Simulation d’Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSRs)

Simulation d’Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSRs)

Adrien Richou

IRMAR, Université Rennes 1

Mont-Dore, mai 2010

Équations différentielles stochastiques

Soient(Ω,F,P)un espace de probabilité et (W_t)t>0un

mouvement browniend-dimensionnel. On note(F_t)t la filtration du mouvement brownien.

X_t^t0,x0 =x₀+ Z t

t0

b(s,X_s^t0,x0)ds+ Z t

t0

σ(s,X_s^t0,x0)dWs.

On suppose des hypothèses standard surb etσpour avoir une solution forte.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Lien avec les EDPs

On considère l’EDP suivante

∂_tu(t,x) +Lu(t,x) +f(x) =0 u(T,x) =h(x),

avec

Lu(t,x) = 1

2Tr(σ(t,x)^tσ(t,x)∇²u(t,x)) +^t b(t,x)∇u(t,x).

Lien avec les EDPs

Siuest suffisamment régulière on a

du(t,X_t^t0,x0) = ∂_tu(t,X_t^t0,x0)dt+∇u(t,X_t^t0,x0)dX_t^t0,x0 +1

2Tr(σ^tσ(t,X_t^t0,x0)∇²u(t,X_t^t0,x0))dt

h(X_T^t0,x0)−u(t₀,x₀) = Z T

t0

dt

+ Z T

t0

∇u(t,X_t^t0,x0)σ(t,X_t^t0,x0)dW_t

u(t₀,x₀) =E

"

h(X_T^t0,x0) + Z T

t0

f(X_t^t0,x0)dt

# .

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Lien avec les EDPs

Siuest suffisamment régulière on a

du(t,X_t^t0,x0) = ∂_tu(t,X_t^t0,x0)dt+∇u(t,X_t^t0,x0)dX_t^t0,x0 +1

2Tr(σ^tσ(t,X_t^t0,x0)∇²u(t,X_t^t0,x0))dt

h(X_T^t0,x0)−u(t₀,x₀) = Z T

t0

∂tu(t,X_t^t0,x0) +Lu(t,X_t^t0,x0)dt

+ Z T

t₀

∇u(t,X_t^t0,x0)σ(t,X_t^t0,x0)dW_t

u(t₀,x₀) =E

"

h(X_T^t0,x0) + Z T

t0

f(X_t^t0,x0)dt

# .

Lien avec les EDPs

Siuest suffisamment régulière on a

du(t,X_t^t0,x0) = ∂_tu(t,X_t^t0,x0)dt+∇u(t,X_t^t0,x0)dX_t^t0,x0 +1

2Tr(σ^tσ(t,X_t^t0,x0)∇²u(t,X_t^t0,x0))dt

h(X_T^t0,x0)−u(t₀,x₀) = Z T

t0

−f(X_t^t0,x0)dt

+ Z T

t₀

∇u(t,X_t^t0,x0)σ(t,X_t^t0,x0)dW_t

u(t₀,x₀) =E

"

h(X_T^t0,x0) + Z T

t0

f(X_t^t0,x0)dt

# .

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Lien avec les EDPs

Siuest suffisamment régulière on a

du(t,X_t^t0,x0) = ∂_tu(t,X_t^t0,x0)dt+∇u(t,X_t^t0,x0)dX_t^t0,x0 +1

2Tr(σ^tσ(t,X_t^t0,x0)∇²u(t,X_t^t0,x0))dt

h(X_T^t0,x0)−u(t₀,x₀) = Z T

t0

−f(X_t^t0,x0)dt

+ Z T

t₀

∇u(t,X_t^t0,x0)σ(t,X_t^t0,x0)dW_t

u(t₀,x₀) =E

"

h(X_T^t0,x0) + Z T

t0

f(X_t^t0,x0)dt

# .

Formule de Feynman-Kac

Formule de Feynman-Kac : u(t₀,x₀) :=E

"

h(X_T^t0,x0) + Z T

t0

f(X_t^t0,x0)dt

#

est une solution (de viscosité) de l’EDP.

Question

Peut-on avoir le même type de formule lorsquef dépend aussi deu et∇u.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Formule de Feynman-Kac

Formule de Feynman-Kac : u(t₀,x₀) :=E

"

h(X_T^t0,x0) + Z T

t0

f(X_t^t0,x0)dt

#

est une solution (de viscosité) de l’EDP.

Question

Peut-on avoir le même type de formule lorsquef dépend aussi deu et∇u.

EDSs rétrogrades

On voudrait résoudre l’équation différentielle suivante dY_t =−f(t,X_t,Y_t)dt

Y_T =h(X_T),

en imposant queYt soitF_t-adapté, c’est à dire queYt ne dépende pas du futur aprèst.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

EDSRs

Prenons l’exemplef =0, i.e.dYt =0. Un candidat naturel est Yt =h(X_T)

mais il ne convient pas car il n’est pas adapté.

Un autre candidat naturel est

Yt =E[h(X_T)|F_t].

Le théorème de représentation martingale nous donne Yt =E[h(X_T)] +

Z t 0

ZsdWs,

que l’on peut réécrire

Y_t =Y_T − Z T

t

Z_sdW_s.

EDSRs

Prenons l’exemplef =0, i.e.dYt =0. Un candidat naturel est Yt =h(X_T)

mais il ne convient pas car il n’est pas adapté.

Un autre candidat naturel est

Yt =E[h(X_T)|F_t].

Le théorème de représentation martingale nous donne Yt =E[h(X_T)] +

Z t 0

ZsdWs,

que l’on peut réécrire

Y_t =Y_T − Z T

t

Z_sdW_s.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

EDSRs

Prenons l’exemplef =0, i.e.dYt =0. Un candidat naturel est Yt =h(X_T)

mais il ne convient pas car il n’est pas adapté.

Un autre candidat naturel est

Yt =E[h(X_T)|F_t].

Le théorème de représentation martingale nous donne Yt =E[h(X_T)] +

Z t 0

ZsdWs,

que l’on peut réécrire

Y_t =Y_T − Z T

t

Z_sdW_s.

EDSRs

Revenons au cas général :

Théorème : [Pardoux-Peng(1990)]

Sous des hypothèses standard, l’EDSR Yt =h(X_T) +

Z T t

f(s,Xs,Ys,Zs)ds− Z T

t

ZsdWs

possède une unique solution(Y,Z)telle que E

h

sup_06t6T |Y_t|²i

<+∞etE hRT

0 |Z_t|²dti

<+∞.

Il y a eu depuis de nombreux travaux pour réduire les hypothèses...

On note(Y_t^t0,x0,Z_t^t0,x0)la solution de l’EDSR Y_t^t0,x0 =h(X_T^t0,x0)+

Z T t

f(s,X_s^t0,x0,Y_s^t0,x0,Z_s^t0,x0)ds− Z T

t

Z_s^t0,x0dW_s.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

EDSRs

Revenons au cas général :

Théorème : [Pardoux-Peng(1990)]

Sous des hypothèses standard, l’EDSR Yt =h(X_T) +

Z T t

f(s,Xs,Ys,Zs)ds− Z T

t

ZsdWs

possède une unique solution(Y,Z)telle que E

h

sup_06t6T |Y_t|²i

<+∞etE hRT

0 |Z_t|²dti

<+∞.

Il y a eu depuis de nombreux travaux pour réduire les hypothèses... On note(Y_t^t0,x0,Z_t^t0,x0)la solution de l’EDSR Y_t^t0,x0 =h(X_T^t0,x0)+

Z T t

f(s,X_s^t0,x0,Y_s^t0,x0,Z_s^t0,x0)ds−

Z T t

Z_s^t0,x0dW_s.

Lien avec les EDPs

Considérons l’EDP suivante

∂_tu(t,x) +Lu(t,x) +f(t,x,u(t,x),^t∇u(t,x)σ(t,x)) =0 u(T,x) =h(x),

avec

Lu(t,x) = 1

2Tr(σ(t,x)^tσ(t,x)∇²u(t,x)) +^t b(t,x)∇u(t,x).

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Lien avec les EDPs

Proposition

Siuest suffisamment régulière, le calcul dedu(t,X_t^t0,x0)par la formule d’Itô nous montre que(u(t,X_t^t0,x0),^t∇uσ(t,X_t^t0,x0))t est solution de l’EDSR : on aY_t^t0,x0 =u(t,X_t^t0,x0)et

Z_t^t0,x0 =^t ∇uσ(t,X_t^t0,x0).

Formule de Feynman-Kac :

La fonctionu(t,x) :=Y_t^t,x est solution de viscosité de l’EDP. nb :u est bien déterministe.

Lien avec les EDPs

Proposition

Siuest suffisamment régulière, le calcul dedu(t,X_t^t0,x0)par la formule d’Itô nous montre que(u(t,X_t^t0,x0),^t∇uσ(t,X_t^t0,x0))t est solution de l’EDSR : on aY_t^t0,x0 =u(t,X_t^t0,x0)et

Z_t^t0,x0 =^t ∇uσ(t,X_t^t0,x0).

Formule de Feynman-Kac :

La fonctionu(t,x) :=Y_t^t,x est solution de viscosité de l’EDP.

nb :u est bien déterministe.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Simulation d’EDSRs

On posenle nombre de pas de temps,h:=1/nett_k :=Tk/n.

On prend pour simplifiert₀=0 etx₀=x.

Schéma d’Euler pour l’EDS

X_tⁿ_k+1 =X_tⁿ_k +b(t_k,X_tⁿ_k)h+σ(t_k,X_tⁿ_k)(Wt_k+1−Wt_k).

Discrétisation temporelle de l’EDSR Y_Tⁿ =h(X_Tⁿ),

Z_tⁿ_k = h⁻¹E h

Y_tⁿ_k+1(Wt_k+1 −Wt_k)|F_tki , Y_tⁿ

k = E

h Y_tⁿ

k+1+hf(t_k,X_tⁿ

k,Y_tⁿ

k+1,Z_tⁿ

k)|F_tki . Il reste à évaluer les espérances conditionnelles...

Simulation d’EDSRs

On posenle nombre de pas de temps,h:=1/nett_k :=Tk/n.

On prend pour simplifiert₀=0 etx₀=x.

Schéma d’Euler pour l’EDS

X_tⁿ_k+1 =X_tⁿ_k +b(t_k,X_tⁿ_k)h+σ(t_k,X_tⁿ_k)(Wt_k+1−Wt_k).

Discrétisation temporelle de l’EDSR Y_Tⁿ =h(X_Tⁿ),

Z_tⁿ_k = h⁻¹E h

Y_tⁿ_k+1(Wt_k+1 −Wt_k)|F_tki , Y_tⁿ

k = E

h Y_tⁿ

k+1+hf(t_k,X_tⁿ

k,Y_tⁿ

k+1,Z_tⁿ

k)|F_tki . Il reste à évaluer les espérances conditionnelles...

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Simulation d’EDSRs

On posenle nombre de pas de temps,h:=1/nett_k :=Tk/n.

On prend pour simplifiert₀=0 etx₀=x.

Schéma d’Euler pour l’EDS

X_tⁿ_k+1 =X_tⁿ_k +b(t_k,X_tⁿ_k)h+σ(t_k,X_tⁿ_k)(Wt_k+1−Wt_k).

Discrétisation temporelle de l’EDSR Y_Tⁿ =h(X_Tⁿ),

Z_tⁿ_k = h⁻¹E h

Y_tⁿ_k+1(W_tk+1−W_tk)|F_tki , Y_tⁿ

k = E

h Y_tⁿ

k+1+hf(t_k,X_tⁿ

k,Y_tⁿ

k+1,Z_tⁿ

k)|F_tki .

Il reste à évaluer les espérances conditionnelles...

Simulation d’EDSRs

On posenle nombre de pas de temps,h:=1/nett_k :=Tk/n.

On prend pour simplifiert₀=0 etx₀=x.

Schéma d’Euler pour l’EDS

X_tⁿ_k+1 =X_tⁿ_k +b(t_k,X_tⁿ_k)h+σ(t_k,X_tⁿ_k)(Wt_k+1−Wt_k).

Discrétisation temporelle de l’EDSR Y_Tⁿ =h(X_Tⁿ),

Z_tⁿ_k = h⁻¹E h

Y_tⁿ_k+1(W_tk+1−W_tk)|F_tki , Y_tⁿ

k = E

h Y_tⁿ

k+1+hf(t_k,X_tⁿ

k,Y_tⁿ

k+1,Z_tⁿ

k)|F_tki . Il reste à évaluer les espérances conditionnelles...

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Convergence de l’approximation

Théorème :

On supposebetσLipschitz. Alors sup

06k6n

E h

X_tk −X_tⁿ

k

2i 6 C

n.

Théorème :

On supposef Lipschitz ethα-Hölder.

sup

06k6n

E h

Y_tk −Y_tⁿ

k

2i +

n−1

X

k=0

E Z tk+1

t_k

Z_tⁿ

k −Z_tk

2ds

6 C

n^α.

EDSRs quadratiques

Question

A-t-on convergence lorsquef est localement Lipschitz en z ? f(t,x,y,z)−f(t,x,y,z⁰)

6C(1+|z|+ z⁰

) z−z⁰

. Si non, peut-on modifier l’algorithme pour avoir convergence ?

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Une première idée naïve

On peut approcherf par une fonction Lipschitz enz : f_N(t,x,y,z) =f(t,x,y, ρ_N(z))

avecρN la projection sur la boule centrée de rayonN. Théorème : [Imkeller-dos Reis (2010)]

Pour toutK >1 l’erreur entre(Y^N,Z^N)et(Y,Z)est en _N^CKK.

L’idée est maintenant d’approcher(Y^N,Z^N)par(Y^N,n,Z^N,n). Théorème :

l’erreur entre(Y^N,Z^N)et(Y^N,n,Z^N,n)est en ^CeCN

2

n .

L’erreur globale est donc en ^CK

(logn)^K/2.

Une première idée naïve

On peut approcherf par une fonction Lipschitz enz : f_N(t,x,y,z) =f(t,x,y, ρ_N(z))

avecρN la projection sur la boule centrée de rayonN. Théorème : [Imkeller-dos Reis (2010)]

Pour toutK >1 l’erreur entre(Y^N,Z^N)et(Y,Z)est en _N^CKK. L’idée est maintenant d’approcher(Y^N,Z^N)par(Y^N,n,Z^N,n).

Théorème :

l’erreur entre(Y^N,Z^N)et(Y^N,n,Z^N,n)est en ^CeCN

2

n .

L’erreur globale est donc en ^CK

(logn)^K/2.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Une première idée naïve

On peut approcherf par une fonction Lipschitz enz : f_N(t,x,y,z) =f(t,x,y, ρ_N(z))

avecρN la projection sur la boule centrée de rayonN. Théorème : [Imkeller-dos Reis (2010)]

Pour toutK >1 l’erreur entre(Y^N,Z^N)et(Y,Z)est en _N^CKK. L’idée est maintenant d’approcher(Y^N,Z^N)par(Y^N,n,Z^N,n).

Théorème :

l’erreur entre(Y^N,Z^N)et(Y^N,n,Z^N,n)est en ^CeCN

2

n .

L’erreur globale est donc en ^CK

(logn)^K/2.

Une estimation sur Z

Théorème : [Bao-Hu-Delbaen (2010), R. (2010)]

On suppose queσ est indépendante dex, quehest bornée et qu’il existeλ>0 telle que∀η ∈R^d

^tησ(s)[^tσ(s)^t∇b(s,x)−^tσ⁰(s)]η 6λ

^tησ(s)

2.

Alors

|Z_t|6 C (T−t)^1/2.

Adrien Richou Simulation d’EDSRs

Convergence de l’approximation

Théorème : [R. (2010)]

Il existe une grille de discrétisation(t_k)06k6net une puissance expliciteK telle que

sup

06k6n

E h

Yt_k −Y_tⁿ_k

2i +

n−1

X

k=0

E Z t_k+1

tk

Z_tⁿ_k −Zt_k

2ds

6 C

n^K.

Si de plus on supposebbornée alors sup

06k6n

E h

Yt_k −Y_tⁿ_k

2i +

n−1

X

k=0

E Z t_k+1

tk

Z_tⁿ_k −Zt_k

2ds

6 C

n^α−ε.