Centrale Physique 1 PC 2005 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/19

Centrale Physique 1 PC 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Iglésias (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE)

Cette épreuve se compose de quatre parties pratiquement indépendantes qui mènent l’étude d’un capteur interférométrique de déplacement.

• La première partie est, de loin, la plus facile. Elle porte sur l’analyse d’une lame à faces parallèles et fait appel aux notions de base sur la réflexion et la réfraction d’ondes électromagnétiques à l’interface entre deux diélectriques ; on y étudie les réflexions multiples à l’intérieur d’une lame à faces parallèles.

• Dans la deuxième partie, on se concentre sur les interférences à deux ondes provoquées par une lame d’air. Les cas d’une source ponctuelle et d’une source large sont abordés en premier lieu. La fin de la partie est bien plus originale et nécessite une analyse assez fine de graphiques expérimentaux.

• On poursuit dans la troisième partie en s’intéressant à un coin d’air. L’étude de données expérimentales qui y est proposée n’est pas triviale et reste originale.

• La quatrième partie aborde une autre méthode d’analyse optique de la cavité constituée par le coin d’air étudié précédemment. La résolution y est plus facile, mais assez calculatoire.

Ce sujet est typique de la filière PC au concours Centrale-Supélec : il est long mais de difficulté croissante, il est également très original car tiré d’un article de recherche récent. S’il est peu calculatoire, ce problème nécessite de la réflexion et du sens physique.

Pour vraiment réussir une telle épreuve, il faut non seulement très bien connaître son cours, en particulier celui sur les interférences, mais aussi savoir analyser des ré- sultats expérimentaux. Il est alors indispensable de passer du temps sur les questions difficiles afin de bien comprendre l’énoncé et d’avancer dans le problème.

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Indications

Partie I

I.C.2 Regarder soigneusement le trajet parcouru par le rayon considéré en tenant compte des différentes réflexions et traversées des interfaces.

Partie II

II.A.2.c Calculer la différence de marcheS2M−S1Mpuis effectuer un développement limité en ρ

DT+

−a/2. Terminer le calcul en remarquant quea≪D.

II.A.2.e Remarquer que pour un anneau K quelconque, l’ordre d’interférence est p=p0−K.

II.A.4.e Utiliser les différentielles logarithmiques pour évaluer l’incertitude.

II.A.4.h Utiliser les formules de grandissement avec origine au foyer. On peut les retrouver à l’aide d’une construction géométrique.

II.A.4.i Utiliser les questions II.4.g et II.4.h.

II.B.2.1 Utiliser la question II.A.3 pour déterminer la relation ρ en fonction de e qu’il faut ensuite différentier. Constater quep0/p≈1.

II.B.2.a Certains pics du profil A sont situés « après » ceux du profil B alors que d’autres sont situés « avant ».

Partie III

III.A.3 Il faut utiliser l’équivalence

cosx=y⇐⇒x=⁺⁻Arccosy+ 2mπ avec m∈Z Cette remarque est essentielle pour la suite.

III.B.1 La variation d’épaisseur est d’abord rapide puis se ralentit, ce qui fait varier la période des oscillations lors de la phase d’excitation. La même chose se produit pendant la relaxation.

III.B.2.b L’épaisseur diminue ainsi que I(x, y). En déduire la solution qui convient poure(x, y).

III.B.3 Utiliser la continuité deepour trouver l’entiermcaractérisant la solution.

III.B.4 Reprendre les raisonnements précédents en remarquant que e augmente.

Bien comprendre ce qui se passe entfin.

Partie IV

IV.B Effectuer un développement de Taylor à l’ordre 2 deφ(t+ ∆t).

IV.D Utiliser les relations trigonométriques pour simplifier le rapport et éliminer les termes enφ.

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I. Présentation du dispositif

I.A.1 La relation de passage qui exprime la continuité du champ électrique à la traversée d’une interface entre deux milieux 1 et 2, s’écrit pour la composante tangentielle

−

→ET2−

−

→ET1=−→ 0 L’onde est plane, progressive et se propage selon−→

ez. Le champ électrique est alors transverse, c’est-à-dire perpendiculaire à la direction de propagation ; il est donc tangent à l’interfacez= 0. La relation de passage s’écrit alors

−

→Ei+−→ Er=−→

Etr

Pour une onde plane progressive, monochromatique et polarisée rectilignement se propageant selon−→

ez, le champ électrique s’écrit

−

→Ei =−→

E0ie^j(ωt−kz)

De même −→

Er=−→

E0re^j(ωt+kz) puisque l’onde réfléchie se propage selon−−→

ez. De plus,

−

→Etr =−→

E0tre^j(ωt−kz)

La relation de passage écrite enz= 0donne

−

→E0i+−→ E0r=−→

E0tr

I.A.2 La relation de passage qui exprime la continuité du champ magnétique à la traversée d’une interface entre deux milieux 1 et 2, s’écrit pour la composante tangentielle

−

→B^T2−

−

→B^T1=µ0−→

S∧−→ n1→2

où−→

Sest le vecteur densité de courant surfacique et−→

n1→2, le vecteur unitaire normal à l’interface. En l’absence de courant surfacique,

−

→BT2−

−

→BT1=−→ 0

On obtient donc comme dans la question précédente

−

→B0i+−→ B0r=−→

B0tr

Rappelons qu’il existe deux autres relations de passage impliquant les com- posantes normales de −→

E et −→

B. La relation de passage à l’interface entre deux diélectriques concernant la composante normale de −→

E n’est pas au programme de la filière PC. Pour le champ magnétique cette relation est

−

→BN2−

−

→BN1=−→

0. Elle est trivialement vérifiée puisque−→

BN2=−→ BN1=−→

0.

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Pour une onde plane et progressive se propageant dans un milieu diélectrique transparent d’indicen selon la direction de propagation−→

u, la relation de structure qui exprime le champ magnétique est

−

→B = n c(−→

u ∧

−

→E )

On a donc, en représentation complexe,

−

→Bi= n1

c (−→ ez∧

−

→Ei)

L’onde réfléchie se propageant suivant−−→

ez, il vient

−

→Br=−n1

c (−→ ez∧

−

→Er) et −→ Btr= n2

c (−→ ez∧

−

→Etr)

En écrivant la relation de passage enz= 0, on obtient n1

c

−

→ez∧(−→ E0i−

−

→E0r) = n2

c

−

→ez∧

−

→E0tr

Comme le champ électrique est orthogonal à−→

ez, cela implique

n1(−→ E0i−

−

→E0r) =n2

−

→E0tr

I.A.3 Les questions I.A.1 et I.A.2 permettent d’écrire les relations 1 +r1→2=t1→2 et n1(1−r1→2) =n2t1→2

soit n1(1−r1→2) =n2(1 +r1→2)

d’où r1→2= n1−n2

n1+n2

Or t1→2= n1

n2

(1−r1→2)

Il vient finalement t1→2= 2n1

n1+n2

I.B L’application numérique donne alors

r1= n0−n

n0+n =−0,2 et r2= n−n0

n0+n = 0,2

t1= 2n0

n0+n= 0,8 et t2= 2n

n0+n = 1,2

On remarque que r1 est négatif. On en conclut que la réflexion d’une onde élec- tromagnétique sur une interface air/verre s’accompagne d’un déphasage deπ.

I.C.1 Par définition der1, s0

sincident

=r1