussins restent avec la moitié de leur effectif plus 15 nouvelles entrées :

1

1 15

n 2 n

p _  p 

Les benjamins restent avec la moitié de leur effectif, accueillent la moitié de l’effectif des poussins et 10 nouvelles entrées :

1

1 1

2 2 10

n n n

b _  b  p 

D’où le système

1

1

1 15 2

1 1

2 2 10

n n

n n n

p p

b b p





  

 

   



2. Soit U _n la matrice colonne ⁿ

n

p c

 

 

  pour n entier naturel. Ecrire le système précédent sous la forme U _{n  1}  AU _n  B où A est une matrice carrée et B une matrice colonne.

1 1

1

0,5 0 15

0,5 0,5 10

n

n n

n

n n

U B A

p p

U b b







       

           

   

   

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Calcul de A puissance n

3. Déterminer la matrice T telle que ¹

A  2 Id  T , puis calculer T ² . 0 0

0,5 0

T  

  

  et ^{2 0 0} 0 0

T  

  

 

4. Calculer A ² en fonction de Id et T . En déduire A ³ .

2

2 1 1 2 1 1

2 4 2 2 4

A     Id T      Id T    Id T   Id T 

3 1 1 1 1 1 2 1 3

2 4 8 2 4 8 4

A     Id  T    Id  T     Id  T  T  T  Id  T 5. Montrer par récurrence, pour n  1 , que ¹  ² 

2

n

A n        Id  nT . En déduire A ⁿ . Pour n=1 la relation est vraie (voir début de la question 4).

Supposons que la relation soit vraie au rang p, démontrons qu’elle aussi vraie au rang p+1

 

       

1 2

1

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2

p p

p

p p p

A Id T Id pT Id pT T pT

Id p T Id p T Id p T





       

                       

         

                              Je peux en déduire que :

 

 

   

1 0 0 0

1 1

2 2

0 1 0,5 0

2 2

1 2 0

1 0 1

1

2 1 2 1 2

n n

n

n n

n n

A Id nT n

n n

     

   

                       

 

 

   

              

Calcul de Un : première méthode, à l’aide d’une suite auxiliaire 6. Déterminer une matrice X ^x

y

    

  telle que X  AX  B .

    ^{1 30}

X  AX   B X  AX   B Id  A X   B X  Id  A ^ B  X      50

  7. En déduire que la suite V _n définie par V _n  U _n  X vérifie, pour n  1 , V _{n  1}  AV _n .

 

1 1

n n n n n

V _  U _  X  AU   B AX   B A U  X  AV

8. En déduire V _n en fonction de V ₀ puis montrer que  0 

n

U n  A U  X  X .

   

0 0 0

n n n

n n n

V  A   V U  X  A  U  X  U  A  U  X  X

9. Déduire des résultats précédents les expressions de p _n et de b _n en fonction de n .

   

   

 

   

 

   

0

1 2 0 35 30 30

60 50 50

1 2 1 2

1 2 0 5 30 5 1 2 30

10 50

1 2 1 2 5 1 2 10 1 2 50

n n

n n n

n n

n n n n

U A U X X

n

n n

        

 

                           

         

   

                        

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10. En déduire l’évolution du nombre de poussins et de benjamins quand n devient grand.

 

   

5 1 2 30

5 1 2 10 1 2 50

n n

n n

n

p

b n

  

     

Lorsque n devient grand la population de poussins se stabilisera à 30.

Lorsque n devient grand la population de poussins se stabilisera à 50.

Suite de matrices arithmético-géométrique – Exercice supplémentaire

On considère la suite U _n de matrice colonne telle que U _{n  1}  AU _n  B pour tout n  0 avec 2 1

A  0 3 

  

  , 10 B   12

  

  et ₀ 1 U  2 

      . Déterminer une matrice colonne X vérifiant la même X  AX  B . Soit V _n  U _n  X pour n  0 . Montrer que V _{n  1}  AV _n . En déduire V _n en fonction de V ₀ . En déduire que pour tout n  0 ,  0 

n

U n  A U  X  X . Montrer que pour tout n  0 ,

2 3 2

0 3

n n n

n

A   n 

  

  . En déduire U _n en fonction de n . 4

X   6 

     

 

1 1

n n n n n

V _  U _  X  AU   B AX   B A U  X  AV

   

0 0 0

n n n

n n n

V  A   V U  X  A  U  X  U  A  U  X  X

Le fait que 2 3 2

0 3

n n n

n

A   n 

  

  se démontre par récurrence sur n.

Pour n=0 la relation est vraie puisque

0 0 0

0 0

2 3 2 1 0

0 3 0 1 Id A

    

  

   

 

 

Supposons la relation vraie au rang p et démontrons là au rang p+1.

  ^{1 1 1}

1

1

2 2 0 2 3 2 3

2 1 2 3 2 2 3 2

0 3 0 3 0 2 3 0 0 3 3 0 3

p p p p

p p p p p p

p

p p p p

A

  





      

     

 

                         La relation est donc vraie pour tout n supérieur ou égal à 1.

 

1 4 4

2 3 2

2 6 6

0 3

5 2 4 3 2 4

5 4

2 3 2

4 6

0 3 4 3 6

2 4 3 4 4 3 6

n n n

n n

n n n

n n n

n n

n n

n

U             

                        

      



      

                      

    

      