HAL Id: jpa-00205913
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205913
Submitted on 1 Jan 1964
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Les résonances de phase non-linéaires dans un synchrotron de grande énergie
J. Andrade E Silva, G. Lochak
To cite this version:
J. Andrade E Silva, G. Lochak. Les résonances de phase non-linéaires dans un synchrotron de grande énergie. Journal de Physique, 1964, 25 (12), pp.981-988. �10.1051/jphys:019640025012098100�. �jpa- 00205913�
LE JOURNAL DE PHYSIQUE
LES RÉSONANCES DE PHASE NON-LINÉAIRES
DANS UN SYNCHROTRON DE GRANDE ÉNERGIE Par J. ANDRADE E SILVA et G. LOCHAK,
Laboratoire Joliot-Curie de Physique Nucléaire, Orsay, Seine-et-Oise et Institut Henri-Poincaré, Paris.
Résumé. 2014 Étant donné un accélérateur circulaire à oscillations de phase rapides (de période
inférieure au dixième de la période de révolution des ions), on détermine les résonances linéaires
ou non qui peuvent alors résulter des défauts de construction de la machine.
On étudie l’importance des différentes zones de résonance non linéaire en comparant leurs effets à ceux de la résonance linéaire. On calcule ensuite l’accroissement de l’amplitude des oscillations de phase à la suite de la traversée des résonances linéaires « extérieure» et paramétrique. On en
tire des conclusions sur les précautions à prendre pour la construction d’une telle machine.
Abstract. 2014 Calculations have been made on the linear and non-linear résonances produced by
defects in the construction of circular accelerators in which there are fast phase oscillations.
The importance of the zones of non-linear résonance has been studied by comparison of their
effects with those of the linear resonances; and the amplitude increase of the phase oscillations
resulting from the crossing of the " exterior " and parametric linear résonances was calculated.
Conclusions have been drawn relative to the precautions which should be taken in the construction of these accelerators.
Tome 25 No 12 DÉCEMBRE 1964
C’est a l’instigation du Groupe d’ttudes pour un
Synchrotron National (GESYN) et en liaison
6troite avec lui qu’a ete entrepris ce travail sur les
resonances dans les oscillations de phase.
Le probleme s’est pose en effet au groupe GESYN d’apprécier l’importance des resonances
de phase qui peuvent apparaltre dans un accele-
rateur de haute 6nergie lorsque la f requence des
oscillations synchrotroniques atteint ou d6passe le
dixi6me de la frequence de rotation de l’ion.
Dans le m6moire que nous pr6sentons ici, nous
traitons essentiellement de trois probl6mes. Nous
commençons par localiser les zones de resonance,
c’est-a-dire les rapports entre la frequence de rota-
tion de l’ion et la f requence synchrotronique pour lesquels les oscillations de phase peuvent s’exciter dangereusement. Nous calculons ensuite l’impor-
tance relative de ces zones, que nous definissons
comme le rapport entre la puissance absorbée par l’oscillation dans chacune des zones, a la puissance
absorbée dans la zone de resonance lineaire choisie
comme zone 6talon. Enfin nous calculons la valeur de cet etalon, c’est-a-dire l’augmentation maxi-
male d’amplitude que subit l’oscillation de phase
a la travers6e d’une ligne de resonance ext6rieure
ou d’une zone de resonance param6trique.
1. L’equation des oscillations de phase. - Par-
tons de la relation 616mentaire entre la p6riode de
rotation de l’ion r, sa vitesse moyenne pendant le
tour v et la longueur L de la trajectoire ferm6e correspondante
vr == L
qui nous donne
Introduisons, comme d’habitude, le rapport x
entre la variation relative de la longueur de la trajectoire et celle de la quantité de mouvement p
et 1’equation pr6c6dente pourra s’ecrire
c’est-a-dire
avec
D6finissons le d6phasage cp par rapport a la h. f.
sous la forme habituelle, de façon a avoir :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025012098100
982
ou ws est la pulsation de la h. f. et v le num6ro
de l’harmonique utilise. Nous pouvons alors d6- montrer que le gain instantan6 d’énergie peut
s’ écrire
dE e(aV .
V etant l’amplitude de la tension acc6l6ratrice sur
1’ensemble de la machine, et I’angle cp 6tant le meme que dans (1.4). Les equations (1.2), (1.4), (1..5) nous donnent alors la relation
soit, en introduisant le d6phasage synchrone cpB
independant du temps,
qui est 1’equation des oscillations de phase (1).
Enfin, si nous voulons prendre en consideration les def auts 6ventuels de la construction ou du fonc- tionnement de la machine, nous devons ecrire, en premiere approximation, a la place de (1.6)
2. Integration de 1’equation (1.6).- Nous allons
commencer par 6tudier 1’6quation non-perturbée (1.6), en n6gligeant la variation temporelle de Qs.
Pour utiliser la m6thode classique de Bogoliubov
et Krylov, nous introduirons la nouvelle fonction
qui permet de mettre (1.6) sous la forme
La solution a l’approximation du second ordre
correspondante est alors [1]
ou a est un nombre qui fixe l’amplitude de l’oscil-
lation et ou nous avons 6crit
(1) Comme on sait, cette equation suppose que la par- ticule subit un grand nombre d’accélérations’ pendant une
oscillation de phase. Ceei exige, dans le cas trait6 ici, que le nombre d’intervalles deceleration de la machine soit
assez.grand.
On voit que, pour simplifier les calculs, nous
avons garde dans ces expressions la pulsation du premier ordre QI, 1’erreur ainsi commise
etant
toujours inf6rieure a 10-2. Pour calculer les coef- ficients pn( a), nous utiliserons le d6veloppement classique (les Jk 6tant les fonctions de Bessel)
qui nous apporte les relations suivantes :
Bornons-nous aux premiers harmoniques de §,
les coefficients des suivants 6tant assez petits pour
qu’on puisse les negliger, et nous aurons comme expression de x
3. Recherche des lignes de resonance. Les réso-
nances ext6rieures. - Étudions maintenant 1’6qua-
tion (1.7). Un 6cart local 8 (ùs de la frequence propre d’une cavite accélératrice entrainera un ecart local 8 ps de la phase synchrone. Un ecart local
8!l; de la fonction Q2s sera entrain6 soit par un ecart 8 V de la difference de potentiel dans une eavit6, soit par un def aut du champ magnetique qui entraine lui-meme un 6cart 8C. La particule
rencontrera des accidents a chaque tour, done avec
la pulsation w de sa rotation dans la machine.
Nous pourrons alors ecrire les developpements
de Fourier
ou nous avons omis les termes constants que l’on
peut supposer inclus dans les expressions de Qi et
de y2. Si l’on suppose que les d6fauts sont petits,
c’est-à-dire que les hk et f k sont petits, on pourra admettre avec Bogoliubov et Mitropolsky, que la
puissance que ces perturbations fournissent a l’os- cillation est peu différente de
propre (2.5). Les resonances extirieures corres-
pondront alors aux rapports !lII (ù qui font appa- raitre des termes non oscillants dans l’int6grale
Les resonances param6triques correspondront
aux rapports 03A9I/w qui donnent des termes non
oscillants dans l’int6grale
D’après (2.3), on voit aussitot que ces rapports
seront QI = kwfn.
Les mises en garde que nous aurons a formuler pour la construction de la machine ne seront pas modifiées si nous nous contentons par la suite du
premier terme dans les développements de Fourier
des perturbations et nous 6tudierons finalement
1’equation perturbee
avec les definitions (2.2) et d6/dt = d0’ /dt = w.
Les int6grales Q 1 et Q 2 seront alors reduites, a
Si maintenant nous définissons des coefficients Cn tels que (2.3) ou (2.5) s’ecrivent
nous aurons
et donc
On voit aussitot sur (3.3) que les lignes de reso-
nance ext6rieure seront définies par
et nous définirons 1’importance relative de la n-ième
, resonance par le rapport
Rn = n1Cn1/1C1!
de la puissance absorbée par l’oscillation dans la n-ième resonance a la puissance absorbée dans la
resonance lin6aire n = 1. Calculons les valeurs
num6riques de Rn pour deux valeurs typiques de
a = C1 a savoir a = 1 radian qui correspond a une particule plac6e nettement a l’iiaterieur du faisceau et a = 2 radians, qui correspond a une autre parti-
cule situ6e vers le bord du faisceau. En prenant
pour ps la valeur courante cps = 7t /6 nous obtenons
Nous vbyons donc que, pour ]es resonances exte-
rieures, t’irnportance du quatrierrae harmonique est négligeable meme dans le cas le plus défavorable. Le
troisième harmonique lui-meme a une importance qui est au plus de l’ordre du douzième du premier.
4. Les resonances paramétriques. - Prenons
maintenant l’intégrale (3, 4) que nous ecrirons
ou l’on a pose le developpement
x 6tant toujours la solution (2.5).
A pres une transformation 616mentaire, nous
aurons encore
lhs bk 6tant des formes bilin6aires des Cn et des dm.
£tant donne que
on voit que les zones de resonance param6trique
seront au voisinage des fréquences .
Cela n’a cependant que peu de valeur pratique,
a moins de determiner l’importance relative des diverses zones de resonance, ce qui suppose, au
pr6alable, la connaissance explicite des bk.
Le calcul des coefficients bk ne pr6sente aucune difficult6, bien qu’étant long et fastidieux. Il con-
duit a des expressions (où interviennent les fonc- tions de Bessel Jk(a)), trop compliqu6es pour qu’on puisse les transcrire ici. Nous nous contenterons de donner les valeurs numeriques qui en resultent
pour les valeurs ps = 7t /6, a = 1 radian et
a = 2 radians, comme au paragraphe precedent.
La resonance param6trique principale (resonance lineaire) apparaissant pour w = 2QI nous defi- nirons ici l’importance relative de la k-ième reso-
nance par le rapport
984
On trouve alors
On voit done qu’il convient ici de se méfier des six premières zones de résonanee. Le lecteur remarquera que cinq d’entre elles sont dues a la non-linéarité, qui joue ici un role si important que pour a = 2,
il y a meme une resonance non-linéaire plus impor-
tante que la resonance principale.
5. La traversée de la resonance extdrieure prin- cipale. 2013 Aux paragraphes 3 et 4, nous avons
localis6 les resonances et appr6ci6 leur importance
relative en les cornparant a la resonance principale correspondante prise comme 6talon. C’est cet etalon que nous devons maintenant calculer ; autrement dit, nous devons trouver l’accroissement maximal que subit l’amplitude de l’oscillation de phase lorsque la pulsation Q, qui d6crolt apr6s l’injection,
vient a prendre des valeurs voisines de w pour la resonance ext6rieure ou de w/2 pour la resonance
param6trique (2).
Observons encore que, du fait que
l’accroissement que subit l’amplitude a dans une
zone de resonance augmente la vitesse avec
laquelle QI diminue, ce qui acc6l6re la travers6e de la zone d’instabilité et limite les effets de la reso-
nance.
Si donc nous calculons I’augmentation d’ampli-
tude par resonance, a l’approximation lineaire, nos
conclusions seront 16g6rement pessimistes et les
bornes d’amplitude que nous trouverons ainsi seront
plus prudentes que celles que nous aurions tir6es de
1’equation npn lineaire.
Nous allons traiter d’abord le cas de la resonance
extérieure, ce qui nous amEne d’après (2,2) et (2,6) à
r6soudre 1’equation
sous 1’hypothese que Q decroit lentement et prend
a un certain instant to ]a valeur w.
Pour cela appliquons a cette equation la trans-
formation de Liouville
(2) En vérité, les deux frequences S2 et w d6croissent en
meme temps, mais w d6crolt beaucoup plus lentement que 91 et nous regarderons donc par la suite w comme constant.
Si 0 varie lentement, on a p « 1.
Nous utiliserons alors la solution asymptotique
de (5.3) obtenue en n6gligeant le terme pg. On
trouve ais6ment que le terme correspondant a la
vibration f orcee peut alors s’6crire, a des termes de
l’ordre de p pr6s,
Prenons maintenant au voisinage de 1’instant to
le d6veloppement limite
ou y est une phase constante.
Alors, d’apr6s (5.2), la solution asymptotique
de (5.1) au voisinage de l’instant de la resonance s’ecrira :
On voit qu’avant d’arriver dans ce voisinage, on
avait approximativement
x = A sin Ot + B cos Qt.
Les deux int6grales qui figurent dans (5.6) sont
born6es toutes deux par
et l’accroissement d’amplitude au passage de la
ligne de resonance sera donc borne par
C’est la r6ponse cherch6e. Notons encore qu’au
bout d’un temps assez long on peut a peu pr6s
identifier les int6grales qui figurent dans (5.6) aux int6grales de Fresnel. On trouve alors facilement
qu’apr6s avoir franchi la resonance, l’oscil-
lation (5.6) s’écrit
6. La traversée de la zone principale d’instabi-
lit6 paramdtrique. - Nous aurons ici a r6soudre
l’équation
Nous supposerons que h 1 et utiliserons la
m6thode d’approximation de Mitropolsky [1].
Nous chercherons donc une solution de la forme
Les fonctions a et p seront solutions du systeme d’equations differentielles
et les fonctions A et B seront a leur tour définies par le système
cela nous donnera
si bien que a et p vérifient les equations
que nous allons 6tudier maintenant,
Posons d’abord
Au voisinage de la zone de resonance, on voit
que b ~ a, et commemon n6glige la variation de w devant celle de Q, on tire de (6.6) et (6.7),
Définissons alors, en tenant compte de (6.7), les
nouvelles fonctions inconnues :
En n6gligeant h2 devant l’unit6 ainsi qu’il est
tacitement admis depuis le d6but, nous obtien- drons, d’après (6.8) le syst6me
Observons alors qu’au voisinage de la resonance
nous pourrons ecrire les developpements limites au premier ordre
o-a to est, par définition, l’instant ou w = 2Q. La
constante Of = (dO/dt),.
est
négative et nous regardons toujours co comme constant. Nousaurons done
et, si nous posons
/
les relations (6.12) et (6.13) permettent d’6crire le
système (6.10) sous la forme
986
Remarquons que, d’apres (6.13) on a t’ t" car,
a h2 pres
i" - t’ = - hw J4Q’ > 0. (6.15)
Le sens physique de t’ et t" est evident car on
voit sur (6.14) que
- u et v seront oscillants si ( c’est-h-dire si t tt ou t > t" ;
- u et v seront monotones si c’ est-a-dire si t’ t t".
Done t’ et t" sont respectivement l’instant
d’entr6e et l’instant de sortie du systeme dans la
zone de resonance.
On voit, d’apr6s (6.15) que le systeme traverse
la zone en un temps t" --- t’ d’autant plus bref que la perturbation h est plus petite. Si h --> 0,
t’ ---> t" --> to et la zone de resonance se reduit a la ligne m = 2 Q qui apparaissait au paragraphe 4
de ce travail. On voit, par contre, que la duree t" - t’ sera d’autant plus longue que D’ est plus petit, c’est-a-dire que Q varie plus lentement.
Nous prendrons maintenant le temps de tra-
vers6e comme unite de temps et nous poserons
Introduisons le param6tre sans dimension, tou- jours positif,
Ne sachant pas evidemment r6soudre ce syst6me
differentiel a l’aide de transcendantes élémentaires,
nous aborderons son 6tude a partir de la remarque suivante. u et v repr6sentent 1’amplitude de la
vibration (6.2) et ce que nous cherchons a con-
naitre, c’est une borne superieure de cette ampli-
tude. ftant donne que la resonance parametrique
sera d’autant plus importante que seront plus grandes 1’amplitude de la perturbation et la duree
de la travers6e de la zone de r6sonance, il s’ensuit que le cas le plus grave sera celui ou le rapport h2/Q’ est grand, c’est-a-dire le cas ou X » 1.
,:r Plaçons-nous d6sormais dans ce cas le plus défa-
vorable et utilisons les m6thodes asymptotiques.
Pour cela introduisons la transformation suivante
(où e est un nombre petit), inspir6e par celle de LiouVille
Le syst6me (6.18) nous donne alors deux sys- tèules pour U et V
Dans les domaines consid6r6s, les fonctions
d’"t’ I d ç, U et V sont régulières. Si donc x x> 1, on
demontrerait sans peine que les seconds termes des membres de droite des 6quations_(6.21) eti(6.22)
peuvent etre négligés.
On a donc aussitot, a 1’aide de-(6.19), (6.20), (6.21), (6.22) les solutions asymptotiques suivantes:
poiir r -c’ - e
On remarquera qu’en (6.24), nous n’avons pas ecrit la solution g6n6rale, mais seulement l’une des
solutions monotones, nous plagant ainsi dans le
cas Ie plus d6favorable.
II nous reste a raccorder entre elles les cons-
tantes C, D, E, X1 Z2. Nous remarquerons pour
cela que, du fait que r" - T’ = 1, (6.18) se reduit
4
u et v s’expriment donc a l’aide des fonctions
d’Airy [2], et nous aurons
au voisinage de r". F et G sont de nouvelles cons-
tantes. En utilisant alors les formules asympto- tiques des fonctions de Bessel [2], on trouve fina- lement, e 6tant tel que k-1/3 « e « 1, les solu-
tions suivantes :
1) pour T’-E
Si maintenant nous introduisons les formules
(6.30) a (6.34) dans (6.9), nous aurons les expres- sions de a et p et nous aurons ainsi obtenu la solution asymptotique de 1’equation de phase per- turb6e (6.1). On reconnait qu’a des termes en h/4
et Log x/2 Q Jm pr£s, qui sont petits devant l’unité,
a = VU2 + V2 de sorte que si, dans (6.30),
IT -> - 00
et C est donc l’amplitude de l’oscillation de phase
avant qu’on ne s’approche de la zone de resonance.
Si, au contraire r -> oo dans (6.34) on a
Ainsi donc, d’apr6, (6.17) et (6.36), l’amplitude
de l’oscillation aura ete multipliée par
en franchissant la premiere zone de resonance para-
m6trique (3).
Mais ce n’est pas Ih le nombre que nous cher- chions. Pour donner une formule permettant au
constructeur de connaltre les consequences de la
travers6e de cette zone de resonance, il nous faut
connaitre 1’amplitude maximale. prise par l’oscil- lation de phase. Celle-ci sera atteinte sitot apres
la sortie de la zone de resonance. Pour cela on doit se servir de la formule (6.33), en exprimant u a l’aide des fonctions de Bessel d’ordre 2/3. On trouve alors, a 1’aide d’une table [3] et en arrondissant les chiffres
(3) Le lecteur reconnaitra l’analogie avec le coefficient de transmission des barri6res de potentiel. Mais ce coef-
ficient serait ici sup6rieur a un !
988
Pour exprimer ce rapport en fonction des para- m6tres de la machine, reprenons (6.17) en remar- quant qu’au voisinage de la zone de resonance,
w = 2 Q et que d’autre part
On aura maintenant le résultat demande :
ou nous rappelons que E2 est la frequence lineaire
de l’oscillation de phase ; 8D est un 6cart local par
rapport a cette frequence du a une erreur de poten-
tiel dans une cavite ou a un def aut du champ magn6tique et enfin Q’ = dQ/dt. II convient de
ne pas oublier que cette formule n’est valable que pour À » /1 et qu’elle n’a donc de sens que pour des perturbations aQ suffisamment grandes. Elle exag6re 1’effet des petites perturbations et on voit
que d’apr6s (6.37) ou (6.39), le rapport amax/C ten-
drait vers l’infini pour À --->. 0, ce qui serait absurde.
Si on veut connaitre 1’effet des perturbations si petites que À 1, il est facile de trouver la for- mule devant remplacer (6.39). 11 suffit pour cela de resoudre (6.18) par des développements en s6rie et
on trouve
rapport qui tend bien, comme il se doit, vers l’unit6 quand &Q - 0.
7. Conclusions. - II reste maintenant a relier entre eux les résultats des paragraphe,s 3 et 5
d’une part, et des paragraphes 4 et 6 de 1’autre.
Pour cela, observons d’abord que les int6grales PI et P2 des paragraphes 3 et 4 repr6sentent des
accroissements de puissance de l’oscillation de
phase a la suite des perturbations. Si donc l’oscil- lation avait l’amplitude a avant ]a resonance, P1
et P2 sont de l’ordre de a(a 2).
Si nous appelons 8n(a) l’accroissement de a au
passage de la n-i6me ligne de resonance ext6rieure,
nous connaissons d’après le paragraphe 3 l’ordre
de grandeur des rapports
et nous pouvons calculer 81 a par la formule (5.6).
D6signons maintenant par a’ k a l’accroissement
d’amplitude apr6s la travers6e de la k-ième zone de resonance parametrique. Nous aurons d’après le paragraphe 4 les nombres
et la formule (6.39) nous fournit la grandeur
Ainsi pouvons-nous calculer les effets de toutes les zones de resonance.
II apparait a 1’evidence que la resonance para-
m6trique produit des effets beaucoup plus dange-
reux que la resonance ext6rieure. Non seulement les effets non lin6aires y sont plus nombreux mais
encore peut-on voir en comparant (5.6) et (6.39)
ou (6.40) que la resonance param6trique lineaire
croit beaucoup plus vite avec l’augmentation des écarts 0, que la resonance lineaire ext6rieure ne croit avee 8 rp..
En comparant Jes nombres Rn et Rk, on voit
aussitot que si l’on échappe aux dangers de la
resonance param6trique, on échappe par la meme
a ceux de la resonance ext6rieure. Or on aura 6vit6 toutes les zones dangereuses d’instabilité para-
m6trique en 6vitant la 6me zone pour a == 2 radians,
c’est-à-dire en imposant aux pararnetres de la
machine d’être tels que pour a = 2,6 QI w
et comme QI = Q(1 - a2/16) cette condition sera
satisfaite si l’on a, a l’injection, l’in6galit6
ou Q a ]a definition (2.2).
11 va de soi qu’un harmonique des perturbations
a Q et 8ps (ayant donc une frequence multiple
de m) remplirait, a fortiori, la condition (7.1) qui
suffit donc 4 supprimer toutes les resonances dange-
reuses.
Nous voudrions, pour terminer, remercier
MM. Neyret et Parain pour les utiles indications
qu’ils nous ont fournies sur les probl6mes
trait6s ici. Nous voudrions remercier 6galement
Mme Andrade e Silva pour 1’aide amicale qu’elle
nous a accord6e. Ce travail a ete effectue au Labo- ratoire Joliot-Curie de Physique Nucl6aire (Orsay)
dans le service de « M6canique non lineaire et
theorie des accélérateurs » dirige par M. F. Fer.
Manuscrit requ le 4 juillet 1964.
BIBLIOGRAPHIE -
[1] BOGOLIUBOV (N.) et MITROPOLSKY (I.), Les méthodes
asymptotiques dans la théorie des oscillations non
linéaires, Paris, Gauthier-Villars, 1963.
[2] TRICOMI (F. G.), Differential equations, Blackie and Son, 1961.
[3] SMIRNOV (A. D.), Tables de fonctions d’Airy, Ed.
Académie des Sciences de l’U. R. S. S., Moscou, 1955.
