1 La poule et les poussins

Branchement

TD6-MAPI3 2016-2017

1 La poule et les poussins

Une poule pond N oeufs, N suit une loi de Poisson de param` etre λ. Chaque oeuf ´ eclˆ ot selon une loi de Bernoulli de param` etre p, ind´ ependamment des autres oeufs. On appelle K le nombre de poussins.

1. Calculer P [K|N], puis E [K|N ] et enfin E [K].

2. Calculer P [N|K] puis E [N |K].

Th´ eor` eme. Soit X 1 , X 2 , . . . une suite de variables al´ eatoires iid ` a valeurs dans N et de fonction g´ en´ eratrice G X . Soit N une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N , ind´ ependante des X i et de fonction g´ en´ eratrice G N . Alors si S N = X 1 + · · · + X N , la fonction g´ en´ eratrice de S N est

G S

(s) = G N (G X (s)).

3. En d´ eduire la loi de K.

4. ´ Ecrire une fonction qui simule le processus de ponte d’oeuf ainsi que la naissance ou non des poussins.

5. V´ erifier par un histogramme l’ad´ equation de la loi empirique ` a la loi th´ eorique de K.

2 Processus de Galton-Watson : probabilit´ e d’extinction

On ´ etudie la transmission du nom X port´ e ` a l’origine par un seul homme. Cet homme forme la g´ en´ eration 0.

Les descendants mˆ ales directs de la n-i` eme g´ en´ eration forment la (n + 1)-i` eme g´ en´ eration et la probabilit´ e p _k qu’un homme ait k fils (k = 0, 1, 2, . . .) est constante au cours des g´ en´ erations. On suppose 0 < p ₀ < 1. Soit Z _n le nombre d’hommes portant le nom X ` a la n-i` eme g´ en´ eration.

On pose x _n = P [Z _n = 0] la probabilit´ e d’extinction du nom ` a la n-i` eme g´ en´ eration et G(s) = P ∞

k=0 p _k s ^k la fonction g´ en´ eratrice du nombre de fils d’un homme.

1. En utilisant le th´ eor` eme de l’exercice pr´ ec´ edent, donner une relation de r´ ecurrence permettant de calculer la fonction g´ en´ eratrice G n de Z n .

2. Montrer que G est monotone et convexe sur [0, 1]. Discuter la valeur de lim _n→∞ x n en fonction de m = P ∞

k=0 kp k . Conclure sur le probl` eme de l’extinction du nom X .

3 Processus de Galton-Watson et forme autor´ egressive

On consid` ere un processus de Galton-Watson, ou processus de branchement,

X n+1 =

X

X

k=1

Y n,k

avec X 0 = 1 et (Y k,n ) est une famille de variables al´ eatoires ind´ ependantes qui suivent une mˆ eme loi de moyenne m et de variance σ ² .

Montrer que le processus peut s’´ ecrire sous la forme autor´ egressive X n+1 = mX n + n+1 et calculer E [ n+1 |X n ] et E [ ² _n+1 |X n ].

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4 Processus de Galton-Watson : cas sous-critique, critique et sur- critique

On consid` ere un processus de Galton-Watson, ou processus de branchement, X _n+1 = P X

k=1 Y _n,k avec X ₀ = 1 et (Y _k,n ) est une famille de variables al´ eatoires ind´ ependantes qui suivent une mˆ eme loi de moyenne m et de variance σ ² > 0.

Th´ eor` eme. On note q la probabilit´ e d’extinction de la population.

• Si m < 1, on est dans le cas sous-critique : q = 1 donc la population va s’´ eteindre presque sˆ urement.

• Si m = 1, on est dans le cas critique : q = 1 donc la population va ´ egalement s’´ eteindre presque sˆ urement. On a aussi n P [X n > 0] → 2/σ ² et

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n E [X _n |X n > 0] → σ ² 2 .

• Si m > 1, on est dans le cas sur-critique : q est l’unique point fixe < 1 de la fonction g´ en´ eratrice associ´ ee ` a la loi de Y _n,k . De plus (X _n /m ⁿ ) converge p.s. et en poyenne quadratique vers une variable al´ eatoire finie L avec E [L] = 1, V ar[L] = σ ² /(m ² − m) et P [L = 0] = q.

1. Simuler un processus de Galton-Watson pour lequel chaque individu admet 0, 1 ou 2 descendants (avec le choix de p 0 et p 1 en entr´ ee). Calculer l’esp´ erance m et la probabilit´ e d’extinction q.

2. Dans le cas o` u m < 1, repr´ esenter une ´ evolution assez longue de la population. Pour 100 trajectoires, calculer la moyenne empirique de X n pour chaque n et v´ erifier que cette moyenne divis´ ee par m ⁿ est proche de 1.

3. Dans le cas o` u m = 1, repr´ esenter une ´ evolution de la population. Pour 100 trajectoires pour lesquelles X n > 0, calculer la moyenne empirique de X n sachant X n > 0 avec n = 10, 20, 50. V´ erifier que ctte moyenne est proche de nσ ² /2.

4. Dans le cas o` u m > 1, repr´ esenter une ´ evolution de la population puis repr´ esenter plusieurs trajectoires de X _n /m ⁿ .

5 Interpr´ etation de code

On consid` ere un processus de Galton-Watson, ou processus de branchement, X n+1 = P X

k=1 Y n,k avec X 0 = 1 et (Y k,n ) est une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes qui suivent une loi g´ eom´ etrique de param` etre p.

1. Expliquez ce que le code suivant est cens´ e faire.

N = input( ⁰ Entrer le nombre d’it´ erations : ⁰ );

NR = input( ⁰ Entrer le nombre de r´ ealisations : ⁰ );

p = input( ⁰ Entrer le param` etre de la loi g´ eom´ etrique : ⁰ );

X = zeros(NR, N + 1); X(1 : NR, 1) = 1;

for i = 1 : NR, for j = 1 : N,

X(i, j+1) = sum(geornd(p, [1, X(i, j)])); %geornd cr´ ee un vecteur de taille X(i,j) de variables de loi geometrique if X(i, j + 1) == 0; break end; %Sortie de boucle si extinction population

end;

end

P = sum(X == 0)/NR; %Vecteur des proportions de 0 dans chaque colonne de X plot([0 : N], P) %Sortie graphique

2. Faites tournez le programme (dans le langage que vous voulez) pour N = N R = 100 et p = 0.47, puis 0.48, 0.49 et 0.5 et comparez avec la probabilit´ e d’extinction th´ eorique p/(1 − p).

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