X Physique 2 PC 2009 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/15

X Physique 2 PC 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d’ingé- nieur).

Composé de deux parties entièrement indépendantes, ce sujet traite de phéno- mènes d’hystérésis observés d’une part dans un microscope à force atomique, d’autre part à l’interface entre deux lames transparentes éclairées par un faisceau laser de forte puissance.

• La première partie débute par l’étude de la pointe du microscope, modélisée par un oscillateur amorti. Cette pointe est alors soumise à des forces de Van der Waals, dont on étudie l’effet sur les grandeurs caractéristiques de l’oscillateur en se limitant, tout d’abord, à un développement de Taylor de la force au voisinage de la position d’équilibre. Revenant à l’expression de la force sous sa forme générale, on aboutit à l’étude de deux courbes expérimentales obtenues en approchant ou en éloignant le résonateur de la surface. Ces courbes diffèrent par la présence d’un cycle hystérésis sur la seconde, que l’on s’efforce d’expliquer théoriquement. Cette partie peut être abordée dès la première année, comme application du chapitre sur l’oscillateur amorti.

• Dans la seconde partie, on commence par linéariser les expressions des coeffi- cients de transmission et de réflexion pour une incidence rasante sur la lame.

L’indice optique de la lame dépend de l’intensité du faisceau laser, ce qui conduit à l’étude de la transmission de l’onde dans ce cas. On montre que pour une in- tensité suffisamment élevée, le milieu, qui devrait être complètement opaque si l’indice optique était indépendant de l’intensité, peut en réalité laisser passer une partie de la lumière incidente et on observe le phénomène d’hystérésis.

Nécessitant peu de connaissances issues du cours, cette épreuve mêle des appli- cations numériques faciles à des calculs qui, bien que courts ou peu techniques, sont souvent subtils et testent efficacement les capacités d’analyse du candidat. Elle re- quiert également un bon sens physique pour comparer courbes expérimentales et résultats théoriques. Ce sujet peut être traité par les élèves de toutes les filières et contribuera à nourrir leur culture scientifique.

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Indications

Partie I I.1.3 Utiliser la notation complexe.

I.2.3 Montrer que la position d’équilibre du système est modifiée.

I.2.4 Montrer que la raideur effective de la tige est modifiée.

I.2.5 Utilisercos 2a= 1−2 cos²apour réécrirecos²(ωt+ϕ)etcos³(ωt+ϕ).

I.3.3 Procéder comme à la question I.1.3.

I.3.6 Dériverde²par rapport à ea.

Seul le second terme de l’expression dede²peut tendre vers l’infini.

I.3.10 Traduire le fait quededonnée par la branche ⊕est égale à dedonnée par la branche ⊖.

I.3.11 Procéder comme à la question I.3.6, puis évaluer |de−ea| pour vérifier que

|de−ea|<0,04.

I.3.12 Seul le second terme de l’expression dede²peut tendre vers l’infini.

I.3.13 Raisonner graphiquement en faisant croître puis décroîtrede; lorsqu’une branche ne permet plus à ded’augmenter (ou diminuer), le système bascule sur l’autre branche.

Partie II

II.1.1 Remplacer θ1et θ2parϕ1et ϕ2, puis linéariser.

II.1.2 Utiliser l’expression fournie pour exprimer les intensités en fonction des in- dices optiques et des amplitudes des champs. Utiliser ensuitet.

II.2.1 Utiliser la loi de Descartes pour la réfraction.

II.2.2 Utiliser la loi de Descartes. Se placer dans le cas de l’incidence rasante (ϕ2= 0). Justifier que l’on a alorsIt= 4 Ii.

II.2.3 Relier It etIi. Utiliser la loi fournie reliantn1 etn2.

II.2.4 Développer la loi de Descartes à l’ordre 2 et tenir compte de ϕ1, ϕ2≪1 et ∆/n1, ηIt/n1≪1 Exprimer 4r/t²en fonction des ϕi.

II.2.5 Utiliser la symétrie par rapport à la première bissectrice.

II.3.2 Utiliser la formule fournie dans cette sous-partie reliant les amplitudes des champs incidents et transmis et faire apparaître les intensités.

II.3.3 Dans cette sous-partie, prendre garde queItn’est pas l’intensité transmise.

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I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique

I.1.1 Appliquons le théorème de la résultante dynamique à l’oscillateur dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, en projection sur l’axe−→ez; il vient

mz¨=−k(z−d)−λz˙+f0cosωt

Ainsi, z¨+ λ

mz˙+ k

m(z−d) =f0

mcosωt

Ce qui se réécrit z¨+ω0

Q z˙+ω02(z−d) = amω02

Q cosωt

I.1.2 Puisqu’il est le rapport de deux pulsations,uest sans dimension. De plus,

−λdz/dta la dimension d’une force donc[λ] = [F] T/L = M/T; ainsi[ω0/λ] = M⁻¹ etQest sans dimension. Enfin,

f0

m ω02

= M L T⁻² M T⁻² = L Par conséquent,a_mest homogène à une longueur.

I.1.3 Puisque l’on se place en régime sinusoïdal forcé, utilisons la notation complexe et posons z =d+ae^i(ωt+ϕ) et remplaçons cosωt par e^iωt; l’équation obtenue à la question I.1.1 devient alors

−ω²ae^iϕ+iω0ω

Q ae^iϕ+ω02ae^iϕ= amω02

Q Puis, ae^iϕ= amω02/Q

ω02−ω²+iω0ω/Q= am

Q (1−u²) +iu

dont le module est a(ω) = am

pQ²(1−u²)²+u² (cara >0)

On peut être surpris de l’approximation faite par l’énoncé puisque, si l’on pose u = 1 +ε, le premier terme d’ordre non nul est d’ordre 1 pour u² (u²≃1 + 2ε) et le premier terme d’ordre non nul est d’ordre 2 pour(1−u²)² ((1−u²)²≃4ε²). Mais l’énoncé précise queQest grand. Ainsi, si l’on suppose queQest d’ordre inférieur ou égal à−1enε, le termeQ²(1−u²)²est d’ordre inférieur ou égal à 0 et alors on peut prendreu²≃1.

On sait que

Plus Qest grand, plus le pic autour de la résonance est fin et plus la pulsation de résonance est proche deω0.

Rappelons que la pulsation de résonanceω de l’oscillateur amorti et la lar- geur∆du pic de résonance vérifient

ω=ω0

r 1− 1

2 Q² et ∆ = 1 Q²

p1−4 Q² Ainsi,ω se rapproche deω0et ∆de zéro lorsqueQcroît.

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I.1.4 La fréquence propre est alors

ν0= 1 2π

rk

m = 100 kHz

I.2.1 Écrivons un développement de Taylor deF, à l’ordre 3, autour dez=d: F(z) = F(d+ (z−d))

= F(d) + F^′(d) (z−d) + F^′′(d)(z−d)²

2 + F^′′′(d)(z−d)³ 6 L’expression fournie permet de calculer les dérivées deF:

F(z) =−K d² +2 K

d³ (z−d)−3 K

d⁴ (z−d)²+4 K

d⁵ (z−d)³

d’où A =−K

d² , B = 2 K

d³ , C =−3 K

d⁴ et D = 4 K d⁵ I.2.2 En se limitant à l’ordre 1 enz−d,Fs’écrit

F(z) = A + B (z−d)

Ajoutons cette force dans l’expression établie à la question I.1.1 :

¨ z+ω0

Q z˙+ω02(z−d) = A m+ B

m(z−d) +amω02

Q cosωt InjectonsZ =z−d; puisque ˙Z = ˙z etZ = ¨¨ z, on obtient

¨Z +ω0

Q ˙Z +ω02Z = A m + B

mZ +amω02

Q cosωt

Donc Z +¨ ω0

Q ˙Z +

ω02− B m

Z = A

m+amω02

Q cosωt

I.2.3 Éteignons l’excitation (f0= 0) ; à l’équilibreZ = ˙Z = 0¨ d’où Zeq= A

m ω02−B

donc Aintroduit un décalage de la position d’équilibre.

Or, A

m ω02−B =− K/d² k−2 K/d³

Ainsi, Zeq=− K/d²

k−2 K/d³ =−1,1.10⁻⁴nm

La position d’équilibre est alors enz=d+ A/(m ω02−B)< d, ce qui est en accord avec le caractère attractif des forces de Van der Waals. Ce déplacement est toutefois extrêmement faible.

Ce déplacement est mesuré à l’aide d’un faisceau laser qui se réfléchit sur un miroir situé à l’extrémité de la tige où la pointe est fixée. Un capteur permet de mesurer le déplacement du spot, dont on déduit celui de la tige.