Définitions et principales propriétés de dWHA

Soit χ = {x₁, x2, . . .} un alphabet auxiliaire. Une base du groupe abélien libre dWHA est donnée par les couples de mots en l’alphabetχ dont les supports sont égaux :

p= ρ

σ

, supp(ρ) =supp(σ) (86)

Ici, les symboles qui apparaissent n’ont pas d’importance, seul leur ordre dans ρ etσ importe.

Par exemple : désignent tous le même élément de base dedWHA. On appellera ces éléments des substitutions.

Les substitutionsppeuvent s’interpréter comme des endomorphismes deShuffle, de la manière suivante : p agit par zéro sur toutes les compositions dont l’ordre relatif des lettres n’est pas le même que pour ρ, et si l’ordre relatif est le même, il lui fait correspondre la composition dont l’ordre relatif des lettres est identique à celui deσ. Par exemple, si p est la substitution (87) et α= [a₁, . . . , a_m]:

p(α) =

[a₂, a₃, a₂, a₄, a₁] si lg(α) =m= 7 eta₁ =a₃ =a₆, a₄ =a₅

0 sinon

Ces endomorphismes satisfont à une propriété d’homogénéité : ils agissent de la même façon

"n’importe où". Plus précisément, siΦ :N^∗ −→N^∗ est une application injective etΦ∗ l’applica-tion correspondante sur les mots, Φ∗(α) = [Φ(a₁), . . . ,Φ(a_m)], on a :

Φ∗◦p=p◦Φ∗

On décrit maintenant la structure d’algèbre de Hopf graduée sur dWHA.

Structure de groupe abélien : dWHAest le groupe abélien libre de base l’ensemble des substi-tutionsp. Notons que ce n’est pas une base du produit tensorielLieHopf⊗Shuffle, puisquedWHA en est un quotient, obtenu en annulant les couples de mots ne satisfaisant pas la condition de supports, et en identifiant les substitutions dont les ordres relatifs des lettres qui les composent sont identiques. dWHA contient notamment la substitution vide

[ ] [ ]

, qui agit sur Shuffle en envoyant le mot vide sur lui-même et toute autre composition sur zéro.

Graduation : La graduation sur dWHA est donnée par deg(p) = ]supp(ρ). Par exemple, le degré de l’élément de base (87) est4. Le degré de la substitution vide est zéro, et c’est la seule substitution de degré zéro. Le groupe abélien dWHA est donc gradué connexe. Notons de plus que le rang de chacun des sous-espaces homogènes de degré non-nul est infini.

Produit : Soientp=

deux substitutions. Si nécessaire, réécrivons la deuxième substitution (ou la première, ou les deux) de sorte que supp(ρ)∩supp(ρ⁰) = ∅. Le produit des deux substitutionsp etp⁰ est donné par la somme des substitutions :

mdW HA(p⊗p⁰) =

ρ ? ρ⁰ σ×_Shσ⁰

(88)

où ρ ? ρ⁰ désigne la concaténation des mots ρ et ρ⁰, ×_Sh est le produit de battage, et si u =

Unité : L’élément unité eest donné par la substitution vide.

Il est facile de voir que le produit ainsi défini est associatif, et respecte la graduation.(dWHA, m, e) est donc une algèbre graduée connexe.

Coproduit : Pour définir le coproduit dans dWHA, il est nécessaire d’introduire de nouvelles notions. Soit α = [a1, . . . , am] un mot en l’alphabet χ. Une bonne coupe de α est une coupe α = [a₁, . . . , a_r]?[a_r+1, . . . , a_m] telle que supp([a₁, . . . , a_r]) ∩supp([a_r+1, . . . , a_m]) = ∅. Les deux coupes triviales sont toujours de bonnes coupes. Autres exemples, les bonnes coupes du mot [x2, x3, x2, x4, x1]sont [ ]⊗[x2, x3, x2, x4, x1],[x2, x3, x2]⊗[x4, x1],[x2, x3, x2, x4]⊗[x1] et [x₂, x₃, x₂, x₄, x₁]⊗[ ]. On appelle enfin sous-mot de α un mot de la forme [a_i1, . . . , a_ir] avec i1 < . . . < ir.

Le coproduit dansdWHAest défini, pour toute substitution p= ρ définition respecte la graduation et la condition de support des substitutions.

Exemple Calculons le coproduit de la substitutionp=

[x1, x2, x1, x3, x3, x1, x4, x1, x4]

On vérifie alors facilement que(dWHA,∆_{dW HA}, ε) est une cogèbre graduée connexe.

Théorème 43 (dWHA, m_{dW HA}, e,∆_{dW HA}, ε) est une algèbre de Hopf graduée connexe, non commutative et non cocommutative.

Démonstration : On veut donc démontrer la commutativité du diagramme suivant :

dWHA^{⊗2 ∆⊗∆ //}

Soient pour celap=

deux substitutions. Leur produit est donné par : m(p⊗p⁰) = Plus particulièrement, σ1 est le préfixe deσ composé de toutes les lettres de σ qui apparaissent dans le préfixe γ₁ de γ (notons que ces lettres sont reconnaissables grâce à la condition sur les supports, et qu’elles forment un préfixe (et pas seulement un sous-mot) puisque dans un battage, les lettres de chacun des deux facteurs apparaissent dans leur ordre initial). De même,σ2 est le suffixe deσ composé de toutes les lettres de σ apparaissant dans γ₂. De plus,γ₁ est un battage de σ₁ etσ⁰₁, etγ₂ un battageσ₂ etσ₂⁰. prouve le théorème (modulo des vérifications triviales pour la counité).

On dispose d’une forme bilinéaire non dégérée (non positive) sur dWHAdéfinie par : ρ

où les deux substitutions doivent être écrites de telle sorte que supp(ρ) =supp(σ) =supp(ρ⁰) = supp(σ⁰). De façon plus précise, on définit (90)par : zéro sinon. Ce crochet est homogène, dans le sens où le crochet de deux substitutions de degrés différents est nul.

Théorème 44 L’algèbre de Hopf dWHA est auto-duale, i.e. dWHA est munie d’un crochet de Hopf non-dégénéré donné par (90).

Démonstration : On doit donc montrer, pour toutes substitutions p = ρ

* σ⁰. Si toutes ces conditions sont vérifiées, alors

ρ ? ρ⁰ Autre structure d’algèbre de Hopf : On dispose d’une seconde structure d’algèbre de Hopf sur le groupe abélien libre de base les substitutions, obtenue par une sorte d’imitation de celle de Shuffle⊗LieHopf (de la même façon que la structure définie précédement sur dWHA est une imitation de celle deLieHopf⊗Shuffle). Elle est définie par :

m⁰

où la somme dans la deuxième égalité est prise sur les bonnes coupes, et où p(ρi) désigne le sous-mot maximal deσ ayant le même support queρ_i.

Cette algèbre de Hopf est isomorphe à la précédente, l’isomorphisme étant donné par :

ρ On définit le produit scalaireh., .i⁰ surdWHApour lequel les substitutions forment une base orthonormale. On a alors la :

Proposition 45 Pour h., .i⁰, m et ∆⁰_{dW HA} sont duales l’une de l’autre, de même pour m⁰ et

∆_{dW HA}. Ainsi :

hp⊗p⁰,∆_{dW HA}(p⁰⁰)i⁰ = hm⁰(p⊗p⁰), p⁰⁰i⁰

hp, m(p⁰⊗p⁰⁰)i⁰ = h∆⁰_{dW HA}(p), p⁰⊗p⁰⁰i⁰ (93) Démonstration : Puisqueθest un isomorphisme d’algèbres de Hopf :

m⁰ =θ◦m◦(θ⊗θ),∆⁰_{dW HA} = (θ⊗θ)◦∆_{dW HA}◦θ Notons de plus que pour toutes substitutionsp,p⁰, on a :

hp, p⁰i⁰ =hp, θ(p⁰)i=hθ(p), p⁰i La proposition en résulte directement. En effet :

m⁰(p⊗p⁰), p⁰⁰0