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X Physique 1 PC 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Péter Horvai (ENS Ulm) ; il a été relu par Étienne Reyssat (ENS Ulm), Olivier Arcizet (ENS Ulm) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon).
Ce problème traite de thermodynamique appliquée à la météorologie, plus pré- cisément au comportement d’une masse d’air humide. La première partie étudie les propriétés de l’air sec ; la deuxième partie étudie l’air humide et le point de conden- sation ; enfin, la troisième partie traite du cas de l’air avec eau condensée.
L’épreuve requiert des connaissances concernant les gaz parfaits, les transforma- tions adiabatiques, ainsi que les relations fondamentales des transitions de phases (en particulier l’équation de Clapeyron).
La difficulté de ce problème est moyenne, mais il est impératif de bien maîtriser les formules de thermodynamique.
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Indications
I.2.b La quantité d’air dans la bulle ne change pas, mais son volume change, ainsi que la densité de l’air environnant.
I.2.d On a affaire à un oscillateur harmonique.
I.3.a Utiliser l’équation d’état d’un gaz parfait.
I.3.b Utiliser l’expression de dp/dz et l’équation d’état.
II.1.a Il s’agit de la relation de Clapeyron.
II.1.b Il suffit d’intégrer la relation précédente.
II.2.a Développerln(H1/H2)à partir de la définition deH. Ensuite montrer que le rapport des pressions partielles de la vapeur dans les états 1 et 2 est le même que le rapport des pressions totales.
II.2.b Le point de condensation est caractérisé par HC = 0. Ensuite utiliser la relation entre pression et température lors d’une transformation adiabatique d’un gaz parfait.
II.2.c PoserTA/TC= 1 +xavecxpetit devant 1.
II.3.a Sans rien savoir sur les nuages, on devine de ce qui précède la réponse atten- due.
II.3.b Partir de la forme différentielle de(4)et utiliser(2)et (6).
II.3.d Il s’agit d’un état stationnaire.
III.1.a On peut négliger le changement d’enthalpie dû au chauffage de l’eau, liquide ou vapeur.
III.1.b Commencer par exprimer dHen fonction de dpet dS.
III.2 Utiliser l’équation d’état du gaz parfait. ApproximerV/Ten utilisant le fait que l’eau (liquide et vapeur) est en quantité négligeable.
III.3 Utiliser dS = 0avec l’expression de la question III.1.b en substituant par le résultat de la question III.2. Exprimer(dT/dp)as. Mettre ce dernier en facteur dans l’expression obtenue pour(dT/dp)aset écrire l’autre facteur sous la forme (ici schématique) 1 +x
1 +y . Conclure en comparantxet y.
III.4.a Partir d’une masse d’air au point de condensation au sommet de la montagne.
III.4.b Utiliser la question III.3, notamment le fait queα <1.
III.5.a Partir de la question III.3 et de la forme explicite de (dT/dp)as. Intégrer l’équation.
III.5.b Calculerpmen utilisant la formule de la question I.1.b et la valeur obtenue à la question I.1.c. On se sert du résultat de la question III.3, avece(T = 5◦C) calculé à la question II.1.c.
III.5.c Utiliser le résultat des questions I.1.b et III.5.a.
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Première partie
I.1.a On est à l’équilibre, nous devons donc écrire l’équation de l’hydrostatique
−−→gradp=−ρg−→
ez ou encore dp dz =−ρg où−→
ez désigne le vecteur unité vertical orienté vers le haut.
I.1.b L’équation d’état d’un gaz parfait s’écrit pV =nRT Cette relation sera utilisée tout au long du problème.
Exprimonsρ en fonction de pet T. Par définition ρ= m
V, puis avec l’équation d’état il vient
ρ= p
nRTm= p RT
m n = p
RTM (1)
On remplace cette expression dans I.1.a dp dz =− p
RTMg=−Mg
RTp (2)
En résolvant cette équation différentielle enpon a p(z) =p(0)e−
Ma g RT0z
et en exprimantρà partir depavec(1) ρ(z) =ρ(0)e−
Ma g RT0z
La décroissance exponentielle de la densité de l’air (supposé isotherme, dans un champ de pesanteur uniforme) est connue sous le nom de loi de Boltz- mann. C’est un cas particulier de la loi de Boltzmann plus générale de la physique statistique qui dit que dans un ensemble canonique (système fermé en équilibre avec un thermostat de températureT) la probabilité que le sys- tème possède l’énergieEest proportionnelle àe−kB TE oùkB est la constante de Boltzmann. Profitons-en pour noter quekB n’est pas un nombre magique mais sert seulement à définir l’unité de température.
I.1.c D’après le résultat de la question précédente la hauteur caractéristique est RT0
Mag. PourT = 10◦C soitT = 283 K:
zcaractéristique= 8,27 km
Deux remarques. D’une part, il faut faire attention à convertir les masses molaires, avant l’application numérique, en kg mol−1. D’autre part on n’a que deux chiffres significatifs dans la table des valeurs numériques donnée en début d’énoncé, ça n’aurait donc pas de sens de calculer avec plus de précision.
On gardera néanmoins un chiffre significatif de plus, pour que les valeurs
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numériques soient réutilisables dans les calculs (ou vérifications) ultérieures, sans accumuler trop d’erreurs d’arrondi.
I.2.a Par définition de la compressibilité isentropique, on a lors d’une transforma- tion isentropique infinitésimale, la relation δV =−V0χSδp. Pour un petit déplace- ment,δp= dp
dzδz. En combinant ces deux relations et le résultat de la question I.1.a, on a (avec la notationh=δz)
δV = V0χSρgh I.2.b
La force d’Archimède est la force hydrostatique exercée sur un corps plongé dans un fluide (ou un système de fluides) au repos. C’est l’intégrale, sur la surface du corps, de la force de pression exercée par le fluide, et c’est aussi l’opposée de la force de pesanteur que subirait la masse de fluide occupant le volume du corps immergé.
La force d’Archimède est−→ FA= FA
−
→ez oùFAest donnée par FA=ρgV
Dans notre cas,ρ=ρ(z0+h)et V = V0+δV. AinsiFA=ρ(z0+h)·g·(V0+δV), soit à l’ordre 1 enh
FA =
ρ(z0) +hdρ dz
gV0(1 +χShρg)
=ρ(z0)gV0+
dρ
dzgV0+ρ(z0)gV0χSρg
h+ O h2 FA =ρ(z0)gV0
1 +
1 ρ
dρ
dz +χSρg
h
+ O h2
I.2.c L’équation du mouvement se déduit de l’équation de Newton md2h
dt2
−
→ez=−→ F
−
→F est la somme de la force d’Archimède −→
FA et de la force de pesanteur −→ Fp =
−mg−→
ez; de plus,m=ρ(z0)V0. Avec la question précédente, ceci donne d2h
dt2 = 1 m
mg
1 +
1 ρ
dρ
dz +χSρg
h
−m
Soit d2h
dt2 = 1
ρ dρ
dz +χSρg
gh
I.2.d On reconnaît l’équation de l’oscillateur harmonique (¨h=kh). L’équilibre en z0est stable si le coefficient de rappelk=
1 ρ
dρ
dz+χSρg
gest négatif. Ce qui donne pour le gradient de masse volumique
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