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MATH 2, contrôle : infos
Organisation
Le contrôle de Math 2 a lieu le vendredi 19 janvier de 8 h à 11 h. Il est en deux parties : – 1 h 00 sans document.
– 2 h 00 avec tous les documents autorisés.
Le programme des deux parties est le même.
Programme
Tous les documents de cours et d’exercice, ainsi que les corrigés sont sur le site du cours (cf.
www.etudes.ecp.fr). Ils forment la base du programme.
Principaux points du cours
Optimisation Les outils mathématiques sont classiques mais il faut de bonnes bases d’algèbre li- néaire. Calcul d’une différentielle. Fonctions convexes. Applications à l’étude des systèmes non linéaires et au “calcul des variations”. Méthode d’optimisation par descente. Notion de conditionnement. Théorème et multiplicateurs de Lagrange. L’optimisation sous contraintes d’inégalité n’est pas au programme.
Analyse des EDP C’est la partie la plus difficile du cours : d’abord parce qu’elle est très riche1(elle contient toute la physique mathématique) et qu’il y a beaucoup de prérequis, ensuite parce qu’il n’y a pas de “théorie générale des équations aux dérivées partielles” : si c’était le cas elle vous serait bien sûr enseignée et vous comprendriez tout sur la mécanique du solide et des fluides, la théorie des ondes, la mécanique quantique... . Dans un domaine complexe nous nous limitons donc à présenter quelques idées simples. Pour des raisons pédagogiques évi- dentes, dans le cours et dans les exercices nous avons introduit de façon progressive à partir d’exemples quelques principes de l’étude des problèmes d’équations aux dérivées partielles et de leur approximation numérique. Le polycopié développe une approche plus synthétique, mais plus abstraite, et rappelle les principaux exemples et les méthodes classiques (Décomposition, Fourier...). Les deux approches sont donc complémentaires.
1. Pour les problèmes stationnaires : l’équation de Poisson avec conditions de Dirichlet ho- mogène (−k∆u = f, u|Γ = 0). Introduction de conditions aux limites générales sur l’exemple de l’équation de la diffusion (k∂u∂n = c(u−u0)). Introduction de termes non
1La théorie des équations aux dérivées partielles représente peut être un tiers des publication mathématiques...
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différentiels (−k∆u+cu = f). Introduction de non linéarités (−k∆u+cu3 = f).
Les principaux concepts pour la compréhension de ces problèmes sont : les formulations faibles et les principes énergétiques, et pour l’approximation de ces problèmes : le prin- cipe de Ritz-Galerkin, la méthode des éléments finis, le programme d’assemblage.
2. Pour les problèmes d’évolution : équation de la diffusion, étude de la stabilité. Equa- tion hyperbolique du premier ordre, équation des ondes. Étude de la stabilité. Schémas simples aux différences finies et étude de leur stabilité. Les principaux concepts pour la compréhension de ces problèmes sont : les principes énergétiques de conservation ou de dissipation, l’utilisation des caractéristiques, la notion de vitesse de propagation.
Enfin les deux TP sur Comsol donne une approche concrète de quelques problèmes : modéli- sation de problèmes physiques, raffinement de maillage, effet des singularités au bord, stabilité des schémas. Rappelons que vous avez accès au logiciel Comsol sur tout le campus (voir le site du cours).
Optimisation discrète Il n’y a pas de grandes difficultés mathématiques mais beaucoup d’algo- rithmes. Principales définitions sur les graphes. Problèmes de flots et d’affectation : algo- rithme de Ford Fullkerson. Programmation linéaire : algorithme du simplexe. Théorie de la complexité : représentation d’un problème dans un autre.
Programme détaillé dans le polycopié Optimisation Sont au programme les :
Chap. 1 sauf 1.1.3 ; Chap. 2 sauf 2.1.2 ; puis 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 ; Chap. 4 sauf 4.5 ; le chapitre 5 n’est pas au programme.
Analyse des EDP Ne sont pasau programme les paragraphes : 3.5, 3.6 ; 5.3, 5.4, le Chap 6 ; 7.5 ; 8.2.
Optimisation discrète Le programme se réduit aux énoncés de cours et d’exercices des séances 1, 2, 3, 4 et pour la séance 5 :
l’annexe 3 du document de cours et l’exercice 3 de la feuille d’exercices, voir aussi les transpa- rents2de la séance 5 sur le site.
2Rubrique : représentation d’un problème par un autre.
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