Détermination du coefficient de concentration de contrainte pour un problème de fissure interne dans un matériau hétérogène sollicité en mode antiplan par
deux approches distinctes
A. Brick Chaouche, N. Tala-ighil, A. Mokhtari, K. Bettahar Welding and NDT Research Center - CSC
BP 64 – CHERAGA - ALGERIA a.brick-chaouche@csc.dz
Abstract— Dans ce travail deux approches ont été utilisées pour déterminer le coefficient de concentration de contrainte pour un problème de fissure interne dans un matériau hétérogène sollicité en mode antiplan. La méthode semi analytique a été utilisée pour évaluer le facteur d’intensité de contrainte dans le cas de chargement en mode antiplan, c’est une méthode sans maillage basée sur la résolution analytique et numérique d’une équation intégrale singulière. L’autre méthode qui est celle des éléments finis étendue XFEM est employée pour sa simplicité d’implémentation et le rapport précision/effort de calcul qui sont ses deux principaux avantages par rapport à la méthode FEM standard. Dans un but de comparaison, nous avons évalué avec les deux approches le facteur d’intensité de contrainte pour un problème de fissure interne dans un modèle constitué de trois matériaux sollicité en mode antiplan.
Index Terms— XFEM, fissure, mode antiplan.
I. INTRODUCTION
La XFEM est développé par Belytchko et Black [1], c’est une méthode élément finis basé sur le principe d’enrichissement local des champs (déplacement ou contrainte) en utilisant la propriété de "partition of unity".
D’après les travaux de Duarte et Oden [2] et Melenk and Babuska [3], l’idée est de définir une série de fonctions sur un domaine Ω, ces fonctions somme à 1 sur un élément du domaine sur lequel elle sont définies, cette propriétés est crucial dans le cadre de la méthode des éléments finis car elle permet d’introduire des fonctions non-lisse (discontinus ou singulières) ou non-polynomiales dans les champs d’approximation (Melenk and Babuska [3]), l’idée d’introduire des fonctions non-polynomiales dans le champ d’approximation avec la propriétés de "partition of unity", cette approche est utilisé avec succès dans de nombreux travaux (Flemming et all [4], Krongauz and Beytchko [5], Beytchko and Flemming [6]). Belytchko et Black ont étudié la propagation des fissures, ils ont utilisé la notion de "partition of unity" pour construire des fonctions de base d’enrichissement par une simple multiplication des fonctions d’enrichissement
avec les fonctions de forme éléments finis standards. La méthode XFEM est couplée par la méthode Level set LSM, cette méthode est introduite pour la première fois par Osher et Sethian [7] en 1988 pour étudier les interfaces en mouvement, en suite utilisé pour la modélisation des discontinuités comme les fissures (géométrie et position), deux fonctions appelées
"level set functions" sont définis, ces dernières sont introduites dans l’approximation par XFEM via les cordonnées polaire des points du voisinage de la pointe et les fonctions d’enrichissement.
Les facteurs d’intensité de contraintes sont évalués à partir de la valeur du J-intégrale, ce dernier introduit par Rice [8]
pour prendre en considération l’effet de la plasticité dans l’évaluation de la résistance du matériau à la rupture. Dans les années 1960, Rice a développé une méthode pour calculer le taux de restitution d’énergie G, il représente une méthode pour calculer le taux de restitution d’énergie plastique pour les matériaux dans la déformation proche de la pointe de la fissure n’obéi pas à une loi élastique linéaire. L’approche identifie une intégrale qui a la même valeur quelque soit le chemin d’intégration autour la pointe de la fissure. Rice a montré que le J-intégrale est indépendant du chemin d’intégration, et donc en évaluant cette intégrale assez loin de la pointe on trouve une valeur qui tient compte de la déformation plastique dans la zone proche de la pointe. Le J-intégrale est développé initialement pour les matériaux élastiques non linéaires, mais l’expérience a montré que c’est valide pour les matériaux élasto-plastique puisque l’élasticité non-linéaire est équivalente à la théorie de déformation plastique dans le cas de chargement monotone sans décharge.
Dans ce travail nous avons utilisé deux approches pour traiter le cas d’une fissure interne localisé au milieu d’une bande, cette dernière se trouve entre deux matériaux différents, l’ensemble est sollicité à l’infini par un chargement de cisaillement antiplan.
II. THEORY
Le problème d’une fissure interne localisé au milieu d’une bande située entre deux matériaux est traité.
Fig. 1. Le domaine Ω et ces frontières Γ.
La figure 1 montre le domaine du problème Ω avec des frontières Γ. Cette dernière est subdivisé en deux partis Γu et Γt. Un déplacement est imposé sur Γu et une traction est imposée sur Γt. En plus les surfaces de la fissure présente des frontières internes au domaine Ω. La fissure est noté Γc et est libre de contraintes, Γc consiste en Γc+ et Γc- deux surface coïncidentes. La forme forte de l’équation d’équilibre et les conditions au limites correspondantes sont données par :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
σ est le tenseur de contrainte de Cauchy, u est le déplacement et b représente les forces de volume par unité de volume et n est un vecteur unitaire normal sortant. Le déplacement et la traction imposées sont notés respectivement U et T. On se place dans le cadre des petits déplacements et petites déformations, donc la relation contraintes-déplacement est donnée par : (6)
s est la partie symétrique du gradient de déplacement, et ε est le tenseur de déformation linéaire. La relation constitutive est donnée par la loi de Hook : (7)
Ou C est le tenseur de Hook. L’espace des champs de déplacement admissibles est donné par : Γ Γ (8) L’espace test est : (9)
La forme faible de l’équation d’équilibre est donnée par : 0 (10)
Il a été montrée par Belytschko et Black [1] en 1999 que pour les champs u et v, la forme faible de l’équation (10) impose la condition libre de charge sur la surface de la fissure Γc, les conditions aux limites (3) et (4) et le reste de la forme forte décrite par (1). Deux approches ont été utilisées dans la suite du travail pour déterminer le coefficient de concentration de contraintes pour un problème de fissure interne dans un matériau hétérogène sollicité en mode antiplan. Une méthode semi-analytique sans maillage basée sur la résolution analytique et numérique d’une équation intégrale singulière et une méthode numérique qui est celle des éléments finis étendue XFEM. A. Méthode semi-analytique Le calcul du facteur d’intensité de contraintes pour le cas du chargement en mode antiplan KIII est effectué par une méthode semi-analytique dans le cas du problème de la figure 5, la méthode est basée sur la résolution d’une équation intégrale singulière, cette dernière obtenue par application des transformés de fourrier sur les solutions de l’équation (1). Dans le cadre de la mécanique linéaire et élastique de la rupture, l’ouverture de la fissure est donnée en fonction du facteur d’intensité de contrainte en mode anti-plan (mode III) par la relation suivante : (11)
Avec r=la-x, x est un point proche de la pointe de la fissure (c’est l’abscisse dans le système de coordonnées cartésien). [|w|] est le saut de déplacement définie le long de la fissure obtenue par sommation de la valeur du déplacement u sur les deux partis supérieur est inférieur de la fissure. [|w|]= u+-u-. La fonction de densité d’énergie de surface φ(x) définie sur la fissure est donné en fonction de saut de déplacement par : (12)
A partir de cette expression on peut calculer le facteur d’intensité de contrainte KIII en x=la. Quand xla on a la-x 0 et (la+x)1/2 2la. Donc le facteur d’intensité de contrainte est obtenu en développant la limite suivante [11] : (13)
Le facteur d’intensité de contrainte KIII est donné par la formule suivante : (14) la est la longueur de la fissure et η=lc/la avec lc est la pointe non cohésive de la fissure avec la condition la<lc. τc est une contrainte critique caractéristique du modèle cohésive et du matériaux dans lequel se trouve la fissure. τ∞ est la contrainte
de cisaillement antiplan appliqué. µ2 est le module de cisaillement du matériau constitutif de la zone fissuré. Ai sont des constantes à déterminer dans la résolution de l’équation intégrale [10].
B. Méthode XFEM
Dans le cadre de la XFEM l’approximation du champ de déplacement u est donnée par :
(15) Ni(x) sont les fonctions de forme standard associé aux nœuds i. J est l’ensemble des nœuds des éléments (supports d’enrichissement) complètement coupés par la fissure, ces nœuds sont représentés par des cercles (figure 2). L’ensemble K contient les nœuds des éléments qui contiennent les pointes de la fissure, ces nœuds sont représentés par des carrés sur la figure 2.
Fig. 2. L’ensemble des nœuds enrichis.
Les nœuds enrichis par les fonctions Bl sont des carrés, et les nœuds enrichis par la fonction Heaviside H sont des cercles.
Les Dégrées de libertés correspondant au déplacement sont ui, bj et ak. Le second important facteurs dans l’approximation (15) sont les facteurs d’enrichissement H(Ø(x)) et Bl(r,θ).
H(Ø(x)) est définit par les fonctions "Level set Functions"
notées Ø et ψ.
Fig. 3. Construction des fonctions Level set.
D’après Osher et Sethian [7], ces deux fonctions sont utilisées pour décrire la géométrie et la position de la fissure, cette dernière est considérée comme le zéro level set (Ø=0). La construction des fonctions level set normal Ø et tangentielles ψ pour le cas de fissure interne est illustré sur la figure 3. La pointe est identifié par Ø=0 et ψ=0 c'est-à-dire par leur intersection. Formellement on peut écrire :
(16) Le facteur d’enrichissement H(Ø) est définit par :
(17) La fonction Bl est donnée par :
(18) Dans la zone proche de la pointe de la fissure, la position d’un point est exprimée par les coordonnées polaires (r, θ) avec la pointe comme origine. La position du point est définit par :
(19) Les quatre termes de la fonction Bl sont obtenus à partir de la solution asymptotique de l’élasto-static du champ de déplacement au voisinage de la pointe. La fonction (r)1/2.sin(θ/2) prend en considération la discontinuité à travers la fissure.
C. Facteurs d’intensité de contraintes
Les facteurs d’intensité des contraintes sont obtenus à partir du calcul de J-intégrale (Moran et Shih [9]).
Fig. 4. J-intégrale autour de la pointe de la fissure en 2D.
Le J-intégrale fournie donc une approche alternative pour calculer le taux de restitution d’énergie G et le facteur d’intensité de contrainte K. L’intégrale de Rice ou le J-intégrale dans sa forme originale peut être écrit sous la forme suivante :
(20)
x y
n
Γ
Ici Γ est une courbe qui entoure la pointe de la fissure, l’intégrale est évalué dans le sens inverse des aiguille d’une montre, et ceci à partir de la surface inferieur de la fissure jusqu'à la surface supérieur. T est le vecteur traction défini par rapport à la normale sortante à la courbe Γ (Ti=σij.nj), u est le vecteur déplacement et ds est un élément d’arc de Γ. W est la densité d’énergie de déformation définie par :
(21) Les facteurs d’intensité de contraintes KI,KII et KIII sont souvent utilisé dans la mécanique élastique linéaire de la rupture, pour caractériser les champs de contrainte et de déplacement dans le voisinage de la pointe de la fissure. Les Facteurs d’intensité de contraintes sont liés à la grandeur G (le taux de restitution d’énergie potentielle calculé par le J- intégrale) via la formule suivante :
(22) Ou K = [KI, KII, KIII]T est appelé le vecteur facteur d’intensité de contraintes, B est la matrice de facteurs énergétique pré-logarithmique pour un matériau homogène isotrope (B est diagonale). L’équation (18) se simplifie à la forme suivante :
(23) Ou E = E pour le cas de contraintes plane, et E = E/(1-ν2) pour le cas déformation plane, axisymétrique, et trois dimensions.
III. PROBLEME TRAITE ET RESULTATS
La figure 5 résume le problème traité qui est constitué d’une structure composée de trois matériaux différents, l’ensemble est soumis à un chargement de cisaillement antiplan τ∞. Une fissure de taille initiale unitaire et très petite devant les autres dimensions de la structure est localiser au milieu de la structure. Le facteur d’intensité KIII a été déterminé avec la méthode numérique XFEM et avec une méthode semi- analytique. Les valeurs de KIII ont été calculées en faisant varier les propriétés mécaniques des différents matériaux.
Fig. 5. Problème de fissure en mode antiplan.
Pour obtenir plus de précision sur les valeurs de KIII, une méthode de maillage spéciale est effectuée et qui consiste à réaliser une partition sous forme cubique qui entoure la ponte de la fissure, puis un maillage régulier de cette région en utilisant la technique de maillage structuré. Les éléments utilisés sont de type hexagonal C3D8 (8 Nodes Linear Brick), le reste de la géométrie est maillé avec un maillage libre (Free) avec des éléments tétraédriques C3D4 (4 nodes Linear tetrahedron) [11]. Après convergence, le facteur d’intensité de contrainte KIII calculé est constant le long du front de la fissure et les facteurs d’intensité de contraintes KI et KII (modes d’ouverture et de cisaillement plan respectivement) sont quasiment nuls et ceci pour un nombre d’éléments total de 254508 éléments.
Pour le calcul du facteur d’intensité de contrainte KIII, nous avons considéré les propriétés mécaniques des deux zones supérieur est inférieurs constantes. Il faut noter que dans les deux tableaux suivant, les valeurs de KIII sont normalisées par la limite statique Kmax, ce dernier est calculé en fonction de la valeur du chargement appliqué τ∞ par la formule [12]:
(24) l est la longueur de la fissure. Dans un premier cas (voir tableau I) nous avons fait varier le module de cisaillement µ2
du matériau constitutif de la zone du milieu, ces valeurs ont été prisent inferieures aux valeurs qui correspond à la zone ayant le module de cisaillement le plus élevée (Under- matching).
TABLEAU I. LES VALEURS DE KIII NORMALISEES (UNDER-MATCHING) µ2
KIII/Kmax
XFEM Méthode semi-analytique 1,0320 105 0,92113 0,82809 1,0963 105 0,92541 0,83232 1,1610 105 0,92768 0,83736 1,2255 105 0,93258 0,83101
Dans un deuxième cas (voir tableau II), les valeurs du module de cisaillement µ2 de la partie du milieu sont augmentées au-delà de la valeur de la zone ayant le module de cisaillement le plus forte (Over-matching).
TABLEAU II. LES VALEURS DE KIII NORMALISEES (OVER-MATCHING) µ2
KIII/Kmax
XFEM Méthode semi-analytique 1,3545 105 0,93299 0,91930 1,4190 105 0,93477 0,91503 1,4835 105 0,93757 0,91280 1,5480 105 0,94119 0,90162
D’âpres les Tableaux I et II, il est clair que les valeurs de KIII sont très proches, ceci signifie que la méthode XFEM τ∞
τ∞
Ω2, E2, ν2, µ2 Ω1, E1, ν1, µ1
Ω3, E3, ν3, µ3 La fissure
représente un outil efficace pour traiter les problèmes de comportement des fissures dans les structures et les matériaux.
La comparaison ainsi effectuée sert à valider l’utilisation de la XFEM dans le traitement des problèmes de fissuration.
IV. CONCLUSION
Ici nous avons traité le cas statique (chargement constant).
Les valeurs du Facteur d’intensité de contraintes évaluées par les deux approches sont assez proches. La méthode XFEM est très efficace dans l’étude de la propagation des fissures, grâce au couplage de cette méthode et la technique LSM (level set methode) pour modéliser la géométrie de la fissure, et grâce aussi à la propriétés "partition of unity" des fonction de forme standard, il est possible dans le cadre de la XFEM d’introduire des fonctions d’enrichissement non-polynomiale dans les champs d’approximation, ceci est nécessaire pour modéliser la discontinuité et la singularité induite par la fissure dans le comportement global de la structure..
REFERENCES
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