OD6 – Physique du laser

OD6 – Physique du laser I – Les interactions lumière-matière

I-1) Système à deux niveaux d’énergie

On s'intéressera à un système à deux niveaux d'énergie : 𝐸𝐸₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 𝐸𝐸₂ > 𝐸𝐸₁, non dégénérés (c'est-à-dire que le système est dans un seul état possible pour chacun de ces deux niveaux).

On notera 𝑁𝑁₁ la population (Nombre d’atomes par unité de volume) du niveau d'énergie 𝐸𝐸₁et 𝑁𝑁₂ la population de celui d'énergie 𝐸𝐸₂. La population totale 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁₁ + 𝑁𝑁₂ est constante.

Dans un premier temps, on suppose que seules les fréquences voisines de ν₀ telles que :

𝐸𝐸₂ − 𝐸𝐸₁ = ℎν₀

ont une probabilité appréciable d’interagir avec le système.

I-2) Absorption

Einstein proposa de manière phénoménologique l’existence de trois processus élémentaires d’interaction entre la lumière et la matière.

- L’émission spontanée ;

- L’émission induite (ou stimulée) ; - L’absorption.

Un système initialement dans l’état d’énergie inférieure absorbe un photon pour passer dans le niveau supérieur. Ceci constitue le phénomène d’absorption. La lumière a perdu de l’énergie au profit

de la matière.

Le taux de variation de la population 𝑁𝑁₁ est proportionnel à : - La population 𝑁𝑁₁

- La densité spectrale d’énergie par unité de volume 𝑞𝑞ω⁰₀ déjà rencontrée dans le cours sur le rayonnement, lié à la prise en compte des photons dans ce processus.

Le coefficient de proportionnalité entre ces différentes grandeurs est le coefficient d’Einstein pour l’absorption.

I-3) Emission stimulée (ou induite)

Considérons un atome dans le niveau 2. Le champ électromagnétique présent peut provoquer la désexcitation vers le niveau 1 et induire ainsi l’émission d’un photon d’énergie ℎω₀ s’il existe de l’énergie électromagnétique à la pulsation ω_0.

Le taux de variation de la population s’exprime à l’aide du coefficient d’Einstein pour l’absorption 𝐵𝐵₁₂ :

𝑑𝑑𝑁𝑁₁

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = −𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = −𝐵𝐵₁₂ 𝑞𝑞ω⁰₀ 𝑁𝑁₁ < 0

On admet que le photon émis par émission induite (ou stimulée) a des caractéristiques identiques à celles des autres photons :

- Même énergie (même fréquence),

- Même impulsion (imposée par le mode) donc même direction de propagation,

- Même polarisation, - Même phase.

I-4) Emission spontanée a) Principe

Considérons maintenant un atome dans le niveau 2. Cet état n’étant pas celui de plus basse énergie, on s’attend intuitivement à ce que l’atome revienne spontanément dans le niveau 1 en émettant un photon d’énergie ℎω_0.

La probabilité de cet évènement (par unité de temps) est indépendante de la présence de photons donc la fonction 𝑞𝑞ω⁰₀

n’apparaît pas dans son expression :

Le taux de variation de la population du niveau 2 dû à l’émission induite s’écrit à l’aide du coefficient d’Einstein sur l’émission stimulée :

𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = −𝑑𝑑𝑁𝑁₁

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = −𝐵𝐵₂₁ 𝑞𝑞ω⁰₀𝑁𝑁₂ < 0

Nous admettrons que le photon émis par émission spontanée a les propriétés suivantes :

- Fréquence aléatoire voisine de ν_0, - Direction aléatoire,

- Polarisation aléatoire, - Phase aléatoire.

b) Durée de vie de l’état excité

Nous avons supposé jusqu’ici que seuls des photons de fréquence vérifiant : 𝐸𝐸₂ − 𝐸𝐸₁ = ℎν₀ pouvaient interagir avec l’atome. Cela suppose que les énergies 𝐸𝐸₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸₁sont parfaitement définies. D’après l’inégalité de Heisenberg temps-énergie :

δ_𝐸𝐸 δ_{𝑒𝑒 ≥} ^ℎ

Cela signifie que la durée de vie du niveau excité est infinie : cette 2 hypothèse n’est pas réaliste car l’émission spontanée limite la durée de vie de l’état excité. En effet :

𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑒𝑒𝑎𝑎} = −𝐴𝐴₂₁ 𝑁𝑁₂ ⇒ _{𝑁𝑁2 = 𝑁𝑁2(0)𝑒𝑒}^{−𝐴𝐴21𝑡𝑡}

Cette loi de décroissance exponentielle montre que la durée de vie du niveau 2 est de l’ordre de :

τ ₌ ¹ 𝐴𝐴₂₁

Le taux de variation de la population du niveau 2 dû à l’émission spontanée s’écrit à l’aide du coefficient d’Einstein sur l’émission spontanée 𝐴𝐴₂₁:

𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑒𝑒𝑎𝑎} = −𝑑𝑑𝑁𝑁₁

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑒𝑒𝑎𝑎} = −𝐴𝐴₂₁ 𝑁𝑁₂ < 0

Dans ces conditions, l’inégalité de Heisenberg impose une indétermination de 𝐸𝐸₂dans un intervalle :

δ_𝐸𝐸 τ _~^ℎ

2 ⇒ δω ∼ ¹

2τ ∼ ^𝐴𝐴21

Avec l’effet Doppler, et les chocs c’est une des causes principales 2 de l’élargissement des raies.

I-5) Les coefficients d’Einstein a) Bilan de population

En regroupant les différents termes on obtient : 𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 = −𝐴𝐴₂₁ 𝑁𝑁₂ − 𝐵𝐵₂₁ 𝑞𝑞ω⁰₀ 𝑁𝑁₂ + 𝐵𝐵₁₂ 𝑞𝑞ω⁰₀ 𝑁𝑁₁

⇔ ^{𝑑𝑑𝑁𝑁2}

𝑑𝑑𝑒𝑒 = −𝑁𝑁₂𝐴𝐴₂₁ + 𝑞𝑞ω⁰₀ (𝐵𝐵₁₂ 𝑁𝑁₁ − 𝐵𝐵₂₁𝑁𝑁₂)

A l’aide de cette relation et de la loi de Planck, on peut trouver une relation entre les coefficients d’Einstein qui dépendent seulement de la transition considérée.

b) Relations entre les coefficients

Considérons le cas particulier d’atomes en équilibre avec le rayonnement thermique de température T uniquement. C’est un corps noir à l’équilibre qui vérifie :

𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0

⇔ _𝑞𝑞ω⁰_{0 =} ^{𝑁𝑁2𝐴𝐴21}

𝐵𝐵₁₂ 𝑁𝑁₁ − 𝐵𝐵₂₁𝑁𝑁₂

⇔ _𝑞𝑞ω⁰_{0 =} ^𝐴𝐴21 𝐵𝐵₁₂ 𝑁𝑁₁

𝑁𝑁₂ − 𝐵𝐵₂₁

Or, à l'équilibre thermique à la température T (en kelvin), le rapport des populations des deux niveaux est donné par le facteur de Boltzmann :

𝑁𝑁₁

𝑁𝑁₂ = e^{−𝐸𝐸𝑘𝑘1−𝐸𝐸𝐵𝐵𝑇𝑇2} = e^{𝐸𝐸𝑘𝑘2−𝐸𝐸𝐵𝐵𝑇𝑇1} = e^{ℎ𝑘𝑘𝐵𝐵ω𝑇𝑇0}

⇒ _𝑞𝑞ω⁰_{0 =} ^𝐴𝐴21

𝐵𝐵₁₂e^{ℎ𝑘𝑘𝐵𝐵ω𝑇𝑇0} − 𝐵𝐵₂₁

Or dans le chapitre sur le rayonnement thermique on a vu que : 𝑞𝑞λ⁰₀(𝑇𝑇) = 8π_ℎ𝑐𝑐

λ₀⁵

1

𝑒𝑒^{λ0ℎ𝑐𝑐 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇} − 1 Et par définition :

𝑑𝑑𝑞𝑞⁰ = 𝑞𝑞λ⁰₀𝑑𝑑λ _{= 𝑞𝑞ω}⁰_0𝑑𝑑ω 𝑂𝑂𝑂𝑂 ω _{= 2𝜋𝜋}λ^𝑐𝑐₀ ⇒ _{𝑑𝑑𝑞𝑞}⁰ _{= 𝑞𝑞ω}⁰_02𝜋𝜋 ^𝑐𝑐

λ₀^{2 𝑑𝑑}λ D’où :

𝑞𝑞λ⁰₀(𝑇𝑇) = 8π_ℎ𝑐𝑐 λ₀⁵

1

𝑒𝑒^{λ0ℎ𝑐𝑐 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇} − 1

= 2𝜋𝜋 𝑐𝑐 λ₀²

𝐴𝐴₂₁

𝐵𝐵₁₂e^{ℎ𝑘𝑘𝐵𝐵ω𝑇𝑇0} − 𝐵𝐵₂₁

= 2𝜋𝜋 𝑐𝑐 λ₀²

𝐴𝐴₂₁ 𝐵𝐵₁₂

1

e^{ℎ𝑘𝑘𝐵𝐵ω𝑇𝑇0} − 𝐵𝐵𝐵𝐵²¹₁₂

⇒

⎩⎨

⎧𝐴𝐴²¹

𝐵𝐵₁₂ = 4 ℎ λ₀^{3 =}

4ℎ

�2𝜋𝜋 𝑐𝑐𝜔𝜔₀�³

= ℎω₀³ 𝜋𝜋²𝑐𝑐³ 𝐵𝐵₁₂ = 𝐵𝐵₂₁

II – Nécessité d’une inversion de population

II-1) Bilan de puissance

Considérons un ensemble d’atomes avec des populations par unité de volume 𝑁𝑁₁𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑁𝑁₂respectivement dans l’état (1) et dans l’état excité (2). Un rayonnement de pulsation ω traverse ce milieu sous forme d’onde plane.

On définit les puissances volumiques suivantes : - Puissance volumique émise :

𝑝𝑝_{é𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎} = − �𝑑𝑑𝑁𝑁₂

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{é𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎} ℎ𝜔𝜔 = 𝐵𝐵���������₂₁𝑞𝑞ω⁰𝑁𝑁₂ ℎ𝜔𝜔 +

𝑝𝑝_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}

𝐴𝐴₂₁𝑁𝑁₂ ℎ𝜔𝜔

�������

𝑝𝑝_{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}

- Puissance volumique absorbée : 𝑝𝑝_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} = − �𝑑𝑑𝑁𝑁₁

𝑑𝑑𝑒𝑒 �_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} ℎ𝜔𝜔 = +𝐵𝐵₁₂𝑞𝑞ω0𝑁𝑁₁ ℎ𝜔𝜔

- Puissance volumique de pertes 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎 : ce terme inclus toute forme de pertes d’énergie électromagnétique pour toute cause différente de l’absorption de l’état (1) vers l’état (2).

Dans le cas des niveaux d’énergie non dégénérées, les coefficients d’Einstein sont tels que :

�

𝐴𝐴₂₁

𝐵𝐵₁₂ = 4 ℎ λ₀^{3 =}

ℎω₀³ 𝜋𝜋²𝑐𝑐³ 𝐵𝐵₁₂ = 𝐵𝐵₂₁ (𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑂𝑂)

Effectuons alors le bilan de l’énergie du champ électromagnétique entre t et t +dt pour un système mésoscopique de section S compris entre z et z+dz ;

𝑑𝑑𝑑𝑑 = δ_{𝑄𝑄é𝑐𝑐ℎ +} δ_{𝑄𝑄𝑐𝑐} Où

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝑞𝑞ω0(𝑧𝑧,𝑒𝑒 + 𝑑𝑑𝑒𝑒) − 𝑞𝑞ω0(𝑧𝑧,𝑒𝑒))𝑆𝑆𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝜕𝜕𝑞𝑞ω0(𝑧𝑧,𝑒𝑒)

𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑆𝑆𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑒𝑒 δ_{𝑄𝑄é𝑐𝑐ℎ = 𝐼𝐼(𝑧𝑧,}𝑒𝑒)𝑆𝑆𝑑𝑑𝑒𝑒 − 𝐼𝐼(𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑧𝑧,𝑒𝑒)𝑆𝑆𝑑𝑑𝑒𝑒 = −𝜕𝜕𝐼𝐼 (𝑧𝑧,𝑒𝑒)

𝜕𝜕𝑧𝑧 𝑆𝑆𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑒𝑒 δ_{𝑄𝑄𝑐𝑐 = (𝑝𝑝é𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑝𝑝}𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎)𝑆𝑆𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑒𝑒

Donc :

𝜕𝜕𝑞𝑞ω0(𝑧𝑧,𝑒𝑒)

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝜕𝜕𝐼𝐼(𝑧𝑧,𝑒𝑒)

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 𝑝𝑝_{é𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎} − 𝑝𝑝_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎

⇔ ^{𝜕𝜕𝑞𝑞ω0(𝑧𝑧,𝑒𝑒)}

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝜕𝜕𝐼𝐼 (𝑧𝑧,𝑒𝑒)

𝜕𝜕𝑧𝑧 = (𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁)𝐵𝐵₂₁ ℎ𝜔𝜔 𝑞𝑞ω0 − 𝑝𝑝_{𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠} − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎

Or :

I = 〈Π _{〉 = 𝑐𝑐 𝑞𝑞ω}⁰ D’où le bilan :

1 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑧𝑧 = (𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁)𝐵𝐵₂₁ ℎ𝜔𝜔

𝑐𝑐 I − 𝑝𝑝_{𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠} − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎

On pose 𝑔𝑔 le gain par unité de longueur : 𝑔𝑔 = (𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁)𝐵𝐵₂₁ℎ𝜔𝜔

𝑐𝑐 = 𝑘𝑘(𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁) d’où le bilan :

1 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 𝑔𝑔 I− 𝑝𝑝_{𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠} − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎

II-2) Inversion de population a) Condition d’amplification

Considérons un régime permanent, sans pertes et dans lequel on néglige le phénomène d’émission spontanée alors :

𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 𝑔𝑔 I Qui s’intègre en : 𝐼𝐼 (𝑧𝑧) = 𝐼𝐼₀𝑒𝑒^{𝑔𝑔 𝑧𝑧}

Pour que le système soit amplificateur il faut que : 𝐼𝐼 (𝑧𝑧) > 𝐼𝐼₀

⇒ _{𝑔𝑔 > 0}

⇒ _{𝑁𝑁2 > 𝑁𝑁1} b) Population à l’équilibre thermique

A l’équilibre thermique : 𝑁𝑁₂

𝑁𝑁₁ = e^{−𝐸𝐸𝑘𝑘2−𝐸𝐸𝐵𝐵𝑇𝑇1} < 1

Par conséquent un milieu à l’équilibre thermique est atténuateur, et il faut donc faire en sorte que ^𝑁𝑁_𝑁𝑁²

1 > 1 pour avoir un milieu amplificateur.

L'intensité lumineuse 𝐼𝐼(𝑧𝑧,𝑒𝑒), d'une onde plane qui se propage à la vitesse c dans un milieu matériel à deux niveaux d'énergie 𝐸𝐸₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸₂ de populations par unité de volume 𝑁𝑁₁𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑁𝑁₂, suit la loi :

1 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 𝑔𝑔 I − 𝑝𝑝_{𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠} − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎

Où le gain par unité de longueur vérifie : 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘(𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁)

Pour arriver à cette amplification on réalise un pompage optique à l’aide d’énergie extérieure, afin de réaliser cette inversion de population.

c) Pompage optique

Le pompage permet de réaliser l'inversion de population en peuplant le niveau d'énergie 𝐸𝐸₂ plus que le niveau d'énergie 𝐸𝐸₁ qui doit pour cela se dépeupler très rapidement vers un état d'énergie plus basse.

Ce pompage peut être réalisé de différentes façons : - Grâce à de l'énergie apportée de façon lumineuse ;

- Grâce à de l'énergie apportée de façon électrique (par des décharges par exemple). Ce pompage est par exemple utilisé dans le laser hélium-néon.

Dans le cas du laser He-Ne :

- Une décharge électrique permet de promouvoir des électrons au niveau métastable 𝐸𝐸’₂ de l’hélium (Etape de pompage), ce niveau est voisin de 𝐸𝐸₂ pour le néon.

A l’équilibre thermique la condition d’amplification n’est pas réalisée. Il faut donc générer une inversion de population pour que le milieu soit amplificateur :

𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁ > 0

- Par collision, il y a transfert d’énergie de l’hélium vers le néon où la constante de temps est grande ce qui permet d’inverser la population.

- La transition vers le niveau 𝐸𝐸₁ est l’émission stimulée de 632,8 nm.

- Le retour à l’état fondamental du Néon est une transition rapide si bien que 𝐸𝐸₁ se dépeuple facilement permettant le maintien de l’inversion de population.

III – Oscillateur en électronique

III-1) Système bouclé

a) Principe de la démarche

Dans le cadre du programme, il s’agit de procéder par analogie de constitution entre un oscillateur électronique de basse fréquence et un oscillateur optique THF. Dans les deux cas il s’agit de phénomènes électromagnétiques qui présente une forte différence de fréquence. Cependant on retrouve des points communs dans le schéma fonctionnel comme par exemple la fonction amplification et la notion de système bouclé, ce qui rend l’analogie fructueuse.

b) Condition d’oscillation

Le schéma fonctionnel d’un système bouclé est donné sur la figure suivante. Un premier bloc réalise une fonction d’amplification dont le gain linéaire en régime sinusoïdal forcé est noté 𝐺𝐺₀ encore appelé gain de boucle ouverte.

La grandeur de sortie est prélevée pour être injectée dans la chaîne de bouclage dont la fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé est notée 𝐵𝐵.

La grandeur de sortie et la grandeur d’entrée sont donc reliées par l’équation :

𝑠𝑠 = (𝑒𝑒 − 𝐵𝐵𝑠𝑠)𝐺𝐺₀

⇔ _{𝑠𝑠 �1 + 𝐵𝐵𝐺𝐺0� = 𝐺𝐺0𝑒𝑒}

III-2) ALI

Le composant actif pour réaliser l’amplificateur est un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) (ou encore amplificateur opérationnel). C’est un composant à huit bornes, dont cinq seulement sont couramment utilisées.

L’équation montre que s’il existe des fréquences telles que : 𝐵𝐵𝐺𝐺₀ = −1 ⇔ _� ^{𝐵𝐵𝐺𝐺0 = 1}

𝐴𝐴𝑂𝑂𝑔𝑔 �𝐵𝐵𝐺𝐺₀� = π

Un signal de sortie non nul peut exister en l’absence de signal d’entrée pour ces fréquences. (Condition de Barkhausen)

L’ALI comporte :

- Deux entrées, notées + et – - Une sortie notée 𝑉𝑉_𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑠𝑠.

- Les bornes +𝑉𝑉_{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑉𝑉_{𝑐𝑐𝑐𝑐} qui servent à alimenter le composant.

On note 𝜀𝜀 = 𝑉𝑉₊ − 𝑉𝑉₋, alors l’ALI réalise une amplification de la tension de différence tel que :

𝑉𝑉_𝑎𝑎 = 𝐴𝐴_𝑑𝑑ε

En mode idéal, l’ALI possède une impédance d’entrée infinie et un gain infini d’où la caractéristique suivante :

Un ALI idéal est un amplificateur de différence avec :

- Une impédance d’entrée infinie et une impédance de sortie nulle. D’où des courants d’entrée nuls :

𝑠𝑠₊ = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠₋ = 0 - En mode linéaire de fonctionnement :

ε = 0 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑉𝑉₊ = 𝑉𝑉₋,𝑒𝑒𝑒𝑒 |𝑉𝑉_𝑎𝑎| ≤ 𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} - En mode saturé de fonctionnement :

𝑉𝑉₊ ≠ 𝑉𝑉₋ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉_𝑎𝑎 = ±𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡}

III-3) Réalisation de l’oscillateur a) L’étage amplificateur

• En mode linéaire : 𝑉𝑉₊ = 𝑉𝑉₋ D’où :

𝑠𝑠₂ = 𝑠𝑠₁ + 𝑠𝑠⏟₋

=0

⇔ ^{𝑉𝑉𝑒𝑒}

𝑅𝑅₂ = 𝑉𝑉_𝑎𝑎 − 𝑉𝑉_𝑒𝑒 𝑅𝑅₁

⇔ ^{𝑉𝑉𝑎𝑎}

𝑉𝑉_𝑒𝑒 = 1 + 𝑅𝑅₁

𝑅𝑅₂ = 𝑅𝑅₂ + 𝑅𝑅₁ 𝑅𝑅₂

Or en mode linéaire : |𝑉𝑉_𝑎𝑎| ≤ 𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} ⇔ _{|𝑉𝑉𝑒𝑒| ≤ 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} ^𝑅𝑅2

𝑅𝑅₂+𝑅𝑅₁

• En mode saturé : 𝑉𝑉_𝑎𝑎 = ±𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} ssi |𝑉𝑉_𝑒𝑒| > 𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑅𝑅} ^𝑅𝑅2

2+𝑅𝑅₁

b) Filtre de Wien

Pour l’amplificateur (dit non-inverseur) on a : - Si : |𝑉𝑉_𝑎𝑎| ≤ 𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} : 𝐺𝐺₀ = ^𝑅𝑅2_𝑅𝑅^+𝑅𝑅1

2

- Sinon : 𝑉𝑉_𝑎𝑎 = ±𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} et 𝐺𝐺₀ = ±^𝑉𝑉_𝑉𝑉^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}

𝑒𝑒

On pose :

⎩⎪

⎨

⎪⎧

𝑍𝑍₂ =

𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝑅𝑅 𝑅𝑅 + 1𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔

= 𝑅𝑅

1 + 𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑍𝑍₁ = 𝑅𝑅 + 1

𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 = 1 + 𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 Or :

𝐻𝐻 = 𝑍𝑍₂

𝑍𝑍₁ + 𝑍𝑍₂ = 1 1 + 𝑍𝑍₁

𝑍𝑍₂

⇔ _{𝐻𝐻 =} ¹ 1 + 1 + 𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔

𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 ∗ 1 + 𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑅𝑅

= 1

1 + 1 + (𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔)² + 2𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑅𝑅𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔

⇔ _{𝐻𝐻 =} ¹

3 + 𝑗𝑗𝑅𝑅𝑗𝑗𝜔𝜔 + 1𝑗𝑗𝑅𝑅𝑗𝑗𝜔𝜔

=

13

1 + 𝑗𝑗1

3�𝑅𝑅𝑗𝑗𝜔𝜔 − 1 𝑅𝑅𝑗𝑗𝜔𝜔�

⇔ _{𝐻𝐻 =} ^{𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑞𝑞_𝑒𝑒 = 𝐻𝐻₀

1 + jQ�x − 1

x�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 ∶ � 𝐻𝐻₀ = 𝑄𝑄 = 1 3 ω_{0 =} ¹

𝑅𝑅𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑞𝑞 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝑗𝑗ω

On reconnaît un filtre passe bande dont le digramme de Bode est le suivant :

c) Fonctionnement en boucle fermée

La sortie de l’amplificateur est reliée à l’entrée du filtre de Wien donc :

�𝑞𝑞_𝑎𝑎 = 𝐻𝐻 𝑞𝑞_𝑒𝑒 𝑠𝑠_𝑎𝑎 = 𝐺𝐺₀ 𝑠𝑠_𝑒𝑒

𝑠𝑠_𝑎𝑎 = 𝑞𝑞_𝑒𝑒 ⇒ _{𝑞𝑞𝑎𝑎 = 𝐻𝐻 𝐺𝐺0 𝑠𝑠𝑒𝑒}

Le bouclage du système impose : 𝑞𝑞_𝑎𝑎 = 𝑠𝑠_𝑒𝑒 ⇒ _{𝑞𝑞𝑎𝑎�1 − 𝐻𝐻 𝐺𝐺0� = 0}

L’équation admet une solution non nulle en régime sinusoïdal forcé si et seulement si :

1 − 𝐻𝐻 𝐺𝐺₀ = 0 ⇔ _{𝐺𝐺0𝐻𝐻 = 1}

⇔ ^{𝐻𝐻0𝐺𝐺0} 1 + jQ�x − 1

x� = 1

⇔ _{𝐻𝐻0𝐺𝐺0 = 1 + jQ�x −} ¹ x� Donc :

� 𝑥𝑥 = 1 𝐻𝐻₀𝐺𝐺₀ = 1 d) Condition d’accrochage

La fonction de transfert 𝐻𝐻 = ^𝑢𝑢_𝑢𝑢^𝑠𝑠

𝑒𝑒 = _1+jQ�x−^𝐻𝐻0 1

x� permet d’obtenir l’équation différentielle qui relie 𝑞𝑞_𝑎𝑎 à 𝑞𝑞_𝑒𝑒, en effet :

𝑞𝑞_𝑎𝑎 �1 + jQ�x − 1

x�� = 𝐻𝐻₀ 𝑞𝑞_𝑒𝑒

⇒ _{𝑞𝑞𝑎𝑎 + 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑗𝑗}^{𝑑𝑑𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒 + 𝑄𝑄

𝑅𝑅𝑗𝑗 � 𝑞𝑞^𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝐻𝐻_𝑠𝑠𝑞𝑞_𝑒𝑒

⇒ ^{𝑑𝑑𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒 + 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑗𝑗𝑑𝑑²𝑞𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑒𝑒² + 𝑄𝑄

𝑅𝑅𝑗𝑗 𝑞𝑞^𝑎𝑎 = 𝐻𝐻_𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑞𝑞_𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒

⇒ ^{𝑑𝑑2𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒² + 1 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑗𝑗

𝑑𝑑𝑞𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑒𝑒 + 1

(𝑅𝑅𝑗𝑗)² 𝑞𝑞_𝑎𝑎 = 𝐻𝐻_𝑠𝑠 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑗𝑗

𝑑𝑑𝑞𝑞_𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒

⇒ ^{𝑑𝑑2𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒² + 3ω₀ ^{𝑑𝑑𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒 + ω₀²_{𝑞𝑞𝑎𝑎 =} ω₀ ^{𝑑𝑑𝑞𝑞𝑒𝑒} Or dans le système bouclé : 𝑞𝑞_𝑒𝑒 = 𝐺𝐺₀𝑞𝑞_𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒

⇒ ^{𝑑𝑑2𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒² + (3 − 𝐺𝐺₀)ω₀ ^{𝑑𝑑𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒 + ω₀²_{𝑞𝑞𝑎𝑎 = 0} La condition : 𝐻𝐻₀𝐺𝐺₀ = 1 entraîne :

𝑑𝑑²𝑞𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑒𝑒² + ω₀²_{𝑞𝑞𝑎𝑎 = 0}

Les solutions sont donc sinusoïdales, mais dans la pratique, le système ne peut démarrer. Même si les conditions initiales ne sont pas nulles (tensions parasites…), vu qu’il n’y a pas de termes d’amplification, elles resteront faibles. Pour que le système puisse démarrer il faut donc :

3− 𝐺𝐺₀ < 0

⇔ _{𝐺𝐺0 > 3}

Pour qu’un oscillateur démarre, il faut que le gain linéaire (non saturé) dépasse un seuil, en général fixé par les pertes. C’est ce qu’on appelle la condition d’accrochage.

Condition d’accrochage : Gains > Pertes En régime permanent : Gains = Pertes

e) Rôle de la saturation

Si l’ALI sature alors : 𝑞𝑞_𝑒𝑒 = ±𝑉𝑉_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡} et l’équation différentielle devient :

𝑑𝑑²𝑞𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑒𝑒² + 3ω₀ ^{𝑑𝑑𝑞𝑞𝑎𝑎}

𝑑𝑑𝑒𝑒 + ω₀²_{𝑞𝑞𝑎𝑎 = 0}

On reconnaît l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique amorti. L’amplificateur va finir par se désaturer, et on retrouvera le régime amplifié et ainsi de suite. En ajustant la valeur de 𝐺𝐺₀ de façon à minimiser les phases de saturation, l’oscillateur délivre une tension quasi sinusoïdale.

La saturation du gain (phénomène non linéaire) permet un fonctionnement de l’oscillateur en régime stable.

IV – Oscillateur en optique

IV-1) Analogie électronique

Nous venons de voir que pour réaliser un oscillateur en électronique il suffisait de réaliser une boucle de rétroaction sélective en fréquence pour réaliser un oscillateur. On va voir que les différents éléments vus en électronique se retrouve en optique :

Oscillateur Electronique Optique

Amplificateur ALI non inverseur Emission stimulée Filtre Filtre de Wien Cavité Fabry-Pérot Bouclage Rétroaction Réflexion sur les miroirs Apport d’énergie Alimentation ALI Pompage optique

Non linéarité Mode saturé de l’ALI L’inversion de population n’est pas maintenue si le faisceau devient trop intense.

IV-2) Cavité rectiligne a) Principe

La cavité optique du laser permet d’amplifier l’onde. Elle est constituée de deux miroirs plans et parallèles entre eux. L’un d’eux est totalement réfléchissant 𝑀𝑀₂ (𝑅𝑅 ≥ 99,8%), l’autre l’est partiellement 𝑀𝑀₁ (𝑅𝑅 ∼ _95%). Les photons font des allers et retours à travers le milieu actif et réalisent des émissions stimulées en cascade.

Il faut maintenir le pompage optique pour toujours avoir l’inversion de population.

Cette cavité a été historiquement étudiée par Fabry et Pérot en 1913. En pratique on préfère des miroirs sphériques car le moindre défaut de planéité est gênant sur les miroirs plans.

b) Fréquences propres

Commençons par étudier qualitativement les modes propres d’une cavité constituée de deux miroirs métalliques parfaits, plans et parallèles. On peut montrer en électromagnétisme, et nous l’admettrons, que le champ électromagnétique est nul à l’intérieur d’un conducteur parfait et que cela impose des nœuds pour le champ électrique sur les miroirs. On se trouve donc dans une situation analogue à celle de la recherche des modes propres d’une corde vibrante fixée à ses deux extrémités.

On a établi que les modes propres sont données par : 𝐿𝐿 = 𝑝𝑝λ_𝑝𝑝

où p est un entier non nul. 2 Or :

λ ₌ ^𝑐𝑐ν ⇒ _{𝐿𝐿 = 𝑝𝑝} ^{𝑐𝑐𝑚𝑚}

2ν_𝑝𝑝 ^{= 𝑝𝑝}

π _{𝑐𝑐𝑚𝑚}

ω_𝑝𝑝 ^{𝑠𝑠ù 𝑐𝑐𝑚𝑚 =} _𝑛𝑛^𝑐𝑐

c) Condition d’amplification

Pour un aller-retour la distance parcourue est égale à 2L. Le chemin optique vaut donc, dans un milieu d’indice n. δ=2nL d’où :

∆ϕ ₌ ⁴π_{𝑛𝑛𝐿𝐿} λ₀

Les fréquences propres du laser vérifient : ν_{𝑝𝑝 = 𝑝𝑝} ^𝑐𝑐

2𝑛𝑛𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒é

Si on note 𝑠𝑠_𝑒𝑒 l’amplitude de l’onde incidente alors après un aller- retour l’amplitude de l’onde vaut :

𝑠𝑠₁ = 𝑠𝑠_𝑒𝑒𝑂𝑂₁𝑂𝑂₂𝑒𝑒^{−𝑗𝑗�4πλ𝑠𝑠𝑛𝑛0 �} Pour que l’onde soit en phase il faut donc :

4π_{𝑛𝑛𝐿𝐿}

λ₀ ^{= 2𝑝𝑝}π ⇔ _{𝐿𝐿 =} ^𝑝𝑝λ₀

2𝑛𝑛 = 𝑝𝑝λ_𝑝𝑝 2

Mais il faut aussi que l’onde ne soit pas atténuée d’où : 𝑂𝑂₁𝑂𝑂₂ = 1

Ce qui n’est pas possible à moins de rajouter un milieu amplificateur comme dans le laser tel que :

𝐺𝐺 𝑂𝑂₁𝑂𝑂₂ = 1

Si on fait le lien avec l’oscillateur de Wien on peut écrire cette relation :

𝐺𝐺(ν_)𝑅𝑅(ν_{) = 1}

d) Condition d’accrochage

Reprenons le bilan de puissance électromagnétique où l’on ne tient pas compte de l’émission spontanée.

1 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝜕𝜕𝐼𝐼

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 𝑔𝑔 I − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎

Tant que l’oscillation n’a pas démarré, le gain n’est pas saturé, et ne dépend pas de l’intensité on le note 𝑔𝑔_{𝑠𝑠𝑎𝑎}.

Pour que la cavité joue son rôle d’amplificateur il faut :

� 𝐿𝐿 = 𝑝𝑝λ_𝑝𝑝

𝐺𝐺 𝑂𝑂₁𝑂𝑂₂ = 1 ⇔ _𝐺𝐺(ν2_)𝑅𝑅(ν_{) = 1}

⇒ ∫ 𝑑𝑑𝐼𝐼₀^2𝑛𝑛 = ∫ �𝑔𝑔₀^2𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑎𝑎 I − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎 − ¹_{𝑐𝑐𝜕𝜕𝑡𝑡}^{𝜕𝜕𝜕𝜕}� 𝑑𝑑𝑧𝑧

En utilisant la valeur moyenne de I que l’on note 𝐼𝐼_𝑚𝑚 et en remarquant que 𝐼𝐼(0,𝑒𝑒) = 𝐼𝐼(2𝐿𝐿,𝑒𝑒) on obtient :

�𝑔𝑔_{𝑠𝑠𝑎𝑎}𝐼𝐼_𝑚𝑚 − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎_𝑠𝑠 − 1 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝐼𝐼_𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑒𝑒 �2𝐿𝐿 = 0 Donc :

1 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝐼𝐼_𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑒𝑒 = 𝑔𝑔_{𝑠𝑠𝑎𝑎}𝐼𝐼_𝑚𝑚 − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎_𝑠𝑠

Supposons que les pertes sont proportionnelles à 𝐼𝐼_𝑚𝑚 tel que : 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒𝑎𝑎_𝑠𝑠2𝐿𝐿 = α _{𝐼𝐼𝑚𝑚}

Alors la condition d’accrochage s’écrit :

𝑔𝑔_{𝑠𝑠𝑎𝑎}2𝐿𝐿 > α ⇔ _{𝐺𝐺𝑠𝑠𝑎𝑎 >} α

e) Modes oscillants du laser

Ainsi seuls les modes pour lesquels le gain est supérieur aux pertes peuvent commencer à osciller (en régime permanent, les gains égalent alors les pertes pour ces modes). Si la condition « gain supérieur aux pertes » est vérifiée pour plusieurs modes de la cavité, le laser fonctionne en multimode, sinon le laser fonctionne en monomode.

La condition d’accrochage s’écrit :

𝐺𝐺𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑞𝑞𝑂𝑂é > 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑂𝑂𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠 ⇔ _𝐺𝐺(ν_)𝑅𝑅(ν_{) > 1}

IV-3) Limitation du gain par non linéarité

En régime stationnaire le gain doit être juste suffisant pour compenser les pertes. Avant établissement du régime stationnaire, sous l’effet du pompage il se crée une inversion de population :

𝑁𝑁₂ > 𝑁𝑁₁ ⇔ _{𝑁𝑁2 − 𝑁𝑁1} > 0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑔𝑔_{𝑠𝑠𝑎𝑎} = 𝑘𝑘(𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁)_{𝑠𝑠𝑎𝑎}

Un rayonnement Laser de faible intensité peut sortir de la cavité. Le dépeuplement des niveaux 2 vers les niveaux 1 par émission stimulée est faible, le pompage optique accroit progressivement 𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁.

Plus l’inversion de population est forte, et plus le gain est important. Donc l’intensité de sortie du laser devient grande. Cette forte intensité de sortie implique un fort dépeuplement des niveaux 2 vers les niveaux 1 et induit une baisse de (𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁).

Ce phénomène est appelé « saturation » du milieu amplificateur, en lien avec l’oscillateur en électronique. Ainsi on dit :

En régime permanent : Gains = Pertes

Lorsque l’intensité augmente, des phénomènes de saturation ont pour effet de diminuer le gain de l’amplification telle que :

𝑔𝑔_𝑎𝑎 = 𝑘𝑘(𝑁𝑁₂ − 𝑁𝑁₁) < 𝑔𝑔_{𝑠𝑠𝑎𝑎}

C’est limitation par saturation (non linéarité) qui stabilise le faisceau laser.

V – Le faisceau laser

V-1) Profil d’intensité gaussien a) Eclairement

L’éclairement à la distance r de l’axe dans le plan d’abscisse z est :

ε _{(𝑂𝑂,𝑧𝑧) =} ε_{𝑚𝑚 �} ^𝑤𝑤0 𝑤𝑤(𝑧𝑧)�²

���������

ε_0(𝑧𝑧)

𝑒𝑒^{− 2𝑝𝑝}

2

𝑤𝑤(𝑧𝑧)²

Il s’agit d’un profil d’intensité gaussien.

- 𝑤𝑤₀est un paramètre appelé le waist qui correspond à une largeur caractéristique du faisceau.

- 𝑤𝑤(𝑧𝑧) = 𝑤𝑤₀�1 + �_𝑧𝑧^𝑧𝑧

𝑅𝑅�² qui est appelée le rayon du faisceau.

- 𝑧𝑧_𝑅𝑅 = ^{π 𝑤𝑤}_λ⁰² est appelée longueur de Rayleigh.

La répartition radiale d’éclairement à z donné est représentée sur la figure suivante :

On a fait figurer les points à la distance r = w(z) de l’axe pour lesquels : ^ε_ε ^{(𝑝𝑝,𝑧𝑧)}

0(𝑧𝑧) = _𝑒𝑒¹₂ ∼ _14%.

L’éclairement est maximal sur l’axe et très atténué au-delà de w(z) qui caractérise donc le rayon du faisceau à une abscisse z donnée.

Si on représente la répartition d’amplitude à différentes abscisses on remarque que plus z augmente, plus la largeur du faisceau augmente et plus l’éclairement au centre diminue.

b) Divergence du faisceau

Le rayon du faisceau varie avec z suivant la loi : 𝑤𝑤(𝑧𝑧) = 𝑤𝑤₀�1 + � 𝑧𝑧

𝑧𝑧_𝑅𝑅�² Qui est l’équation d’une hyperbole : �^{𝑤𝑤(𝑧𝑧)}_𝑤𝑤

0 �² + �_𝑧𝑧^𝑧𝑧

𝑅𝑅�² = 1

Le rayon est minimal dans le plan z= 0 où il est égal à 𝑤𝑤₀. C’est pour cette raison qu’il est appelé col ou waist (ceinture en anglais).

On remarque que :

�

𝑧𝑧 ≪ 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ∶ 𝑤𝑤 ∼ _𝑤𝑤0 𝑧𝑧 ≫ 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ∶ 𝑤𝑤 ∼ _𝑤𝑤0 ^𝑧𝑧

𝑧𝑧_𝑅𝑅 = 𝑤𝑤₀𝑧𝑧 π _𝑤𝑤0²

λ

= λ

π _𝑤𝑤0 ^{𝑧𝑧 =} θ _{𝑧𝑧 𝑠𝑠ù} θ ₌ λ π _𝑤𝑤0

- Dans le cas où 𝑧𝑧 ≪ 𝑧𝑧_𝑅𝑅 le faisceau est équivalent à un faisceau parallèle.

- Dans le cas où 𝑧𝑧 ≫ 𝑧𝑧_𝑅𝑅 le faisceau est équivalent à un faisceau conique de sommet O.

Tout se passe comme si le faisceau laser était passé dans une ouverture de rayon 𝑤𝑤₀. La propagation du faisceau gaussien peut être considéré comme un phénomène de diffraction de proche en proche.

c) Modèle cône-cylindre

Dans le cas où 𝑧𝑧 ≫ 𝑧𝑧_𝑅𝑅 le faisceau diverge dans un cône d’angle au sommet θ _{= π}^λ

𝑤𝑤₀ qui rappelle le résultat obtenu lors de la diffraction par une fente de largeur a tel que θ ₌ ^λ

𝑎𝑎.

V-2) Utilisation d’une lentille convergente sur un faisceau laser a) Lentille à courte focale

La démarche consiste à comparer la longueur de Rayleigh 𝑧𝑧_𝑅𝑅 du faisceau incident et la distance focale f’de la lentille.

On se place dans le cas où 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ≫ 𝑓𝑓^′. Sous cette hypothèse, il paraît naturel de supposer que la lentille se trouve dans la zone de Rayleigh du faisceau incident donc que le modèle pertinent est celui du faisceau cylindrique et de l’onde plane.

Pour 𝑧𝑧 < 0,8 𝑧𝑧_𝑅𝑅 :

- Le faisceau est assimilable à un faisceau cylindrique de rayon 𝑤𝑤₀.

- Les surfaces d’ondes sont pratiquement planes.

- L’onde laser est plane mais possède une extension transversale limitée.

Pour 𝑧𝑧 ≫ 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ∶

- Le rayon du faisceau varie linéairement : 𝑤𝑤(𝑧𝑧)∼ _𝑤𝑤0 ^𝑧𝑧

𝑧𝑧_𝑅𝑅 = θ _{𝑧𝑧 𝑠𝑠ù} θ ₌ λ

π _𝑤𝑤0 ∼λ

- Les surfaces d’ondes sont des sphères de centre O ; 𝑠𝑠

- L’onde laser est sphérique mais possède une extension transversale limitée.

La lentille transformant une onde plane en une onde sphérique dont le centre de courbure est au foyer image F’. A l’inverse on choisit le modèle du cône centré en F’pour le faisceau émergent. Le col image se trouve donc en F’. Ainsi :

⎩⎨

⎧ θ ^′ ₌ ^𝑤𝑤0 𝑓𝑓^′ θ ^′ ₌ λ

π _𝑤𝑤0^′

⇒ ^𝑤𝑤0

𝑓𝑓^′ = λ

π _𝑤𝑤0^′ ⇒ _𝑤𝑤0^′ ₌ λπ _𝑤𝑤^𝑓𝑓′₀ Si on choisit une focale tel que 𝑤𝑤₀ = 𝑓𝑓^′ on trouve que :

𝑤𝑤₀^′ = λ π - Validation de l’approximation

Il s’agit de valider l’approximation conique du faisceau émergent de la lentille. Pour cela, il faut évaluer la longueur de Rayleigh de ce faisceau :

𝑧𝑧_𝑅𝑅^′ = 𝜋𝜋 𝑤𝑤₀² λ ⁼

π λ^�

λ _𝑓𝑓^′ π _𝑤𝑤0^′�

2

= λ_𝑓𝑓^′2 π_𝑤𝑤0²

⇔ _{𝑧𝑧𝑅𝑅}^′ ₌ ^𝑓𝑓′2 𝑧𝑧_𝑅𝑅

⇔ _{𝑧𝑧𝑅𝑅}^′ _{= 𝑓𝑓}^{′ 𝑓𝑓′}

𝑧𝑧_𝑅𝑅 ≪ 𝑓𝑓^′ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑂𝑂 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ≫ 𝑓𝑓^′

Le faisceau émergent est bien dans la zone limite du faisceau conique, résultat.

Dans le cas où 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ≫ 𝑓𝑓^′ = 𝑤𝑤₀, la lentille convergente focalise le faisceau laser au foyer de la lentille. La tache de focalisation d'un laser est de l'ordre de la longueur d'onde.

Par le principe du retour inverse de la lumière, un faisceau conique dont le waist est situé en F, donnera un faisceau cylindrique émergent.

b) Applications

i- Focalisation d’un faisceau gaussien

On choisit un laser He-Ne de puissance 1mW et une lentille de focale 1mm avec : 𝑓𝑓^′ = 𝑤𝑤₀

Alors :

𝐼𝐼 = 𝑃𝑃

𝑆𝑆 = 𝑃𝑃

π_𝑤𝑤0^{2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼′ =} 𝑃𝑃

𝑆𝑆′ = 𝑃𝑃 π_𝑤𝑤0^′2

⇒^𝐼𝐼′

𝐼𝐼 = 𝑤𝑤₀²

𝑤𝑤₀^′2 ∼^𝑓𝑓′2 λ^{2 =}

10⁻⁶

633² × 10⁻¹⁸ = 2,5 10⁶

La puissance surfacique a fortement augmenté, d’où l’importance de porter des lunettes de protection.

ii- Capacité de stockage

Ainsi la diminution de la longueur d’onde permet une focalisation sur des dimensions plus petites. Par lecture laser, on peut ainsi augmenter la densité surfacique d’information en diminuant la longueur d’onde :

Support Année λ(nm) Domaine Capacité

CD 1987 780 IR 0,8 Go

DVD 1997 650 Rouge 8Go

BR-Disc 2006 405 Bleu 100Go

c) Lentille à grande focale

Dans ce cas 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ≪ 𝑓𝑓^′, on utilise l’approximation conique pour le faisceau incident, ce qui permet d’utiliser les formules de conjugaison de l’optique géométrique pour déterminer la position du col image.

On note A et A’ les positions respectives de 𝑤𝑤₀ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑤𝑤₀^′. La conjugaison se traduit par la formule de Newton :

𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐹𝐹^′𝐴𝐴^′ = −𝑓𝑓^′2

En effectuant cette conjugaison, on suppose implicitement que le faisceau émergent est, lui aussi, dans l’approximation conique.

On pose :

� 𝑧𝑧 = 𝑂𝑂𝐴𝐴

𝑧𝑧^′ = 𝑂𝑂𝐴𝐴′ ⇒ _{− 𝑧𝑧}θ _{= 𝑧𝑧}^′θ ^′ Or :

θ ^′

θ ^{= 𝑤𝑤}_𝑤𝑤0^0′ D’où :

𝑤𝑤₀^′ = �𝑧𝑧^′

𝑧𝑧 � 𝑤𝑤₀ Or :

γ _{= �}^𝑧𝑧′

𝑧𝑧 � = �𝑓𝑓^′

𝐹𝐹𝐴𝐴� ⇒ _𝑤𝑤0^′ _{= �}^𝑓𝑓′ 𝐹𝐹𝐴𝐴� 𝑤𝑤₀ - Validation de l’approximation

Les longueurs de Rayleigh sont telles que : 𝑧𝑧_𝑅𝑅^′

𝑧𝑧_𝑅𝑅 = �𝑤𝑤₀^′ 𝑤𝑤₀�

2

= �𝑧𝑧^′ 𝑧𝑧 �

2

= �𝑓𝑓^′ 𝐹𝐹𝐴𝐴�

2

⇒^{𝑧𝑧𝑅𝑅′}

𝑓𝑓^′ = �𝑓𝑓^′ 𝐹𝐹𝐴𝐴�

2 𝑧𝑧_𝑅𝑅 𝑓𝑓^′ Or :

𝑧𝑧_𝑅𝑅

𝑓𝑓^′ ≪ 1 ⇒ ^{𝑧𝑧𝑅𝑅′}

𝑓𝑓^′ ≪ 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑞𝑞𝑓𝑓 𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑓𝑓^′

𝐹𝐹𝐴𝐴� ≫ 1

L’approximation du modèle conique est valable sauf si 𝑓𝑓^′ ≫ |𝐹𝐹𝐴𝐴| dans ce cas le waist conjugué vérifie :

𝑤𝑤₀^′ = �𝑓𝑓^′ 𝐹𝐹𝐴𝐴� 𝑤𝑤₀ V-3) Elargisseur de faisceau

a) Principe

Pour réaliser un élargisseur de faisceau, d’ondes laser on utilise un système afocal du type lunette astronomique.

On suppose que la première lentille vérifie 𝑧𝑧_𝑅𝑅 ≫ 𝑓𝑓₁^′ c’est-à-dire dans le cas d’une onde cylindrique arrivant sur 𝐿𝐿₁. Comme on a pu le voir l’onde devient conique de centre 𝐹𝐹₁^′ après la traversée de la lentille.

Ainsi l’onde se comporte comme une onde conique de centre 𝐹𝐹₂ lorsqu’elle arrive sur 𝐿𝐿₂, et d’après le principe du retour inverse de la lumière se transforme en onde cylindrique après traversée de 𝐿𝐿₂. Ainsi on a :

𝐿𝐿₁ ∶

⎩⎨

⎧θ ₌ λ

π_𝑤𝑤0 θ ^′ ₌ ^𝑤𝑤0 𝑓𝑓₁^′

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿₂ ∶

⎩⎪

⎨

⎪⎧θ ^′′ ₌ λ π_𝑤𝑤0 ^′′

θ ^′ ₌ ^{𝑤𝑤0 ′′}

𝑓𝑓₂^′ Donc :

θ^′′

θ = 𝑤𝑤₀

𝑤𝑤₀^′′ = 𝑓𝑓₁^′ 𝑓𝑓₂^′

Plaçons-nous dans le cas où 𝑓𝑓₂^′ > 𝑓𝑓₁^′ alors :

⎩⎪

⎨

⎪⎧θ ^′′

θ = 𝑓𝑓₁^′

𝑓𝑓₂^′ < 1 𝑤𝑤₀ ^′′

𝑤𝑤₀ = 𝑓𝑓₂^′

𝑓𝑓₁^′ > 1

b) Télescope laser

La station de télémétrie laser-Lune est située à l’Observatoire de la Côte d’Azur, sur le plateau de Calern. Cette station est capable de mesurer la distance d’un point de la Terre à des réflecteurs posés sur la Lune avec une précision millimétrique. Le laser utilisé est un laser à solide néodyme YAG. La lumière de sortie est dans le vert à 532 nm. Le laser fonctionne en mode impulsionnel.

A la sortie le laser à un diamètre de 12mm et une divergence θ=0,2mrad.

⇒ _{𝑅𝑅𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠𝑒𝑒}∼ _𝐿𝐿𝑡𝑡𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒→𝑛𝑛𝑢𝑢𝑠𝑠𝑒𝑒θ = 384 400 10³ × 2.10⁻⁴ = 77𝑘𝑘𝑘𝑘 Un élargisseur de faisceau permet :

- D’agrandir le waist du faisceau laser ; - De réduire la divergence du faisceau laser.

θ^′′

θ = 𝑤𝑤₀

𝑤𝑤₀^′′ = 𝑓𝑓₁^′

𝑓𝑓₂^′ < 1

Or les réflecteurs ont des dimensions de l’ordre du mètre. Beaucoup trop peu d’énergie serait réfléchie.

On applique alors un élargisseur de faisceau (Télescope de Cassegrain) tel que :

θ^′′

θ = 𝑤𝑤₀

𝑤𝑤₀^′′ = 1

Le diamètre à la sortie du faisceau laser est multiplié par 125, 125 passant de 12 mm à 1,5m, mais la divergence du faisceau est diminuée dans le même rapport d’où :

⇒ _{𝑅𝑅𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠𝑒𝑒}^′ ∼ ^{𝑅𝑅𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠𝑒𝑒}

125 = 0,6𝑘𝑘𝑘𝑘

L’énergie reçue par le réflecteur sera meilleure surtout qu’il y a le retour à prendre en compte.