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Centrale Physique 2 PC 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Arnaud Spinelli-Audouin (ESPCI), Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).
Le sujet porte sur les télécommunications par les ondes hertziennes : la propaga- tion de ces ondes dans l’ionosphère, leur émission et leur réception.
On étudie dans la première partie du problème la propagation de ces ondes dans l’ionosphère et, notamment, dans quelles conditions elles sont réfléchies ou transmises par celle-ci. On étudie ensuite l’émission d’un dipôle simple et on combine plusieurs dipôles entre eux pour former une antenne, puis on associe ces antennes pour former des dispositifs plus directifs. Enfin, dans la dernière partie, on étudie les antennes paraboliques, ainsi que l’émission de rayonnement depuis un satellite.
Ce problème constitue une excellente vue d’ensemble de l’optique–que ce soient les équations de Maxwell, la diffraction, le dipôle rayonnant. . . Il constitue par ailleurs un bon exercice d’intégration sur des surfaces.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/23 Indications
Première partie
I.A.1 Estimer de combien varie la distance interatomique quand on passe du métal au plasma. Utiliser les valeurs numériques données en annexe.
I.A.2 Utiliser la question I.A.1 et les résultats de la question d.
I.B.1 Chercher−→v sous la forme−→v(x, t) =f(x, t)−u→y.
I.B.3 Revenir aux notations réelles pour le calcul de la puissance.
I.C.1 Ne pas oublier−→.
I.C.2.b Utiliser le préambule pour calculer−→ B.
I.C.3 Il y a une erreur dans l’énoncé. Traiter le casω > ωp. I.C.3.e Différentier la relation de dispersion.
I.D Faire le bilan de la partie I.C.
Deuxième partie
II.A.3 Utiliser div a−→
A
=adiv−→ A +−−→
grada .−→ A.
II.A.5 Ne pas oublier sinθ dans l’élément de surface en sphérique. Remarquer quesin3θ= sinθ 1−cos2θ.
II.B.1 Que devient le courant aux bords de l’antenne ?
II.B.2 Montrer que le morceau d’antenne est équivalent à un petit dipôle, puis se servir des questions II.A.
II.C.1 et 2 Écrire le champ total comme une somme de champs issus de chaque an- tenne et développer le terme de phase dans les exponentielles, en négli- geant la variation d’amplitude.
Troisième partie
III.A.2 Se servir des dimensions données à la question III.A.3.
III.A.3.g Quel est le faisceau le plus directif possible ?
III.C.1 Considérer dans le triangle {Centre de la Terre – Satellite – France} la distancek−→
SFk=k−→ SC + −→
CFk.
III.C.2 Remarquer que la France est située à l’infini, et utiliser la figure 3.
III.C.4 Considérer, puisqueLest grand devant les autres dimensions et que l’ou- verture angulaire de la tache principale de diffraction est petite, que le morceau de sphère correspondant à cette tache est assimilable à un plan, et intégrer en coordonnées polaires.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/23 Préambule
a Les équations de Maxwell dans le vide sont div−→
E = 0 (1)
div−→
B = 0 (2)
−→rot−→
E =−∂−→ B
∂t (3)
−→rot−→
B =µ0ε0
∂−→ E
∂t (4) Pour obtenir les équations de propagation pour−→
E (resp.−→
B), on prend le rotationnel de(3)(resp.(4))
−→rot−→
rot−→
E =−−→
rot ∂−→ B
∂t et −→
rot−→
rot−→
B =µ0ε0 −→
rot ∂−→ E
∂t Puis on utilise la formule donnée dans le formulaire
−→rot−→
rot−→ A =−−→
grad div −→ A−∆−→
A
en remarquant que d’après(1)et(2), les termes en−−→
grad div sont nuls.
Ceci donne ∆−→ E =−→
rot ∂−→ B
∂t et ∆−→
B =−µ0ε0
−→rot ∂−→ E
∂t
Enfin, d’après le théorème de Schwarz (commutation des dérivées partielles), on a
−→rot ∂−→ B
∂t = ∂−→
rot−→ B
∂t =µ0ε0∂2−→ E
∂t2 d’après(4)
−→rot ∂−→ E
∂t = ∂−→
rot−→ E
∂t =−∂2−→ B
∂t2 d’après(3)
Ceci donne finalement
∆−→
E =µ0ε0
∂2−→ E
∂t2
∆−→
B = µ0ε0
∂2−→ B
∂t2
b Il s’agit d’une onde plane (car−→
E ne dépend que de xet det: −→
E est constant à un instant donné dans tous les plans perpendiculaires à l’axeOx), progressive (car
−
→E =−→
f(x−vt)) et monochromatique–ou harmonique (de pulsation bien définieω).
Sa polarisation est rectiligne de direction−→uy.
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c En introduisant l’expression de−→
E dans l’équation de propagation de la question a, on obtient la relation de dispersion
ω k
2
=c2
Le vide n’est pas un milieu dispersif car la vitesse de phasevφ def= ω
k est indépendante deω. La vitesse de phase est la vitesse à laquelle se déplacent des points de phase constante. On la calcule en disant que−→
k .−→r −ωtest une constante dans le temps.
d L’équation(3)donne
−
→B =
−
→k ω ∧ −→
E
Donc −→
B = k
ωE0ej(ωt−kx)−u→z (5)
Cette relation est valable que −→
k soit réel ou complexe, ce qui nous servira par la suite.
e L’onde plane possède une énergie par unité de volume : E =ε0
−
→E
2
2 +
−
→B
2
2µ0
En moyenne hEi= ε0E02
2 >0
On rappelle que la moyenne temporelle est définie comme suit : hfi= lim
T→∞
1 2T
Z T
−T
f(t)dt
Cette énergie moyenne est indépendante du point où on la calcule et non nulle, donc, en l’intégrant sur tout l’espace pour avoir l’énergie totale de l’onde, on trouve qu’elle est infinie, ce qui n’est physiquement pas acceptable. Une onde plane ne peut donc pas exister.
On l’utilise tout de même pour deux raisons :
• avec la transformée de Fourier, si le système est linéaire, ce qui est généralement le cas en électromagnétisme, on peut se ramener à une superposition d’ondes planes progressives monochromatiques ;
• généralement, les ondes électromagnétiques ont une structure locale d’ondes planes (quand on peut négliger la variation spatiale de l’ampli- tude du champ)–voir question III.A.3.b.
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