X Physique 2 PC 2001 — Corrigé

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X Physique 2 PC 2001 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon).

Le sujet porte sur l’étude de l’émission de notes par les instruments à vents.

La première partie établit l’équation de propagation d’une onde sonore dans un tuyau en prenant en compte l’influence du fluide dans lequel se propage l’onde et celle du solide constituant les parois du tuyau. La seconde partie s’intéresse plus particulièrement aux conditions aux limites imposant la valeur des fréquences que peut émettre un instrument à vent. La troisième partie fixe les limites de l’étude précédente et détermine la plage de fréquences où elle est valable. Enfin, la quatrième et dernière partie traite du rôle du pavillon dans l’émission sonore.

Ce problème, facile de prime abord, recèle néanmoins des questions méritant une réflexion approfondie. Il utilise des notions d’hydrodynamique et des outils concernant les phénomènes ondulatoires.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/19 Indications

Première partie

I.1 Linéariser l’équation d’Euler au premier ordre en perturbation.

I.2.a Faire un bilan.

I.2.c Utiliser l’hypothèse

dD dx

≪1 lors de la linéarisation.

I.3.a Utiliser le théorème de Schwarz.

Deuxième partie

II.1.a Penser à la conservation des quantités globales (débit et énergie).

II.1.c Il y a une erreur dans l’énoncé : il ne faut pas considérerχ→ ∞àΦ2donné, maisχ→ ∞àΦ1 donné.

II.2.a Trouver la longueur d’onde minimale qui satisfasse aux conditions aux limites.

Troisième partie

III.1.b Utiliser Euler pour les conditions aux limites : la vitesse normale est toujours nulle aux parois.

III.1.c Faire apparaître la séparation des variables dans l’équation de propagation.

III.1.d Regarder la valeur à l’origine.

III.2.a Utiliser la convexité de la relation de dispersion.

III.2.c Écrire l’expression littérale de lan^eharmonique et prendre garde à la conven- tion prise pour le fondamental dans l’expression de la richesse.

Quatrième partie

IV.1.a Revoir l’approximation faite à la question I.2.c afin de linéariser l’équation(2).

IV.1.b Résoudre l’équation pour un vecteur d’onde complexe et ne pas confondre avec le nombre d’onde.

IV.2.b Penser à la moyenne pour l’intensité.

IV.2.c Se rappeller queI^EdB = 10 log I

I^réf

et prendre garde que l’on veut la sur- pression dans le corps de l’instrument.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/19 I. Propagation d’une onde sonore dans un tuyau

I.1 Écrivons l’équation d’Euler projetée suivant l’axe(Ox)

∂v

∂t +v∂v

∂x =−1 ρ

∂P

∂x

CommeP0est une constante, il ne reste plus quepdans la dérivation. Les termes en v etpétant des perturbations, on va linéariser cette équation pour ne garder que le premier ordre.

On développe 1

ρ⁰+δρ

∂p

∂x = 1 ρ⁰

∂p

∂x−δρ ρ²0

∂p

∂x+o δρ

ρ⁰

Les termes en v∂v

∂x et δρ ρ²0

∂p

∂x sont donc supprimés comme étant du deuxième ordre en perturbation (ils font intervenir un produit de termes d’ordre 1).

On en déduit : ∂v

∂t + 1 ρ⁰

∂p

∂x = 0 (1)

I.2.a Effectuons un bilan de conservation de la masse.

Celui-ci montre que la variation de la masse comprise dans le volume Sdx entre les instantstett+dtest égale à la masse rentrant enxmoins celle sortant

enx+dx. ✲ ✲

✲

✛ dx

[ρSv](x)dt [ρSv](x+dx)dt S(x) S(x+dx)

Ce qui donne :

[ρS](x, t+dt)dx−[ρS](x, t)dx= [ρSv](x, t)dt−[ρSv](x+dx, t)dt

Avec Taylor ∂(ρS)

∂t dtdx=−∂(ρSv)

∂x dxdt

D’où ∂(ρS)

∂t +∂(ρSv)

∂x = 0 (2)

Une deuxième méthode consiste à utiliser une équation générale de conser- vation sous la forme

∂Λ

∂t + div −→ J = 0 En posantΛ = ρS densité linéique de masse et −→

J =ρS−→

v courant linéique de masse, on obtient bien

∂(ρS)

∂t +∂(ρSv)

∂x = 0

I.2.b La variation de la section induit des vitesses non nulles suivant les axes(Oy) et(Oz). Ces vitesses n’interviennent que dans le terme en(−→

v .−−→

grad )−→

v. L’hypothèse Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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dD dx

≪1 signifie que ces vitesses sont aussi du premier ordre en perturbation. On peut donc supprimer ces termes lors de la linéarisation pour retomber sur l’équation (1).

I.2.c

On a ∂(ρSv)

∂x = (ρ0+δρ)(S0+δS)∂v

∂x +ρv ∂S0

∂x +∂δS

∂x

+ Sv∂δρ

∂x où le seul terme du premier ordre est ρ0S0

∂v

∂x car tous les autres comportent des produits d’au moins deux termes du premier ordre. L’équation(2)peut donc s’écrire

∂(ρS)

∂t +ρ⁰S⁰∂v

∂x = 0 (3)

On utilise ∂S⁰

∂x = 0car le tuyau est à profil constant. On peut néanmoins retenir la présence de ce terme qui nous servira pour la question IV.1.a.

Il est à remarquer que ∂(ρS)

∂t se linéarise aussi enρ⁰∂S

∂t+S⁰∂ρ

∂t, les termes δρ∂S

∂t etδS∂ρ

∂t étant du second ordre du fait que les parties non perturbées deS etρne dépendent pas du temps.

I.3.a Pour trouver l’équation de propagation pour la pression, il faut faire apparaître des dérivées secondes deppar rapport à tet à x. Pour ce faire, dérivons l’équation (1)par rapport àxet l’équation(3)par rapport au temps.

(1)donne ∂²v

∂x ∂t =−1 ρ⁰

∂²p

∂x² (4)

(3)donne ∂²v

∂t ∂x = 1 ρ0S0

ρ⁰∂²S

∂t² + S⁰∂²ρ

∂t²

(5)

Développonsρ(P)en terme de perturbation de pression : ρ(P +p) =ρ0+p dρ

dP p=0

+o(p)

De même S(P +p) = S⁰+p dS

dP p=0

+o(p)

D’où ∂²ρ

∂t² = ∂²p

∂t² dρ dP p=0

et ∂²S

∂t² =∂²p

∂t² dS dP p=0

au premier ordre.

On peut remplacer les présentes expressions dans l’équation(5). La combinaison des équations(4)et(5)donne alors

−1 ρ⁰

∂²p

∂x² = 1 ρ⁰S⁰ S0

dρ dP p=0

+ρ0

dS dP p=0

!∂²p

∂t² Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.