Mémoire de fin de Master Année 2009-2010 Généralisations de l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques et applications

Mémoire de fin de Master Année 2009-2010

Généralisations de l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques et applications

Mathieu Mansuy

^∗

sous la direction de Marc Rosso

Résumé Depuis ces vingt dernières années, deux généralisations de l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques Sym sont apparues et ont montré leur importance : l’algèbre de Hopf des fonctions non commutatives symétriques NSym et l’algèbre de Hopf des fonctions quasi- symétriques QSym (voir section 1). La compréhension de la version non commutative de cer- taines structures de l’algèbre Sym est devenue essentielle. Ainsi, les problèmes de factorisations de Lazard des monoïdes libres s’expriment grâce à des fonctions non-commutatives symétriques, généralisations naturelles des fonctions symétriques associées à la construction de l’anneau des vecteurs de Witt W (A) (voir section 3). Mais, NSym et QSym ne sont pas les seules générali- sations non commutatives de Sym que l’on peut considérer. Il existe notamment une algèbre de Hopf auto-duale qui généralise ces deux algèbres de Hopf : l’algèbre de Hopf des permutations introduite par Malvenuto, Poirier et Reutenauer (MPR), qui s’interprète naturellement comme une algèbre de Hopf d’endomorphismes. Ce point de vue suggère d’ailleurs d’autres générali- sations, nombreuses, et nous amène à considérer les algèbres de Hopf d’endomorphismes et les algèbres de Hopf de mots (voir section 2).

Table des matières

1 Exemples fondamentaux d’algèbres de Hopf 2

1.1 Algèbre de Hopf de concaténation et de de battage . . . . 2

1.1.1 Algèbre de Hopf de concaténation LieHopf . . . . 2

1.1.2 Algèbre de battage Shuffle . . . . 3

1.2 Algèbres de Hopf des fonctions symétriques, non commutatives symétriques, quasi- symétriques . . . . 6

1.2.1 L’algèbre des fonctions symétriques . . . . 6

1.2.2 Algèbre des fonctions symétriques non commutatives . . . . 12

1.2.3 Algèbre des fonctions quasi-symétriques . . . . 17

1.2.4 Liens entre les algèbres de Hopf Sym, NSym et QSym . . . . 19

2 Algèbres de Hopf d’endomorphismes d’algèbres de Hopf 25 2.1 Algèbres de Hopf des permutations et endomorphismes d’algèbres de Hopf . . . . 25

2.1.1 Algèbre de Hopf des permutations . . . . 25

2.1.2 Endomorphismes d’algèbre de Hopf de rang fini . . . . 27

2.1.3 Interprétation de MPR comme algèbre de Hopf d’endomorphismes . . . . 30

2.1.4 Algèbres de Hopf d’endomorphismes - Le problème général . . . . 32

2.1.5 Autre structure d’algèbre de Hopf sur MPR . . . . 35

2.2 L’algèbre de Hopf des doubles mots dWHA . . . . 38

∗e-mail : mansuy.mathieu@hotmail.fr

2.2.1 Définitions et principales propriétés de dWHA . . . . 38

2.2.2 Interprétation de dWHA comme algèbre de Hopf d’endomorphismes . . . 42

2.2.3 L’algèbre de Hopf des mots WHA . . . . 44

2.2.4 MPR est une sous-algèbre de Hopf de dWHA . . . . 46

2.2.5 Autres exemples de sous-algèbres de Hopf de dWHA et de WHA . . . . . 49

2.2.6 Composition et cocomposition, secondes multiplications et comultiplica- tions dans les algèbres de Hopf de mots . . . . 51

2.3 Liens entre les algèbres de Hopf Sym, NSym, QSym et MPR . . . . 53

2.3.1 L’injection d’algèbres de Hopf i : NSym −→ MPR . . . . 53

2.3.2 Relations d’ordre dans les classes de descentes . . . . 57

2.3.3 Rétractions de i : NSym → MPR et sections de π : MPR → QSym . . . . . 59

2.3.4 Ordre faible et ensembles de descentes . . . . 61

2.3.5 Ascension globale et ensembles de descentes . . . . 63

2.3.6 La cogèbre des coupes incisives . . . . 66

3 Fonctions non-commutatives symétriques associées à un code, factorisation de Lazard, et vecteurs de Witt 67 3.1 L’anneau des vecteurs de Witt . . . . 67

3.2 Fonctions non-commutatives symétriques associées à un code . . . . 74

3.3 Fonctions symétriques de Witt et factorisation . . . . 75

3.3.1 Processus d’élimination de Lazard . . . . 75

3.3.2 Calcul des C-fonctions symétriques de Witt . . . . 76

3.3.3 Fonctions symétriques élémentaires non commutatives et élimination de Lazard . . . . 78

1 Exemples fondamentaux d’algèbres de Hopf

1.1 Algèbre de Hopf de concaténation et de de battage

Dans cette section ainsi que dans toute la suite, on appelera composition tout mot en les entiers naturels non-nuls. Si α = [a

₁

, a

₂

, ..., a

_m

] est une composition, on appelera lg(α) = m la longueur de α, wt(α) =

Pm

i=1

a

i

son poids, ht(α) = max{a

₁

, a

2

, . . . , a

m

} sa hauteur, supp(α) = {a

₁

, a

₂

, . . . , a

_m

} le support de α, i.e. l’ensemble des différentes lettres apparaissant dans α, et msupp(α) = {a

₁

, a

₂

, . . . , a

_m

} le multi-support, i.e. les différentes lettres qui apparaissent dans le mot α avec leurs multiplicités.

1.1.1 Algèbre de Hopf de concaténation

LieHopf

On définit LieHopf comme l’algèbre associative libre sur

Z

en une infinité dénombrable d’indéterminées {U

₁

, U

2

, . . .}, soit :

LieHopf =

Z

hU

₁

, U

2

, . . .i (1)

Munie du coproduit ∆, uniquement déterminé par la formule ∆(U

_n

) = U

_n

⊗1+1⊗U

_n

et le fait que

∆ soit un morphisme d’algèbres, et de la counité ε qui envoie chaque U

n

sur 0 (et 1 sur 1), LieHopf est une bigèbre cocommutative. Elle est de plus graduée connexe, en posant U

n

homogène de degré n. C’est donc une algèbre de Hopf, l’antipode S étant donnée par S(U

_n

) = −U

_n

. On l’appelle l’algèbre de Hopf de concaténation. Sa série formelle est donnée par :

F

LieHopf

(h) = 1 − h

1 − 2h (2)

Si α = [a

1

, a

2

, . . . , a

m

] est une composition, U

α

désigne l’élement :

U

_α

= U

_a1

U

_a2

. . . U

_am

et U

_{[ ]}

= 1

le degré du monôme U

α

étant le poids de la composition α. L’ensemble des monômes U

α

forme une base du groupe abélien libre LieHopf, la multiplication étant simplement donnée par la concaténation ?.

On dira que β est un sous-mot de α, et on notera β ⊆ α, s’il est de la forme β = [a

i1

, a

i2

, . . . , a

in

] avec i

1

< i

2

< . . . < i

n

. En particulier, le mot vide et α lui-même sont des sous-mots de α. β

^c

désigne dans la suite le sous-mot complémentaire de β. Par exemple, si α = [3, 2, 2, 1, 4, 5, 2, 1, 4]

et β = [2, 1, 4] est le sous-mot de α formé de la seconde lettre, la quatrième et la dernière, β

^c

= [3, 2, 4, 5, 2, 1]. α a 2

^m

sous-mots. Avec ces notations, le coproduit de LieHopf peut être décrit de manière plus explicite.

Proposition 1 Soit α = [a

₁

, a

₂

, . . . , a

_m

] une composition, on a :

∆(U

_α

) =

X

β⊆α

U

_β

⊗ U

_β^c

(3)

Démonstration : Par récurrence sur m = lg(α). C’est immédiat si m = 1. Supposons le résultat vrai au rang m − 1.

∆(U

_α

) = ∆(U

_a1

. . . U

_am−1

)∆(U

_am

)

=





X

β⊆[a₁,a2,...,am−1]

U

_β

⊗ U

_β^c





(U

_am

⊗ 1 + 1 ⊗ U

_am

)

=

X

β⊆[a1,a2,...,am−1]

U

β

U

am

⊗ U

β^c

+

X

β⊆[a1,a2,...,am−1]

U

β

⊗ U

β^c

U

am

=

X

β

U

_β

⊗ U

_β^c

Exemple

∆(U

_[1,1,3]

) = 1 ⊗ U

_[1,1,3]

+ 2U

_[1]

⊗ U

_[1,3]

+ U

_[3]

⊗ U

_[1,1]

+ U

_[1,1]

⊗ U

_[3]

+ 2U

_[1,3]

⊗ U

_[1]

+ U

_[1,1,3]

⊗ 1

Par définition de ∆, les indéterminées U

n

sont des éléments primitifs de LieHopf. On a de plus le résultat suivant :

Proposition 2 (i) La sous-algèbre de Lie de LieHopf engendrée par U

₁

, U

₂

, . . . est l’algèbre de Lie libre L sur U

₁

, U

₂

, . . .

(ii) L’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie L est LieHopf.

(iii) Notons LieHopf

Q

=

Q

⊗

_Z

LieHopf, L

_Q

=

Q

⊗

_Z

L. On a : P rim(LieHopf

_Q

) = L

_Q

. 1.1.2 Algèbre de battage

Shuffle

On étudie à présent Shuffle, le dual gradué de LieHopf. LieHopf étant non commutative

et cocommutative, Shuffle est commutative et non cocommutative. Nous allons en donner une

description.

Comme dual gradué de LieHopf, Shuffle est le groupe abélien libre de base l’ensemble des compositions. Il est muni de la graduation donnée par deg(α) = wt(α) pour toute composition α. Le crochet de dualité entre LieHopf et Shuffle est donné par :

LieHopf × Shuffle −→

Z

, hU

_α

, βi = δ

_α,β

(4) On définit le produit et le coproduit sur Shuffle par dualité :

hU

_α

⊗ U

α⁰

, ∆

Sh

(β)i = hm

_LH

(U

α

⊗ U

α⁰

), βi (5) hU

_α

, m

_Sh

(β ⊗ β

⁰

)i = h∆(U

_α

), β ⊗ β

⁰

i (6) où le crochet de dualité est défini naturellement sur (LieHopf ⊗ LieHopf) × (Shuffle ⊗ Shuffle) comme suit :

(LieHopf ⊗ LieHopf) × (Shuffle ⊗ Shuffle) −→

Z,

hU

_α

⊗ U

_α⁰

, β ⊗ β

⁰

i = δ

α,β

δ

_α⁰_,β⁰

On explicite le produit et le coproduit dans Shuffle :

hU

_α

⊗ U

_α⁰

, ∆

_Sh

(β)i = hm

_LH

(U

_α

⊗ U

_α⁰

), βi = hU

_α?α⁰

, βi

= δ

_α?α⁰_,β

=

(

0 si lg(α) + lg(α

⁰

) 6= lg(β)

δ

α^{[b1,...,blg(α)]}

δ

^[b_α0^{lg(α)+1,...,blg(α)+lg(α0)]}

sinon avec β = [b

1

, . . . , b

_lg(β)

]. Dans tous les cas :

hU

_α

⊗ U

_α⁰

, ∆

_Sh

(β)i =

*

U

α

⊗ U

_α⁰

,

lg(β)

X

i=0

β

_[1,...,i]

⊗ β

[i+1,...,lg(β)]

+

Le coproduit dans Shuffle est donc le coproduit de déconcatenation. Pour le produit m

_Sh

: hU

_α

, m

_Sh

(β ⊗ β

⁰

)i = h∆(U

_α

), β ⊗ β

⁰

i =

X

α⁰

hU

_α⁰

⊗ U

_α^0c

, β ⊗ β

⁰

i =

X

α⁰

δ

_α⁰_,β

δ

_α^0c_,β⁰

=







0 si lg(α) 6= lg(β) + lg(β

⁰

)

X

α⁰,lg(α⁰)=lg(β)

δ

α⁰,β

δ

α^0c,β⁰

Ainsi, par exemple :

hU

_[1,2]

, m

_Sh

([1] ⊗ [2])i = hU

_[1]

⊗ U

_[2]

, [1] ⊗ [2]i + hU

_[2]

⊗ U

_[1]

, [1] ⊗ [2]i = 1 hU

_[2,1]

, m

_Sh

([1] ⊗ [2])i = hU

_[2]

⊗ U

_[1]

, [1] ⊗ [2]i + hU

_[1]

⊗ U

_[2]

, [1] ⊗ [2]i = 1 donc m

_Sh

([1] ⊗ [2]) = [1, 2] + [2, 1]. Autre exemple :

hU

_[1,2,3]

, m

_Sh

([1, 2] ⊗ [3])i = hU

_[1,2]

⊗ U

_[3]

, [1, 2] ⊗ [3]i + hU

_[1,3]

⊗ U

_[2]

, [1, 2] ⊗ [3]i +hU

_[3,1]

⊗ U

_[2]

, [1, 2] ⊗ [3]i

= 1 = hU

_[1,3,2]

, m

_Sh

([1, 2] ⊗ [3])i = hU

_[3,1,2]

, m

_Sh

([1, 2] ⊗ [3])i et hU

_α

, m

Sh

([1, 2] ⊗ [3])i = 0 pour toute autre composition α. Donc m

Sh

([1, 2] ⊗ [3]) = [1, 2, 3] + [1, 3, 2] + [3, 1, 2].

De facon générale, on a ainsi montré que :

m

_Sh

(β ⊗ β

⁰

) = β ×

_Sh

β

⁰

(7) où ×

_Sh

désigne le produit de battage de deux mots, que l’on décrit brièvement. Le produit de battage de deux mots α = [a

₁

, a

₂

, . . . , a

_m

] et β = [b

₁

, b

₂

, . . . , b

_n

] est la somme de toutes les permutations de [a

1

, a

2

, . . . , a

m

, b

1

, b

2

, . . . , b

n

], avec multiplicité, pour lesquelles les lettres de α et celles de β apparaissent dans leur ordre initial. Par exemple, [3] ×

_Sh

[1, 2, 4] = [3, 1, 2, 4] + [1, 3, 2, 4] + [1, 2, 3, 4] + [1, 2, 4, 3] et [1] ×

_Sh

[1, 2] = 2[1, 1, 2] + [1, 2, 1].

Remarque 3 On peut aussi définir ×

_Sh

de manière récursive, de la facon suivante : 1 ×

_Sh

α = α ×

_Sh

1 = α pour tout mot α, et si α = [a] ? α

⁰

et β = [b] ? β

⁰

(où a, b ∈

N^∗

et α

⁰

et β

⁰

sont des mots) :

[a] ? α

⁰

×

_Sh

[b] ? β

⁰

= [a] ? (α

⁰

×

_Sh

[b] ? β

⁰

) + [b] ? ([a] ? α

⁰

×

_Sh

β

⁰

)

Cette équation exprime qu’une certaine application est une dérivation de Shuffle. En effet, fixons une lettre a et définissons l’application linéaire D : α 7→ a

⁻¹

α avec a

⁻¹

α = α

⁰

si α = [a] ? α

⁰

, a

⁻¹

α = 0 si α ne commence pas par la lettre a. Alors, D est une dérivation de l’algèbre Shuffle :

D(α ×

_Sh

β) = D(α) ×

_Sh

β + α ×

_Sh

D(β)

Théorème-définition 4 Le dual gradué de l’algèbre de Hopf LieHopf est donné par l’algèbre de Hopf graduée connexe Shuffle commutative et non-cocommutative. Le produit et le coproduit sont donnés, pour toutes compositions α = [a

1

, . . . , a

m

], α

⁰

= [a

m+1

, . . . , a

m+n

], β = [b

1

, . . . , b

n

], par :

m

_Sh

(α ⊗ α

⁰

) = α ×

_Sh

α

⁰

=

X

σ∈bat(m,n)

[a

_σ⁻¹₍₁₎

, . . . , a

_σ⁻¹_(m)

, a

_σ⁻¹_(m+1)

, . . . , b

_σ⁻¹_(m+n)

] (8)

∆

_Sh

(β) =

X

β⁰?β⁰⁰=β

β

⁰

⊗ β

⁰⁰

(9)

où dans (8), bat(m, n) désigne l’ensemble des (m, n)-battages, i.e. des bijections σ ∈ S

m+n

crois- santes sur {1, . . . , m} et sur {m + 1, . . . , m + n}, et où dans (9), la somme est prise sur toutes les coupes de β, i.e. sur l’ensemble des paires (β

⁰

, β

⁰⁰

) dont la concatenation β

⁰

? β

⁰⁰

est égale à β.

L’unité est le mot vide 1, et la counité envoie tout mot non-vide sur 0. L’antipode est donné par S([a

1

, a

2

, . . . , a

m

]) = (−1)

^m

[a

m

, a

m−1

, . . . , a

1

]. (Shuffle, m

_Sh

, ∆

_Sh

) est appelée l’algèbre de Hopf de battage, ou algèbre de Hopf cotensorielle. Sa série formelle est :

F

_Shuffle

(h) = 1 − h 1 − 2h

Remarque 5 On peut munir le groupe abélien libre de base l’ensemble des compositions d’une autre structure d’algèbre de Hopf en prenant comme produit le produit de concaténation ?, et comme coproduit ∆ pour lequel tous les mots de longueur un sont primitifs. Bien entendu, cette algèbre de Hopf est isomorphe à (LieHopf, m

LH

, ∆

LH

). Le crochet de dualité s’identifie alors avec le produit scalaire h., .i

⁰

pour lequel les compositions forment une base orthonormale. En particulier, h., .i

⁰

définit un crochet de Hopf sur LieHopf × Shuffle, i.e. :

hα ⊗ α

⁰

, ∆

Sh

(α

⁰⁰

)i

⁰

= hα ? α

⁰

, α

⁰⁰

i

⁰

(10)

h∆

_LH

(α), α

⁰

⊗ α

⁰⁰

i

⁰

= hα, α

⁰

×

_Sh

α

⁰⁰

i

⁰

(11)

1.2 Algèbres de Hopf des fonctions symétriques, non commutatives symé- triques, quasi-symétriques

1.2.1 L’algèbre des fonctions symétriques

Soit (Σ

n

)

_n>1

une famille d’indéterminées. On munit l’algèbre des polynômes en les indéter- minées (Σ

_n

)

_n>1

sur

Z

, A =

Z

[Σ

₁

, . . . , Σ

_n

, . . .], d’un coproduit défini comme suit : pour tout n

>

1 :

∆(Σ

n

) =

X

i+j=n

Σ

i

⊗ Σ

j

, avec Σ

0

= 1 (12)

Par propriété universelle de

Z

[Σ

₁

, . . . , Σ

_n

, . . .], ∆ se prolonge en un unique morphisme d’algèbres de A dans A ⊗ A. De plus, ∆ est clairement coassociatif. La counité est donnée par ε(Σ

n

) = 0 pour tout n

>

1. A est ainsi munie d’une structure de bigèbre. On définit une graduation en mettant Σ

_n

homogène de degré n pour tout n

>

1. Cette graduation est connexe. A possède donc un antipode. L’algèbre de Hopf ainsi obtenue s’appelle Sym, algèbre de Hopf des fonctions symétriques. Notons que Sym est commutative et cocommutative. Sa série formelle est :

F

_Sym

(h) =

∞

Y

n=1

1

1 − h

ⁿ

(13)

Si α = [a

1

, a

2

, . . . , a

m

] est une composition, on note encore Σ

α

l’élement Σ

α

= Σ

a1

Σ

a2

. . . Σ

am

et Σ

_{[ ]}

= 1. On dira que α est une partition si a

₁ >

a

₂ >

. . .

>

a

_m

. Alors (Σ

_α

), où α parcourt l’ensemble des partitions, est une base du groupe abélien libre Sym.

Pour décrire l’antipode, on aura besoin des notations supplémentaires suivantes : on dit qu’une composition β = [b

1

, b

2

, . . . , b

n

] est un raffinement de α s’il existe des entiers 1

6

j

1

<

j

2

< . . . < j

m

= n tels que a

i

= b

ji−1+1

+ . . . + b

ji

où j

0

= 0. On le notera dans la suite β

<

α.

On peut le représenter de la manière suivante : [b

1

, . . . , b

j1

| {z }

a1

, b

j1+1

, . . . , b

j2

| {z }

a2

, . . . , b

jn−1+1

, . . . , b

n

| {z }

am

]

Par exemple, les raffinements de [3, 1] sont [3, 1], [2, 1, 1], [1, 2, 1], et [1, 1, 1, 1].

Proposition 6 S est l’unique morphisme d’algèbres de Sym tel que pour tout n

>

1 : S(Σ

_n

) =

n

X

k=1

X

a₁, . . . , a_k>1 a₁+. . .+a_k=n

(−1)

^k

Σ

_a1

. . . Σ

_ak

=

X

wt(α)=n

(−1)

^lg(α)

Σ

_α

On a de plus la formule explicite suivante pour l’antipode : S(Σ

α

) =

X

β<α

(−1)

^lg(β)

Σ

_β

(14)

Démonstration : Par récurrence sur n. Si n = 1, Σ

1

étant primitif, S(Σ

1

) = −Σ

₁

. Soit n

>

2, et supposons la propriété vraie pour tout k

6

n − 1 :

m ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆(Σ

n

) = S(Σ

n

) +

n−1

X

i=1

S(Σ

i

)Σ

n−i

+ Σ

n

= 0

Donc :

S(Σ

_n

) = −Σ

_n

−

n−1

X

i=1

X

k>1

X

a₁, . . . , a_k>1 a₁+. . .+a_k=i

(−1)

^k

Σ

_a1

. . . Σ

_ak

Σ

n−i

= −Σ

_n

+

X

k>1

X

a₁, . . . , a_k, a_k+1>1 a₁+. . .+a_k+a_k+1=n

(−1)

^k+1

Σ

a1

. . . Σ

ak

Σ

ak+1

=

n

X

k=1

X

a1, . . . , a_k>1 a₁+. . .+a_k=n

(−1)

^k

Σ

_a1

. . . Σ

_ak

Pour le second point, grâce au résultat précédent, et puisque S est un morphisme d’algèbres (Sym est commutative), on obtient :

S(Σ

α

) =

X

wt(β1)=a1

(−1)

^lg(β1)

Σ

_β1

. . .

X

wt(βn)=an

(−1)

^lg(βn)

Σ

_βn

=

X

wt(β1)=a1,...,wt(βn)=am

(−1)

^{lg(β1)+...+lg(βn)}

Σ

_β1

. . . Σ

_βn

=

X

β<α

(−1)

^lg(β)

Σ

_β

Il y a de nombreuses raisons de s’intéresser à l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques. En effet, elle apparait dans des domaines très variés des mathématiques : par exemple lors de l’étude des représentations des groupes symétriques, ou encore dans la théorie des vecteurs de Witt

¹

.

Pour les résultats suivants, il est nécessaire de travailler sur

Q

, et non sur

Z

comme précé- dement. On notera donc Sym

_Q

=

Q

⊗

_Z

Sym l’algèbre correspondante sur

Q

. Par le théorème de Cartier-Quillen-Minor-Moore, Sym

_Q

étant graduée connexe commutative et cocommutative, Sym

Q ≈

U (P rim(Sym

_Q

)) = S(P rim(Sym

_Q

)). On souhaite avoir ici une base de P rim(Sym

_Q

).

Notons p

_n

la dimension de P rim(Sym

_Q

)

_n

. La série formelle de Poincaré-Hilbert de Sym

_Q

est :

∞

Y

n=1

1 1 − h

ⁿ

=

∞

Y

n=1

1 (1 − h

ⁿ

)

^pn

Par récurrence, on obtient p

_n

= 1 pour tout n

>

1. On définit alors des éléments Γ

_n

par leur série génératrice dans Sym

_Q

[[t]] (t est une nouvelle indéterminée centrale) en posant :

X

i>1

Γ

_i

t

ⁱ

= log(1 + Σ

₁

t + Σ

₂

t

²

+ . . .) (15)

Montrons que les Γ

_i

sont des éléments primitifs :

1voir la section 3 pour des précisions sur ce point.

X

i>1

∆(Γ

_i

)t

ⁱ

= log



 X

n>0

∆(Σ

_n

)t

ⁿ





= log



 X

n>0

X

p+q=n

Σ

_p

t

^p

⊗ Σ

_q

t

^q





= log







 X

p>0

Σ

p

t

^p

⊗ 1







1

⊗

X

q>0

Σ

q

t

^q









= log



 X

p>0

Σ

p

t

^p

⊗ 1





+ log



1

⊗

X

q>0

Σ

q

t

^q





= log



 X

p>0

Σ

p

t

^p





⊗ 1 + 1 ⊗ log



 X

q>0

Σ

q

t

^q





=

X

i>1

(Γ

_i

⊗ 1 + 1 ⊗ Γ

_i

)t

ⁱ

où la quatrième égalité est vraie puisque log(ab) = log(a) + log(b) si a et b commutent. En développant (15), on obtient :

Γ

_n

=

n

X

k=1

(−1)

^k+1

k

X

a1, . . . , a_k>1 a₁+. . .+a_k=n

Σ

_a1

. . . Σ

_ak

=

X

wt(α)=n

(−1)

^lg(α)+1

lg(α) Σ

_α

(16)

Γ

_n

est donc un élément homogène de degré n, non-nul puisque le coefficient de Γ

_n

en Σ

_n

est non-nul. Par suite, {Γ

_n

} est une base de Prim(Sym

_Q

)

n

puisque cet espace est de dimension un.

En conséquence :

Proposition 7 (i) La famille (Γ

n

)

_n>1

est une base de P rim(Sym

_Q

).

(ii) Sym

Q

est isomorphe à l’algèbre de Hopf

Q

[Γ

₁

, Γ

₂

, . . .] = S(P rim(Sym

_Q

)). En particulier, Sym

_Q

est auto-duale, i.e. est isomorphe à son dual gradué.

Exemples

Γ

₁

= Σ

₁

Γ

₂

= Σ

₂

− 1

2 Σ

²₁

Γ

₃

= Σ

₃

− 1

2 (Σ

₁

Σ

₂

+ Σ

₂

Σ

₁

) + 1 3 Σ

³₁

= Σ

₃

− Σ

₁

Σ

₂

+ 1 3 Σ

³₁

Bases de l’algèbre Sym :

Soit X = {x

₁

, x

₂

, . . .} un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné, de variables qui

commutent, et

Z

[[X]] l’algèbre commutative des séries formelles en ces variables sur

Z

. On va

interpréter l’algèbre Sym comme une sous-algèbre de

Z[[X]]. Pour cela, on dira qu’un élément

F = F(x) de degré fini de

Z

[[X]] est une fonction symétrique si quelque soit y

₁

, . . . , y

_k

, z

₁

, . . . , z

_k

dans X, les y

_i

étant pris deux à deux distincts, tout comme les z

_j

, et pour tout choix d’entiers

positifs a

1

, . . . , a

k

, les monômes y

₁^a1

. . . y

_k^ak

et z

^a₁¹

. . . z

_k^ak

apparaissent avec les mêmes coefficients

dans F . On note Sym = Sym(x) l’ensemble des fonctions symétriques. C’est clairement une sous-

algèbre de

Z

[[X]].

L’algèbre Sym est un

Z

-module libre de base (m

_α

) indexée par les partitions α = [a

₁>

. . .

>

a

_k

], avec m

_α

défini par :

m

_α

=

X

x

^a_i¹

1

. . . x

^a_i^k

k

(17)

où la somme est prise sur les variables dans X, en supposant les indices i

j

deux à deux distincts.

On définit une graduation sur l’algèbre des fonctions symétriques en posant deg(m

_α

) = wt(α).

Pour tout n

>

1, la fonction symétrique élémentaire d’indice n, notée Σ

n

, est la somme de tous les produits de n variables distinctes de X, soit Σ

₀

= 1 et pour n

>

1 :

Σ

n

=

X

i1<...<in

x

i1

. . . x

in

= m

_[1ⁿ_]

(18)

Elle est homogène de degré n (en particulier, cette graduation coïncide avec celle qu’on a pu mettre en place auparavant). La série génératrice des Σ

_n

est :

σ(t) =

X

n>0

Σ

n

t

ⁿ

=

Y

i>1

(1 + x

i

t) (19)

Théorème 8 On a :

Sym =

Z[Σ1

, Σ

2

, . . .]

et les Σ

_n

sont algébriquement indépendants sur

Z

.

Démonstration : Soit F une fonction symétrique de degré fini n. Considérons I l’idéal de

Z

[[X]] engendré par x

_n+1

, x

_n+2

, . . ., et notons π :

Z

[[X]] →

Z

[[X]]/I la surjection canonique.

Clairement,

Z

[[X]]/I '

Z

[x

₁

, . . . , x

_n

]. De plus, π(Σ

_k

) = Σ

_k,n

si 1

6

k

6

n, avec Σ

_k,n

la fonction symétrique élémentaire d’ordre k à n indéterminées, et π(Σ

k

) = 0 pour k > n. Alors, π(F ) ∈

Z

[x

₁

, . . . , x

_n

]

^sym

=

Z

[Σ

_1,n

, . . . , Σ

_n,n

]. En particulier, il existe Q ∈

Z

[x

₁

, . . . , x

_n

] tel que π(F) = Q(Σ

_1,n

, . . . , Σ

_n,n

) = π(Q(Σ

₁

, . . . , Σ

_n

)). Or, F et Q(Σ

₁

, . . . , Σ

_n

) appartiennent à Sym

_n

,

Z

-module constitué des fonctions symétriques de degré

6

n. Et π restreinte à Sym

_n

est un isomorphisme de

Z

-modules de Sym

_n

sur

Z

[x

1

, . . . , x

n

]

^symn

: elle transforme la base (m

α

)

_wt(α)6n

en une base du

Z

-module

Z

[x

₁

, . . . , x

_n

]

^symn

. Finalement, F = Q(Σ

₁

, . . . , Σ

_n

) et les fonctions symétriques élémentaires engendrent l’algèbre des fonctions symétriques.

Reste à montrer que les fonctions symétriques élémentaires sont algébriquement indépendantes : pour celà il suffit de voir que pour tout n

>

1, P (Σ

₁

, . . . , Σ

_n

) = 0 si et seulement si P = 0. Soit donc n

>

1, et P un polynôme tel que P (Σ

1

, . . . , Σ

n

) = 0. Soit I l’idéal de

Z[[X]]

engendré par x

n+1

, x

n+2

, . . ., et π :

Z

[[X]] →

Z

[[X]]/I la surjection canonique. On a :

0 = π(P(Σ

1

, . . . , Σ

n

)) = P (Σ

1,n

, . . . , Σ

n,n

)

toujours avec les mêmes notations. Or, on sait que les polynômes symétriques élémentaires Σ

_i,n

sont algébriquement indépendants. Ainsi, P est le polynôme nul. Ce qui termine la démonstration.

On définit à présent d’autres fonctions symétriques, les fonctions symétriques homogènes complètes S

n

, comme suit :

S

n

=

X

wt(α)=n

m

α

(20)

S

n

est donc la somme des tous les monômes de degré total n en les variables x

1

, x

2

, . . . En

particulier, S

₀

= 1, S

₁

= Σ

₁

, et S

_n

est homogène de degré n. La série génératrice des S

_n

est

donnée par :

s(t) =

X

n>0

S

_n

t

ⁿ

=

Y

i>1

(1 − x

_i

t)

⁻¹

(21)

Étant donné (19) et (21), on a :

s(t)σ(−t) = 1 (22)

soit de façon équivalente, pour tout n

>

1 :

n

X

k=0

(−1)

^k

Σ

_k

S

n−k

= 0 (23)

Cette égalité est appelée la formule de Wronski. Puisque les Σ

n

sont algébriquement indépen- dants, on peut définir le morphisme d’algèbres homogène :

ω : Sym −→ Sym, ω(Σ

_n

) = S

_n

pour tout n

>

0 (24)

Proposition 9 (i) ω est une involution, i.e. ω

²

= Id.

(ii) Sym =

Z

[S

₁

, S

₂

, . . .], et les S

_n

sont algébriquement indépendants sur

Z

.

Démonstration : (i) résulte de la symétrie dans (23). Quant à (ii), c’est une conséquence directe du premier point et du théorème 8.

Pour toute partition α = [a

1 >

. . .

>

a

m

], on note :

Σ

α

= Σ

a1

. . . Σ

am

S

_α

= S

_a1

. . . S

_am

On dispose alors de trois bases du groupe abélien libre Sym, indexées par les partitions : les m

_α

, les Σ

α

et les S

α

, l’involution ω faisant correspondre la deuxième et la troisième base. Si l’on pose f

_α

= ω(m

_α

) pour toute partition α, les f

_α

forment une quatrième base du groupe abélien libre Sym. On les appelle les fonctions symétriques "oublies", elles n’ont pas particulièrement de descriptions directes simples.

On définit enfin les fonctions symétriques sommes de puissances P

n

par :

P

_n

=

X

i>1

x

ⁿ_i

= m

_[n]

(25)

pour n

>

1. P

n

est homogène de degré n. La série génératrice des P

n

est :

p(t) =

X

n>1

P

_n

t

ⁿ⁻¹

=

X

i>1

X

n>1

x

ⁿ_i

t

ⁿ⁻¹

=

X

i>1

x

_i

1 − x

i

t =

X

i>1

d dt

log 1 1 − x

i

t

D’où :

p(t) = d dt log

Y

i>1

(1 − x

_i

t)

⁻¹

= d

dt log s(t) = s

⁰

(t) s(t)

p(−t) = − d

dt log σ(t) = σ

⁰

(t) σ(t)

(26)

On en déduit les égalités suivantes, pour tout n

>

1 :

nS

n

=

n

X

k=1

P

k

S

n−k

(27)

nΣ

n

=

n

X

k=1

(−1)

^k−1

P

k

Σ

n−k

(28)

L’équation (28) est due à Isaac Newton, et connue sous le nom de formule de Newton. Étant donné (27), il est clair que S

n

∈

Q

[P

1

, . . . , P

n

] et P

n

∈

Z

[S

1

, . . . , S

n

], d’où

Q

[P

1

, . . . , P

n

] =

Q

[S

1

, . . . , S

n

].

Puisque les S

_n

sont algébriquement indépendants sur

Z

, et donc également sur

Q

, il suit : Proposition 10 On a :

Sym

Q

=

Q

⊗

_Z

Sym =

Q

[P

₁

, P

₂

, . . .]

Les P

_n

sont de plus algébriquement indépendants sur

Q

.

On note encore P

α

= P

a1

. . . P

am

pour toute partition α = [a

1 >

. . .

>

a

m

]. Ces éléments forment une

Q

-base de Sym

Q

, mais pas une

Z

-base de Sym : par exemple, S

₂

=

¹₂

(P

₁²

+ P

₂

) n’appartient pas à

Z

[P

₁

, P

₂

, . . .]. Enfin, puisque l’involution ω interchange σ(t) et s(t), on a donc avec (27) et (28) :

ω(P

_n

) = (−1)

ⁿ⁻¹

P

_n

pour tout n

>

1, et pour toute partition α :

ω(P

_α

) = (−1)

wt(α)−lg(α)

P

_α

(29)

Remarque 11 - En comparant les séries formelles (26) et (15) définissant les éléments P

n

et Γ

n

respectivement, on obtient Γ

n

= (−1)

ⁿ

n P

n

. On a ainsi identifié les éléments Γ

n

comme fonctions symétriques. On obtient également que les fonctions P

n

sont primitives pour la structure de cogèbre mise en place sur Sym.

- On a vu que les Σ

n

sont algébriquement indépendants. Ainsi, toute série formelle f (t) = 1+

P

n>1

a

_n

t

ⁿ

peut être considérée comme la spécialisation de la série σ(t) pour un ensemble d’arguments A. Les spécialisations des autres familles de fonctions symétriques associées à f(t) sont alors définies par (22) et (26)

²

.

On a muni Sym d’un coproduit défini par (12) au début de ce paragraphe. Regardons son action sur les bases (S

n

)

_n>1

et (P

n

)

_n>1

de l’algèbre des fonctions symétriques :

Proposition 12 Pour tout n

>

1, on a :

∆(S

n

) =

X

i+j=n

Σ

i

⊗ Σ

j

, ∆(P

n

) = P

n

⊗ 1 + 1 ⊗ P

n

(30)

2voir la section 3 pour des exemples d’utilisations.

Démonstration : Pour la base des fonctions symétriques sommes de puissances, celà résulte du calcul fait pour les Γ

_n

. Pour la base (S

_n

)

_n>1

, on procède par récurrence sur n. Pour n = 1, c’est immédiat puisque S

1

= Σ

1

. Supposons la propriété pour tout k

6

n − 1. Au rang n :

n∆(S

_n

) = ∆

n−1

X

k=0

S

_k

P

n−k

!

=

n−1

X

k=0 k

X

i=0

(S

k−i

P

n−k

⊗ S

_i

+ S

_i

⊗ S

k−i

P

n−k

)

=

n−1

X

i=0 n−1

X

k=i

(S

k−i

P

n−k

⊗ S

i

+ S

i

⊗ S

k−i

P

n−k

)

=

n−1

X

i=0

" _n−1 X

k=i

S

k−i

P

n−k

!

⊗ S

_i

+ S

_i

⊗

n−1

X

k=i

S

k−i

P

n−k

!#

=

n−1

X

i=0

[(n − i)S

n−i

⊗ S

i

+ S

i

⊗ (n − i)S

n−i

] = n

n

X

i=0

S

i

⊗ S

n−i

On conclut par principe de récurrence.

D’autres propriétés de l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques seront données dans la suite. On s’intéresse à présent à deux généralisations de l’algèbre de Hopf Sym qui ont montré leur importance : l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives NSym et l’algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques QSym.

1.2.2 Algèbre des fonctions symétriques non commutatives

Comme algèbre, NSym est simplement l’algèbre associative libre en une infinité dénombrable d’indéterminées sur

Z

:

NSym =

Z

hΣ

₁

, Σ

2

, ...i (31)

Le coproduit est déterminé par :

∆(Σ

_n

) =

X

i+j=n

Σ

_i

⊗ Σ

_j

, avec Σ

₀

= 1 (32)

NSym étant une algèbre associative libre, ∆ se prolonge de manière unique en un morphisme d’algèbres. Clairement, ∆ est coassociatif, la counité est donnée par (1) = 1 et (Σ

n

) = 0 si n = 1, 2, . . . Donc NSym est une bigèbre. Une base de NSym comme groupe abélien est donnée par l’ensemble des monômes :

Σ

α

= Σ

a1

Σ

a2

...Σ

am

et Σ

_{[ ]}

= 1

où α est une composition. NSym est graduée connexe en donnant à Σ

_α

le degré wt(α). C’est donc une algèbre de Hopf. Elle est non-commutative et cocommutative. Sa série formelle est :

F

NSym

(h) = 1 − h

1 − 2h (33)

Là aussi, les Σ

n

peuvent être vu formellement comme des fonctions symétriques élémentaires

en un ensemble d’indéterminées donné. Pour décrire l’antipode, on aura besoin de la nota-

tion suivante : si α = [a

₁

, a

₂

, . . . , a

_m

] est une composition, α

^t

désignera la composition α

^t

=

[a

m

, . . . , a

2

, a

1

].

Proposition 13 S est l’unique anti-morphisme d’algèbres de NSym dans NSym, tel que pour tout n

>

1 :

S(Σ

_n

) =

X

wt(α)=n

(−1)

^lg(α)

Σ

_α

On a de plus :

S(Σ

α

) =

X

β<α^t

(−1)

^lg(β)

Σ

β

(34)

Démonstration : La démonstration est semblable au cas de l’algèbre Sym.

Soit t une indéterminée supplémentaire, qui commute avec tous les Σ

_n

.

Définition 14 Les fonctions symétriques élémentaires sont les Σ

n

eux-mêmes, et leur série gé- nératrice est :

σ(t) =

X

n>0

Σ

_n

t

ⁿ

= 1 +

X

n>1

Σ

_n

t

ⁿ

(35)

Les fonctions symétriques homogènes complètes S

n

sont définies par : s(t) =

X

n>0

S

n

t

ⁿ

= σ(−t)

⁻¹

(36)

Les fonctions symétriques sommes de puissances P

_n

sont définies par :

p(t) =

X

n>1

P

n

t

ⁿ⁻¹

d

dt s(t) = s(t)p(t)

(37)

Remarque 15 On aurait pu définir une autre famille de fonctions symétriques sommes de puis- sances en remplaçant (37) par :

d

dt s(t) = p(t)s(t)

mais on obtient essentiellement les mêmes fonctions. En effet, NSym est munie de plusieurs involutions naturelles, et parmis elles l’anti-automorphisme qui laisse invariant les Σ

_n

. On note cette involution θ : NSym → NSym. Il suit de (36) que θ(S

n

) = S

n

, et avec (37) :

d

dt s(t) = θ(p(t))s(t) avec θ(p(t)) =

P

n>1

θ(P

n

)t

ⁿ⁻¹

. Proposition 16 On a :

− d

dt σ(−t) = p(t)σ(−t) (38)

Démonstration : En multipliant (37) à gauche et à droite par σ(−t), on obtient : σ(−t)

d dt s(t)

σ(−t) = s(t)

⁻¹

d

dt s(t)

s(t)

⁻¹

= p(t)σ(−t) Or, on a :

s(t)

⁻¹

d

dt s(t)

s(t)

⁻¹

= − d

dt s(t)

⁻¹

= − d dt σ(−t) .

Ces identités entre séries formelles fournissent les relations suivantes :

Proposition 17 Pour tout n

>

1, on a :

n

X

k=0

(−1)

^n−k

S

_k

Σ

n−k

=

n

X

k=0

(−1)

^n−k

Σ

_k

S

n−k

= 0 (39)

n−1

X

k=0

S

_k

P

_n−k

= nS

_n

,

n−1

X

k=0

(−1)

^n−k−1

P

_n−k

Σ

_k

= nΣ

_n

(40)

Démonstration : La relation (39) est obtenue en considérant le coefficient de t

ⁿ

dans σ(−t)s(t) = s(t)σ(−t) = 1. Les autres identités se démontrent de façon similaire grâce à (37) et à (38).

Il résulte de (39) et (40) que l’algèbre NSym est librement engendrée par les familles (Σ

_n

) et (S

n

), et que NSym

_Q

=

Q

⊗

_Z

NSym est librement engendrée par (P

n

). Ainsi, comme dans le cas commutatif, (Σ

n

) et (S

n

) forment des bases de la

Z

-algèbre NSym, tandis que (P

n

) est une base de la

Q

-algèbre NSym

Q

Définition 18 Soit α = [a

1

, a

2

, . . . , a

m

] une composition. On définit le produit des fonctions symétriques élémentaires :

Σ

α

= Σ

a1

Σ

a2

. . . Σ

am

De façon similaire, on a le produit des fonctions symétriques homogènes complètes : S

α

= S

a1

S

a2

. . . S

am

et le produit des fonctions symétriques sommes de puissances : P

_α

= P

_a1

P

_a2

. . . P

_am

Les familles (Σ

α

) et (S

α

) forment des

Z

-bases du groupe abélien libre NSym.

Pour la graduation définie sur NSym, les éléments S

_n

et P

_n

sont homogènes de degré n, pour tout n

>

1 (voir les formules (39) et (40)).

Proposition 19 Pour tout n

>

1, on a :

∆(S

_n

) =

X

i+j=n

S

_i

⊗ S

_j

et ∆(P

_n

) = P

_n

⊗ 1 + 1 ⊗ P

_n

(41)

Démonstration : On démontre la propriété pour les fonctions symétriques sommes de puis- sances, l’assertion concernant la base (S

_n

)

_n>1

en résulte par une démonstration analogue à la proposition 12. On procède par récurrence sur n. Pour n = 1, c’est immédiat puisque P

1

= Σ

1

. Supposons n

>

2, et la propriété pour tout k

6

n − 1. Au rang n :

n∆(Σ

n

) = ∆

n−1

X

k=0

(−1)

^n−k−1

P

n−k

Σ

k

!

=

n−1

X

k=0 k

X

i=0

(−1)

^n−k−1

(P

n−k

Σ

k−i

⊗ Σ

i

+ Σ

i

⊗ P

n−k

Σ

k−i

) + (∆(P

n

) − P

n

⊗ 1 − 1 ⊗ P

n

)

=

n−1

X

i=0

" _n−1 X

k=i

(−1)

^n−k−1

P

n−k

Σ

k−i

!

⊗ Σ

_i

+ Σ

_i

⊗

n−1

X

k=i

(−1)

^n−k−1

P

n−k

Σ

k−i

!#

+(∆(P

_n

) − P

_n

⊗ 1 − 1 ⊗ P

_n

)

=

n−1

X

i=0

[(n − i)Σ

n−i

⊗ Σ

i

+ Σ

i

⊗ (n − i)Σ

n−i

] + (∆(P

n

) − P

n

⊗ 1 − 1 ⊗ P

n

)

= n

n

X

i=0

Σ

_i

⊗ Σ

n−i

+ (∆(P

_n

) − P

_n

⊗ 1 − 1 ⊗ P

_n

)

D’où ∆(P

_n

) = P

_n

⊗ 1 + 1 ⊗ P

_n

. On conclut alors par principe de récurrence.

Corollaire 20 On a :

NSym

_Q ≈

LieHopf

_Q

(42)

l’isomorphisme homogène d’algèbres de Hopf étant donné par P

n

−→ U

n

pour tout n

>

0.

On définit un anti-automorphisme ω de NSym en posant pour tout n

>

0 :

ω(S

_n

) = Σ

_n

(43)

Les formules (39) et (40) montrent que :

ω(Σ

_n

) = S

_n

et ω(P

_n

) = (−1)

ⁿ⁻¹

P

_n

En particulier, on voit que ω est une involution.

Proposition 21 L’antipode de NSym est l’anti-automorphisme défini par :

S(S

_n

) = (−1)

ⁿ

Σ

_n

, n

>

0 (44)

Démonstration : Soit $ l’anti-automorphisme défini par $(S

_n

) = (−1)

ⁿ

Σ

_n

, n

>

0. On a

$(1) = 1, et pour tout n

>

1 :

m ◦ ($ ⊗ Id) ◦ ∆(S

_n

) =

n

X

k=0

$(S

_k

)S

n−k

=

n

X

k=0

(−1)

^k

Σ

_k

S

n−k (39)

= 0

$ est donc l’inverse à gauche de Id pour le produit de convolution, qui est associatif. Donc

$ = S.