Pierre-Louis CAYREL 2009-2010
U.F.R. M.I.T.S.I.C. cours intensifs
Universit´e de Paris 8 Examen - vendredi 5 f´evrier 2010
Analyse : suites
- Carte d’´etudiant obligatoire - AUCUN document n’est autoris´e
Interdits : walkman, calculatrice, t´el´ephone, organizer, communication, sacs sur la table.
N’oubliez pas nom, pr´enom et num´ero sur chaque copie - Dur´ee : 1 heure.
Cours
(7 points) Enoncer et d´´ emontrer le th´eor`eme des gendarmes.
(3 points) Soit (𝑢𝑛)𝑛⩾0 une suite r´eelle.
Est-il vrai que si (∣𝑢𝑛∣)𝑛⩾0 est convergente, alors (𝑢𝑛)𝑛⩾0 est convergente ? Justifier votre r´eponse.
Exercices
(7 points) Soit (𝑢𝑛)𝑛⩾0 une suite r´eelle. Pour 𝑛∈ℕ, on pose :
𝑣𝑛 = 𝑢0+𝑢1+⋅ ⋅ ⋅+𝑢𝑛 𝑛+ 1 .
(a) Montrer que si (𝑢𝑛)𝑛⩾0 est monotone alors (𝑣𝑛)𝑛⩾0 est monotone.
Indication : Montrer que
𝑣𝑛+1−𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1−𝑢0+𝑢𝑛+1−𝑢1+⋅ ⋅ ⋅+𝑢𝑛+1−𝑢𝑛
(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) .
(b) Montrer que si (𝑢𝑛)𝑛⩾0 est convergente de limiteℓ= 0 alors (𝑣𝑛)𝑛⩾0 est convergente de limite ℓ.
Indication : Utiliser la d´efinition de la convergence de (𝑢𝑛) vers 0 et le fait que ∣𝑢𝑛∣ est major´ee.
(c) Que peut-on dire de (𝑣𝑛)𝑛⩾0 si (𝑢𝑛)𝑛⩾0 tend vers l’infini ? (d) Si (𝑢𝑛)𝑛⩾0 = (−1)𝑛,(𝑣𝑛)𝑛⩾0 est elle divergente ?
(3 points) Soit 𝑞 un entier au moins ´egal `a 2. Pour tout 𝑛 ∈ℕ, on pose 𝑢𝑛 = sin2𝑛𝜋 𝑞 . (a) Montrer que 𝑢𝑛+𝑞 =𝑢𝑛, ∀𝑛∈ℕ.
(b) Calculer 𝑢𝑛𝑞 et 𝑢𝑛𝑞+1. En d´eduire que la suite 𝑢𝑛 n’a pas de limite.
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