CLUB SPORTIF.
Dans un club sportif, chaque année, la moitié des benjamins part en minimes, l autre moitié reste en benjamins ; le tiers des poussins part en benjamins, les deux autres tiers restent en poussins.
Le club recrute aussi chaque année 15 nouveaux adhérents en catégorie poussins et 10 en catégorie benjamins.
En 2010 (année numéro 0), le club comptait 35 poussins et 60 benjamins.
On souhaite prévoir l évolution à long terme du nombre de poussins et du nombre de benjamins du club.
Pour tout entier naturel n, on note b
net p
nles nombres de benjamins et de poussins l année n (on acceptera des résultats non entiers) et U
nla matrice
pnbn
.
1. Déterminer des matrices A et B telles que U
n 1= AU
n+ B.
2. Déterminer une matrice X =
xy
telle que X = AX + B.
3. Pour tout n de , on pose V
nU
nX.
a. Montrer que pour tout n de , V
n 1= AV
n.
b. Montrer par récurrence que pour tout n de , V
n=A
nV
0. c. En déduire U
nen fonction de A.
4. Détermination de A
n: Soit P =
1 0 2 1.
a. Calculer D = P AP. En déduire A en fonction de D et P.
b. Exprimer A
nen fonction de D et P.
c. Montrer par récurrence sur n que pour tout n de : D
n=
2 3
n
0 0
1 2
n
