Concours commun Mines-Ponts PREMIERE EPREUVE. FILIERE MP

SESSION 2002

Concours commun Mines-Ponts PREMIERE EPREUVE. FILIERE MP

PREMIERE PARTIE

I-1. Fonction E: a.Soitx∈R.

E(x) =e^(ex)=

+∞

X

k=0

1 k!e^kx=

+∞

X

k=0 +∞

X

n=0

kⁿ k!

xⁿ n!

! .

Maintenant, la suite double, de terme général

kⁿ k!

xⁿ n!

= kⁿ k!

|x|ⁿ n! vérifie

+∞X

k=0 +∞X

n=0

kⁿ k!

xⁿ n!

=e^e|x| <+∞.

On en déduit que la suite double kⁿ

k!

xⁿ n!

n≥0, k≥0

est sommable. La formule d’interversion permet alors d’écrire pour tout réelx

e^ex =

+∞

X

n=0 +∞

X

k=0

kⁿ k!

xⁿ n! =

+∞

X

n=0

1 n!

+∞

X

k=0

kⁿ k!

! xⁿ. Par suite,

Eest développable en série entière surR.

b.On sait alors queEest de classeC^∞ surRet que, pourn∈N, le coefficient dexⁿvautE⁽ⁿ⁾(0) n! = An

n!. Par identification, on obtient alors

∀n∈N, A_n=

+∞X

k=0

kⁿ k!.

c.Soitn∈N. Pourx∈R, on aE^′(x) =e^xE(x). Dérivonsnfois cette égalité à l’aide de la formule deLeibniz. On obtient

∀x∈R, E⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = Xn

k=0

C^k_n(e^x)^(n−k)E^(k)(x) =e^x Xn

k=0

C^k_nE^(k)(x).

Pourx=0, on obtient alors

∀n∈N, A_n+1= Xn

k=0

C^k_nA_k(etA₀=e).

On aB0= 1

eA0. Soit alorsn∈N. Supposons que∀k∈J0, nK, Bk= 1

eAk. On a alors Bn+1=

Xn

k=0

C^k_nB_k= 1 e

Xn

k=0

C^k_nA_k= 1 eAn+1. On a ainsi montré par récurrence que

∀n∈N, B_n= 1 A_n.

I-2. Comparaison de sommes infinies :

a.Soitp≥2 (quandp=1,Rp,n=Un). Montrons que quandntend vers+∞, Sn−Rp,n=

p−1X

k=1

ukkⁿ=o(R_p,n).

Par hypothèse, la série de terme généraluk converge.

Soitn∈N. D’une part,

p−1X

k=1

ukkⁿ≤(p−1)ⁿ

p−1X

k=1

uk. D’autre part,

Rn,p=

+∞X

k=p

ukkⁿ≥pⁿ

+∞X

k=p

uk. Donc,

0≤

p−1X

k=1

u_kkⁿ Rn,p ≤

p−1X

k=1

u_k

+∞

X

k=p

uk

p−1 p

n n→→+∞

0.

Ainsi,

∀p∈N, Un ∼

n→+∞ Rp,n. b.Soitε > 0etn∈N^∗. Il existe un rangptel que pourk≥p,u_k− ε

2u_k ≤v_k≤u_k+ε

2u_k. En sommant, il vient 1− ε

2

R_p,n(u)≤R_p,n(v)≤ 1+ε

2

R_p,n(u).

pétant ainsi fixé, d’après a., quandntend vers+∞,Rp,n(u)∼Un et il existe un rangn0 tel que pourn≥n0

Un(1−ε)≤ 1−ε

2

Rp,n(u)≤ 1+ε

2

Rp,n(u)≤Un(1+ε).

Ainsi, toujours d’après a., quandntend vers+∞,Un ∼Rp,n(v)∼Vn. Un ∼

n→+∞ Vn.

I-3 Fonction fn :

a.Soitn∈N^∗. On a fn(0) =0 et pourk≥1,fn(k) =e^−klnk+k+(n−1/2)lnk. Par suite, quandktend vers+∞, k²fn(k) =e^−klnk+k+(n+3/2)lnk

→0.

Ainsi,fn(k) =

k→+∞

o 1

k²

et la série de terme généralfn(k),k∈N, converge.

b.Soitn∈N^∗.

Pourk∈N, posonsuk = 1

k! et pour k∈N^∗, vk = 1

√2πe^kk^−k−1/2.(u_k)_k≥0 est une suite strictement positive telle que, pour tout naturelnla série de terme généralu_kkⁿ,k≥0converge. D’après I-2.a., quandntend vers+∞

A_n =

+∞X

k=0

u_kkⁿ ∼R_1,n= X+∞

k=1

u_kkⁿ.

Ensuite, (u_k)_k≥1 et (v_k)_k≥1 sont deux suites strictement positives, équivalentes d’après la formule de Stirling. On en déduit, d’aprs I-2.b., que quandntend vers+∞,

+∞

X

k=1

ukkⁿ∼

+∞

X

k=1

vkkⁿ= 1

√2π

+∞

X

k=0

fn(k).

Finalement,

An ∼

n→+∞

√1 2π

+∞X

k=0

fn(k).

DEUXIEME PARTIE

II-1. Etude de la fonctionΦλ : a.Soitλ > 0. Immédiatement,

Φλ(x) ∼

x→0λlnxetΦλ(x) ∼

x→+∞ −xlnx.

b.Φ_λest dérivable sur]0,+∞[et

∀x > 0, Φ_λ^′(x) = −lnx+ λ x.

Φ_λ^′ est continue et strictement décroissante sur ]0,+∞[ en tant que somme de deux fonctions strictement décroissantes sur]0,+∞[, tend vers+∞en0 et vers−∞en+∞.Φ_λ^′ s’annule donc une et une seule fois sur]0,+∞[en un certain réel µde]0,+∞[. De plus,Φ_λ^′ est strictement positive sur]0, µ[et strictement négative sur]µ,+∞[.

∃!µ∈]0,+∞[/ Φ_λatteint son maximum enµ.

µest l’unique solution de l’équationΦ_λ^′(µ) =0, ce qui s’écrit encore µlnµ=λ. On note que puisque Φ_λ^′(1) =λ > 0, on aµ > 1.

c.Pourx > 1, posonsh(x) =xlnx.hest de classeC¹sur]1,+∞[et h^′ ne s’annule pas sur]1,+∞[(h^′(x) =1+lnx > 0 pourx > 1). Donc,hest unC¹-difféomorphisme de]1,+∞[surh(]1,+∞[) =]0,+∞[. Sa réciproqueϕ est donc définie et de classeC¹sur]0,+∞[.

II-2. Maximum de la fonctionfn :

a.Pourn∈N^∗et x > 0, on afn(x) =e^Φλn(x) oùλn =n−1

2, et pourx≤0, on afn(x) =0. Puisque la fonctionx7→e^x est strictement croissante surR,f_n atteint sur]0,+∞[un maximum en un unique pointµ_n =ϕ(λ_n) =ϕ(n−1

2). Puisque f_n est nulle sur ] −∞, 0]et strictement positive sur]0,+∞[,f_n(µ_n)est le maximum def_n surR.

fn est de classeC¹sur] −∞, 0]et sur]0,+∞[. Mais,fn etf_n^′ tendent vers0quandxtend vers0par valeurs supérieures.

D’après un théorème classique d’analyse,fn est de classeC¹ surR. b. i.h(1) =0 < h(µ1) = 1

2 < h(2) =2ln2 < 3

2 =h(µ2)et puisquehest strictement croissante sur][1,+∞[, 1 < µ₁< 2 < µ₂.

Soitn≥3. On ah(√ n) = 1

2

√nlnn, h(µ_n) =n−1

2 eth(n) =nlnn. Déjà, puisquen≥3,nlnn≥nln3 > n > n−1 2 etn > µ_n. Soit alors pourx≥3, k(x) = 1

√x(x−1 2 −1

2

√xlnx) =√ x− 1

2√ x− 1

2lnx.

k^′(x) = 1 2√

x+ 1 4x√

x− 1

2x = 2x+1−2√ x 4x√

x = 2√ x(√

x−1) +1 4x√

x > 0.

kest donc strictement croissante sur[3,+∞[et

1 1 1√ 1 5 1 5 1

L’autre inégalité est donc démontrée.

∀n≥3, √

n < µn < n.

ii.D’après a., ∀n≥3, µn ≥√

net donc

n→lim+∞

µ_n= +∞.

Ensuite,

µ_n

n = µ_nln(µn) nln(µn) =

n− 1 2

nln(µn) = 1−1/(2n) ln(µn) →0 et donc

µn =

n→+∞ o(n).

iii.Soitα∈]0, 1[. Puisqueα > 0et1−α > 0, les théorèmes de croissances comparées remettent d’écrire µ_n

n^α = n^1−α−1/(2n^α)

ln(µn) ≥ n^1−α−1/(2n^α)

ln(n) →

n→+∞

+∞. Donc

∀α∈]0, 1[, n^α=o(µ_n).

TROISIEME PARTIE

III-1. Propriétés de la fonctiong_n : a.Soitx∈R.

fn(µ_n)g_n √

õnn

x−√ n

=fn

µn

1+ 1

√n √

õnn

x−√ n

=fn(x).

∀x∈R, f_n(x) =f_n(µ_n)g_n √

√n µn

x−√ n

.

b. g_n est continue sur R, nulle sur] −∞,−√

n]. Pourx∈] −√

n, 0], on a0 < µ_n(1+ x

√n)< µ_n et g_n est strictement croissante sur[−√

n, 0]. gn atteint son maximum en 0 et ce maximum vaut 1, puis gn est strictement décroissante sur [0,+∞[et tend vers0quandxtend vers+∞.

y=g_n(x)

b

b

−√ n

1

c.Soitx∈Rfixé.

gn(x) = 1 fn(µn)fn

µn

1+ x

√n

=exp

Φn−1/2

µn

1+ x

√n

−Φn−1/2(µ_n)

, et donc, pourn > x², d’après la formule admise en fin de II-1, on a

gn(x) =exp

µn−n+1 2

√x

n−ln(1+ x

√n)

−µn

√x

nln(1+ x

√n)

.

D’après II.2.ii.,µ_n =

n→+∞

o(n)et donc

µn−n+ 1 2

√x

n−ln(1+ x

√n)

n→+∞= (−n+o(n))( x

√n− x

√n+ x² 2n+o(1

n)) = −x²

2 +o(1).

D’autre part

−µ_n x

√nln(1+ x

√n) =

n→+∞ −µ_nx²

n +o(µn

n ) = =

n→+∞o(1).

Finalement, lim

n→+∞Φ_n−1/2

µn

1+ x

√n

−Φ_n−1/2(µn) = −x²

2 et donc

la suite de fonctions(g_n)_n∈N∗ converge simplement surRvers la fonctionx7→e^−x2/2. d.Soientnun entier naturel non nul etxun réel tel quex >−√

n. On rappelle que gn(x) =exp

µn−n+1 2

√x

n−ln(1+ x

√n)

−µn

√x

nln(1+ x

√n)

. Déjà, quexsoit positif ou négatif, on a x

√nln(1+ x

√n)≥0 et puisqueµ_n≥0,

g_n(x)≤exp

µ_n−n+ 1 2

√x

n−ln(1+ x

√n)

.

Ensuite,µn−n+1

2 ∼

n→+∞

−net donc il existe un entier naturel non nuln0tel que, sin≥n0,µn−n+1 2 ≤−n

2. D’autre part, il est connu que pouru >−1,u−ln(1+u)≥0. Par suite, sinest un entier naturel supérieur ou égal àn₀ etxun réel strictement supérieur à−√

n, on a x

√n−ln(1+ x

√n)≥0.

Mais alors,

µn−n+1 2

√x

n−ln(1+ x

√n)

≤−n 2

x

√n−ln(1+ x

√n)

et finalement,

∃n₀∈N^∗/∀n≥n₀, ∀x >−√

n, g_n(x)≤exp

−n 2

x

√n−ln

1+ x

√n

.

III-2. Une majoration de la fonctiong_n :

a. La fonction uest définie et dérivable sur ] −1,+∞[\{0}. De plus, quand x tend vers0, u(x) = 1 2 − x

3 +o(x). On en déduit queuse prolonge par continuité en0 en posantu(0) = 1

2 et que le prolongement ainsi obtenu est dérivable en0 avecu^′(0) = −1

3.

Pourx∈] −1,+∞[\{0}, on a u^′(x) = −2

x³(x−ln(1+x)) + 1

x²(1− 1

1+x) = 1 x³

−2x+2ln(1+x) + x² 1+x

= 1 x³

−x²+2x

1+x +2ln(1+x)

.

Pourx >−1, posonsv(x) = −x²+2x

1+x +2ln(1+x).v est dérivable sur] −1,+∞[et pourx >−1, on a v^′(x) = −(2x+2)(1+x) − (x²+2x)

(1+x)² + 2

1+x = − x²

(1+x)² ≤0.

v est donc décroissante sur] −1,+∞[. Puisque v(0) =0, v est positive sur ] −1, 0] et négative sur [0,+∞[. Mais alors, puisque pourx∈] −1, 0[∪]0,+∞[,u^′(x) = v(x)

x³ et queu^′(0) = −1

3,u^′ est négative sur] −1,+∞[.uest donc décroissante sur] −1,+∞[et puisque lim

x→+∞

u(x) =0,uest positive sur] −1,+∞[.

b.Soientn≥n₀et x∈R.

•Supposonsx≤0. Six≤−√

n, on a gn(x) =0≤e^−x2/4 et si−√

n < x < 0, par décroissance de usur ] −1,+∞[, on a

√x n−ln

1+ x

√n

= x

√n 2

u x

√n

≥x²

nu(0) = x² 2n, et donc

gn(x)≤exp

−n 2 × x²

2n

=exp

−x² 4

.

•Si x > 0, on a déjàx >−√

n. De plus, comme x

√n ≤x, on au x

√n

≥u(x), puis

g_n(x) =exp

−n 2 ×x²

nu x

√n

≤exp(−n 2 × x²

2nu(x)) =exp

−1

2(x−ln(1+x))

. L’inégalité étant vraie quandx=0, on a montré que

∀n≥n0, ∀x∈R, gn(x)≤









 exp

−x² 4

six≤0 exp

−1

2(x−ln(1+x))

six≥0 .

QUATRIEME PARTIE

IV-1. Intégrabilité de la fonction g_n : Soitn∈N^∗.

•La fonctiong_n est continue par morceaux surRet donc localement intégrable surR.

•g_n est nulle au voisinage de−∞et en particulier intégrable sur un voisinage de−∞.

•D’après les théorèmes de croissances comparées x²gn(x) = 1

f_n(u_n)x²fn

µn

1+ x

√n

x→→+∞ 0, et donc la fonctiongn est intégrable sur un voisinage de+∞.

Finalement

∀n∈N^∗, la fonctiong_n est intégrable surR. Maintenant,

• chaque fonctiong_n est continue par morceaux surR,

• la suite de fonctiongn converge simplement vers la fonctiong : x7→e^−x2/2 (d’après III-1.c) qui est continue par morceaux sur R,

• pourngrand,∀x∈R, 0≤gn(x)≤ϕ(x) =









 exp

−x² 4

six≤0 exp

−1

2(x−ln(1+x))

six≥0

. De plus,ϕest continue

par morceaux surR, négligeable devant 1

x² en−∞et puisque pourx≥0,ϕ(x) =√

1+xe^−x/2, également négligeable devant 1

x² en+∞.ϕ est donc intégrable surR. D’après le théorème de convergence dominée, la suite

Z

R

gn

converge et

n→lim+∞

Z

R

g_n = Z

R n→lim+∞

g_n= Z+∞

−∞

e^−x2/2dx=√ 2

Z+∞

−∞

e^−u2 dx=√ 2π.

n→+∞lim Z

R

gn=√ 2π.

IV-2. Un encadrement de la sommeS_n : Soientn∈N^∗ puisp=E(µ_n). Puisque la fonctionf_n est croissante sur [0, p]et décroissante sur[p+1,+∞[, on a

Zp

0

f_n(x)dx≤ Xp

k=0

f_n(k)≤f_n(p) + Zp

0

f_n(x)dxet Z+∞

p+1

f_n(x)dx≤ X+∞

k=p+1

f_n(k)≤f_n(p+1) + Z+∞

p+1

f_n(x)dx,

et en additionnant membre à membre ces deux inégalités et en tenant compte du fait quefn est nulle sur ] −∞, 0], on obtient

Z

R

fn(x)dx− Zp+1

p

fn(x)dx≤Sn≤ Z

R

fn(x)dx− Zp+1

p

fn(x)dx+fn(p) +fn(p+1) (∗).

Maintenant, d’après II-1.a.

Z

R

f_n(x)dx=f_n(µ_n) Z+∞

−∞

g_n √

n µn

x−√ n

dx

= µ_nf_n(µ_n)

√n

Z+∞

−∞

g_n(u)du= µ_nf_n(µ_n)

√n I_n. (∗)s’écrit alors

µnfn(µ_n)

√n In− Zp+1

p

fn(x)dx≤Sn≤ µnfn(µ_n)

√n In− Zp+1

p

fn(x)dx+fn(p) +fn(p+1).

Maintenant,− Zp+1

p

f_n(x)dx+f_n(p) +f_n(p+1)≤0+f_n(µ_n) +f_n(µ_n) =2f_n(µ_n)et− Zp+1

p

f_n(x)dx≥− Zp+1

p

f_n(µ_n) =

−fn(µn)≥−2fn(µn). On a ainsi montré que

∀n∈N^∗, µ_nf_n(µ_n)

√n I_n−2f_n(µ_n)≤S_n≤ µ_nf_n(µ_n)

√n I_n+2f_n(µ_n), ou encore

∀n∈N^∗, Kn(In−ǫn)≤Sn ≤Kn(In+ǫn)oùKn= µnfn(µn)

√n et ǫn= 2√ n µ_n .

IV-3. Un équivalent du réel Bn : D’après II-2.b., √

n =

n→+∞ o(µ_n) et donc lim

n→+∞ǫn = 0. Puisque d’autre part, I_n∼√

2π, la question précédente montre queS_n ∼

n→+∞

√2πK_n. D’autre part, d’après I-1.c. et I-3.b.

B_n = 1

eA_n ∼

n→+∞

1 e√

2π

+∞X

k=0

f_n(k) ∼

n→+∞

1 e√

2π

√2πK_n = K_n

e = µ_nf_n(µ_n) e√

n .

Bn ∼

n→+∞

µnfn(µ_n) e√

n .