Equations de diffusion paramétrée par la portée des interactions à longue distance.

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interactions à longue distance.

Armel Andami Ovono

To cite this version:

Armel Andami Ovono. Equations de diffusion paramétrée par la portée des interactions à longue

distance.. Mathématiques [math]. Université de Poitiers, 2009. Français. �tel-00365445v2�

pour obtenir legrade de

Do teur de l'Université de Poitiers

(Fa ulté des S ien es Fondamentales etAppliquées)

(Diplmenational- arrêtédu 25 avril 2002)

E ole Do torale S ien es Pour l'Ingénieur & Aéronautique SPI&A

Se teur de Re her he :Mathématiques et leurs intera tions

Présentée et soutenue publiquement par:

Armel Andami Ovono

Equations de diusion paramétrée par la portée des intera tions à longue distan e

Dire teur de thèse: Arnaud Rougirel

Soutenue le24 Février2009 Devant la ommission d'examen

Jury

Vitaly Volpert Dire teur de Re her hes, InstitutCamille Jordan, Lyon 1 Rapporteur

Bernard Brighi Professeur,Université deMulhouse Rapporteur

Emmanuel Chasseigne Maître de Conféren es,Université FrançoisRabelaisde Tours Examinateur

Hassan Emamirad Professeur,Université dePoitiers Examinateur

AlainMiranville Professeur,Université dePoitiers Examinateur

Jetiens tout d'abord à remer ier ArnaudRougirel pour avoira epté de diriger ette thèse ave tantde patien e et de rigueur,lesrendez-vous de mardiaprès midi resteront des momentsparti uliers de mavie.

AlainMiranvillem'a apportéune aide pré ieusetantsur leplan s ientique que moral. Je lui serai toujours re onnaissant de m'avoir permis de ren ontrer Giulio S himperna, OlivierGoubet, Grzegorz Kar h et bien d'autres...Grâ e à toi j'ai pu ee tuer mathèse dans de bonnes onditions.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Mi hel Chipot pour nos nombreuses dis ussions lors de son passage à l'Université de Poitiers.

Je remer ie Pierre Torasso pour son a ueil en master à l'Université de Poi-tiers et pour ses nombreux onseils. Je remer ie également Pol Vanhae ke pour ses en ouragements etson grand sens de l'é oute.

Jesuis très re onnaissantenvers Vitaly Volpert et Bernard Brighipour l'intérêt qu'ils ont porté à mes travaux et d'avoir a epté d'en être rapporteurs. Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Emmanuel Chasseigne et Hassan Emamirad pour avoir a epté de faire partie de e jury.

Jeréserve unepla e spé ialeàBrigitteBrault,Jo elyne Attab, NathalieMarlet, Nathalie MonginetBenoîtMetrot pour ladisponibilitéetla gentillesse dontilsont fait preuve durant toutes es années.

Jeremer ieégalementAbderrazakBouaziz,Patri eTauvel,MorganPierre,Anne Bertrand, Mar Arnaudon, Mar Van Leeuwen, Madalina Pet u, Clément Dom-bry, Frédéri Bosio et tous les autres membres du laboratoirepour l'ambian e très agréable qui règne à la afétaria et au Laboratoire de Mathématiques. Ah Bosio!! Tes fous rires, tes blagues et surtout tes talents pour la hanson me manqueront beau oup...

Jepense égalementàFrançois,Bernadette etAbderrahim ave lesquelsj'ai par-tagé mon bureau pendant 3 ans.

Je n'oublie pas la famille des do torants. Les an iens Greg, Mohamed, Idriss, Marie Eve,Patri e,Ariane,Anne, Céline,Patien e,Kohélé,Sami,GuilhemetPaul. Lesnouveaux Gang,Le,Willy,Tou , Anouar,Batoul,Wesam,Houssam,Khaoula, Caro et Hélène. Mer i pour tous les bons momentspassés ensemble.

Enn je ne saurai terminer e di ile exer i e sans penser à ma famille, mes amis et tous eux qui de près oude loin sere onnaîtront dans e travail.

Table des matières . . . i

1 Introdu tion 1 1 Modélisationetpositiondu problème . . . 1

2 Présentation des résultats . . . 5

3 Plan de la thèse . . . 5

2 Quelques rappels 7 3 Problème stationnaire asso ié 13 1 Quelques résultats d'existen e etuni ité . . . 13

2 Continuité de lasolution

u

r

. . . 18

3 Cas où'

a

' est roissante et

r = diam(Ω

) . . . 24

4 Quelques propriétés lo alesdes solutionsstationnaires . . . 25

4.1 Critèregénéral d'inversibilité . . . 26

4.2 Quelquesappli ations. . . 28

4.3 Le as

r = diam(Ω)

. . . 32

4.4 Appli ationau as '

a

' roissant . . . 36

5 Un petit résultatde parité . . . 37

4 Phase transitoire des solutions stationnaires 39 1 Convergen e de lasolution

w

r

. . . 39

2 Prin ipede omparaison . . . 42

2.1 Le as

n = 1

. . . 42

2.2 Généralisationpour les solutionsradiales . . . 44

5 Résultats numériques du problème stationnaire 63 1 Cara térisation de

L

r

(x)

. . . 65

2 Convergen e de l'algorithmede Newton . . . 66

3 Le as où

a

est roissant . . . 69

4 Exemple de

a

ayant laformed'une gaussienne . . . 71

4.1 Premier as :

l(φ)

petit . . . 71

4.2 Deuxième as :

l(φ)

grand . . . 72

6 Etude du problème parabolique 79 1 Résultats d'existen e et d'uni ité . . . 79

2 Existen e d'un attra teur global . . . 84

2.1 Existen e d'un borné absorbant dans

L

2

_(Ω)

. . . 84

2.3 Estimation

L

∞

de lasolution . . . 90

Introdu tion

1 Modélisation et position du problème

Ungrandnombrede problèmesen biologieetenphysique onduisentàdes équa-tions de diusion non linéaireset non lo ales voir M.Chipot [eMC03℄,[Chi00℄, S.A Gourley [eSA05℄,[Gou00℄ etaussi dans [ePA06℄et bien d'autres...

Nous ommençonspar donneri iune motivation prin ipaleà l'introdu tionde pro-blèmes non lo aux trouvant tout son sens dans les phénomènes de diusion en dy-namiquede populations.Nous onsidérons des ba téries onnéesdans un domaine

Ω

. Trois situations peuvent se produire. La première est la naissan e de ba téries, ladeuxièmeest lamort de ba tériesetenn latroisièmeest ledépla ement de ba -téries dans

Ω.

C'est pré isemment e dépla ement de ba téries onnu sous le nom de diusion qui va nous intéresser. Soit l'équation

∂u

∂t

− γ∆u = f

(1.1)

modélisant ladiusion de nos ba téries dans le domaine

Ω

,où

u(t, x)

est ladensité de ba téries au point

x

à l'instant

t

,

γ

le oe ient de diusion de es ba téries et

f

la densité des naissan es de es ba téries. On remarquera qu'i i

f

et

γ

peuvent dépendre de

x

,

t

et de

u

rendant don les termes

f

et

γ

lo aux. Nous nous plaçons dans la situation où le oe ient de diusion

γ

dépend uniquement de

x

,

t

et

u

et

f

dépend uniquement de

x

et de

t

'est-à-dire que

γ = γ(t, x, u)

et

f = f (t, x)

. La prin ipale di ulté expérimentale dans e type de problème est la mesure de la densitépon tuelle

u

des ba tériesdemasse pon tuelle.Pour pallier e problèmeune des solutions a été de mesurer notre densité

u

dans un voisinage de

x

e qui est a prioriplus aiséde manièrepratiqueetdon de substituerdans notreéquation

u

par

1

|B(x,r)|

R

B(x,r)

u

, où

B(x, r)

désigne la boule de entre

x

et de rayon

r

. L'équation (1.1) devient alors dans

Ω

trouver

u

r

solutionde

∂u

r

∂t

− γ



t, x,

1

|B(x, r)|

Z

B(x,r)

u

r



∆u

r

(t, x) = f (t, x)

(1.2)

lorsque

r

→ 0

. D'autres types d'appro hes permettent de onstruire des problèmes non lo aux, voir [Lov95℄. Le modèle que nous allons étudier généralise une lasse

de problèmes non lo aux pouvant s'é rire sous la formegénérale











u

t

− a(

R

Ω

u)∆u = f

dans R

+

× Ω

u(t, x) = 0

sur R

+

_{× ∂Ω}

u(0, .) = u

0

dans Ω

(1.3)

où

∂Ω

dénitlebordde

Ω

.Lesfon tions

f

et

u

0

sonttellesque

f, u

0

∈ L

2

_(Ω)

.Cetype d'équations a été l'objet de très nombreuses ré entes études voir [eBL01℄, [eBL99℄, [eLM01℄, [eM03℄, [Sie06℄, [eMC04℄, [eMC03℄, [eAR℄ et [eJF92℄. Plus pré isemment il est présenté des résultats d'existen e, d'uni ité, de solutions stationnaires et de omportementasymptotiquede solutions.Pour notre étudenousnous intéresserons à l'équation











u

t

− div(a(l

r

(u(t)))

∇u) = f dans Ω × R

+

u(x, t) = 0

sur ∂Ω

× R

+

u(., 0) = u

0

dans Ω

(1.4) ave

l

r

(u(t)) =

Z

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y, t)dy.

(1.5)

B(x, r)

désignantlaboulede entre

x

etderayon

r

et

g

unefon tiondénietelleque

g

∈ L

2

_(Ω)

.Lafon tion

g

jouedon unrle ru ialdepoids dans(1.5).Lorsque

g

≡

1

estun as typiquede ladiusiondanslesproblèmesendynamiquedepopulations. En eet en onsidérant

B(x, r)

∩ Ω

un sous domaine de

Ω

et

g

≡ 1

l'équation (1.4) peut dé rire l'évolution de la densité d'une population

u(x, t)

soumis à une vitesse de diusion proportionnelle à

a(l

r

(u))

.

f

représente la densitéde naissan es de lapopulationet

l

r

(u)

lapopulationtotale du sous domaine

B(x, r)

∩ Ω

de

Ω

. De manièreplusgénéralelorsque

g

n'estpaségalà1, etypedemodèleadenombreuses appli ations en théoriede l'élasti itéetdans les modèles de diusion de la haleur. Pour plus de pré isionvoir [Chi00℄,[Cia86℄ .

D'unpoint de vuemathématique l'équation(1.4) présenteun intérêtparti ulier notammentdanslare her hedessolutionsstationnaireslorsqueleparamètre

r

varie. En eetle problème stationnaire asso ié sous la formefaibleà (1.4) s'é rit

(P

r

)

(

−div(a(l

r

(u))

∇u) = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω).

(1.6) Lorsque

r = 0

le problème

(P

0

)

(

−a(0)∆u = f dans Ω

u

∈ H

1

0

(Ω),

est linéaireetadmetune uniquesolutionpar simpleappli ationdu théorèmedeLax Milgram. Enrevan he lorsque

r = d

où

d

représente le diamètrede

Ω

, M.Chipot et B.Lovat ontmontré dans [eBL01℄ quele nombre de solutions du problème

(P

d

)

(

−a(l(u))∆u = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

ave

l(u) =

Z

Ω

g(y)u(y)dy

est le même que elui donné par leproblème dans

R

a(µ)µ = l(φ),

(1.7)

ave

l(φ) =

R

Ω

g(y)φ(y)dy

et

µ =

R

Ω

g(y)u(y)dy.

I i,

φ

désigne la solutionfaible du

problème

(

−∆φ = f

dans Ω

φ

∈ H

1

0

(Ω),

et

a

une appli ation de

R

dans

(0, +

∞)

. Si l'on suppose par exemple que

l(φ) > 0

x1

x

k

/x

a(x1)

a(x)

Fig.1.1 Uni ité de lasolution

x2

x1

x

a(0)

a(x1)

a(x2)

a(x)

k

/x

Fig. 1.2Solutions multiples

alors on voitbien que le problème (1.6) admet une ou plusieurs solutionsen

r = d

ommereprésentésurg1.1etg1.2. En onsidèrantle as où(

P

d

)admetplusieurs solutions il est don importantde remarquer que lorsque

r

dé rit l'intervalle

[0, d]

, notre problème stationnaire asso ié passe d'un problème lassique de Lapla e ave

des onditions simples de Diri hlet qui admet une unique solution à un problème non lo al admettant plusieurs solutions. La question du ompte du nombre de so-lutions du problème

(P

r

)

en fon tion de

r

se pose don très naturellement. Plus pré isemment, existe t'il une bran he globale de solutions possédant des points de bifur ations? Un as similaire peut aussi être onsidéré lorsque l'on onsidère à la pla e de

l

r

(u)

la fon tionnelle

L

r

(u)

telle que

L

r

(u) =

Z

−

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y)dy,

ave

Z

−

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y) dy =

1

|B(x, r) ∩ Ω|

Z

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y) dy.

On montre dans e as voir [Chi04℄ que lorsque le paramètre

r

dé rit l'intervalle

[0, d]

, notreproblème stationnaire asso iéfait la transitionentre le problème lo al

(

−div(a(u)∇u) = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω),

et leproblème non lo al

(

−div(a(L

d

(u))

∇u) = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω),

ave

L

d

(u) =

1

|Ω|

Z

Ω

g(y)u(y) dy.

Revenons à l'étude de notre problème stationnaire asso ié (

P

r

). La prin ipale dif- ulté dans l'étude du nombre de solutions du problème

(P

r

)

en fon tion

r

est la di ulté d'appliquer en théorie de bifur ations dire tement à notre problème une variante du théorème [eGP95℄ quisuit :

Théorème 1.1. Soit

X, Y

deux espa es de Bana h. On suppose que

F

∈ C

2

_(R

_×

X, Y )

esttel que

F (λ, u

⋆

_{) = 0}

pour tout

λ

∈ R

. Soit

λ

⋆

tel que

L = F

u

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

vérie

(i)

ker(L)

est de dimension 1, 'est à dire

w

⋆

_{∈ X, w}

⋆

_{6= 0}

tel que

ker(L) =

{t w

⋆

_{: t}

_{∈ R},}

(ii)

R

est fermé et

codim(

R) = 1

,

ave

R = R(L)

. De plus si l'on note

M

l'appli ation linéaire

F

u,λ

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

et que

M w

⋆

6∈ R.

Alors

λ

⋆

est un point de bifur ation pour

F

. De plus l'ensemble de solutions des points non triviaux de

F = 0

est au voisinage de

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

une unique ourbe

C

1

de représentation paramétrique sur

ker(L)

.

Uneautre question très importanteest aussi elle de l'uni itéde

(P

r

)

pour tout

r

_{∈ [0, d]}

. En eet si nous montrons que les problèmes (

P

0

) et (

P

d

) admettent

une unique solution, il est en revan he plus di ile de montrer que le problème (

P

r

) lui aussi admet une unique solution

∀r ∈]0, d[

, 'est pré isemment e qui se produit lorsque

a

est roissante. Plusieurs autres questions se posent aussi : étude du omportement asymptotique, de prin ipede omparaison de solutions...

2 Présentation des résultats

Pour leproblèmestationnaire,nous ommençonspar démontrerà

r

xéun théo-rème d'existen e et en ajoutant une ondition de Lips hitz sur

a

qui nous garantit l'uni ité (théorème3.1). Cette ondition est réutilisée sur

a

pour prouver la onti-nuité del'appli ation

r

7→ u

r

dansle as parti ulieroù

g

≡ 1

etdemanièregénérale (théorème3.6). Nousprésentons ensuiteun ritère générald'inversibilité dépendant de

r

dans le as où

g

≡ 1

(théorème3.11). Ce ritère très importantvapar lasuite nous permettre en exemple d'appli ation de retrouver des résultats d'inversibilités déja onnu en

r = d

dans [eBL01℄, [eBL99℄.

Aprèsavoirdémontré la onvergen efortedans

H

1

0

(Ω)

de

u

r

versrespe tivement les solutions

u

0

et

u

d

de (

P

0

) et (

P

d

), nous prouvons d'abord pour

n = 1

puis gé-néralisé en

n > 1

un prin ipe de omparaison (proposition4.11) d'une solution

u

r

de (

P

r

),

u

d

de (

P

d

) etde lasolution

u

0

de (

P

0

) dans le as de solutionsradiales sy-métriques.Grâ e à e prin ipe(proposition4.23 etproposition4.19)nous montrons sous ertaines onditions que pour

 si

a

est roissante onaque

u

d

≤ u

r

≤ u

0

∀r ∈ [0, d]

 si

a

est dé roissante ona que

u

0

≤ u

r

≤ u

d

∀r ∈ [0, d].

L'utilisation de e prin ipe de omparaison va nous permettre ensuite de généra-liser le ompte du nombre de solutions stationnaires du problème (

P

r

) mais ette

fois pour

r

∈ [0, d]

en fon tion de

a

(proposition4.15 et proposition4.18). Nous

terminons l'étude du problème stationnaire par l'existen e de bran hes lo ales et ou globales de solutions (théorème4.34). Nous donnons quelques appli ations nu-mériques de e prin ipe de omparaison utilisant une méthode de point xe et de Newton (proposition4.23).

Pour e qui est du problème parabolique, nous ommençons par montrer l'exis-ten e etl'uni ité d'une solutionau problème (théorème6.1). Ensuite nous donnons un résultat d'existen e de borné absorbant dans

L

2

_(Ω)

puis dans

H

1

0

(Ω)

e qui par lasuitenouspermettra demontrerl'existen e d'unattra teurglobalasso iéànotre problème (théorème6.4). Pour nir grâ e à la méthode d'itérations de Moser nous démontrons une estimation

L

∞

de la solution en fon tion d'estimations

L

q

,

q > 1

(théorème6.6).

3 Plan de la thèse

Dansle hapitre2,nousnous ontentonsderappelertrèsbrièvementdesversions de théorèmes adaptées de lathéorie de bifur ationset des semi-groupes.

Dans le hapitre3, nous ommençons par donner un résultat d'existen e etune onditiond'uni ité duproblème stationnaireasso iéàmonproblème à

r

xé.Après avoir donné un résultat général d'inversibilité du problème asso ié en fon tion du paramètre

r

, nous donnons un exemple d'appli ation au as où

r = diam(Ω)

ave

Dans le hapitre4 toujours en onsidérant le problème stationnaire, nous mon-trons un résultat de onvergen e forte de notre solution lorsque

r

onverge vers

0

et

diam(Ω).

Parallèlement nous montrons un prin ipe de omparaison de

solu-tions dans le as de solutions radiales symétriques. Ce prin ipe est ensuite adapté pour généraliser le ompte du nombre de solutions stationnaires introduite par M.Chipot [eBL01℄ [Chi00℄etmontrerun résultatd'existen e de bran hes lo ales et globales de solutions.

Dans le hapitre5 nous présentons au travers d'une méthode de points xes et de Newton une appli ation numérique du prin ipe de omparaison dé rit dans le hapitre4 aux as où

a

est roissantet

a

a laformed'une gaussienne.

Enn,dansle hapitre6nous ommençonsparétudierl'existen ed'unattra teur globalasso iéànotreproblèmed'évolution,avantdemontrerautraversd'itérations de Moseruneestimation

L

∞

delasolutionde monproblèmed'évolutionenfon tion d'estimations

L

q

Quelques rappels

Dans ette partienous introduisonsquelques notionsde bases apparaissanttout aulongdemonétude.Pourlapreuvede ertainsrésultatssereporterauxréféren es mentionnées.

Théorème 2.1. [eJM83℄Soit

Ω

un ouvert quel onque de

R

n

. Si

v

estune fon tion de

H

1

0

(Ω)

, la fon tion

˜

v

, prolongement de

v

par

0

dans

R

n

_\Ω

, appartient à

H

1

_(R

n

_).

Inégalité de Poin aré-Sobolev[eJMR99℄Soit

Ω

un ouvertborné de

R

N

ontenu dans une bande, par exemple

{(x

1

, . . . , x

N

),

|x

1

| ≤ a} a > 0

. Alors il existe une onstante

c(Ω) > 0

telleque pour tout

u

∈ W

1,p

0

(Ω)

, on ait

Z

Ω

|u(x)|

p

_dx

_{≤ c(Ω)}

Z

Ω

|∇u(x)|

p

_dx,

où

1

≤ p < +∞.

Dénition 2.2. [eJM83℄ Un ouvert

Ω

de

R

n

est

1

-régulier si

Ω

est borné et sisa frontière

Γ

est une variété de lasse

C

1

de dimension

n

− 1

,

Ω

étant d'un seul oté de

Γ.

Théorème 2.3. (Théorème de tra e) [eJM83℄ On suppose que l'ouvert

Ω

est

1

-régulier. Alors

D(Ω)

est dense dans

H

1

_(Ω)

et l'appli ation

γ

0

: v

7→ γ

0

v = v/

Γ

de

D(Ω)

dans

L

2

_(Γ)

se prolonge par ontinuité en une appli ation linéaire et ontinue de

H

1

_(Ω)

dans

L

2

_(Γ)

en ore notée

γ

0

.

Théorème 2.4. Inégalité d'interpolation ( [Bre83℄)Si

f

∈ L

p

_(Ω)

_{∩ L}

q

_(Ω)

ave

1

_{≤ p ≤ q ≤ ∞}

, alors

f

∈ L

r

_(Ω)

pour tout

p

≤ r ≤ q

et on a l'inégalité

d'interpola-tion

kfk

L

r

_(Ω)

≤ kfk

α

L

p

_(Ω)

kfk

1−α

_L

q

_(Ω)

où

1

r

=

α

p

+

1

− α

q

(0

≤ α ≤ 1).

(2.1)

Théorème2.5. (ThéorèmedeLax-Milgram)Soit

V

unespa edeHilbertréel.Soient

L

une forme linéaire ontinue sur

V

et

a

une forme bilinéaire ontinue et oer ive. Alors, il existe une et une seule fon tion

u

∈ V

tel que

De plus, si

a

est symétrique 'est à dire que

a(v, w) = a(w, v)

pour tout

(v, w)

∈

V

_{× V}

alors

u

est solution de (2.2) est équivalente à

u

est solution du problème d'optimisation suivant :

J(u) = min

_{{J(v), v ∈ V },}

ave

J(v) =

1

2

a(v, v)

− L(v).

Théorème 2.6. (Théorèmedepoint xede S hauder)Soit

V

unespa edeBana h,

C

un onvexe ompa tnonvidede

V

et

T : C

−→ C

une appli ation ontinue.Alors

T

admet un point xe, 'est à dire qu'ilexiste un

u

0

∈ C

tel que

T u

0

= u

0

.

On a aussi

Théorème 2.7. (Variantedu théorèmede pointxe deS hauder) Soit

V

un espa e de Bana h,

C

un onvexe fermé non vide de

V

et

T : C

−→ C

une appli ation ontinue tel que

T C

soit relativement ompa t. Alors

T

admet un point xe, 'està dire qu'il existeun

u

0

∈ C

tel que

T u

0

= u

0

.

Théorème 2.8. (Théorème de l'appli ation ontra tante de Pi ard) Soit (X,d) un espa e métrique omplet non vide. Soit

S : X

−→ X

telle qu'ilexiste un

ǫ > 0

ave

0 < ǫ < 1

tel que

ǫ d(u, v)

≥ d(Su, Sv).

Alors, il existe un seul point xe

u

∈ X

vériant

Su = u.

Nousprésentons i isous une formeappropriée pour notreétude lethéorème des fon tions impli itesqui jouera un rle très important dans notre analyse.

Théorème 2.9. [eGP95℄ Soit

F

∈ C

k

_(Λ

_{× U, Y ), k ≥ 1}

, où

Y

désigneun espa e de Bana h et

Λ

(resp

U

) est un sous-ensembleouvert del'espa ede Bana h

T

(resp

X

). Supposons que

F (λ

⋆

_{, u}

⋆

_{) = 0}

et que

F

u

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

_{∈ Inv(X, Y )}

alors il existe un voisinage

Θ

de

λ

⋆

dans

T

et

U

⋆

de

u

⋆

dans

X

et une appli ation

g

_{∈ C}

k

_{(Θ, X)}

telle que

(i)

F (λ, g(λ)) = 0

pour tout

λ

∈ Θ,

(ii)

F (λ, u) = 0, (λ, u)

∈ Θ × U

implique que

u = g(λ),

(iii)

g

′

_{(λ) =}

_−[F

u

(p)]

−1

◦ F

λ

(p)

, où

p = (λ, g(λ))

et

λ

∈ Θ.

Théorème 2.10. Soit

E

un espa e ve toriel normé et

K(E)

l'ensemble des opéra-teurs ompa ts. Si

T

∈ K(E)

alors

a)

N(I

_{− T )}

est de dimension nie,

b)

R(I

_{− T )}

est fermé, et plus pre isement

R(I

− T ) = N(I − T

⋆

₎

⊥

c)

N(I

_{− T ) = {0} ⇔ R(I − T ) = E}

d)

dimN(I

_{− T ) = dimN(I − T}

⋆

).

Remarque 2.11. L'alternative de Fredholm est souvent utilisée pour résoudre des équationsde laforme

u

− T u = f

. Elleexprime le fait que:

 ou bien l'équation homogène

u

− T u = 0

admet

k > 0

solutions linéairement indépendantes et , dans e as, l'équation non homogène

u

− T u = f

est résoluble si et seulement si

f

vérie

k

onditions d'orthogonalité, 'est à dire

que

f

∈ N(I − T

⋆

₎

⊥

Soit

X

un espa e de Bana h,de norme

k.k

X

Dénition 2.12. Pour

a, b

∈ R

on désigne par

L

p

_{(a, b, X),}

₁

_{≤ p < +∞}

l'espa e (des lasses de) fon tions

f : (a, b)

−→ X

qui sont mesurables et telles que

Z

b

a

kf(t)k

p

X

dt < +

∞,

etpar

L

∞

_{(a, b, X)}

l'espa edes fon tionsbornéessur

(a, b)

'estàdirequ'ilexiste un

M

tel que

kf(t)k

X

≤ M

p.p

t

∈ (a, b).

Nous avons aussi :

Théorème 2.13. [Chi00℄ Les espa es

L

p

_{(a, b, X),}

₁

_{≤ p ≤ +∞}

sont des espa es de Bana h equippés de la norme

kfk

L

p

_(a,b,X)

= (

Z

b

a

kf(t)k

p

X

dt)

1

p

,

1

≤ p < +∞

kfk

L

∞

_(a,b,X)

= inf

{M ∈ R | kf(t)k

_X

≤ M p.p t ∈ (a, b)}.

Remarque 2.14. Si

X, Y

sont deux espa es de Bana h tels que

X ֒

_{→ Y}

(injection

continue),

Alors il est lair que

D

′

(a, b; X) ֒

→ D

′

_{(a, b; Y )}

et

L

p

(a, b, X) ֒

_{→ L}

p

(a, b; Y ),

1

_{≤ p ≤ +∞}

On onsidère maintenant

V

et

H

deux espa es de Hilberttels que

V ֒

_{→ H ֒→ V}

′

,

et

V

dense dans H

où

V

′

est ledual de

V

. Nouspouvons montrer que Théorème 2.15. [Chi00℄

H

1

_{(a, b; V, V}

′

₎

est un espa e de Hilbert pour la norme

kuk

2

1

=

kuk

2

L

2

_{(a,b;V )}

+

ku

t

k

2

L

2

_(a,b;V

′

₎

.

On a aussi

Théorème 2.16. [Chi00℄ Soit

u

∈ H

1

_{(a, b; V, V}

′

₎

. Alors

u

peut être identié ave une fon tion ontinue sur

[a, b]

à valeur dans

H

. De plus

H

1

(a, b; V, V

′

) ֒

_{→ C([a, b]; H)}

où

C([a, b]; H)

désigne l'espa e des fon tions ontinues sur

[a, b]

à valeurs dans

H

muni de la topologie de la onvergen e uniforme sur

[a, b]

. Aussi

Théorème 2.17. [Chi00℄ Si

u

∈ H

1

_{(a, b; V, V}

′

₎

, alors pour tout

v

∈ V

d

dt

(u(.), v) =< u

t

(.), v >

in

D

′

_{(a, b).}

Lemme 2.18. lemme de Gronwall uniforme Soit

g, h

et

y

telles que

g, h, y, y

′

_{∈ L}

1

loc

(R

+

).

On suppose que

y

′

≤ gy + h, ∀t ≥ t

0

et que

Z

t+r

t

g(s) ds

_{≤ a}

1

,

Z

t+r

t

h(s) ds

_{≤ a}

2

,

et

Z

t+r

t

y(s) ds

_{≤ a}

3

ave

t

≥ t

0

où

t

0

et

r > 0

sont xés.Alors

y(t + r)

_{≤ (}

a

3

r

+ a

2

)exp(a

1

),

∀t ≥ t

0

.

On désignera dans tout e quisuit par

H

un espa e de Bana h(dans ertain as nous prendrons

H = L

2

_(Ω)

) et

S(t)

déni par

S(t) : H

→ H

ave

t

≥ 0

un semi groupe.

Dénition 2.19. On suppose que

f

∈ L

2

_(Ω)

et que

β

0

est une partie bornée de

L

2

_(Ω)

. On dit que

β

0

est un ensemble borné absorbant pour l'équation (1.4) si

∀B ∈ L

2

_(Ω)

borné il existe un

t

0

= t

0

(B)

tel quepour tout

t

≥ t

0

S(t)B

_{⊂ β}

0

.

Dénition 2.20. Soit

u

0

∈ H

on appelle ensemble

ω

limite de

u

0

l'ensemble noté

ω(u

0

)

(s'ilexiste) déni par

ω(u

0

) =

\

s≥0

[

t≥s

S(t)u

0

De même si

B

⊂ H

alors

ω(B) =

\

s≥0

[

t≥s

S(t)B.

Proposition 2.21. On suppose que

B

∈ H

et

∃t

0

tel que

\

t≥t

0

[

S(t)B

est

Dénition 2.22. On dit quel'on peut asso iéun attra teur global

A

à

S(t)

si

S(t)

est ompa t, non vide, invariant et attire tous les bornés de H.

Proposition2.23. Si

S(t)

vérie lapropriété :

∀B ⊂ H

borné,

∃t

0

= t

0

(B)

tel que

\

t≥t

0

[

S(t)B

est relativement ompa t, alors

S(t)

est uniformément ompa tpour

t

grand.

Théorème2.24. Onsupposeque

S(t)

admetunborné absorbant

B ⊂ H

etque

S(t)

est uniformément ompa t pour

t

grand. Alors

A = w(B)

est non vide, ompa t, invariant et attire les bornés de

H.

Problème stationnaire asso ié

Onsupposeque

f

∈ H

−1

_(Ω)

ledualde

H

1

0

(Ω)

.Parproblèmestationnaireasso ié, onentend i i leproblème suivant : trouver un

u = u(x)

tel que

(

−div(a(l

r

(u))

∇u) = f dans Ω

u = 0

sur ∂Ω

(3.1)

où

l

r

est dénie par

l

r

(u)(x) =

R

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y)dy

. On suppose

r

∈ R

+

et que

g

_{∈ L}

2

_(Ω).

Sous saforme faible

u

est don la solutiondu problème

(

u

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(u))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω)

(3.2)

où<.,.>désignele ro het dedualitéentre

H

−1

_(Ω)

et

H

1

0

(Ω)

.Onsupposeradeplus que

a

est telle que

a : R

−→]0, ∞[ est continue

(3.3)

0 < m

_{≤ a(ǫ) ≤ M ∀ǫ ∈ R.}

(3.4)

1 Quelques résultats d'existen e et uni ité

Théorème 3.1. (Existen e)Soit

Ω

un ouvertborné de

R

n

,

a

une fon tion ontinue

de

R

dans

(0, +

∞)

tel qu'il existe deux onstantes m,M tel que

0 < m

≤ a(ǫ) ≤ M ∀ǫ ∈ R

et

g

∈ L

2

_(Ω).

Pourtout

r

∈ [0, diam(Ω)]

,

r

xéleproblème(3.2)admetunesolution

u

_{∈ H}

1

0

(Ω).

Démonstration. Pour démontrer e théorème nous allons utiliser la méthode du point xede S hauder. On saitquepour tout

w

∈ L

2

_(Ω)

le problème

(

u

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(w))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω),

(3.5)

admet une unique solution (théorème de Lax-Milgram) d'où l'existen e de

u =

T

r

(w).

Prenons

φ = u

dans (3.5) il vient que

Z

Ω

a(l

r

(w))

|∇u|

2

dx =< f, u > .

(3.6) (3.4) et (3.6) nous donne

m

kuk

2

V

≤ |f|

⋆

kuk

V

où nous avons posé

V = H

1

0

(Ω)

et

kuk

2

V

=

Z

Ω

|∇u|

2

_dx

et

|.|

⋆

lanorme de

H

−1

_(Ω)

ave

|f|

⋆

= sup

u6=0

u∈H1

₀

(Ω)

| < f, u > |

kuk

V

.Il vient que

kuk

V

≤

|f|

⋆

m

.

(3.7)

Ce quifait que

|u|

2

≤

h(Ω)

|f|

⋆

m

= C,

(3.8) où

|u|

2

2

=

R

Ω

|u(x)|

2

_dx

et

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré Sobolev 'est-à-dire

|u|

2

≤ h(Ω) kuk

V

.

(3.9)

En posant

B =

{v ∈ L

2

_(Ω),

_|v|

2

≤ C}

,il est lair que l'appli ation

w

_{−→ u = T}

r

(w)

est uneappli ationde

B

dansluimême.De plus(3.7)nousmontreque

u

appartient à un bornéde

H

1

0

(Ω)

qui est relativement ompa t dans

L

2

_(Ω)

, d'où

T

r

: L

2

(Ω)

−→ L

2

(Ω) est compact

w

_{−→ T}

r

(w) = u.

(3.10)

Pourterminerlapreuveilsutquenousmontrionsque

T

est ontinue.Soit

w

n

∈ B

tel que

w

n

−→ w dans B.

(3.11)

Posons

u

n

= T (w

n

)

lasolutionde(3.5) 'est-à-direque

u

n

estlasolutionduproblème

(

u

n

∈ H

0

1

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(w

n

))

∇u

n

∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

0

1

(Ω

l

).

(3.12)

D'après (3.7),(3.8)et(3.11)onpeutextraire dessous suitesquel'on renommeraen indi es

n

tel que



w

n

−→ w p.p dans Ω

,



∇u

n

⇀

∇u dans L

2

_(Ω)

,



u

n

−→ u dans L

2

_(Ω)

Ce qui fait que

l

r

(w

n

)

−→ l

r

(w)

n→∞

p.p Ω.

En eetona

|l

r

(w

n

)(x)

− l

r

(w)(x)

| ≤

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)||w

n

(y)

− w(y)|dy

≤ |g|

2

|w

n

− w|

2

.

(3.13)

Ce qui montre bien que

l

r

(w

n

)

−→ l

r

(w)

n→∞

p.p Ω.

D'où

a(l

r

(w

n

))

∇v −→ a(l

r

(w))

∇v dans L

2

(Ω)

(3.14)

∇u

n

⇀

∇u dans L

2

(Ω).

(3.15)

Avant de passer à lalimite nous énonçons un lemmeintéressant

Lemme 3.2. [Chi00℄ Soit

H

un espa e de Hilbert et

x

n

et

y

n

deux suites tels que

x

n

⇀ x,

y

n

−→ y

alors on que

lim

n→∞

(x

n

, y

n

) = (x, y).

Démonstration. On a que

|(x

n

, y

n

)

− (x, y)| = |(x

n

− x, y) + (x

n

, y

n

− y)| ≤ |(x

n

− x, y)| + |x

n

||y

n

− y|,

en y ajoutant le fait que

x

n

⇀ x

pour le premier terme, et que

x

n

est borné dans

H

,on obtient lerésultat.

Revenons maintenant à la preuve du théorème3.1. En passant à la limite dans (3.12),en utilisant (3.14),(3.15) et lelemme3.2onobtient

Z

Ω

a(l

r

(w))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

0

1

(Ω

l

).

Ce qui montre que

u = T

r

(w)

. Nous avons montré que

u

n

−→ u

dans

H

1

0

(Ω)

faiblement (vrai pour une suite extraite) montrons que 'est en fait toute la suite qui onverge. Soit

u

nk

une autresuite extraitetel que

u

nk

−→ ˜u dans L

2

(Ω)

(3.16)

∇u

nk

⇀

∇˜u dans L

2

(Ω).

(3.17)

En ombinant (3.16), (3.17) et le lemme3.2 et en utilisant le même raisonnement quepré édemment il vientque

lim

n→∞

Z

Ω

a(l

r

(w

n

))

∇u

nk

∇φdx =

Z

Ω

a(l

r

(w))

∇˜u∇φdx.

Cequimontreque

u

˜

estaussi solutionde(3.5).Grâ eàl'uni itéde (3.5)on on lut

que

u = ˜

u

, e qui montre bien que,

u

n

a pour unique limite possible

u = T

r

(w)

, et

Dans e qui va suivre nous examinons une propriété pour laquelle nous avons l'uni ité. Nous ommençons par examiner un as modèle lorsque

g

≡ 1

. On a le résultat suivant:

Proposition3.3. (Uni ité)Onprend

g

≡ 1

. Onsupposetoujours que(3.4)et(3.3) sont vériées. Si de plus

a

est tel que

|a(z

1

)

− a(z

2

)

| ≤ γ|z

1

− z

2

|

∀(z

1

, z

2

)

∈ R

2

,

(3.18)

pour tout

γ

tel que

|f|

⋆

γ <

m

2

|Ω|

1/2

_h(Ω)

,

(3.19)

où

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré Sobolev et

|Ω|

la mesure de

Ω

. Alors le problème(3.2) admet une unique solution.

Démonstration. L'existen e est donnée par le théorème3.1. Si

u, v

sont deux solu-tions de l'équation(3.2), il vientque

Z

Ω

(a(l

r

(u))

∇u − a(l

r

(v))

∇v)∇φdx = 0

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.20)

De plus on saitque

a(l

r

(u))

∇u − a(l

r

(v))

∇v = (a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u + a(l

r

(v))

∇(u − v),

(3.21)

(3.20) et(3.21) nous donne bien

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u∇φ + a(l

r

(v))

∇(u − v)∇φdx = 0

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.22)

Si onprend

φ = u

− v

dans (3.22)on a que

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx =

−

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u∇(u − v)dx

(3.23)

d'où

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx

≤

Z

Ω

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx.

(3.24)

Il est lair que

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

| ≤ γ|l

r

(u

− v)|,

(3.25)

de plus

|l

r

(u)(x)

| ≤

Z

B(x,r)∩Ω

|u(y)|dy.

(3.26)

En appliquant l'inégalitéde Cau hy-S hwarz à(3.26) onobtient

|l

r

(u(x))

| ≤ |Ω|

1/2

h(Ω)

kuk

V

,

(3.27)

où bien sûr

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré Sobolev et

|Ω|

la mesure de

Ω

. De (3.25) et(3.27) on aque

en ombinant(3.28) et(3.24) ona

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx

≤ γ|Ω|

1/2

h(Ω)

ku − vk

V

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx.

(3.29)

De l'inégalitéde Cau hy-S hwarz dans (3.29) et(3.4) il résulteque

m

_{ku − vk}

2

_V

_{≤ γ |Ω|}

1/2

h(Ω)

_{ku − vk}

2

_V

_kuk

V

(3.30)

Enutilisantle faitque

kuk

V

≤

|f|

⋆

m

,

(voir (3.7)) onobtient que

m

ku − vk

2

V

≤ γ |Ω|

1/2

h(Ω)

|f|

⋆

m

ku − vk

2

V

,

d'où si

u

6= v

, ona

m

2

_{≤ γ |Ω|}

1/2

h(Ω)

_|f|

⋆

.

Il sut don de prendre pour nir

|f|

⋆

γ <

m

2

|Ω|

1/2

_h(Ω)

pour avoir

u = v.

Ce qui terminela preuve.

De manière plus générale nous avons le résultatsuivant :

Proposition 3.4. On suppose que

g

∈ L

2

_(Ω)

. On suppose toujours que (3.4) et (3.3) sont vériées. Si de plus

a

est tel que

|a(z

1

)

− a(z

2

)

| ≤ γ|z

1

− z

2

|

∀(z

1

, z

2

)

∈ R

2

,

(3.31)

pour tout

γ

tel que

|g|

2

|f|

⋆

<

m

2

γ h(Ω)

,

(3.32)

où

h(Ω)

est la onstante de Poin aré-Sobolev. Alors le problème(3.2) admet une unique solution.

Démonstration. Commepré edemmentsoient

u, v

deuxsolutionsdel'équation(3.2). On avaitd'après (3.24)que

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx

≤

Z

Ω

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx.

(3.33)

Commepar hypothèse

et qu'en appliquant lesinégalitéde Cau hy-S hwarz etde Poin aréSobolev ona

|l

r

(u)(x)

| ≤ |g|

2

h(Ω)

kuk

V

,

(3.34)

ave

h(Ω)

désignant la onstante de Poin arré, il dé ouleque

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

| ≤ γ|g|

2

h(Ω)

ku − vk

V

.

(3.35)

En ombinant (3.33),(3.35) eten y adjoignant (3.4) ona

m

_{ku − vk}

2

_{≤ γ |g|}

2

h(Ω)

ku − vk

2

V

kuk

V

,

(3.36)

puis en utilisant lefait que

kuk

V

≤

|f|

⋆

m

,

on obtient

m

_{ku − vk}

2

V

≤ γ |g|

2

h(Ω)

|f|

⋆

m

ku − vk

2

V

,

e quidonne

u = v

ou

m

2

_{≤ γ |g|}

2

h(Ω)

|f|

⋆

.

Il sut don de prendre pour nir

|f|

⋆

|g|

2

<

m

2

γ h(Ω)

pour avoir

u = v.

Ce qui terminela preuve.

2 Continuité de la solution

u

r

Nousdonnons i i un résultatde ontinuité ausens que si

r

et

s

sonttrès pro hes alors

u

r

et

u

s

restent eux aussi très pro hes. Comme dans le as de l'uni ité nous ommençons par un as modèle lorsque

g

≡ 1

. On a le résultatsuivant :

Proposition 3.5. On suppose que

g

≡ 1

et que les hypothèses de la proposition3.3 sont toujours vériées 'està dire que (3.4), (3.18) et (3.19). Alors l'appli ation

G : [0, diam(Ω)]

_{→ H}

₀

1

(Ω)

r

_{→ G(r) = u}

r

est ontinue, ave

u

r

la solution de (3.2). Démonstration. Soit

u

la solutionsdu problème

(

u

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(u))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω)

(3.37) et

v

lasolution du problème

(

v

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

s

(v))

∇v∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω)

(3.38)

ave

s

et

r

appartenant à

[0, diam(Ω)]

. (3.37) et(3.38) nous donnent

Z

Ω

(a(l

r

(u))

∇u − a(l

s

(v))

∇v)∇φdx = 0

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.39)

Comme

a(l

r

(u))

∇u − a(l

s

(v))

∇v =(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u + (a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

∇u

+ a(l

s

(v))

∇(u − v).

(3.40)

En ombinant(3.39) et(3.40) puis en prenant

φ = u

− v

on aque

Z

Ω

a(l

s

(v))

|∇(u − v)|

2

dx =

−

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u∇(u − v)dx

−

Z

Ω

(a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

∇u∇(u − v)dx

(3.41)

(3.41) et(3.4) nous donnent

m

_{ku − vk}

2

_V

_≤

Z

Ω

|(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx

+

Z

Ω

|(a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx,

(3.42)

ilest aisé de voir en utilisant (3.27)que

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

| ≤ γ|Ω|

1/2

h(Ω)

ku − vk

V

(3.43)

ilnous resteà majorerl'expression

|a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

|.

Par hypothèse sur

a

onsaitque

|a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

| ≤ γ |l

r

(v)

− l

s

(v)

|.

De plus

|l

r

(v)(x)

− l

s

(v)(x)

| =









Z

B(x,r)∩Ω

v(y)dy

−

Z

B(x,s)∩Ω

v(y)dy









.

Ce qui fait que

|l

r

(v)

− l

s

(v)

| =









Z

Ω

1

B(x,r)

(y)v(y)dy

−

Z

Ω

1

B(x,s)

(y)v(y)dy









,

où

1

A

(y)

est déni par

1

A

(y) =

(

1 si y

_{∈ A}

0 si y

_{6∈ A,}

etdon en utilisantl'inégalitéde Cau hy-S hwarz

|l

r

(v)

− l

s

(v)

| ≤

 Z

Ω

|1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

|

2

dy



1

₂

h(Ω)

kvk

V

(3.44)

On saitque

|1

A

− 1

B

|

2

= 1

2

A

+ 1

2

B

− 2 1

A

1

B

= 1

A

+ 1

B

− 1

A

1

B

− 1

A

1

B

= 1

A∪B

− 1

A∩B

,

et don lorsque

B

⊂ A

|1

A

− 1

B

|

2

= 1

A

− 1

B

.

(3.45)

De mêmeon saitqu'en dimension

n

l'expression du volumed'une boule de rayon

R

est donnée pour

n

pair (

n = 2p

)par

v

n

= 2 V

2p

=

π

p

p!

R

2p

_,

et pour

n

impair (

n = 2p

− 1

) par

v

n

= 2 V

2p−1

=

2

2p−1

_(p

_{− 1)!π}

p−1

(2p

− 1)!

R

2p−1

_.

Si on suppose sans perte de généralité que

B(x, s)

⊂ B(x, r)

, en utilisant (3.45) il vientque

Z

Ω

|1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

|

2

dy =

Z

Ω

(1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

)dy.

En y adjoignant lerésultat sur le volume de laboule on a

Z

Ω

|1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

|

2

dy

≤ k |r

n

− s

n

|

(3.46) où

k

est une onstantedépendant de

n

. (3.44) et(3.46) nous donnent

|l

r

(v)

− l

s

(v)

| ≤ k

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

kvk

_V

(3.47) d'où

|a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

| ≤ γ k

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

kvk

_V

.

(3.48) (3.42), (3.43) et(3.48) nous donnent

m

_{ku − vk}

2

_V

_≤γ|Ω|

1/2

h(Ω)

_{ku − vk}

V

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx

+ γk

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

kvk

_V

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx.

(3.49)

En utilisant (3.7) etl'inégalitéde Cau hy-S hwarz sur le membre de droite ona

m

_{ku − vk}

2

V

≤ γ|Ω|

1/2

h(Ω)

|f|

⋆

m

ku − vk

2

V

+ γk

1

2

|r

n

− s

n

|

2

1

h(Ω)

|f|

2

⋆

m

2

ku − vk

V

,

(3.50) et aussi

(m

_{− γ|Ω|}

1/2

h(Ω)

|f|

⋆

m

)

ku − vk

2

V

≤ γk

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

|f|

2

⋆

m

2

ku − vk

V

.

(3.51)

Il résulte de (3.19) et l'inégalitéde Young que

1

2

(m

− γ|Ω|

1/2

_h(Ω)

|f|

⋆

m

)

ku − vk

2

V

≤

γ

2

_k

_|r

n

_{− s}

n

_{| h(Ω)}

2

_|f|

4

⋆

2m

3

_(m

2

_{− γ|Ω|}

1/2

_h(Ω)

_|f|

⋆

)

.

(3.52)

Nous donnons une généralisationde laproposition3.5.

Théorème 3.6. On suppose que

g

∈ L

2

_(Ω)

et que les hypothèses du théorème3.4 sont toujours vériées 'est à dire que (3.3), (3.4)(3.31) et (3.32). Alors l'appli a-tion

G : [0, diam(Ω)]

→ H

1

0

(Ω)

r

→ G(r) = u

r

est ontinue, ave

u

r

la solution de (3.2).

Démonstration. Pour faire la preuve de e théorème nous avons besoin du lemme suivant

Lemme 3.7. On suppose que

g

∈ L

2

_(Ω)

et que (3.3), (3.4), (3.31) et (3.32) sont vériées. Pour

s, r

∈ [0, diam(Ω)]

on a que

u

et

v

désignent respe tivement les solutions de

(

u

∈ H

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(u))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

0

1

(Ω)

(3.53) et de

(

v

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

s

(v))

∇v∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω).

(3.54) Alors on a que

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| ≤ |g|

2

(h(Ω)

ku − vk

V

+ C

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kvk

V

),

(3.55)

ave

h(Ω)

désignant la onstante de Poin aré-Sobolev,

C

une onstante dépendant de

Ω

et de

n

et

β(n)

déni par

β(n) =











2 si n = 1

3 si n = 2

n

si n

≥ 3.

Démonstration. On a que

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| =









Z

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y)dy

₋

Z

B(x,s)∩Ω

g(y)v(y)dy









,

e qui fait, quesi

s > r

, ona

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| ≤

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)(u − v)(y)|dy +

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy.

(3.56) Enisolant lepremier termedu membre de droite eten luiappliquant l'inégalitéde Cau hy-S hwarz ona que

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)(u − v)(y)|dy ≤ (

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)|

2

_dy)

1/2

_{|u − v|}

2

,

(3.57)

e quidonne bien en utilisantl'inégalitéde Poin aré-Sobolevque

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)(u − v)(y)|dy ≤ h(Ω)kgk

2

ku − vk

V

,

(3.58)

où

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré.Etudions maintenant le deuxième terme du membrede droitede l'inégalité(3.56).Pour ela supposonspour ommen erque

n = 1

,

n

étant bien sûr ladimension de

Ω

.Dû à l'inje tion ontinue de

H

1

0

(Ω)

dans

C(Ω)

on aque

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ C

1

kvk

V

Z

Ω

1

B(x,s)\B(x,r)

(y)

|g(y)|dy,

(3.59)

où

C

1

est telle que

k.k

∞

≤ C

1

k.k

V

.Ainsi en utilisantl'inégalitéde Cau hy-S hwarz

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ C

1

kvk

V

|g|

2

|2r − 2s|

1/2

.

(3.60)

Pour

n = 2

onprend

p = 6.

Pour

n

≥ 3

, onpose

p =

2n

n−2

.En utilisantl'inégalitéde Hölder on aque

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤

 Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)|

p

′

dy



1/p

′

|v|

p

,

(3.61) ave

|v|

p

p

=

R

Ω

|v(y)|

p

_dy

et

1

p

+

1

p

′

= 1.

En utilisant l'inje tion de Sobolev de

H

1

0

(Ω)

dans

L

p

_(Ω)

ona que

|v|

p

≤ C

2

|∇v|

2

.

(3.62)

Si onutilise de nouveau l'inégalitéde Hölder ave

q := 2/p

′

, ilvient

 Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)|

p

′

dy



1/p

′

|v|

p

≤

C

2

 Z

Ω

|g(y)|

2

_dy



1/q

|B(x, s)\B(x, r)|

1/q

′



1/p

′

|∇v|

2

,

(3.63) ave

1

q

+

1

q

′

= 1.

D'où

 Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)|

p

′

dy



1/p

′

|v|

p

≤

C

2

 Z

Ω

|g(y)|

2

dy



1/2

|B(x, s)\B(x, r)|

1/q

′

p

′

|∇v|

2

,

(3.64)

Commelamesure

|B(x, r)|

de

B(x, r)

estégaleà

c

n

r

n

,l'inégalité(3.63)devientalors

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ c

1/q

′

_p

′

n

C

2

 Z

Ω

|g(y)|

2

_dy



1/2

|s

n

_−r

n

_|

1/q

′

_p

′

kvk

V

.

(3.65)

D'où

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

g(y)v(y)dy

≤ c

1/q

′

_p

′

n

C

1

|g|

2

|s

n

− r

n

|

1/q

′

_p

′

kvk

V

.

(3.66) En utilisant (3.60) lorsque

n = 1

et en vériant que lorsque

n = 2

,

p

′

_q

′

_{= 3}

et que pour tout

n

≥ 3

,

p

′

_q

′

_{= n}

onobtient

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ c

1/β(n)

n

C

2

|g|

2

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kvk

V

,

(3.67) où

β(n)

est déniede lafaçonsuivante

β(n) =











2 si n = 1

3 si n = 2

n si n

≥ 3.

(3.68)

(3.58) et(3.67) nous donnebien

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| ≤ |g|

2

(h(Ω)

ku − vk

V

+ c

n

1/β(n)

C

1

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kvk

V

).

(3.69) Ce qui a hève lapreuve du lemme.

Revenons à la preuve de notrethéorème. En utilisant(3.39) et(3.40) ona

Z

Ω

(a(l

s

(v))

∇(u − v)∇φ = −

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

s

(v)))

∇u∇φdx

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.70) Enprenant

φ = u

− v

dans (3.70), (3.4) et(3.31) il vientque

m

_{ku − vk}

2

_V

_{≤ γ|l}

r

(u)

− l

s

(v)

|

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx,

(3.71)

eten appliquantl'inégalité de Cau hy-S hwarz ona

m

_{ku − vk}

2

_V

_{≤ γ|l}

r

(u)

− l

s

(v)

|kuk

V

ku − vk

V

.

(3.72)

Enutilisantle lemme3.7et(3.72) ilrésulte que

m

ku − vk

2

V

≤γ|g|

2

( h(Ω)

ku − vk

2

V

kuk

V

+ c

1/β(n)

n

C

1

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kuk

V

kvk

V

ku − vk

V

).

(3.73)

Ainsi(3.73) et(3.7) nous donne



m

_{− γ|g|}

2

h(Ω)

|f|

⋆

m



ku − vk

2

V

≤ c

1/β(n)

n

C

2

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

|f|

2

⋆

m

2

ku − vk

V

.

(3.74)



m

_{− γ|g|}

2

h(Ω)

|f|

⋆

m



ku − vk

V

≤ c

1/β(n)

n

C

2

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

|f|

2

⋆

m

2

.

(3.75)

3 Cas où '

a

' est roissante et

r = diam(Ω

) On a que:

Proposition 3.8. On suppose que

f

∈ H

−1

_(Ω)

,

f

≥ 0

,

g

∈ L

2

_(Ω)

,

g

≥ 0

et de plus que les onditions (3.3) et (3.4) sont satisfaites. Si

a

est roissante alors pour

r = diam(Ω)

leproblème (3.2) admet une unique solution.

On ommen e par rappeler quela ondition

f

∈ H

−1

_(Ω)

,

f

≥ 0

signie que

< f, φ >

_H

−1

_,H

1

0

≥ 0 ∀φ ∈ H

1

0

(Ω), φ

≥ 0.

Pour fairela preuve de ette propositionnous avons besoin du lemmequi va suivre dû àM.Chipotet B.Lovat [eBL01℄. Soit

φ

la solutionfaible du problème

(

−∆φ = f

dans Ω

φ

∈ H

1

0

(Ω),

(3.76)

il est lair en utilisant le théorème de Lax-Milgram que le problème (3.76) admet une unique solution.Nous rappelons quela solution

φ

du problème (3.76)qui vient d'être onstruit est elle quivanous servir dans lelemme qui suit.

Lemme 3.9. [Chi00℄Pour

r = diam(Ω)

leproblème (3.2) admet lemême nombre de solutions que le problème dans

R

suivant :

a(µ)µ = l(φ)

(3.77)

où

l(φ) =

R

Ω

g(y)φ(y)dy.

Démonstration. Soit

u

une solutiondu problème (3.1), omme

r = diam(Ω)

ilvient

que

l

r

(u) = l(u)

.Cequientraineque

a(l(u))

estune onstante.Lapremièreéquation

de (3.1) peut don s'é rire

−∆(a(l(u))u) = f dans Ω.

(3.78)

Dû à l'uni ité,en identiant(3.76) et(3.78) on aque

a(l(u))u = φ,

(3.79)

l

étant linéaire en appliquant

l

des deux otés de l'égalité onobtient

a(l(u))l(u) = l(φ).

(3.80)

Ce quimontre bien que

l(u)

∈ R

est bien solutionde (3.77).

Ré iproquement, soit

µ

une solutionde (3.77) alors puisque

a(µ)

6= 0

, il existe une unique solution faibleauproblème

(

−a(µ)∆u = f dans Ω

u

∈ H

1

0

(Ω).

(3.81)

Dû à l'uni itédes problèmes (3.76) et (3.81) ilvient que