Concours commun Mines-Ponts

SESSION 2010

Concours commun Mines-Ponts

PREMIÈRE EPREUVE. FILIÈRE MP

A. Prolongement harmonique

1)Soitz∈D. Donc|z|< 1. Puisquef est continue surT, la fonctiont7→f(e^it)est continue surRet 2π-périodique. On sait alors quecn =

n→+∞ o(1)etc−n =

n→+∞ o(1). On en déduit que|cnzⁿ| =

n→+∞ o(|z|ⁿ)et |c−nzⁿ| =

n→+∞ o(|z|ⁿ)puis que les séries de termes généraux respectifscnzⁿ etc−nzⁿ sont absolument convergentes et donc convergentes.

2)NotonsRa>1le rayon de convergence de la série entière associée à la suite(an)n∈N. Soientz0=x0+iy0∈Dpuisr∈q

x²₀+y²₀, 1

. AlorsR²_a> r²> y²₀. Pour x ∈ I =

−q

r²−y²₀,q r²−y²₀

et n ∈ N, posons f_n(x) = a_n(x+iy₀)ⁿ. On note que x²₀+y²₀ < r² et donc x0∈

− q

r²−y²₀, q

r²−y²₀

.

• La série de fonctions de terme généralfn converge simplement sur Ivers la fonctionx7→eS(x, y₀).

• Chaque fonctionfn est de classeC¹surI.

• Pourx∈I,f₀^′(x) =0puis pourx∈Iet n∈N^∗, |f_n^′(x)|=|na_n(x+iy₀)ⁿ⁻¹|=|na_n|q x²+y²₀

n−1

6|na_n|rⁿ⁻¹. Puisque 06r < R_a, la série numérique de terme général|na_n|rⁿ⁻¹converge. On en déduit que la série de fonctions de terme généralf_n^′ converge normalement et donc uniformément surI.

D’après le théorème de dérivation terme à terme, la fonctionx7→S(x, y₀)est dérivable sur Iet sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme. En particulier, la fonctionx7→ S(x, y₀) est dérivable en x₀ou encore la fonction eS admet en une dérivée partielle par rapport à sa première variablexen(x₀, y₀). Finalement,eSadmet surDe une dérivée partielle par rapport àxet

∀(x, y)∈D,e ∂eS

∂x(x, y) =

+∞

X

n=1

nan(x+iy)ⁿ⁻¹=S^′(x+iy)

oùS^′ désigne la série entièrez7→

X+∞

n=1

na_nzⁿ⁻¹. On rappelle alors que la série entièreX

na_nzⁿ⁻¹ a encore pour rayon de convergenceR_a.

Maintenant, la fonction ∂eS

∂x est la composée de la fonction(x, y)7→x+iy qui est continue sur De en tant qu’application linéaire sur un espace de dimension finie et de la fonctionz7→

X+∞

n=1

na_nzⁿ⁻¹qui est continue sur le disque ouvert de centre Oet de rayonRa et en particulier surD. Donc la fonction ∂eS

∂x est continue sur D.e 3)De même,Seadmet surDe une dérivée partielle par rapport àyet

∀(x, y)∈D,e ∂eS

∂y(x, y) =i X+∞

n=1

na_n(x+iy)ⁿ⁻¹=iS^′(x+iy).

De plus, ∂eS

∂y est continue sur De et donc la fonction eS est de classe C¹ sur D. Puisque les séries entières considérées ont encore pour rayon de convergenceR_a, on peut réitérer. la fonction eSest de classe C² surDe ou encoreS est de classeC² surDet pourz=x+iy∈D

∆S(z) = ∂²eS

∂x²(x, y) + ∂²Se

∂y²(x, y)+ =

+∞

X

n=2

n(n−1)anzⁿ⁻²+i²

+∞

X

n=2

n(n−1)anzⁿ⁻²=0.

4) Pour |z| < 1, posons S₁(z) =

+∞X

n=1

c_nzⁿ et S₂(z) =

+∞X

n=1

c−nzⁿ de sorte que g_f(z) = c₀+S₁(z) +S₂(z). On sait déjà que les fonctions S₁ et S₂ sont de classe C₂ sur D. Notons alors c la fonction c : z 7→ z de sorte que ec est la fonction (x, y) 7→ (x,−y). La fonction ec est de classe C² sur D à valeurs dansD et il en est de même de la fonction (x, y)7→eS₂◦ϕ(x, y). De plus, pour(x, y)∈D,e

∂

∂x(eS₂(x,−y)) = ∂eS₂

∂x (x,−y)puis ∂²

∂x²(eS₂(x,−y)) = ∂²eS₂

∂x² (x,−y).

De même, ∂

∂y(eS2(x,−y)) = −∂eS2

∂x (x,−y)puis ∂²

∂y²(eS2(x,−y)) = ∂²eS2

∂y²(x,−y)et finalement

∆(eS2(x,−y)) = ∂²

∂x²(eS2(x,−y)) + ∂²

∂y²(eS2(x,−y)) =0.

La fonctiong_fest donc de classeC²et de Laplacien nul surDen tant que combinaison linéaire de fonctions de classeC² et de Laplacien nul surD.

gf est de classeC² surDet ∀z∈D, ∆gf(z) =0.

5) Soit z ∈ D. Pour t ∈ [−π, π], posons gn(t) = f(e^it)e^intzⁿ = f(e^it)(ze^it)ⁿ. Chaque fonction fn est continue sur le segment [−π, π] et pour tout n ∈ N et tout t ∈ [−π, π],|f(e^it)(ze^it)ⁿ| 6kfk_∞|z|ⁿ qui est le terme général d’une série numérique convergente. Donc la série de fonctions de terme généralgn,n∈N^∗, converge normalement et donc uniformé- ment sur le segment[−π, π]. De même la série de fonctions de terme généralt7→f(e^it)e^−intzⁿ converge uniformément sur le segment[−π, π]. D’après le théorème d’intégration terme à terme sur un segment, on peut écrire

g_f(z) = 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)dt+ X+∞

n=1

zⁿ Zπ

−π

f(e^it)e^−intdt+

+∞X

n=1

zⁿ Zπ

−π

f(e^it)e^intdt

!

= 1 2πf(e^it)

Zπ

−π

1+

+∞

X

n=1

(ze^−it)ⁿ+

+∞

X

n=1

(ze^−it)ⁿ

! dt

= 1 2π

Zπ

−π

f(e^it) 1+2Re

+∞X

n=1

(ze^−it)ⁿ

!!

dt

= 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)

1+2Re

ze^−it 1−ze^−it

dt(car∀t∈[−π, π], |ze^−it|=|z|< 1)

= 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)

Re

1+2 ze^−it e^−it(e^it−z)

dt= 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)

Re

e^it+z e^it−z

dt.

∀z∈D, gf(z) = 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)P_z(t)dtoùPz(t) =Re

e^it+z e^it−z

.

6)Pour tout(n, p)∈Z², 1 2π

Zπ

−π

e^inte^−iptdt=δ_n,p. Soient alorsz∈D etn∈N.

•Si f=pn alors, pourp∈Z,cp= 1 2π

Zπ

−π

e^inte^−ipt dt=δn,p puis,gf(z) =δp,0+

+∞

X

p=1

δp,nz^p+

+∞

X

p=1

δp,−n(f)z^p=zⁿ = pn(z).

•Si f=q_n,c_p(f) = 1 2π

Zπ

−π

e^i(−n−p)tdt=δ_p,−n puis pourz∈D,g_f(z) =zⁿ=q_n(z).

∀n∈N,∀z∈D,g_pn(z) =zⁿ et g_qn(z) =zⁿ.

En particulier, sif=p0=1, on obtient

1 2π

Zπ

−π

P_z(t)dt=1.

Pour toutt∈Retz∈D, Pz(t) =Re

e^it+z e^it−z

=Re

(e^it+z)(e^−it−z) (e^it−z)(e^−it−z)

=Re

1+2iIm(ze^−it) −|z|²

|e^it−z|²

= 1−|z|²

|e^it−z|² > 0.

Pour toutz∈D, la fonctionPz est strictement positive surR. 7)Soitf∈T. Soit(fn)n∈N une suite d’éléments deC(T)qui converge uniformément versfsurT. Soitz₀∈D.

• Siz₀∈D, pour toutn∈Non a

|G_f(z₀) −G_fn(z₀)|=|g_f(z₀) −g_fn(z₀)|=

1 2π

Zπ

−π

(f(e^it) −f_n(e^it))P_z0(t)dt 6 1

2π Zπ

−π

|f(e^it) −f_n(e^it)|P_z0(t)dt 6

1 2π

Zπ

−π

P_z0(t)dt

sup{|f(e^it) −f_n(e^it)|, t∈R}=sup{|f(z) −f_n(z)|, z∈T},

• Siz0∈T, pour toutn∈Non a |G_f(z₀) −Gfn(z₀)|=|f(z₀) −fn(z₀)|6sup{|f(z) −fn(z)|, z∈T}.

En résumé,∀z0∈D,∀n∈N,|Gf(z0) −Gfn(z0)|6sup{|f(z) −fn(z)|, z∈T} et donc∀n∈N, sup{|Gf(z) −Gfn(z)|, z∈ T}6sup{|f(z) −fn(z)|, z∈T}. On en déduit que sup{|Gf(z) −Gfn(z)|, z∈T}tend vers0quandntend vers+∞et donc que la suite de fonctions(Gfn)n∈Nconverge uniformément vers la fonctionGfsurD.

8)La fonctionh : t7→f(e^it)est continue surRet2π-périodique. D’après le théorème deWeierstrasstrigonométrique, il existe une suite de polynômes trigonométriques convergeant uniformément vers la fonctionh surRou encore il existe une suite(Pn)n∈N d’éléments deP(T) telle que la suite de fonctionshn : t 7→Pn(e^it) converge uniformément vers la fonctionhsurR.

Comme∀n∈N, sup{|Pn(z) −f(z), z∈T}=sup{|hn(t) −h(t), t∈R}, on en déduit que la suite (Pn)n∈Nd’éléments de P(T)converge uniformément versfsurT.

Maintenant, si pour n ∈ N, on pose ∀z ∈T, P_n(z) = c_0,n+

dⁿ

X

k=1

(c_k,nz^k+c_−k,nz^k), alors d’après la question 6 et par linéarité de l’applicationg7→gf, on a encore∀n∈N, ∀z∈D,Pn(z) =c0,n+

dn

X

k=1

(c_k,nz^k+c−k,nz^k). On en déduit que chaqueGPn est continue surDet puisque la suite(GPn)n∈N converge uniformément vers la fonctionGfsurDd’après la question 7, la fonctionGfest continue surD.

∀f∈C(T), la fonction Gfest continue surD.

9)uest de classeC²surD et pourz=x+iy∈D,

∆u(z) =∆G(z) +ε∆(|z|²) =0+ε ∂²

∂x²(x²+y²) + ∂²

∂y²(x²+y²)

=4ε > 0.

Maintenant, la fonctionuest continue sur le compactD à valeurs dans Ret doncuadmet un maximum en un certain z₀ ∈ D. Montrons que z₀ ∈ T. Supposons par l’absurde que z₀ ∈/ T. Alors z₀ = x₀+iy₀ est dans l’ouvert D. On en déduit que l’application partiellex7→eu(x, y₀)est définie et de classeC² sur un intervalle ouvert de centrex₀ et admet un maximum enx0. On sait alors que sa dérivée première enx0 à savoir ∂ue

∂x(x₀, y0)est nulle et un développement limité à l’ordre2enx0s’écrit

u(x, y₀) =

x→x0

u(x₀, y₀) + 1 2

∂²eu

∂x²(x₀, y₀)(x−x₀)²+o((x−x₀)²).

Puisque localement on au(x, y0) −u(x0, y0)60et que d’autre part le signe deu(x, y0) −u(x0, y0)est localement le signe de 1

2

∂²ue

∂x²(x0, y0)(x−x0)², on en déduit que ∂²ue

∂x²(x0, y0)60. De même, l’analyse de la deuxième application partielle en (x₀, y₀)fournit ∂²ue

∂y²(x₀, y₀)60.

En résumé, siz₀∈/T, on a∆u(z₀)60ce qui contredit∀z∈D, ∆u(z)> 0. Doncz₀∈T puisG(z₀) =f(z₀) =0 et pour z∈D,

u(z)6u(z0) =G(z0) +ε|z0|²=ε

10)Supposons tout d’abordfnulle surT etG à valeurs réelles. D’après la question précédente,∀z∈D,G(z) +ε|z|²6ε.

Quandεtend vers0à zfixé, on obtient

∀z∈D,G(z)60.

Mais la fonction−G vérifie également les hypothèses (a1), (carf est nulle surT) (a2) et (a3) et on a donc aussi∀z∈D,

−G(z)60. On en déduit que ∀z∈D,G(z) =0ou encoreG=0=Gf.

Si maintenantfest nulle sur T etG à valeurs complexes, les fonctions Re(G)et Im(G)sont à valeurs réelles et vérifient (a1), (carfest nulle surT) (a2) et (a3) (car Re

∂

∂x

= ∂

∂x(Re)). On en déduit que Re(G) =Im(G) =0puis que G=0.

Si enfinf est quelconque, la fonctionG−G_f vérifie les propriétés (a1), (a2) et (a3) pour la fonction nulle. On en déduit queG−G_f est nulle et donc queG=G_f.

B. Deux applications

Première application.

11)Gest de classeC²surDet pour(x, y)∈De

∆G(x+iy) = ∂

∂x(e^xcosy) + ∂

∂y(−e^xsiny) =e^xcosy−e^xcosy.

Pourz∈T, posons alorsf(z) =e^(z+z)/2cos z−z

2i

. La fonctionfest continue surT et la fonctionGvérifie les propriétés (a1), (a2) et (a3). D’après la question 10),G=Gfet donc, pourz∈D,

c0+

+∞

X

n=1

cnzⁿ+

+∞

X

n=1

c−nzⁿ =e^(z+z)/2cos z−z

2i

. Or, pourn∈Z, par parité, on obtient

cn= 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)e^−intdt= 1 2π

Zπ

−π

e^costcos(sint)(cos(nt) −isin(nt))dt

= 1 2π

Zπ

−π

e^costcos(sint)cos(nt)dt=c−n.

Par suite,∀z∈D,c0+

+∞X

n=1

cn(zⁿ+zⁿ) =e^(z+z)/2)cos z−z

2i

. En particulier, pourz=x∈] −1, 1[,

c₀+2

+∞X

n=1

c_nxⁿ=e^x=1+

+∞X

n=1

xⁿ n!.

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, en identifiant on obtientc0=1 et∀n>1,cn = 1 2n!.

∀n∈Z, 1 2π

Zπ

−π

e^costcos(sint)cos(nt)dt=







1sin=0 1

2(|n|!) sin6=0 .

Deuxième application.

12)• Supposons que usoit de classeC² et de Laplacien nul sur U. Soit D(a, R)un disque fermé contenu dans U puis z∈D(a, R). PosonsZ= z−a

R . Alors,Z∈D etz=a+RZ.

Pourz^′∈D, posonsf(z^′) =u(a+Rz^′). L’applicationz^′7→a+Rz^′ est de classeC² surDà valeurs dansD(a, R)etuest de classeC²surD(a, R). Doncfest de classeC²surD. De plus, avec des notations évidentes

∆f(z^′) =∆ef(x^′, y^′) = ∂²

∂x^′2(u(ae 1+Rx^′, a2+R2y^′)) + ∂²

∂y^′2(u(ae 1+Rx^′, a2+R2y^′)) = R²

∂²u

∂x^′2(a1+Rx^′, a2+R2y^′) + ∂²u

∂y^′2(a1+Rx^′, a2+R2y^′)

=R²∆u(z) =0.

La fonctionfvérifie donc

- la fonction def àT coïncide avecf(a1) -fest continue surD (a2)

- la restriction defà Dest de classeC²et de classe∆f(z^′) =0pour toutz^′∈D(a3).

Par unicité deG_f, on en déduit queG_f=fet donc que u(z) =f(Z) = 1

2π Zπ

−π

f(e^it)PZ(t)dt= 1 2π

Zπ

−π

u(a+Re^it)P^z−a R (t)dt.

• Réciproquement, supposons que pour tout disque fermé D(a, R) contenu dans U et pour tout z ∈ D(a, R), on ait u(z= 1

2π Zπ

−π

u(a+Re^it)P^z−a

R (t)dt. Pourz^′ ∈D, posons f(z^′) =u(a+Rz^′) etz=a+Rz^′.f est continue surD et en particulier surT. De plus, pourz^′∈D,

gf(z^′) = 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)P_z′(t)dt= 1 2π

Zπ

−π

u(a+Re^it)P^z−a

R (t)dt=u(z).

Donc pour tout z ∈ D, u(z) = g_f z−a

R

. D’après la question 4), g_f est de classeC² sur D et ∆g_f = 0 sur D. Par compositionuest de classeC² sur D(a, R)et ∆u= 1

R²∆gf=0 sur D(a, R). Comme pour chaque a∈Uil existeR > 0 tel queD(a, R)⊂U,uest de classeC²surUet∀z∈U,∆u(z) =0.

13)Soit(u_n)_n∈Nune suite de fonctions de classeC²et de Laplacien nul surUconvergeant uniformément vers une fonction usurU. Soita∈UpuisR > 0tel que D(a, R)⊂U.

Soitz∈D(a, R). Alors z−a

R ∈D et la fonctionP^z−a

R est continue sur le segment[−π, π]et donc bornée sur ce segment.

SoitM=supP^z−a

R (t), t∈[−π, π]

.

Pourt∈[−π, π]et n∈N, posonsvn(t) =un(a+Re^it)P^z−a

R (t)puisv(t) =u(a+Re^it)P^z−a

R (t). Alors, pour toutn∈N ett∈[−π, π],

|v_n(t) −v(t)|=|u_n(a+Re^it) −u(a+Re^it)|P^z−a

R (t)6Msup{|un(z) −u(z), z∈U}, et donc sup{|vn(t) −v(t)|, t∈[−π, π]}6Msup{|un(z) −u(z)|, z∈U} →

n→+∞ 0. La suite de fonctions(v_n)_n∈N converge donc uniformément vers la fonctionvsur le segment[−π, π]. On en déduit que

u(z) = lim

n→+∞u_n(z) = lim

n→+∞

1 2π

Zπ

−π

u_n(a+Re^it)P^z−a

R (t)dt= 1 2π

Zπ

−π

n→lim+∞u_n(a+Re^it)P^z−a R (t)dt

= 1 2π

Zπ

−π

u(a+Re^it)P^z−a R (t)dt.

Ainsi, pour tout disque ferméD(a, R)contenu dansUet pour toutz∈D(a, R), on au(z) = 1 2π

Zπ

−π

u(a+Re^it)P^z−a R (t)dt.

D’après la question précédente,uest de classeC²surUet∆u=0 surU.

C. Propriétés duales

14)ϕz vérifie (c2) et (c3) d’après la question 6).ϕz est une forme C-linéaire parC-linéarité des coefficients de Fourier cn. De plus, pour f∈C(T),

|ϕ_z(f)|=|g_f(z)|= 1 2π

Zπ

−π

f(e^it)P_z(t)dt 6 1

2π Zπ

−π

|f(e^it)|P_z(t)dt(∀t∈ [−π, π], P_z(t)> 0d’après 6)) 6

1 2π

Zπ

−π

Pz(t)dt

N(f) =N(f) (d’après 6)).

et ϕ_z vérifie (c4). De plus, puisque ϕ_z est linéaire et que sup

|ϕz(f)|

N(f) , f∈C(T)\ {0}

6 1 <+∞, ϕ_z est une forme C-linéaire continue.ϕ_z vérifie donc (c1).

15)Soit ϕ une forme linéaire sur C(T)vérifiant (c1), (c2) et (c3). Alors parC-linéarité deϕ et d’après la question 6), les restrictions deϕetϕzà P(T)sont égales. Mais d’après la question 8),P(T)est dense dans l’espace vectoriel normé (C(T), N). Puisque ϕet ϕz sont continues sur l’espace vectoriel normé(C(T), N), on sait queϕ=ϕz.

16)fest continue sur le compactT à valeurs réelles positives. Donc il existe z₀∈T tel que f(z₀) =N(f).

Puisque f est continue sur T à valeurs réelles, h est continue sur T et pour tout z ∈T, |h(z)|² = (2f(z) −N(f))²+λ². Ensuite, pour tout z∈T,0 6f(z)6N(f)et donc−N(f)62f(z) −N(f)6N(f) puis|h(z)|² 6N(f)²+λ²avec égalité effectivement obtenue quandz=z0. Donc(sup{|h(z)|, z∈T})²=sup{|h(z)|², z∈T}=N(f)²+λ². On a montré que

N(h)²=N(f)²+λ².

17)Ainsi, d’après (c4),|ϕ(h)|²6N(h)²=N(f)²+λ². Mais d’après (c1) et (c2),

ϕ(h) =ϕ(2f+ (−N(f) +iλ)p₀) =2ϕ(f) + (−N(f) +iλ)ϕ(p₀) =2ϕ(f) −N(f) +iλ.

Par suite, pour tout réelλ,|2ϕ(f) −N(f) +iλ|²6N(f)²+λ²ou encore pour tout réelλ,

N(f)²+λ²>(2Re(ϕ(f)) −N(f))²+ (2Im(ϕ(f)) +λ)²=λ²+4λIm(ϕ(f)) +N(f)²−4Re(ϕ(f))N(f) +4(Re(ϕ(f)))² et finalement

∀λ∈R,λIm(ϕ(f)) −Re(ϕ(f))(N(f) −Re(ϕ(f)))>0.

Puisque la fonction affine λ 7→ λIm(ϕ(f)) −Re(ϕ(f))(N(f) −Re(ϕ(f))) est de signe constant sur R, on en déduit que Im(ϕ(f)) =0et donc queϕ(f)∈R. Puisque Re(ϕ(f)) =ϕ(f), il reste alors

ϕ(f)(N(f) −ϕ(f))>0

et donc, ou bien ϕ(f) =N(f)et dans ce cas,ϕ(f)>0, ou bienϕ(f)< N(f) ( d’après (c4) et doncN(f) −ϕ(f)> 0 puis de nouveauϕ(f)>0après simplification.

En résumé, l’image parϕ de tout élément deC(T)à valeurs réelles positives est un réel positif.

18)Soitfun élément deC(T)à valeurs réelles. On posef⁺=Max{f, 0}etf⁻=Max{−f, 0}de sorte quef⁺etf⁻sont deux éléments deC(T)(carf⁺= 1

2(|f|−f)etf⁻= 1

2(|f|−f⁻)) à valeurs réelles positives tels quef=f⁺−f⁻. ParC-linéarité, on en déduit queϕ(f) =ϕ(f⁺) −ϕ(f⁻)∈R(on peut aussi écrireϕ(f) =ϕ(f+N(f) −N(f)) =ϕ(f+N(f)) −N(f)∈R carf+N(f)est à valeurs réelles positives). Puis sifest à valeurs dansC

ϕ(f) =ϕ(Re(f) −iIm(f)) =ϕ(Re(f) −iϕ(Im(f)) =ϕ(Re(f) +iϕ(Im(f)) =ϕ(f).

Pour toutn∈N, on a alorsϕ(qn) =ϕ(pn) =ϕ(pn) =pn=qn et doncϕvérifie (c3).

Enfin, puisqueϕ vérifie (c1), (c2) et (c3), on en déduit queϕ=ϕ_z.