A numerical study of some Hessian recovery techniques on isotropic and anisotropic meshes

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Submitted on 4 Feb 2013

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A numerical study of some Hessian recovery techniques on isotropic and anisotropic meshes

Marco Picasso, Frédéric Alauzet, Houman Borouchaki, Paul-Louis George

To cite this version:

Marco Picasso, Frédéric Alauzet, Houman Borouchaki, Paul-Louis George. A numerical study of some Hessian recovery techniques on isotropic and anisotropic meshes. [Research Report] RR-7202, INRIA.

2010, pp.25. �inria-00455799�

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

IS S N 02 49 -6 39 9 IS R N IN R IA /R R -- 72 02 -- FR +E N G

Domaine 1

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

A numerical study of some Hessian recovery techniques on isotropic and anisotropic meshes

Marco Picasso, Frédéric Alauzet, Houman Borouchaki and Paul-Louis George

N° 7202

Février 2010

Centre de recherche INRIA Paris – Rocquencourt

Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex

Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30

∗ †

∗

†

!∇ (u − u h ) ! L

(Ω) ≤ Ch | u | H

(Ω) . u

Ω R ² R ³ h u h

C h u

C

u u h

L ²

u − u h H ¹ H ²

L ²

Ω R ² f ∈ L ² (Ω) u : Ω → R

− ∆u = f Ω,

u = 0 ∂Ω.

h > 0 T ^h Ω K

h K h V h

T ^h V h,0 V h

∂Ω u h ∈ V h,0

!

Ω ∇ u h · ∇ v h dx =

!

Ω

f v h dx ∀ v h ∈ V h,0 .

w = ∂ ² u

∂x ² ₁ u h

w h ∈ V h

!

Ω

w h v h dx = −

!

Ω

∂u h

∂x 1

∂v h

∂x 1

dx +

!

∂ Ω

∂u h

∂x 1

v h n 1 ds ∀ v h ∈ V h ,

n = (n 1 , n 2 ) ^T ∂Ω

O(1)

Ω = (0, 1) ² h = 0.1

h

w h (P) = w h (x 1 , x 2 ) = u h (x 1 − h, x 2 ) − 2u h (x 1 , x 2 ) + u h (x 1 + h, x 2 ) h ²

P O(h ² )

∂ ² u/∂x ² ₁ (x 1 , x 2 ) u h r h u u

u(x 1 , x 2 ) = x 1 (1 − x 1 ) w(x 1 , x 2 ) = − 2 u h r h u

w h (P ) = − 3/2 P w h (P ) =

− 9/4 P

Ω f H ³ (Ω)

w w h C

h ≤ 1

! w − w h ! ^L

^(Ω) ≤ C.

L ²

! w − w h ! ² L

(Ω) =

!

Ω

(w − w h )(w − v h )dx +

!

Ω

(w − w h )(v h − w h )dx, v h ∈ V h

! w − w h ! ² L

(Ω) =

!

Ω

(w − w h )(w − v h )dx

−

!

Ω

∂

∂x 1

(u − u h ) ∂

∂x 1

(v h − w h )dx +

!

∂Ω

∂

∂x 1

(u − u h )(v h − w h )n 1 ds,

! w − w h ! ² L

(Ω) ≤ ! w − w h ! ^L

^(Ω) ! w − v h ! ^L

^(Ω)

+ !∇ (u − u h ) ! ^L

^(Ω) !∇ (v h − w h ) ! ^L

^(Ω)

+ !∇ (u − u h ) ! L

(∂Ω) ! v h − w h ! L

(∂Ω) .

C h

h ² !∇ (v h − w h ) ! ² L

(Ω) + h ! v h − w h ! ² L

(∂ Ω) ≤ C ! v h − w h ! ² L

(Ω) ,

! w − w h ! ² L

(Ω) ≤ ! w − w h ! L

(Ω) ! w − v h ! L

(Ω)

+ C ! v h − w h ! L

(Ω)

"

1

h !∇ (u − u h ) ! L

(Ω) + 1

h ^1/2 !∇ (u − u h ) ! L

(∂Ω)

#

.

v h − w h = v h − w + w − w h

! w − w h ! ² L

(Ω) ≤ 3

$

! w − v h ! ² L

(Ω)

+ C ²

" 1

h !∇ (u − u h ) ! ^L

^(Ω) + 1

h ^1/2 !∇ (u − u h ) ! ^L

^(∂Ω)

# ² % , v h ∈ V h u ∈ H ³ (Ω) w ∈ H ¹ (Ω) v h = R h w

! w − v h ! L

(Ω) ≤ Ch ! u ! H

(Ω) ,

C h u

1

h !∇ (u − u h ) ! ^L

^(Ω) + 1

h ^1/2 !∇ (u − u h ) ! ^L

^(∂Ω) h

!∇ (u − u h ) ! ^L

^(∂Ω) ≤ !∇ (u − r h u) ! ^L

^(∂Ω) + !∇ (r h u − u h ) ! ^L

^(∂Ω) .

!∇ (u − u h ) ! L

(∂Ω) ≤ Ch | u | H

(∂Ω) ≤ Ch ˜ ! u ! H

(Ω) ,

C C ˜ h u

!∇ (r h u − u h ) ! ^L

^(∂Ω) ≤ C

h ^1/2 !∇ (r h u − u h ) ! ^L

^(Ω) .

!∇ (r h u − u h ) ! ^L

^(∂Ω) ≤ C h ^1/2

&

!∇ (r h u − u) ! ^L

^(Ω) + !∇ (u − u h ) ! ^L

^(Ω) '

≤ Ch ˜ ^1/2 | u | ^H

^(∂Ω) ,

C C ˜ h u

∂u h /∂x 1

Π h : L ² (Ω) → V h L ² V h

g ∈ L ² (Ω) Π h g ∈ V h

!

Ω

(Π h g)v h dx =

!

Ω

gv h dx ∀ v h ∈ V h .

P

Π h g(P ) = (

K∈T

!

K

gdx (

K∈T

| K | ,

Π h g(x) =

N

(

i=1

Π h g(P i )ϕ i (x) ∀ x ∈ Ω,

N h T ^h ϕ i

P i

Ω f H ³ (Ω)

w

w h = Π h

∂(Gu h ) 1

∂x 1

,

(Gu h ) 1 Gu h ∈ V _h ^d

d = 2, 3 Gu h ∇ u

C ˜ 0 < α ≤ 1 h 1

h !∇ u − Gu h ! L

(Ω) + 1

h ^1/2 !∇ u − Gu h ! L

(∂Ω) ≤ Ch ˜ ^α .

C h ≤ 1

! w − w h ! ^L

^(Ω) ≤ Ch ^α . Π h

!

Ω

w h v h dx =

!

Ω

∂(Gu h ) 1

∂x 1

v h dx ∀ v h ∈ V h .

!

Ω

w h v h dx = −

!

Ω

(Gu h ) 1

∂v h

∂x 1 dx +

!

∂Ω

(Gu h ) 1 v h n 1 ds ∀ v h ∈ V h .

∂u h /∂x 1 (Gu h ) 1

L ² ∇ u h

V h

(Gu h ) 1 = Π h ∂u h

∂x 1

.

P i

u h P i P i

P _i ^j j = 1, ..., N i N i ≥ 6

P i (x 1 , x 2 ) P i

(ξ j , η j ) P _i ^j

p(x 1 , x 2 , P i ) = a ⁱ ₀ + a ⁱ ₁ x 1 + a ⁱ ₂ x 2 + a ⁱ ₃ x ² ₁ + a ⁱ ₄ x 1 x 2 + a ⁱ ₅ x ² ₂ u h (P _i ^j )

N i × N i

A ^T A&a = A ^T &b,

A =



 

 

1 ξ 1 η 1 ξ ₁ ² ξ 1 η 1 η ₁ ² 1 ξ 2 η 2 ξ ₂ ² ξ 2 η 2 η ₂ ² 1 ξ N

η N

ξ _N ²

ξ N

η N

η _N ²



 

  &a =



 

  a ⁱ ₀ a ⁱ ₁ a ⁱ ₅



 

  &b =



 

 

u h (P _i ¹ ) u h (P _i ² ) u h (P _i ^N

)



 

  .

w = ∂ ² u/∂x ² ₁ (Gu h ) 1 ∈ V h , (Gu h ) 1 (P i ) = ∂p

∂x 1

(0, 0, P i ) = a ⁱ ₁ i = 1, ..., N h , w h

w h ∈ V h , w h (P i ) = ∂ ² p

∂x ² ₁ (0, 0, P i ) = 2a ⁱ ₃ i = 1, ..., N h .

w = ∂ ² u/∂x ² ₁ w h ∈ V h

De = !∇ (u − u h ) ! ^L

^(Ω) , De ^ZZ =

/ / / / ∂u

∂x 1 − (Gu h ) 1

/ / / / _L

(Ω)

(Gu h ) 1 ,

D ² e ^ZZ = ! w − w h ! L

(Ω) w h , De ^LS =

/ / / / ∂u

∂x 1 − (Gu h ) 1

/ / / /

L

(Ω)

(Gu h ) 1 ,

D ² e ^LS1 = ! w − w h ! L

(Ω) w h ,

D ² e ^LS2 = ! w − w h ! L

(Ω) w h , D ² e ^{W F} = ! w − w h ! L

(Ω) w h .

Ω = (0, 1) ² f u

u(x 1 , x 2 ) = sin(2πx 1 ) Ω

!∇ (u − u h ) ! L

(Ω)

O(h)

* O(h ^1.5 ) O(h ² )

* O(h ^1.5 )

O(h ² )

h ²

De De ^ZZ D ² e ^ZZ De ^LS D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^{W F}

O(h ² )

* O(h ^1.5 )

h = 0.05

De De ^ZZ D ² e ^ZZ De ^LS D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^{W F}

h = 0.05 w h

w h (x 1 , 0.525)

w(x 1 ) = − 4π ² sin(2πx 1 )

h = 0.05 w w h

x 1 x 2 = 0.525

h = 0.003125

L ² ∇ u − Gu h

∇ (u − u h ) ∇ u h − Gu h

w h

h = 0.0125 w h

De De ^ZZ D ² e ^ZZ De ^LS D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^{W F}

De De ^ZZ D ² e ^ZZ De ^LS D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^{W F}

w h (x 1 , 0.5) w h (x 1 , 0.5)

w(x 1 ) = − 4π ² sin(2πx 1 )

w h (x 1 , 0.5) w h (x 1 , 0.5)

w(x 1 ) = − 4π ² sin(2πx 1 )

h = 0.003125 w w h

x 1 x 2 = 0.5

h = 0.0125 w h

A ^T D ² A&a = A ^T D ² &b,

D 1

1/2

D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^LS1 D ² e ^LS2

0.75 T OL ≤

$ (

K

η _K ²

% 1/2

!∇ u h ! ^L

^(Ω) ≤ 1.25 T OL.

T OL η K

T OL ar

ei ^ZZ

ei ^ZZ = !∇ u h − Gu h ! L

(Ω)

!∇ (u − u h ) ! ^L

^(Ω) .

w h

T OL = 0.0625

T OL De De ^ZZ D ² e ^ZZ De ^LS D ² e ^LS1 D ² e ^LS2 D ² e ^{W F}

T OL N h ar ei ^ZZ

T OL = 0.0625 w h

w h (x 1 , 0.5) w h (x 1 , 0.5)

w(x 1 ) = − 4π ² sin(2πx 1 )

w h (x 1 , 0.5) w h (x 1 , 0.5)

w(x 1 ) = − 4π ² sin(2πx 1 )

T OL = 0.0625 w w h

x 1 x 2 = 0.5

Ω = (0, 1) ³ f u(x 1 , x 2 , x 3 ) = 1

2

&

tanh(40r(x 1 , x 2 , x 3 ) − 0.1) − tanh(40r(x 1 , x 2 , x 3 ) − 0.2) ' , r(x 1 , x 2 , x 3 ) = 0

(x 1 − 0.5) ² + (x 2 − 0.5) ² + (x 3 − 0.5) ²

w h w

x 3 = 0.5 w h

h = 0.0125

De De ^ZZ D ² e ^ZZ D ² e ^{W F} N h

h = 0.0125

w h x 3 = 0.5

10 × 10 × 10

u h

T OL = 1 T OL

w h

T OL = 0.125

T OL = 1 u h

x 3 = 0.5

T OL De De ^ZZ D ² e ^ZZ D ² e ^{W F} N h

T OL

w h

w h

w

w h

w h

w

w h

w h

w

T OL = 0.125 w

w h x 1 x 2 = x 3 = 0.5 0.5 ≤ x 1 ≤ 0.9

Centre de recherche INRIA Paris – Rocquencourt

Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

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Éditeur

INRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ISSN 0249-6399