Feuilletages singuliers de codimension un, Groupoïde de Galois et intégrales premières

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Galois et intégrales premières

Guy Casale

To cite this version:

Guy Casale. Feuilletages singuliers de codimension un, Groupoïde de Galois et intégrales premières.

Annales de l’Institut Fourier, Association des Annales de l’Institut Fourier, 2006, 56 (3), pp.735-779.

�10.5802/aif.2198�. �hal-00004495�

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GUYCASALE

Table des matières

Introdution 1

1. Dénitionset rappels 3

2. Legroupoïde de Galois d'un feuilletage 10

3. Groupoïdes de Galois et Suitesde Godbillon-Vey 11

4. Groupoïdes de Galois et intégralespremières 19

5. Le groupoïde de Galois d'un germe de feuilletage de (C²,0) ^à singularité

réduite 24

6. Groupoïdes de Galois et extensions fortement normales 27

Référenes 33

Introdution

En2001,B.Malgrangeaproposédans Legroupoïdede Galoisd'unfeuilletage ([Ma4℄)

une manièrede généraliserle groupe de Galoisdiérentiel,déni pour une équationdif-

férentiellelinéaire,auxfeuilletagessinguliers.Deuxhangementsimportantsparrapport

aux théoriespréédentes apparaissent.Premièrement,onperd lastruture de groupe al-

gébrique remplaéepar elle de D^{-groupoïdede Lie.}Deuxièmement, alorsque legroupe de Galois agissait sur les variables dépendantes (les inonnues des équations diéren-

tielles),legroupoïdede Galois agitsur l'ensembledes variablesdépendantes etindépen-

dantes (l'espae portant le feuilletagedonné par les équationsdiérentielles).

Le groupoïde de Galois est dénipar lesystème maximal d'équations auxdérivées par-

tielles qui vérie lesonditions suivantes :

Les ots des hamps de veteurs tangents au feuilletage sont des solutions de e

système.

Lesinlusionsdeladénition1.2sontvériées.Cesdernièressignientquel'identité

est solution du système, que laomposée de deux solutions est une solution etque

l'inverse d'une solution est enore une solution.

D'après [Ma4℄, un systèmed'équations vériante dernierpointest appeléD^-groupoïde

de Lie.

Des dénitions analogues bien qu'impréises ont été esquissées par J. Drah [Dr1℄

et E. Vessiot [Ves1℄, [Ves2 ℄. Elles étaient basées sur la notion de systèmes automorphes

d'intégralespremièresdufeuilletage.Lespreuvesdel'existenedetelssystèmessemblent,

malheureusement,inomplètes.Enbasantsadénitionsur lespropriétés dynamiquesdu

feuilletage, sans auune référene aux intégrales premières, et en utilisantson théorème

d'involutivité générique [Ma2℄, B. Malgrange ontourne les problèmes de dénition et

résoud lesproblèmes d'existene.

Dans et artile, nous étudierons le groupoïde de Galois d'un germe de feuilletage de

odimension un. Nous rappellerons dans une première partie les dénitions loales de

D^{-groupoïdedeLie[Ma4℄ etlesrésultatsrelatifsaux}D^{-groupoïdede Lieau-dessusd'un}

disquedeC^{([Cas2℄,[Ma3℄).Cesderniersnous}permettrons,dansunedeuxièmepartie,de préiserlanaturedu systèmed'équations auxdérivées partiellesdénissantlegroupoïde

de Galoisdu feuilletageetde aratérisersataillepar un nombre :lerangtransverse du

groupoïde de Galoisdu feuilletage.Ce nombre appartient à{0,1,2,3,∞}^.

Danslatroisièmepartie,nousmontreronslesliensentrelegroupoïdedeGaloisetl'exis-

tenedestruturestransverses.Nousdisuteronssuivantlerangtransversedugroupoïde

deGaloisl'existene de struturesméromorphestransverses eulidienne(rangtransverse

égale à un), ane (rang transverse égale à deux) ouprojetive (rang transverse égale à

trois). Nous énonerons le résultat en terme de suites de Godbillon-Vey méromorphes

pour le feuilletage, assoiées aux strutures transverses. Le théorème 3.2 donne l'égal-

ité du rang transverse du groupoïde de Galois ave la longueur minimale des suites de

Godbillon-Veyméromorphes du feuilletage dans le as des suites de longueur 1^, 2 ^ou 3^.

Ces résultatsontété annonés dans [Ma5℄ oùB. Malgrangeprouve une des deux inégal-

ités d'unemanièreplus géométriquemais essentiellementanalogueàla notre.Lapreuve

quenous donnons de l'autre inégalitésembleêtre diérentede elle de B. Malgrange.

Dans[Cas2℄nousaratérisonslesgermesdediéomorphismesde (C,0)^{solutionsd'un} D^{-groupoïde de Lie au-dessus de} (C,0)^{. Les germes de} feuilletages de (C²,0) ^{à singu-}

larités réduites étant omplètement dérit par leurs holonomies, nous étudierons plus

pariulièrementes feuilletagedans laquatrièmepartie.Nousexpliquerons ommentles

résultats de la partie préédente omplétés par eux de [Cas2 ℄ redonne la aratérisa-

tion en terme d'invariants analytiques des germes de feuilletages de (C²,0) ^{à singular-}

ités réduites admettant une struture transverse méromorpheane ou projetive. Nous

retrouvons ainsi de manièregaloisienne lesrésultatsde M. BerthieretF. Touzet [B-T℄

eteux de F. Touzet[Tou2℄.

Danslainquièmepartie,nousdisuterons desdiérentstypesde transendaned'in-

tégrales premières (dénition 4.1) du feuilletage aratérisés par le groupoïde de Galois

(théorème 4.2). Suivant le rang transverse du groupoïde de Galois, le feuilletage admet

une intégrale première de type méromorphe, Darboux,Liouvilleou Riati. Dansle as

d'un feuilletage dont le groupoïde de Galois est de rang transverse deux ou trois, le

résultat provient essentiellement d'un théorème de M. Singer [Si℄ et de sa version pro-

jetive [Cas1℄ via le théorème 3.2. Pour les feuilletages de groupoïde de Galois de rang

transverse un, la démonstration onsisteà prouver une version adaptée du théorème de

Singer.LeasdesfeuilletagesdegroupoïdedeGaloisderangtransversenulsetraited'un

manière diérente, nous onstruirons un quotient de l'espae des feuilles naturellement

muni d'une struture de ourbe analytique.

Dansla dernière partie, nous dérirons quelques-unes des relationsentre legroupoïde

de Galois d'un feuilletage et la notion d'extension fortement normale de E. R. Kolhin

([Ko℄).Les intégralespremières onstruitesdans lapartiepréédentesont naturellement

des éléments d'une extension fortement normale du orps des fontions méromorphes.

Nous prouvons ensuite la réiproque : si il existe une intégrale première du feuilletage

dansuneextensionfortementnormaleduorpsdes fontionsméromorphes, legroupoïde

de Galois est de rang transverse ni (théorème 6.4).

1. Définitions et rappels

Dans [Ma4℄ B.Malgrangedénit lanotionde D^{-groupoïdede Lieetmontre plusieurs}

propriétés de es objets. Nousommençons par rappeler lesdénitions relatives auxD-

groupoïdes de Lie au-dessus d'un polydisque ∆ ^de C^n.

L'espae des jets d'ordre k d'appliations inversibles de ∆ ^dans ∆ ^{sera noté} J_k^∗(∆)^{. Le}

hoixd'une oordonnée x ^sur ∆ ^{permet de faire} l'identiation:

J_k^∗(∆) = ∆×∆×GL_n(C) ×

2≤|α|≤k

C^n|α|

ave lesoordonnées naturelles (xi, yi, y_i^α)^{. Le}multi-indieα ^{appartient à}N^{n et onnote}

|α| ^{la somme de ses} omposantes. Nous noterons ǫj ^le multi-indie dont la seule oor- donnée non nulle est la j^{-ième et est égale à} 1^{. On munit l'espae} ∆×∆ ^{du faiseau}

d'anneaux

OJ_k^∗(∆) =O∆×∆[y_i^α, 1 det(y_i^ǫj)]

quis'identieàl'anneaudeséquationsauxdérivéespartielles,polynomialesenlesdérivées,

d'ordreinférieurouégalàk ^ayantn ^variablesindépendantes etn^variablesdépendantes.

Étant donné un jet d'appliation y(x) ^de ∆ ^dans ∆^{, nous} regrouperons les dérivées y^α_i

suivantleurs ordres|α|^{.Nousnoterons}y^{′ lajaobienne de} y^{par rapportà} x^, y^{′′ lahessi-}

enne (qui est élément de S²Cⁿ⊗C^{n) de} y ^{par rapport à}x^, y^{′′′ élémentde} S³Cⁿ⊗C^{n la}

forme trilinéairedes dérivées troisièmes...

Les espaes J_k^∗(∆) ^{sont de plus munis d'unestruture de groupoïde par ladonnée}

de laprojetion soure s:J_k^∗(∆)→∆ ^déniepar s(x, y, . . .) =x^,

de laprojetion but t:J_k^∗(∆)→∆^{dénie par} t(x, y, . . .) =y^,

d'une ompositionc:J_k^∗(∆)×∆J_k^∗(∆)→J_k^∗(∆) ^{déniesur lesouplesde jets}(h, g)

tels quet(h) =s(g)^par

c((x, y, y^′, y^′′, . . .),(y, z, z^′, z^′′, . . .)) = (x, z, z^′y^′, z^′′(y^′, y^′) +z^′y^′′, . . .),

d'une identité, la sous-variété dénie par les équations xi = yi ^et y^ǫ_i^j = δ_i^{j pour} 0 ≤ i, j ≤n ^et y^α_i = 0 ^pour |α| ≥2^{, donnée par leplongement} e : ∆ → J_k^∗(∆) ^par e(x) = (x, x, id,0, . . . ,0)^,

d'une inversion i :J_k^∗(∆)→ J_k^∗(∆) ^{qui à un jet} (x, y, y^′, y^′′, . . .) ^fait orrespondre le jet

(y, x,(y^′)⁻¹,−(y^′)⁻¹y^′′((y^′)⁻¹,(y^′)⁻¹), . . .),

On a de plus n dérivations Di : O^Jk^∗(∆) → O^Jk+1^∗ (∆) ^qui orrespondent aux dérivations partiellesde fontions omposées. Étant donnée une équation E ^:

DiE = ∂E

∂xi

+X

ℓ,α

∂E

∂y_ℓ^αy_ℓ^α+ǫi.

Toutes es èhes sont ompatibles au projetions naturelles J_k+1^∗ (∆) → J_k^∗(∆) ^{e qui}

permet de les dénir sur l'espae ∆×∆ ^{muni de l'anneau} O^J∗(∆) = ^lim

−→ O^Jk^∗(∆)^{. Les}

dénitions suivantes sont issues de [Ma4℄.

Dénition 1.1. Un groupoïde d'ordre k ^sur ∆ ^{est donné par un idéal (= faiseau}

d'idéaux) ohérent Ik ^de OJ_k^∗(∆) ^{tel que:}

(1) I^k⊂Ker(e^∗)^,

(2) i^∗Ik ⊂ Ik^,

(3) c^∗Ik⊂ Ik⊗O^∆1 + 1⊗O^∆ Ik ^{(la somme étant prise omme somme d'idéaux).}

Cette dénition est naturelle mais en pratique trop restritive pour la dénition de

groupoïde de Galois telle qu'elle est donnée dans la suite. Il faut alors utiliser la déf-

initionplus souplesuivante.

Dénition1.2. Un D^{-groupoïdede Lie sur} ∆^{est donnépar un idéalréduit}I ^deOJ^∗(∆)

tel que

tous les idéaux I^ℓ =I ∩ O^Jℓ^∗(∆) ^{sont ohérents,}

I ^{soit stable par} dérivation,

pour tout ouvert relativement ompat U ⊂ ∆ ^{il existe un entier} k ^{et un ensemble}

analytique fermé Z ^dans U ^{tels que pour tout} ℓ ≥k^, Ieℓ =Iℓ|U ^vérie

(i) les inlusions (1)et (2) de la dénition 1.1,

(ii) l'inlusion (3) de la dénition 1.1 sur tout voisinage de (x, y, z) ∈ (U −Z)× (U −Z)×(U−Z)^.

Danset artilenousnenousintéresseronsqu'auxD-groupoïdesdeLieau-dessusd'un polydisquedetaillearbitrairementpetite.Ennousplaçantdiretementsurunpolydisque

pluspetitqueeluidedénition,lespoints(i)et(ii)serontvériéssurtoutlepolydisque.

Unesolution de I ^en p∈∆^{est un morphisme} u ^de OJ^∗(∆)/I ^dans O∆,p ^{au-dessus de}

larestritionO^∆→ O^∆,p,telqueu(DiE) = _∂x^∂

iu(E)^.Enregardantf =u(y)^{, onobtient}

un germe f : (∆, p) → (∆, q) satisfaisant les équations diérentielles de l'idéal I^{. On}

dénitde mêmelessolutions formellesommemorphismes dans Ob∆,p^. Réiproquement, un germe d'appliation inversible f^{, solution des équations} diérentielles engendrant I

dénit un morphisme u ^par u(y) = f^{. Nous} identierons souvent, par abus de langage, un D^{-groupoïdede Lieave ses solutionsformelles. Enpartiulier nous dironsqu'un} D^-

groupoïdede Lied'idéalI ^{est inlusdansun seondd'idéal}J ^sil'idéalI ^{ontientl'idéal} J ^{et qu'un} D^{-groupoïde de Lie ontient un} diéomorphisme si e dernier est solution des équations de I^.

Donnons quelques exemples de D-groupoïdes de Lie :

Exemple1.3. Legroupoïded'invarianed'unefontionméromorphe

P

Q ^estunD^-groupoïde

de Lie dont l'idéal est diérentiablement engendré par

Q(x)P(y)−Q(y)P(x).

Les propriétés (1) et (2) d'un D^{-groupoïde de Lie sont évidentes. La propriété (3) est}

vraie en dehors du lieu d'indétermination de

P

Q^{. En eet, les égalités}

Q(z)[Q(x)P(y)−Q(y)P(x)]

=Q(y)[Q(x)P(z)−Q(z)P(x)]−Q(x)[Q(z)P(y)−Q(y)P(z)]

et

P(z)[Q(x)P(y)−Q(y)P(x)]

=P(y)[Q(x)P(z)−Q(z)P(x)]−P(x)[Q(z)P(y)−Q(y)P(z)]

donnent l'inlusionvoulue tant queP(z)6= 0 ^ou Q(z)6= 0^.

Exemple 1.4. Le groupoïde d'invariane d'un hamp méromorphe de tenseurs, T^{, est}

un D^{-groupoïde de Lie dont l'idéal est} diérentiablement engendré par les omposantes de Γ^∗T −T^{. Les propriétés (1), (2) et (3)} proviennent de l'égalité

Γ^∗₂Γ^∗₁T −T = Γ^∗₂(Γ^∗₁T −T)−(Γ^∗₂T −T)

L'ensemble Z ^{est alors inlus dans le lieu des ples du hamp}T^.

Exemple 1.5. Le groupoïde d'invariane d'un hamp d'hyperplan donné par une 1-

forme ω ^{intégrable (}ω∧dω = 0^{) est un} D^{-groupoïde de Lie. Son idéal est engendré par}

les omposantes de Γ^∗ω∧ω ^{ou enore, en oordonnées dans lesquelles} ω=P

ω_idx_i^{, par}

(Γ^∗ω)i

(Γ^∗ω)j − _ω^ω_j^{i. La troisième inlusionest vériée en dehors du lieu} d'annulation de ω^.

Les autresexemplesque l'onpourraitdonnersontdes généralisationsde eux-i en on-

sidérantlesgroupoïdesd'invariane(ou d'isométries)destruturesgéométriquesd'ordre

supérieur à un : voir [Gr℄, [Dum℄.

Étantdonnéun sytème d'équations auxdérivées partiellesd'ordrek ^:I^k,l'idéalprqI^k

des équations d'ordre k+q ^{obtenues par dérivations de} Ik ^{peut ontenir des équations}

d'ordre k n'appartenant pas à Ik^{. Cei nous interdit de onsidérer les jets d'ordre} k

solutions de Ik ^{omme des jets de solutions formelles. Les systèmes} diérentiels ayant de bonnes propriétés d'intégrabilité formelle (prqIk∩ OJ_k+s^∗ = prsIk) ^{sont les systèmes}

involutifs. Les théorèmes d'involutivité générique de Cartan-Kuranishi et de B. Mal-

grangenous assurent quen'importe quelsystème diérentielest équivalentàun système

involutifen dehors d'unehypersurfae de onditions initiales.

Soit Ik ^{un système} d'équations d'ordrek ^telquesi E ∈ Ik∩ OJk−1(∆) ^alors D_iE ∈ Ik^.

On note S_k ^{la variété analytique déniepar} Ik ^d'anneau OSk =OJk/Ik ^etpour E ^dans OJk ^{on note} δE ^{le symbole de} E^, 'est-à-dire sa diérentielle modulo les dxi ^{et les} dy^α_j

pour |α| ≤ k−1^{. Soient} E1, . . . Ep ^{un sytème} d'équations qui engendre loalement I^k.

Le premierprolongementde l'idéalest engendré par les Eℓ ^etles DiEℓ^{. Pour trouver un}

zéro de pr1I^{k dans} J_k+1^∗ (∆) ^{au-dessus d'un zéro de} I^{k dans} J_k^∗(∆)^{, il faut résoudre un}

système d'équations

X

j,|α|=k

∂E

∂y_j^αy_j^α+ǫi = X

j,|α|<k

∂E

∂y_j^αy_j^α+ǫi.

De même,pour que pr2Ik ^{ait des zéros au-dessus de eux de} pr1Ik^{, il faut résoudre des}

équations de la forme

X

j,|α|=k

∂E

∂y_j^αy_j^α+ǫi+ǫℓ =∗.

La nature des prolongementssuessifs de I^{k est don ontrolée par les symboles.}

On note A[ξ] ^{l'anneau des polynmes en} ξ1, . . . ξn ^{à oeients dans un anneau} A ^et A[ξ]k ^{l'espae des polynmes homogènes de degré} k^.

Dénition 1.6. Après la substitution de δy_j^{α par} ξ^αδyj^,

on appelle symbole d'ordre k ^de Ik ^le OSk^-module Nk ^{engendré dans}

⊕jOSk[ξ]kδyj =OSk[ξ]^m_k ^{par les lasses modulo} Ik ^des δf^;

on appelle symbole de Ik ^le OSk^{-module gradué} N ^{engendré par} N_k ^dans OSk[ξ]^m;

on appelle module aratéristique de Ik^{, lemodule gradué quotient}

Mk =O^Sk[ξ]^m/N^.

Dans la dénition des systèmes diérentiels ayant de bonnes propriétés de prolonge-

ment,lessymbolesinterviendrontparl'intermédiairedesévaluationspontuellesdumod-

ulearatéristique sur Sk^{.On demandera à es derniers d'être}involutifs.

Dénition1.7. SoitM ^unC[ξ]^{-modulegradué.Ondira que}M ^est ℓ^{-involutifsiilexiste}

une base (η₁, . . . , η_n) ^de C[ξ]₁ ^{vériant pour tout} q ≥ℓ ^:

Pour i= 1. . . n^{, la} multipliation par ηi

Mq/(η1, . . . , ηi−1)Mq−1 →Mq+1/(η1, . . . , ηi−1)Mq

est injetive et Mq/(η1, . . . , ηn)Mq−1 = 0

Dénition 1.8. On dira qu'un système diérentiel I^{ℓ est} ℓ^{-involutif si :}

(1) S_ℓ ^{est lisse,}

(2) M_ℓ ^et M_ℓ+1 ^{sont loalement libres,}

(3) en tout point a ^de S_ℓ^, M(a) ^est ℓ-involutif, (4) pr₁S_ℓ →S_ℓ ^{est surjetif.}

Nous utiliserons les dénitions préédentes uniquement à travers les trois théorèmes

suivants.Pour leurs démonstrations, nous renvoyons le leteurà [Ma6℄.

Théorème de Cartan-Kähler 1.9. Si Iℓ ^est ℓ^{-involutif alors} pr1Iℓ ^est ℓ+ 1-involutif.

Pour tout jet d'ordre ℓ ^{solution de} Iℓ^{, il existe une solution onvergente de} Iℓ ^{ayant e}

jet d'ordre ℓ^.

Théorème d'involutivité générique1.10 ([Ma6℄). Soit I ^{un idéal}diérentiel,réduit de O^{J∗(∆) tel que les idéaux} I^{k soient ohérents. Quitte à diminuer le polydisque} ∆^{, il}

existe un entier ℓ ^{et un} sous-ensemble analytique fermé de odimension un Zℓ ⊂ Sℓ

vériant :

(1) en dehorsde Zℓ^, I ^est ℓ-involutif,

(2) pour tout entier q^{, en dehors de} Zℓ^, I^{ℓ+q est le} prolongement d'ordre q ^de I^{ℓ et il}

n'y a auune omposante de Iℓ+q ^{au-dessus de} Zℓ^.

B. Malgrange montre parallèlement une version analytique du théorème de Ritt-

Radenbush.

Théorème 1.11. Soit I ^{un idéal diérentiel réduit de} OJ^∗(∆)^{. Quitte à réduire} ∆^{, il}

existe un entier ℓ ^{tel que l'idéal}I ^{soit l'idéalréduit} diérentiablement engendré par I^ℓ.

Unepremière onséquene de es théorèmes est lethéorème suivant.

Théorème 1.12 ([Ma4℄). Soit Ik ^{un système diérentiel d'ordre} k^{. On note} I ^l'idéal

diérentiel qu'il engendre et I^{réd l'idéal réduit de} I^{. Supposons que} Ik ^{soit inlus dans}

kere^{∗, soit stable par} i^{∗ et qu'il existe un ensemble analytique fermé} Z ^de ∆ ^{tel que} Ik

dénisse un groupoïde d'ordre k ^{en dehors de} Z^{. Alors}

(1) I^{réd est l'idéal d'un}D^{-groupoïde de Lie,}

(2) il existeun ensemble analytique fermé Z^{′ de} ∆^{tel que endehors de}Z^′, I =I^réd.

Lethéorème de noethérianité 1.11 permet de montrer :

Théorème 1.13 ([Ma4℄). Soient I^{α des idéaux de} D-groupoïdes de Lie. L'idéal réduit engendré par la somme des I^{α est enore l'idéald'un} D^{-groupoïdede Lie.}