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Modèle aléatoire de l’intermittence pour les cinétiques de remise en suspension des aérosols
R. Barrère, L. Darie, H. Delporte, A. Sadoudi
To cite this version:
R. Barrère, L. Darie, H. Delporte, A. Sadoudi. Modèle aléatoire de l’intermittence pour les cinétiques de remise en suspension des aérosols. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (8), pp.1421-1429.
�10.1051/jp3:1994210�. �jpa-00249194�
Classification Physic-s Ahsn.clots
02.50 47.25 47.60
Modkle alkatoire de l'intermittence pour les cinktiques de
remise en suspension des akrosols
R. Barrkre ('), L. Darie ('), H. Delporte I') et A. Sadoudi (2) (') ENSMM-EPEC, 16 route de Gray, 25030 Besan~on Cedex, France
(2) INRA-LGHPA, 25 avenue de la Rdpublique, 91300 Massy, France
(Re~,u le 23 nor,embre /993, idi>isd le 28 avril J994~ clc<.eptd le 2 mcli J994)
Rdsumk. On propose une thdorie de la remise en suspension de particules par un dcoulement gazeux. Bas6e sur l'hypothdse que l'intermittence est h l'origine de l'6jection des particules, cette etude s'appuie sur une description en tenure de dynamique chaotique de la turbulence h proximit6 de la paroi. Un modble aldatoire permet en fin de compte d'acc6der h la cin6tique du processus de
remise en suspension, qui s'avdre en accord avec des r6sultats expdrimentaux antdrieurs.
Abstract. One put forward a theory of particle resuspension by a gas flow. Based on the
assumption that particle ejection originates in intermittency, this study relies on a description a
near wall turbulence in chaotic dynamic terms. A random model finally leads to the resuspension process kinetics, which agrees with previous experimental results.
1. Introduction.
Les aspects fondamentaux et pratiques des processus de remise en suspension par des dcoulements fluides de particules adhdrentes h une surface, suscitent un intdrdt croissant dans
l'ingdnierie des adrosols en effet, ces processus jouent un r61e essentiel dans la dispersion des contaminants de faibles tailles (de l'ordre du micromktre). L'intdrdt et la difficultd de leur
analyse rdsultent de ce que la dynamique des dcoulements fluides, et la mdcanique
d'interaction du complexe surface/micro-particule/fluide doivent dtre intdgrds dans un mdme modkle et que la part de chacun est loin d'dtre dtablie [15].
Ainsi, pour des particules micromdtriques, les potentiels d'interaction dlectrostatique ou dlectrodynamique de type van der Waals, peuvent ne pas dtre ndgligeables devant l'dnergie potentielle de gravitation ou les Energies cindtiques mises en jeu aux interfaces, notamment
lorsque les irrdgularitds de surface ne sont pas iddalement ndgligdes.
Des modkles hydrodynamiques simplifids (sphbre inddformable sur une surface rigide)
aboutissent h cette conclusion dans le cas d'un liquide, un dcoulement de cisaillement crde
des forces de portance qui, si l'on ne prend en compte que la pesanteur et la poussde
d'Archimkde, sont suffisantes pour entrainer une particule ; par contre, dans le cas d'un fluide
gazeux, ces dcoulements ne peuvent engendrer les forces adrodynamiques requises que pour
1422 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 8
des gradients de vitesse extrdmement importants [8, 12]. Or les expdriences des
« adrosolistes
»
indiquent que de tels gradients ne sont pas ndcessaires.
En fait, les observations ont montrd que lorsque l'dcoulement devient turbulent, il subsiste
au voisinage de la paroi une couche limite laminaire perturbde de manikre intermittente par des rafales de turbulence (phdnomkne de
« bursting »). Plusieurs auteurs [7, 9, 13, 14] ont analysd
ce phdnomkne, et certains ont dmis l'hypothkse que ces bouffdes turbulentes sont h l'origine de
l'djection des particules [3].
Enfin, il convient de mentionner certains rdsultats expdrimentaux concernant (es cindtiques
de remise en suspension, c'est-h-dire l'dvolution au cours du temps de la fraction du ddp6t de
particules transfdrde dans le fluide [2]. Ainsi, dans un assez large dventail de conditions
expdrimentales (adrodynamiques), Wen, Kasper et Udishas [17] obtiennent qualitativement
(es mdmes rdsultats (Fig. I) pour des temps d'observation courts, les lots sont de type
puissance (I/t~ avec ~ compris entre I et 2) elles deviennent progressivement des lots exponentielles (e~~' ou e~~'/t) pour des temps plus longs.
4 a
lob *
a
&
a
4
10~ 4
a
* a
~ a
a
102 4
loo
Fig. I. Concentration des particules djectdes en fonction du temps (en heures) en 6chelle logarithmi- que (d'aprds Wen, Kasper et Udishas [17]) ; on remarquera en particulier une lot puissance h l'origine, et
exponentielle h l'infini, avec un plateau intermddiaire.
[Concentration of ejected particles versus time (in hours) in logarithmic scale (from Wen, Kasper, and Udishas [17]), showing a power law near the origin and an exponential law at infinity, with an
intermediate flat zone.]
Le modkle probabiliste que nous proposons ci-dessous vise h ddcrire la cindtique de remise
en suspension en terme de temps d'attente avant Ejection. Ce temps d'attente est une variable aldatoire reticle par ailleurs h certaines caractdristiques de la turbulence h proximitd de la paroi, plus prdcisdment (es distributions des durdes de phases laminaires et de phases turbulentes.
2. Modkle chaotique de la turbulence.
Partant de l'hypothkse que [es processus de remise en suspension h l'interface solide-air sont provoquds par l'apparition de turbulence h proximitd des parois contamindes, la construction d'un modkle peut dans un premier temps s'appuyer sur une description temporelle de cette
turbulence. Deux approches coexistent en dynamique des fluides turbulents (es thdories
probabilistes et (es modkles par solutions chaotiques d'dquations non lindaires. Ces derniers ant fait l'objet de nombreux travaux ces dernikres ddcennies [4] et mknent h la concluion que des systkmes diffdrentiels h faible nombre de degrds de libert6 peuvent avoir des solutions de
nature aldatoire, dites chaotiques.
On salt que ces solutions se caractdrisent par leur ddpendance sensible aux conditions initiales, qui a pour consdquence l'impossibilitd de prddiction h long terme. De plus l'analyse thdorique et expdrimentale des scdnarios de transition vers le chaos a permis d'identifier
quelques types caractdristiques, suivant la nature de la bifurcation entrainant la perte de stabilitd lindaire cascade sous-harmonique, quasi-p6riodicitd (bifurcation d'un 2-tore), ainsi que les intermittences de type I, II ou III.
Une fa~on de reprdsenter ces solutions d'dquations diffdrentielles non lindaires consiste h effectuer une stroboscopie, ou encore une section de Poincard dans l'espace des phases. Cela revient h substituer au systkme diffdrentiel une rdcurrence non lindaire U~
~, = f(U~) et h sa solution une suite numdrique U~,, plus commodes h dtudier. En principe, on ne (es ddduit pas du
systbme, et l'habitude consiste h ddcrire directement les phdnomknes physiques en termes de rdcurrences, par identification de l'application de premier retour f.
Une telle ddmarche est notamment utilisde par Manneville ], et reprise par Sreenivasan et Ramshankar [16] pour une analyse des dcoulements intermittents dans des systkmes ouverts,
de mdme nature que ceux utilisds pour l'dtude des cindtiques de remise en suspension. Ces
auteurs proposent une rdcurrence non lindaire qui reproduit approximativement leurs rdsultats
expdrimentaux
U,,~,= (l +e)U,,+(I -e)Uj[modl] e=25x10~~
L'application de premier retour f est illustrde h la figure 2, ainsi que la suite rdcurrente
U,,. on observe une alternance de phases rdgulibres (laminaires) et de phases irrdgulikres (bouffdes turbulentes) caractdristique de l'intermittence.
0,5
o,5 o 500 low
Fig. 2. Application de premier retour et premiers termes de la suite r6currente associde, reproduisant
une stroboscopie de la vitesse d'un dcoulement fluide. La simulation num6rique (pour e
=
25 x 10~~) et les graphiques sont r6ali~6s avec Mathematical18].
[First return map and the first items of the associated recurrence, reproducing the stroboscopy of a fluid
flow. The numerical simulation (with e=25x10~~) and graphics
were carried out with Mathematica [18].]
Notre ddmarche consiste h mettre en oauvre cet archdtype de rdcurrence non lindaire, qui
conduit h une intermittence de type II. En effet, Bergd, Pommeau et Vidal II ont rdalisd un calcul approchd de la distribution des durdes de phases laminaires celle-ci est caractdrisde par
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(es comportements asymptotiques suivants, qui traduisent bien des Evolutions en puissance h
l'origini et exponentielle h l'infini
P (t) II (4 et )~'~ et P (t ) e~ ~ "
i o «
Pour dtablir clairement la relation entre le comportement intermittent du fluide au voisinage
des particules adhdrentes et la cindtique de transfert, il suffit de considdrer que, abstraction faite des conditions de liaison, une particule est emportde par la premikre rafale de turbulence.
A partir de cette hypothbse, nous pouvons dtablir un raisonnement probabiliste.
En effet, si P(t) ddsigne la densitd de probabilitd qui ddcrit le temps d'attente avant ddcollement d'une particule, alors P (t ddsigne dgalement la densitd de probabilitd qui ddcrit la durde des (tats rdguliers de l'dcoulement, ou phases laminaires (Fig. 3). Le relevd de la concentration des particules djectdes en fonct16n du temps dtant assimild h une statistique sur une population de particules soumises h un flux intermittant, il constitue une Evaluation de P (t) ainsi, nous sommes en droit d'identifier
. la distribution de probabilitd des durdes de phases laminaires
. la distribution de probabilitd des temps d'attente avant Ejection
. la concentration en particules djectdes en fonction de t.
IOI
T
o,5 io-3
lo-5
to loo
Fig. 3. Variable a16atoire T (gale h la durde des stats rdguliers de l'6coulement, et sa distribution de
probabilitd, repr6sent6e en coordonn6es logarithmiques, identif16e h une loi gamma: P(i)=
~ t" ' e~ ~'/r(a ).
(Random variable T describing the length of laminar states, and its density function, plotted in logarithmic coordinates, which
was identified with a gamma probability distribution: P(i)=
A" 1" e~ ~'/r(a ).]
En fait, des simulations numdriques effectudes sur des sdries temporelles suffisamment tongues (usqu'h 108 itdrations) ont mis en Evidence des distributions qui suggkrent que P(t) soft reprdsentde par une lot gamma, c'est-h-dire de la forme: ~~
t"~'e~~' r (n j
(t W 0 ).
Ainsi, le principe d'une description des cindtiques par un schdma probabiliste s'appuyant sun
un modkle rdcurrent non lindaire de l'intermittence, apparait prometteur au regard des rdsultats
expdrimentaux. Un raffinement est cependant ndcessaire, notamment pour englober des cindtiques plus complexes, telles que celles observdes par Wen, Kasper et Udishas [17], qui prdsentent un plateau intermddiaire caractdristique.
3. Modkle alkatoire pour les cinktiques de transfert.
Dans la suite de ce travail, nous utilisons toujours la mdme application de premier retour, ddfinie au paragraphe prdcddent. H(t) ddsignera l'Echelon unitd (ou fonction de Heaviside), *
le produit de convolution, P~*"(t) la puissance n-ikme de convolution de P~(t), avec
P~*° = &, distribution de Dirac h l'origine et dldment neutre pour la convolution.
Le calcul probabiliste que nous proposons maintenant sera basd sur les hypothkses
suivantes, vdrifides (voir annexe) par Darie et Delporte [5, 6].
Piemidie hypothdse : la distribution des durdes de phases laminaires est une lot gamma :
P~(t)=
/~
t~'e~'H(t) n,A~0.Deuxidme hj,pothdse : la distribution des durdes de phases turbulentes est une lot de Laplace (lot exponentielle) :
l'T(t) = p e "'11(t) p
~ 0.
Tioisidme hj~pothdse les durdes de phase laminaire et de phase turbulente adjacentes sont
inddpendantes, ce qui permet d'exprimer la distribution P~ des durdes de cycles (phase laminaire et turbulente adjacentes) comme produit de convolution des lots P~ et P~.
P~(t)
= P~(t)* P~(t)
= ~~ ~ ~ t~ e~' jfj jl ; n + ; (A p )ti H(t)
oh ,Fj ddsigne la fonction, hypergdomdtrique confluente de Kummer [10].
Par ailleurs, nous supposerons qu'au passage d'une phase turbulente, une particule a la
probabilitd q de ne pas Etre djectde, donc de subir un (ou plusieurs) cycle(s) de plus.
Moyennant ces hypothkses, on calcule la distribution des durdes ddcrivant une phase laminaire suivie de n cycles par
P,j(t
=
P L(t ) * q" PI" (t )
D'ob l'on ddduit la distribution de probabilitd P (t) des temps d'attente avant Ejection d'une
particule, en tenant compte du fait qu'elle peut n dtre djectde qu'au bout de n cycles (0 w n < m ).
P(t)
=
( q"(i -q)P~(t)*Pi"(t)= f q'i(i -qiP~(t)*~'~+"*P~(t)*"
,,~u ,,mi,
Les propridtds de convolution des lots gamma permettent d'dcrire
p~(t)*(>i+,j_ A~"+')"
~,~~~~~ ,
r[(n+j)~yj~ e~~'H(t) nmo
PT(t)*"
~ M"
j)"
1~, e
"' H(t) n ~ °
Puis :
~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ rl~~~~j~f~
nj ~
x t~"+~~"+"~~ e~~' jF~[n; (n + I) n +n (A pjt]H(t).
1426 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 8
D'ob finalement
P(t)=(i-q)/j~t«-'e-~'H(t)+(i-q) fq"~~)~~j~jj~~( ~x
xt"~+""+"~' e~~' jF,[n; (n + I)n +n; (A p)t]H(t).
Cette formule constitue, dans le cadre de notre modble, l'expression thdorique de la
cindtique de remise en suspension. D'ailleurs, sachant que [10]
jfj(a;c;t) l; a,c~0
1-0
nous dtablissons l'expression asymptotique de P (t)
P(t) it~~'
i-o
De plus, en tronquant la sdrie ddfinissant P (t), on peut faire une reprdsentation graphique (Fig. 4) de P (t).
0,1
'
o,oi
o,ooi
lo '°°
Fig. 4. Densitds de probabilitd des temps d'attente avant Ejection, reprdsentdes en dchelle logarithmi-
que h partir de leurs s6ries tronqu6es (n~~~ = 5), pour q 0,35 0,6 0,85 respectivement. Par ailleurs,
on a utilisd les valeurs
= 0,04 ; p
= 0,03 n
=
0,18 tir6es d'une simulation numdrique (voir annexe).
Calculs symboliques et graphiques sont rdalisds avec Mathematica [18].
[Waiting time density functions, plotted in logarithmic coordinates, from their shortened series (n~~~ 5), for q
= 0.35 0.6 0.85 respectively. Moreover, one obtained A
=
0.04 ; p
=
0.03
a 0,18 drawn from
a numerical simulation (see annex). Symbolic computations and graphics were carried out with Mathematica [18].]
On y remarquera pour les grandes valeurs de q, outre les comportements puissance h
l'origine et exponentiel h l'infini, un plateau analogue h celui relevd sur (es rdsulats
expdrimentaux de Wen, Kasper et Udishas.
4. Conclusions.
L'dtude thdorique des processus de remise en suspension de particules par des 6coulements fluides constitue une prdoccupation croissante en ingdnidrie des adrosols. De rdcents travaux
expdrimentaux ont conduit h une meilleure connaissance de ces processus.
Par ailleurs, les analyses de la turbulence dans la couche limite laminaire proche de la paroi
ont suggdrd que (es rafales de turbulence (phdnomkne de «bursting») sont h l'origine de
l'Ejection des panicules.
Le modkle aldatoire prdsentd ici permet de rattacher les cindtiques de transfert observdes par Wen, Kasper et Udischas au modkle d'intermittence proposd par Sreenivasan et Ramshankar.
La concordance qualitative entre nos rdsultats thdoriques et les donndes empiriques
prdcitdes, en particulier la mise en Evidence du plateau rdvdld par (es rdsultats expdrimentaux
de Wen et Kasper, donne du crddit h notre modkle aldatoire et tend h confirmer les hypothkses
sur lesquelles il est construit, h savoir i
. l'djection des particules est provoqude par les rafales de turbulence, caractdristiques de l'intermittence, ddcrite ici en terme de dynamique chaotique ;
. la cindtique du processus est rattachde, via un calcul de probabilit6s, aux distributions des dur6es de phases laminaires et de phases turbulentes.
La rdpartition des durdes de phases laminaires, identifide ici h une lot gamma, se ramkne pour les temps courts h une lot d'dchelle, significative d'uite structure fractale.
Bien que la relation quantitative entre (es paramktres physiques et (es constantes du modkle
reste encore h dtablir, cet objectif ddsormais ne nous semble pas inaccessible.
Annexe.
Le modkle probabiliste proposd au troisikme paragraphe est fondd sur les hypothkses
empiriques suivantes, qui rdsultent de simulations numdriques effectudes h partir de
l'application de premier retour
U,~~, = (l + e) U,~ + (l e) Uj [mod(] e
= 25 x10~~
Darie et Delporte [5, 6], ont pu valider ces hypothkses en procddant h l'analyse statistique
d'dchantillons allant jusqu'h 8 x 10~ cycles (environ 10S itdrations). Nous reproduisons ici un extrait de leurs rdsultats les durdes de phases sont mesurdes en nombres d'itdrations le seuil de ddtection des phases laminaires est (gal h 0,04. L'ajustement a dtd calculd h l'aide de la
commande « Fit » de Mathematica [18].
Piemidie hypothdse la distribution des durdes de phases laminaires est une lot gamma
P~(t) = ~ ~ t~ ' e~~' H(t) n, A ~ 0.
Deu,;idme hypothdse la distribution des durdes de phases turbulentes est une lot de Laplace (lot exponentielle)
PT(t) = p e"'H(t) p ~0.
1428 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 8
Troisidme hypothdse les durdes de phase laminaire et de phase turbulente adjacentes sont
inddpendantes ; cette hypothkse rdsulte du calcul de covariance de la sdrie statistique double
correspondante.
ii
50 loo 150 200
Fig. 5.-Effectifs des durdes de phases laminaires, reprdsentdes en 6chelle semi-logarithmique;
l'ajustement donne = 0,04 ; n
=
0,18.
[Frequencies of laminar phases durations, plotted in linear-logarithmic coordinates the regression
gives = 0.04 n
= 0.18.]
ii
lo
9
8 ".
.,.,
7
25 50 75 loo 125 lso 175""
Fig. 6.-Effectifs des durdes de phases turbulentes, reprdsentds en dchelle semi-logarithmique;
l'ajustement donne p
= 0,03.
[Frequencies of turbulent phases durations, plotted in linear-logarithmic coordinates the regression gives ~1
= 0.03.]
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