I. La fonction Gamma

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Centrale Maths 1 PSI 2011 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Le sujet se compose de six parties dont les quatre premières sont largement in- dépendantes. Il vous permettra de vérifier votre connaissance du cours d’intégration sur un intervalle quelconque, notamment le chapitre sur le théorème de convergence dominée et les intégrales à paramètre.

• La première partie, très classique, est consacrée à l’étude de la fonction Γ :x7→

Z ⁺^∞

0

e⁻^tt^x⁻¹dt

On y montre notamment, grâce au théorème de dérivation sous le signe somme, que c’est une fonction de classeC¹qui interpole la suite des nombres factoriels.

• La deuxième partie démontre le développement asymptotique suivant, plus pré- cis que l’équivalent den!fourni par la formule de Stirling :

ln(n!) =nlnn−n+1

2 lnn+ ln√

2π+ 1 12n+O

1 n²

Pour cela, on fait appel à une représentation intégrale delnk, que l’on parvient à encadrer finement au moyen de trois intégrations par parties successives.

• La troisième partie utilise le théorème de convergence dominée pour montrer l’identité suivante, due à Euler :

∀x >0 Γ(x) = lim

n→+∞

n^xn! x(x+ 1)· · ·(x+n)

• La quatrième partie définit une fonctionϕpar une intégrale impropre convergente dépendant d’un paramètre. La méthode proposée pour étudierϕconsiste à intégrer par parties pour se ramener à des fonctions intégrables, avant d’appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme.

• La cinquième partie combine la formule de Stirling de la deuxième partie avec l’étude de fonction de la quatrième partie pour établir une nouvelle identité d’Euler, à savoir

∀x >0 Γ^′(x+ 1)

Γ(x+ 1) = lnx+ 1 2x+

Z ⁺^∞

0

h(u) (u+x)² du

• La sixième et dernière partie étudie une fonction F de plusieurs variables sur un compact Ω de R⁴. Les résultats de la partie V et la condition nécessaire d’existence d’un extrémum local sur un ouvert montrent alors que le maxi- mum(N1,N2,N3,N4)deFsurΩsatisfait la formule

∀i∈ {1,2,3,4} Ni= K e^µεⁱe⁻^θ(Nⁱ⁾avec lim

x→+∞θ(x) = 0

où lesεisont des constantes définissantΩ. On retrouve alors le fait qu’à énergie totale fixée et dans la limite thermodynamique, la distribution de Boltzmann maximise l’entropie du système.

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Indications

Première partie

I.A Déterminer un équivalent simple en0et une comparaison en ⁺∞.

I.B Montrer que la fonctionΓest de classeC¹sur tout intervalle de la forme[ε,A], avec0< ε <1<A, en dérivant sous le signe somme (théorème de Leibniz).

On pourra considérer la fonction de domination suivante ψ(t) =

|lnt|t^ε⁻¹ si t61 e⁻^t|lnt|t^A⁻¹ si t >1 I.C Intégrer par parties.

Deuxième partie

II.B Trouver un encadrement de(t−k+ 1) (k−t)sur[k−1, k].

II.C Écrire wk− 1 12

Z k

k−1

dt t² = 1

12 Z k

k−1

P2(t) t² dt

où P2 est un polynôme de degré 2. Intégrer alors cette nouvelle intégrale par parties en primitivant P2. On pourra choisir la primitiveP3 s’annulant enk−1et majorer|P3(t)|sur[k−1 ;k] pour conclure.

II.D Sommer l’encadrement de la question II.C pourk∈[[n+ 1 ;p]]et prendre la limite p→⁺∞.

Troisième partie

III.B Échanger limite et intégrale grâce au théorème de convergence dominée.

III.C Intégrer par parties.

III.D Procéder par récurrence en utilisant la question III.B.

III.E Montrer queIn(x) =n^xJn(x)puis utiliser les questions III.B et III.D.

Quatrième partie

IV.B Utiliser la périodicité dehpour en déduire celle de H.

IV.D Minorer l’intégrale sur[n;n+ 1 ]. Conclure en rappelant que f est intégrable surR⁺ ⇐⇒ la sérieP

Z n+1

n |f(t)|dt est convergente IV.E Appliquer le théorème de dérivation sous le signe. On pourra utiliser la do-

mination de la fonction ψ(x, u) = H(u)

(x+u)² suivante

∀(x, u)∈[ε; A ]×] 0 ;⁺∞[

∂ψ

∂x(x, u)

62kHk^∞× 1 (u+ε)³

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Cinquième partie

V.B Calculer Fn(x) grâce à la propriété de morphisme de ln et exprimer les termes ln(x+i)au moyen de la question V.A. Remarquer enfin qu’on peut calculer explicitementhsur]i;i+ 1 [.

V.C.1 Justifier le développement

ln(x+n+ 1) = lnn+x+ 1

n +O

1 n²

puis appliquer la formule de Stirling.

V.C.2 Appliquer l’identité d’Euler (III.1). Conclure grâce à V.B et V.C.1.

Sixième partie

VI.A.1 Montrer queΩest une partie fermée et bornée de R⁴.

VI.A.2 Écrire un système de deux équations à deux inconnues satisfait parx3 etx4. VI.A.3 Remarquer que(a1, a2)est un extremum local de la fonctiong où

g: (x, y)7→f(x, y, u x+v y+w, u^′x+v^′y+w^′)

VI.A.4 Montrer l’orthogonalité des vecteurs en reprenant les expressions deu, u^′, v, v^′ de la question VI.A.2. Conclure en calculant le rang des familles et la dimen- sion de l’orthogonal.

VI.A.5 Interpréter VI.A.3 comme une condition d’orthogonalité sur−−→

gradf(a).

VI.B Combiner les questions V.D et VI.A.5.

VI.C.1 Majorer le terme intégral deθ(Ni)par 1 2 Ni.

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I. La fonction Gamma

I.A Fixonsx∈Ret étudions la fonctionγx:t7→e⁻^tt^x⁻¹.

• Pour toutx∈R, la fonctionγx est continue sur] 0 ;⁺∞[par les théorèmes gé- néraux.

• Au voisinage de ⁺∞, e⁻^t/2t^x⁻¹ tend vers 0 par croissances comparées, d’où la domination γx(t) = o e⁻^t/2

. Ainsi, par comparaison, la fonction γx est intégrable sur[ 1 ;⁺∞[, et ce pour toutx∈R.

• Au voisinage de 0⁺, on a l’équivalent γx(t) ∼

t→0⁺t^x⁻¹. Le critère de Riemann assure alors queγx est intégrable sur] 0 ; 1 ]si et seulement six >0.

En conclusion,

La fonctionγx est intégrable sur] 0 ;⁺∞[si et seulement six >0.

Il est indispensable de mentionner la continuité de la fonction intégrée.

C’est un argument fréquemment oublié et certainement sanctionné par les examinateurs.

I.B Comme la fonction γx est continue, à valeurs positives et non identiquement nulle, on a bien

∀x∈] 0 ;⁺∞[ Γ(x)>0 Remarquons que

Γ(x) = Z ⁺^∞

0

γ(x, t) dt oùγ: (x, t)7→e⁻^t t^x⁻¹.

Pour montrer le caractèreC¹, appliquons le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre (théorème de Leibniz). Pour toutt∈ ] 0 ;⁺∞[, la fonctionx7→γ(x, t) admet une dérivée partielle par rapport àxsur] 0 ;⁺∞[×] 0 ;⁺∞[ et l’on a

∂γ

∂x(x, t) = e⁻^t(lnt)t^x⁻¹

• Pour tout x ∈ ] 0 ;⁺∞[, la fonction t 7→ γ(x, t) est continue par morceaux sur] 0 ;⁺∞[ et intégrable sur] 0 ;⁺∞[d’après la question I.A.

• Pour toutx∈] 0 ;⁺∞[, la fonctiont7→ ∂γ

∂x(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur] 0 ;⁺∞[. En effet, grâce aux croissances comparées, on a

e⁻^t(lnt)t^x⁻¹=o t^x²⁻¹

lorsquet→0 et e⁻^t(lnt)t^x⁻¹=o e⁻^t/2 lorsquet→⁺∞ d’où l’intégrabilité sur] 0 ; 1 ]et [ 1 ;⁺∞[respectivement.