Équations différentielles sur un corps de fonctions algébriques

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

A

LAIN

S

ALINIER

Équations différentielles sur un corps de

fonctions algébriques

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{1 (1999),}

p. 231-246

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1999__11_1_231_0>

© Université Bordeaux 1, 1999, tous droits réservés.

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Équations

différentielles

sur un

_corps

de

fonctions

algébriques

par ALAIN SALINIER

RÉSUMÉ. On étend une _partie de la théorie de la structure de

Frobenius faible des _équations différentielles

_p-adiques

au cas où

les coefficients sont des fonctions

_{algébriques.}

ABSTRACT. The

_theory

of the weak Frobenius structure

_{of p-adic}

differential

_equations

is

_partially

extended to the case of

differen-tial _equations with

_algebraic

functions as coefficients.

La structure de Frobenius des

_équations

différentielles

_p-adiques

est un

outil fondamental dans l’étude de ces

équations,

traitée sur divers _espaces de

fonctions

_p-adiques.

En

_particulier,

la théorie de la structure de Frobenius faible consiste à établir que le foncteur dit de Frobenius est une

équivalence

de la

_catégorie

des modules différentiels solubles sur elle-même. Ce résultat a été établi en

_particulier

sur

l’espace

des éléments

analytiques

dans le

disque

générique

~4~.

On se _propose ici d’établir des résultats

_analogues

à ceux

_qui

consti-tuent cette théorie de la structure de Frobenius

_faible,

dans le cas où les

équations

ont des coefficients dans un _corps d’éléments

algébriques,

c’est-à-dire dans le

_complété

d’un _corps de fonctions

_algébriques

relativement à une

valeur absolue

_p-adique.

Une telle

_{généralisation}

doit

_pouvoir

en

particulier

être utilisée _{pour tester} les

_conjectures

de Dwork et Bombieri sur certaines

équations

différentielles

_qu’on

n’a pas su traiter

jusqu’à

_présent.

De

_façon

_précise,

les résultats _que nous

_présentons

ici concernent deux

aspects

de la structure de Frobenius faible : d’une part, l’étude de la

_pleine

fidélité du foncteur de

_Frobenius,

d’autre

_part

un théorème "d’invariance"

qui

prouve que ce foncteur de Frobenius est

_indépendant

dans une certaine mesure de

_{l’endomorphisme}

de Frobenius utilisé pour sa définition. Le

troisième _aspect de la structure de Frobenius

_faible,

à savoir le

_problème

de

la descente _par Frobenius des modules

_{différentiels,}

fera

_l’objet

d’une étude ultérieure.

Un _aspect

_important

du

_présent

travail est

_qu’il

ne se limite pas au fonc-teur de Frobenius au sens

_strict,

mais

_qu’il

s’efforce aussi de traiter des

que, si on se

place

_par

_exemple

sur un _corps de fonctions

elliptiques,

il _y a

des

_{endomorphismes}

de

_{multiplication}

_plus

naturels _que le

_changement

de variable

_qui

sert à définir

_{l’endomorphisme}

de Frobenius. Dans ce

_but,

la

première

section est consacrée entiérement à ces

changements

de variable.

1. CHANGEMENTS DE VARIABLE

1.1. Définitions et

_rappels.

Soit

_{(A, OA)}

et deux anneaux

dif-férentiels

_{(c’est-à-dire}

des anneaux unifères commutatifs munis d’une

déri-vation).

On

_{appelera changement}

de variable de A dans B tout

_morphisme

d’anneaux

_{unifères 0 :}

A e B tel _que

pour tout a de

4, -y

étant un élément inversible de B.

Quand -y

=

1,

_on dit

que 0

est un

morphisme

d’anneaux différentiels ou encore un

_morphisme

horizontal.

A

_partir

de l’anneau différentiel

_{(A, BA),}

on construit un anneau

d’opéra-teurs

_{différentiel}

noté

_{A[x; BA],}

_qu’on

peut

définir comme l’anneau unifère

pointé

(c’est-à-dire

muni d’un élément

_distingué,

ici noté

_x)

_{représentant}

le foncteur

_qui

à tout anneau unifère

_pointé

(C, x)

associe l’ensemble des

morphismes

horizontaux de

_{(A, âA)}

dans l’anneau différentiel

_(C,

_{lx, -])}

où

[x, -]

est la dérivation intérieure de C associée à x. En

particulier,

on sait

qu’il

existe un

morphisme injectif

de A dans

A[x; 8A]

qui

_permet

de définir sur

A[x; OA]

deux structures de A-modules. Pour l’une ou l’autre de ces

deux _structures,

_{A[x; aA]}

est un A-module libre de base

Soit 0

un

_changement

de variable de

(A, ÔA)

dans

(B, ÔB)

avec A et B

commutatifs. Notons C =

A[x; âAJ

et D =

B[y; aB].

La définition même de

l’anneau

_A~x;

_OA]

_permet

de

_{prolonger 0}

en un

morphisme,

également

noté

0,

de C dans D en

_posant

où _{-y est} l’élément inversible de B satisfaisant la relation

_(1).

A l’aide de ce

morphisme 0

ainsi

prolongé,

on _peut définir sur D une

structure de C-module à droite et une structure de C-module à

_gauche.

Lorsqu’il

sera utile de

distinguer

ces deux

_structures,

nous les noterons

respectivement Dr

et

_Dl.

1.2.

_Changement

de variable dans les

_équations

différentielles.

Re-prenons les notations

précédentes.

On va définir un

f oncteur changement

de variable de la

_catégorie

des C-modules à

_gauche

dans la

_catégorie

des

D-modules à

_gauche.

Cette définition n’est

_qu’un

cas

particulier

de la

construc-tion bien connue sous le nom d’ extension des scalaires

[2,

_Chapitre

_{II, g5,}

Définition 1.

_{Soit 0}

un

changement

de variable de

(A, âA)

dans

(B, aB)

avec A et B commutatifs. On pose C =

A[x; aA]

et D =

B [y; aB~.

Le

foncteur

_changement

de variable

_0*

défini

_{par 0}

est le foncteur

_qui

au

C-module à

_gauche

M associe le D-module à

_gauche

_0’(M)

=

Dr

_0c M _et

à

_{l’application}

C-linéaire u :

M2

entre C-modules à

_gauche

associe

l’application

D-linéaire

_{0* (u)}

=

IdD 0

_u.

1.3. Transfert.

Définition 2. Soient

_(A,,9A)

et deux anneaux différentiels

commu-tatifs.

_{Soit 0}

un

changement

de variable de A dans

B, prolongé

_par

l’égalité

(2)

en un

_morphisme

de C =

A[x; OA]

dans D =

B[y; aB].

On

_appelle

0-transfert

toute

_{application Q}

C-linéaire à

_gauche

et à droite de D dans C telle _que C A et est inversible dans A.

On remarque que si est un

0-transfert,

la double linéarité de ce transfert

implique

que si

c E C et d E D sont tels _que

_0(c)

et d commutent dans

_D,

alors c et commutent dans C. En

_particulier,

doit commuter à tout élément de C et est donc un élément de A dont la dérivée est nulle.

Supposons

que 0

est un

changement

de variable de A dans

B,

prolongé

par

l’égalité

(2)

en un

_morphisme

de C =

A[x; 8A]

dans D =

B[y; aB]

et

que

l’application Q :

: D --7 C est un

0-transfert.

Soit M un C-module à

gauche.

Nous définissons alors la

_{9-contraction}

coM comme

_{l’application}

C-linéaire du C-module à

_gauche

_sous-jacent

à

_{0* (M)}

=

Dr

_0c M dans M

définie _par

pour tout d E D et pour tout m E M. La collection de ces

morphismes

come est un

_morphisme

du foncteur

~*

o

_0*

dans le foncteur identité de la

catégorie

des C-modules à

_gauche

_(ici,

la notation

_~*

_désigne

le foncteur de "restriction des scalaires"

_[2,

_Chapitre

_II,

_page

_30]

_qui,

à tout D-module à

gauche

N associe le C-module à

_{gauche ayant}

même _{groupe additif}

sous-jacent

que N et où les éléments de C

agissent

via le

morphisme

0).

Etant

donnés deux C-modules à

_gauche

Mi

et

_M2

et v une

application

D-linéaire

de dans

_{0* (M2),}

on

appelle

morphisme

contracté de v

l’application

C-linéaire

_W(v)

de dans

M2

telle que

pour tout m de

Ml.

On vérifie aisément _{que, pour} tout

_couple

_{(Ml, M2)}

de C-modules à

gauche,

on a la formule

pour toute

application

C-linéaire u de

Mi

dans

lVl2.

Ceci établit la

propriété

suivante.

Proposition

1. Soient

_{(A, âA)}

et

_{(B, âB)}

deux anneaux

_{différentiels}

com-mutatifs. Soit 0

un

changement

de variable de A dans

B,

prolongé

_par en un

morphismes

de C =

A[x;

dans D =

B[y; aB]

et tel

existe un

_0-transfert

_{1/J :}

D ~ C.

Alors le

_{foncteur changement}

de variable

_4&#x3E;*

est

_fidèle.

1.4. Cas

_particulier

d’un

_{endomorphisme}

de _corps. Dans ce

_{qui suit,}

on s’intéresse au cas où A et B sont

_égaux

à un _corps

K,

muni d’une dérivation a.

_{Alors §}

est un

endomorphisme

de K

(donc

en

_particulier

est

injectif).

On a C = D

et 0

_se laisse

prolonger

par la formule

(2)

en un

endomorphisme

de C. Si K est une extension finie de

§(K) ,

il existe une

application

trace de K dans

_{§(K) ,}

_qu’on

convient de noter tr. On définit alors

_{l’application ’ljJ :}

K - K _par la formule

pour tout élément a de K. En

particulier

(K : ~(K)).

Propriété

1.

_{L’application 0 vérifie}

l’identité

pour tous éléments a et b de K.

Preuve : Ceci résulte en effet facilement de la

O(K)-linéarité

de

l’application

tr. D

Propriété

2. Si l’extension

_KIO(K)

est

_galoisienne,

on a l’identité

pour tout élément a de K.

Preuve : Par définition de

_{l’application 0}

et

_grâce

à la formule

_(1),

la

formule à

_justifier

_équivaut

à

pour tout a E K. Utilisant

_{l’hypothèse}

que l’extension

K/§(K)

est

galoi-sienne,

on voit _que la formule

(9)

est elle-même

_conséquence

de la formule

pour tout a e K et tout

_{automorphisme}

Q de K laissant fixes tous les éléments de

_{§(K) .}

La formule

₍₁₀₎

_exprime

_{que les} dérivations 0 et

coïncident sur

_K,

ce

_{qui, puisque}

l’extension

K/§(K)

est

_algébrique

sépara-ble,

est vrai dès

_qu’elles

coïncident sur

§(K) .

Or la formule

(10)

est évidente

si a est élément de

_§(K),

car alors la formule

(1)

_{montre que}

’"’(-1

(0a)

est

Il est facile de voir _que la famille des

_puissances

_{(~y-1 x) ~}

de forme

une A-base de C _pour l’une ou l’autre de ses deux structures de A-module. On utilise cette _{remarque pour}

_{prolonger w}

en une

_application

de C dans

lui-même en

_posant

n 7E

L’identité

₍₈₎

_peut alors être utilisée pour démontrer que

l’application w

est

_{4&#x3E;( C)-linéaire}

aussi bien à

_gauche

_qu’à

droite. Par

_conséquent,

on a le

résultat suivant.

Proposition

2. Soit

_(K,

_a)

un _corps

différentiel

muni d’un

_changement

de K K tel que l’extensiorc

K/~(K)

soit

finie

et

galoisienne.

On _suppose en _{outre que} la

_{caractéristique}

de K ne divise _pas le

_degré

de K sur

(K).

Alors il existe un

0-transfert

de l’anneau C :=

K[x; 8]

dans

lui-même. En

_particulier,

le

_foncteur

de

_changement

de variable

_4&#x3E;*

est

fidèle.

2. PLÉNITUDE DU FONCTEUR CHANGEMENT DE VARIABLE

Plaçons-nous

maintenant dans le cas où A et B sont des anneaux

ultra-métriques

pour des valeurs absolues notées

1.1.

On supposera

qu’il

existe un

changement

de

_{variable 4&#x3E; :}

A B satisfaisant

_{l’égalité}

₍₁₎

et faisant de B un A-module libre

_ayant

une base finie

(1,

_{t2, ... ,}

tr)

telle que

où les

_{Àj (j}

=

2, ~ ~ ~ ,

r)

sont des éléments de A. On fera

_également

l’hypo-thèse de l’existence d’un

_{0-transfert e}

de D =

B[y;

dans C =

A[x; aA].

Soient _par ailleurs

Ml

et

_M2

deux C-modules à

_gauche

satisfaisant

l’hypo-thèse

(**)

M est un A-module normé où x E C

_agit

_par un

_opérateur

dont la norme est

₁

_pour

_{tout 3}

=

2, ... ,

_{r .}

Nous allons montrer que, sous ces

hypothèses,

l’application IF

définie _par

la formule

₍₄₎

est

_injective,

de sorte

_qu’on

a l’énoncé suivant.

Proposition

3. Soient A et B deux anneaux

ultramétriques et

A -B un

changement

de variable

satisfaisant l’égalité

(1)

et

faisant

de B un

A-module libre

_ayant

une base

finie

(1,

_{t2, ... ,}

tr)

telle

qu’on

ait la relation

(12).

On _suppose en outre l’existence d’un

0-transfert 0

de D =

B[y;

É9B]

dans C =

A[x; aA].

Alors le

_{foncteur changement}

de variable

_0*

est

_pleinement

_fidèle

de la

catégorie

des C-modules à

_{gauche satisfaisant}

la condition

_(**)

dans la

caté-gorie

des D-modules à

_gauche.

Lemme 1. Soient deux C-modules à

_gauche

Ml

et

_{M2 qui}

sont des A-modules normés. Soit le A-module

M3

=

structure de C-module à

_gauche

déterminée _par la dérivation.

_qui

à u :

_{Ml --7}

M2

associe u’ :

Ml --7

M2 défini

par

pour tout m E

_Ml.

Alors on a

l’inégalité

IIx/lM3 ::;

max(lIx/lMl’

Preuve : Posons S =

IIxIlM2).

Il

s’agit

simplement

de vérifier

qu’avec

la définition

_(13),

on a

lIu’lI

Silull.

Or,

_pour un

_quelconque

m E

_Mi,

on a

lIu’(m)11

d’où le

résultat. D

Lemme 2. Les _sous-groupes

_tj

0

M2

sont des sous-C-modules à

_gauche

de

~*(~*(MZ))

qui

sont en somme directe et dont la somme est

_{ø*(ø*(M2)).}

Preuve : Vérification facile. D

Démonstration de

_{l’injectivité}

de ~Y. Il suffit de _{montrer que} si _coM2 o

w =

0,

où w est _un

morphisme

C-linéaire de

Mi

dans

~*(~*(MZ)),

alors

w = 0

(compte

tenu de

_{l’injectivité}

de

_{l’application}

m H _10m

_qu’on

établit

en

_remarquant

_que la

_{Q-contraction}

donne à 1 0 m la valeur

Or,

d’après

le lemme

_2,

un tel

_morphisme

w

_peut

s’écrire de

_façon

_unique

sous

la forme

~=1

où _{les Wj} sont des

_applications

A-linéaires de

_Mi

dans

_M2.

Un facile cal-cul déduit de la C-linéarité de w et des formules

₍₁₂₎

et

₍₁₃₎

_que

_{wj =}

-Ajwj

pour j &#x3E; 2,

ce

_qui

en vertu du lemme

1,

implique, puisque

lajl

&#x3E;

max(llxl/Ml’

que wj = 0

pour 1 2,... ,

r. On a donc w = 10

W1

et _coM2 o _{w = 0} donne _{wl -} 0. D

3. CORPS D’ÉLÉMENTS

ALGÉBRIQUES

3.1. Résultats

_{préliminaires.}

On

_désigne

par E le corps des éléments

analytiques

dans le

_disque

_générique

de

_{(Cp ,}

muni de la valeur absolue

pro-longeant

la norme de Gauss. Le _corps résiduel de E est noté IE. Un _corps

d’élérrzents

_algébriques

est une extension finie de

E,

muni de

l’unique

valeur

absolue

_prolongeant

celle de E.

Théorème 1. Soit K une extension

_finie

de

_IE,

de _corps résiduel Alors

on a

[1k: IE

=

[K : Ej.

Preuve : Ceci vient

_[1,

_Proposition

_3.6.2.11]

de ce _que le _corps E est stable

[1,

Theorem

_{5.3.2.1 .}

D

Théorème 2. Soit K une extension

_finie

de E de

_degré

d. Si l’extension résiduelle JI(

_E

est

_{séparable, il}

existe dans K un élément v tel _{que :}

1) K = E(v) .

zz)

Pour toute suite

_(ao,

_{ai, ... ,}

_ad-1)

de d éléments de

_E,

on a

Preuve : Soit en effet U un élément

primitif

de l’extension résiduelle

qui

existe

_puisque

l’extension résiduelle est

_supposée

_séparable.

Il existe un

élément v de K

_qui

relève cet élément de Par le théorème

_1,

on voit que

d’où K =

IE(v).

Pour vérifier le

point

ii),

il suffit de considérer le _cas où = 1. Or dans _ce

cas, nous avons _{par passage} au _corps

~ ~

À 1

résiduel

_(en

effet le

_degré

de U sur E est d en vertu du

1 1 -. 1

théorème

_1).

Ceci

_signifie

_justement

que

3.2. Frobenius et dérivation.

~

Définition 3. Un

_{endomorphisme}

de Frobenius du _{corps K} est un

endo-morphisme

p du corps K tel que pour tout élément u de

K,

on ait

Nous savons

[4]

qu’il

existe des

endomorphismes

de Frobenius de E.

(1

D’autre

_part,

la dérivation - de

_Cp[t]

s’étend en une

_unique

dérivation

dt

continue de

_{E, qui}

admet elle-même un

unique

prolongement,

encore noté

2013,

en une dérivation de l’extension finie K de E. Nous nous intéresserons

dt

aux deux

_questions

suivantes :

.’

L’inégalité

est-elle vraie pour tout u de K et tout n de N ?

Question 2 :

Etant donné un

_{endomorphisme}

de Frobenius _p de

_E,

peut-on

l’étendre en un

endomorphisme

de Frobenius du _corps K ?

Nous allons voir _que la

_réponse

à ces deux

_questions

est

_positive

dès _que l’extension résiduelle K

_{1 lE}

est

_séparable.

3.3. Norme des

_puissances

de la dérivation. La

_réponse

_positive

à notre

_Question

1 se trouve essentiellement dans l’article

_[5]

de Dwork et

Robba.

_Cependant,

le lien entre leurs énoncés et notre

_problème

n’étant

pas entièrement

immédiat,

il nous a semblé intéressant d’écrire une

démon-stration

_{qui puisse}

se lire

_{indépendamment}

de leur article. L’idée centrale

de cette preuve, en fait

déjà présente

dans

[5],

est la considération d’un

certain anneau de séries formelles à coefficients dans II~.

Nous introduisons donc l’anneau W des séries entières formelles bornées dans le

_{disque générique :}

ses éléments sont les séries formelles

_anxn,

à coefficients éléments de telles que

~an~ Ç 1

pour tout entier n &#x3E; 0. On

remarque alors que W est un anneau local d’idéal maximal

Le _{corps résiduel}

_W/I

de W est

_isomorphe

au _corps résiduel

K,

comme on

le voit en considérant le

_morphisme

d’anneaux de W dans K

_qui

à la série

anXn

associe la classe résiduelle de ao dans

oc..

Lemme 3. Pour tout

_polynôme

P E

_W[Y]

et tout élément a de W tel _que

P(cY)

E I et

_P’(a)

_{I, il}

existe un

_unique

élérraent

_/3

de W tel _que

_P((3)

= 0

et

Preuve : On commence _par observer _{que, pour tout}

polynôme

Q

E

_W~Y~,

et

pour

tous q, 6

de

W,

l’élément

(,_~)2

de W divise

Q(~y)-Q(8)-(-y-~)Q’(b)

dans W

_(en

_fait,

ceci est vrai dans

_n’importe

_quel

anneau

commutatif).

On en déduit _que

_{si q}

E W est tel _{que a - y} est élément de

_I,

alors

_P(-y)

est

élément de I et

_P’(-y)

n’est pas élément de I.

Si donc il existait deux éléments distincts

₀₁

et

₀₂

de a + I tels que

P (,31 )

=

P(fl2)

=

_0,

alors

(/?2 -

(31)2

devrait diviser

({32 -

dans

l’anneau

_intègre

_W,

et donc

_{fl2 - (31}

devrait diviser ce

_qui

est

im-possible puisque

01 -

02 e I,

alors

_qu’on

vient de montrer _que

_{P’(~1) ~}

I.

Ceci montre l’unicité de l’éventuelle racine de P dans la classe modulo I de

a.

Pour montrer l’existence de cette

_racine,

nous sommes contraints de

passer par l’intermédiaire du suranneau

Wr

de W défini _pour un réel r

1[

[

comme l’anneau des séries entières

_anXn,

avec _{an E} K et

_{¡an Irn ::;}

1

pour tout n &#x3E; 0. Nous munissons en outre cet anneau

_Wr

d’une valeur

absolue 1 1,

en _{posant, pour}

_f

=

On sait

_[4,

_chapitre

_2]

_que est un anneau

_complet

_pour cette valeur

absolue. Par la méthode de

Newton,

on construit une suite

d’approxi-mations dans

_Wr

de la racine cherchée en _{posant ao} = a _{et, pour} n &#x3E;

_0,

Une récurrence facile montre _{que la suite} est bien

_définie,

car ce, est

élément de la classe C

_W,

_que

_{P ( an)}

E I et _que

_{P’ (cx~ )}

est un élément inversible de W . On remarque de

plus

que 1 et = 1.

D’après

notre observation

_{préliminaire,}

=

(an+1 -

an)2

_{est un}

( Pl

n

(an+l -

Cen

diviseur dans

Wr

de On a donc ce

qui

implique

que =

lan+1 -

tend _vers

0,

donc

que la suite

converge dans

Wr

vers un élément

or

de

Wr

racine de P. Soient maintenant r et r’ deux réels avec 0 r r’ 1. On a clairement

_W,,

C

_Wr

_{et pour}

f

e

_{l’inégalité}

_{1 f 1 r}

Il en résulte _que est élément de l’anneau

Wr

et que la suite converge vers

(3r’

dans

Wr,

donc

(3r’

=

(3r.

Ceci

établit que la série formelle

{3

= est

indépendante

de r

e]0,1[.

Le fait

que

(3 appartienne

à

WT

pour tout r

e]0,1[

signifie

_que la valeur absolue

du coefficient de X~ dans la série

_{formelle 0}

est

_majorée

_{par pour tout}

r

e]0,1[.

Donc ce même coefficient a une valeur absolue au

plus

égale

à 1. C’est dire _que la série formelle

₍₃

est élément de l’anneau W . On a vu

que c’est une racine de

P ;

reste à vérifier que

!3 -

a est élément de I. Or le coefficient constant de la série

_{(3 -}

cx a une valeur absolue

_majorée

_par

1(3 - air

pour tout r

E]O, 1[,

alors

qu’on

sait _que

ce

_qui

montre _que

_{(3 -}

a E I. D

Grâce à ce

lemme,

nous _{pouvons maintenant}

répondre positivement

à notre

_Question

1 dans le cas d’une extension résiduellement

_séparable.

Théorème 3. Soit K une extensions

_finie

de

_IE,

de _corps résiduel II~ telle

que l’extension résiduelle

1 ÍE

est

séparable.

Alors

l’inégalité

(17)

est vraie pour tout u d e K et tout n d e N.

Preuve : Nous définissons une

application

T de K dans l’anneau

4[X]]

des

séries formelles à coefficients dans K en

_posant

On vérifie aisément _que T est un

morphisme

d’anneaux. D’autre _part, nous

polynôme

le

_polynôme

Puisque

tout élément de K est le

_produit

d’une constante élément de

_Cp

_par

un élément de notre théorème sera démontré si on établit _que

l’image

par T de l’anneau K° des entiers du _corps valué K est contenue dans l’anneau W . Nous utiliserons le fait bien connu _que

T(E° )

est contenu dans l’anneau W

_(où

E° est l’anneau des entiers du corps

E).

Soit v un élément de K satisfaisant aux conditions

i)

et

_ii)

du théorème 2.

Comme la relation

₍₁₅₎

montre _que UC =

IEP [v],

on voit que tout se ramène

à montrer que E W.

Puisque 1 v

1

1,

l’élément v est entier sur l’anneau JEo. Soit P E IE°

_[Y]

son

polynôme

minimal de

_degré

d &#x3E; 1.

_Puisque

_-par le théorème 2- la classe v de v dans le _corps résiduel K

_engendre

l’extension

_résiduelle,

le théorème

1

_permet

d’affirmer

_{que U}

est de

_degré

d sur le _corps résiduel E de E. Par

conséquent

le

_polynôme

P obtenu en réduisant

chaque

coefficient de P est

le

_polynôme

minimal de U sur le _{corps IE.}

Puisque

l’extension résiduelle

est

_supposée

_séparable,

on voit que P est

premier

à sa

_dérivée,

donc _que

P’ (v’ ~

0,

c’est-à-dire _que

Puisque

7-(EP)

C

_W,

le

_polynôme

_T(P)

est élément de

_{W [Y].}

Soit a la série

de

_Y4[X]]

réduite à un terme _{constant, que} nous _prenons

_égal

à v : cette série

a est élément de W. Le terme constant de la série

_T(P)(a)

est

_P(v)

=

0,

donc

_T(P)(a)

est élément de l’idéal I de W. Celui de la série

_T(P)’(a)

est

P’(v),

donc la série

_T(P)’(cx)

E

_{W B}

I. Le lemme 3 montre alors

_qu’il

existe

une

_unique

série

_{3

E W telle _que

T(P)(/.3)

= 0 et $ - a e I

(cette

dernière

condition

_{signifiant simplement}

_que

_1,

où on a écrit

_/?(0)

_pour

le terme constant de la série

_0).

On

_peut

en fait

_préciser

cette condition

en

_remarquant

_que le terme constant de la série

_-r(P)(0)

est

_P(0(0»,

ce

qui

nécessite _que

_/?(0)

est l’une des racines de P dans

_{K ;}

_or,

_puisque’

le

polynôme

P est

_séparable,

les racines de P sont dans des classes résiduelles

distinctes,

c’est-à-dire _que

_fl(0)

= _v. Le théorème des fonctions

implicites

formel

_[3,

_{chapitre IV,}

_page

_35]

montre alors

_{que 0}

est

_l’unique

élément de

de terme constant

_/3(0)

=

v, telle que

T(P)(/3)

= 0.

Puisque

T est

un

_morphisme

_d’anneaux,

on a nécessairement

fl

=

T(v).

Ceci montre que

T(v)

e

_W,

comme on désirait le montrer. 0

Remarque :

Une

_{approche plus}

élémentaire de la

_majoration

₍₁₇₎

peut

être tentée de la

_façon

suivante. Dans le cas

_particulier

n =

1,

il

s’agit

de montrer

que on a _cd =

1,

tous les coefficients cj

satisfont à

_{1 ej}

₁

1 et de

_plus

on a

P(v) _

¿J=o

= 0. Par

dérivation,

on en déduit :

1 , ..1- .

On a vu _que

Nous en déduisons à l’aide de la relation

(18)

_que

1,

ce

_qui

démontre

l’inégalité

(17)

dans le cas n = 1.

Dans le cas n =

p, on _{veut montrer que}

Il

_s’agit

donc de _{montrer que}

dérivation de

ce

_{qui, puisque}

les ej sont éléments de

_{IE° ,}

se réduit à

j

--ce

qui implique

le résultat cherché _compte tenu de

l’égalité

( 19) .

Ces deux cas suffisent à montrer la

_majoration

₍₁₇₎

_pour tous les n

_p~,

mais _pas dans le cas

_général.

3.4. Frobenius.

Proposition

4. Soit II~ une extension

_finie

de

_IE,

_{de corps} résiduel K telle

que l’extension résiduelle

1

IE est

séparable

et cp un

_{endomorphisme}

de

Frobenius de IE. Alors il existe un

endomorphisme

de Frobenius de K

pro-longeant

cp.

I’reuve : On utilise le théorème 2 : soit donc v un élément de K satisfaisant

aux conditions

i)

et

ii)

du théorème 2. Soit P =

L1:6

Cjtj le

polynôme

minimal de v sur le _corps lE :

_{puisque Ivl ]}

=

1,

ce

_polynôme

est à coefficients entiers et on _peut considérer sa réduction P. Il est facile _par la relation

_{( 15)}

degré

que v par le théorème

1,

donc que P est le

polynôme

minimal de v sur

le _{corps lE.}

_Puisque

l’extension résiduelle

_k

₁

IE est

_supposée

_séparable,

on

voit _que P est

_premier

à sa dérivée et n’a donc _que des racines

_simples.

Donc le

_polynôme

=

êltj

n’a

également

_que des racines

simples

qui

sont exactement les

_{puissances p-ièmes}

des racines de P. Par

_conséquent,

le

lemme de Hensel

_permet

d’afhrmer que le

polynôme

PW = a

dans le _{corps K} une racine w telle

que 1 w -

vp

[

1. Posons alors

p(v) =

w.

Ceci

_permet

de définir un

endomorphisme

du _corps K encore _{noté cp. Il} ne

reste

_{plus qu’à}

s’assurer _{que cet}

_{endomorphisme}

satisfait la relation

₍₁₆₎

pour tout u de K tel

que jul

1. On écrit un sous la forme

Appliquant l’endomorphisme

cp

qu’on

vient de

définir,

on trouve :

Puisque

les aj sont des entiers de

_E,

on a

ap~

1. On sait _que

Iw - vPI

]

1. On en déduit _que la classe résiduelle de

cp(u)

est la même _que

celle de

_uP,

ce

_qui

achève la démonstration. D

On se _propose maintenant

d’appliquer

la

Proposition

3 à cet

endomor-phisme

de Frobenius. Pour ce

faire,

on

_dispose

de l’énoncé

_{suivant, qui}

montre en

_particulier

_que tout

_{endomorphisme}

de Frobenius d’un _corps d’éléments

_algébriques

est un

changement

de variable.

Proposition

5. Soit K une extension

_algébrique

de IE

_{et §}

un

endomor-phisme

isométrique

de K tel _que

_{~(Cp) =}

En

_posant

_-y

_{= dt (~(t)),}

on a

une

_formule

valide _{pour tout} a e

_K,

de sorte

_{que 0}

est un

_changement

de variable au

sens de 1.1.

Preuve :

_Remarquons

_que les deux membres de

_{l’égalité}

₍₂₃₎

sont des

fonc-tions continues de a

_qui

coïncident sur

_Cp

C K ainsi

_qu’en

t. En utilisant leurs

_propriétés

_algébriques

_(~

est un

_morphisme

et £

est une

dérivation),

on voit

_qu’elles

doivent coïncider sur le _corps donc _par raison de

continuité sur la fermeture E de ce dernier _corps. Considérons alors le

K-espace vectoriel V dont le groupe additif

sous-jacent

est K et la loi externe

(À, k)

~--~

_§(À)k.

_{Les deux membres de}

_{l’égalité}

₍₂₃₎

_peuvent

_{s’interpréter}

comme des dérivations de K à valeurs dans V. On vient de voir _que la

différence de ces deux dérivations est E-linéaire. Comme l’extension K

₁

E

est

_séparable,

on sait _que le module

_Ç2K/E

des différentielles de Kâhler de

K sur E est nul. Par la

propriété

universelle de ce module des

différen-tielles,

ceci

_signifie

_{exactement que toute} dérivation E-linéaire de K à valeurs dans un

quelconque

K-espace

vectoriel est nulle. En

_particulier,

ceci établit

l’égalité

(23)

pour tout a e K. D

Théorème 4. S’oient K un _corps d’éléments

_algébriques

tel _que l’extension

résiduelle 1K

₁

E est

_séparable

un

endomorphisme

de Frobenius de K

tel _que = tp . On

désigne

par C l’anneau

Y4x;

dt~ .

Alors le

fonc-teur

_changement

de variable

_0*

est

_{pleinement , fidèle}

de la

_catégorie

des C-modules à

_gauche

_qui

sont des

_K-espaces

vectoriels normés où x E C

agit

par un

_opérateur

de norme dans la

_catégorie

des C-modules à

gauche.

Preuve : On a

_simplement,

_compte

tenu de la

_Proposition

_2,

à exhiber une

base

_{(l, t2, - ~ ~ , tT)}

de K sur telle

qu’on

ait la relation

où on a

_posé

_q =

dt (cp(t))

=

ptp-1,

les

’xj

étant des scalaires dont la valeur absolue est au moins

_égale

à Pour

_cela,

on

_{pose tj}

= de _sorte

Pt

. Le fait que

(1, t, ... ,

tp-l)

est une base de K sur vient

de ce

qu’il s’agit

d’une base de E sur alors _que les extensions

et

_{p(K) 1}

sont linéairement

_{disjointes puisque}

l’extension résiduelle de la

_première

est

_{purement inséparable,}

alors _{que par}

_hypothèse

l’extension résiduelle de la deuxième est

_séparable.

D

4. INVARIANCE

Nous allons voir _que le résultat d’invariance du foncteur

_changement

de variable par

perturbation

de

l’endomorphisme,

bien connu dans le cas du

Frobenius,

s’étend au cas

_{d’endomorphismes plus généraux}

d’une extension

algébrique

du _corps des éléments

_analytiques

dans le

_{disque générique,}

au

moins si l’extension residuelle est

_séparable.

Proposition

6. Soit K une extension

_finie

de IE telle _que l’extension

rési-duelle est

_séparable.

Soient

_øi(i

=

l, 2)

deux

_{endomorphismes}

isomé-triques

de K déterminant le même

_{endomorphisme du}

_corps résiduel et tels que les restrictions de

11

et

~2

au _{corps C} JI{ sont un même

endomor-phzsme

de Alors

_{l’égalité}

La série

_figurant

au second membre de la formule

(24)

_converge

dans K car

1 .- 1 1 .- 1

1 1 1 1

puisque CP1

est une isométrie de K _{et que}

l’inégalité(17)

est vérifiée. Posons dès lors

définissant ainsi une

_{application § :}

JI(. On vérifie alors facilement les

points

suivants.

. cP

est un

endomorphisme

de II~.

. cp

est

_{continu ;}

en effet

~~(a)~

lai.

e Pour a e

_Cp,

on a

0(a) = 02(a).

·

On a ~(t) _ ~2(t).

Il en résulte que l’ensemble des

_{points où 0}

et

_~2

coïncident est un _sous-corps

fermé de K

_qui

contient

_Cp

et t,

donc contient le corps E. Soit maintenant v E K un élément satisfaisant aux conditions

i)

et

_ii)

du théorème 2. Soit

P =

Cjtj

le

polynôme

de l’anneau

E[t]

tel _{que tous} les coefficients cj

satisfont à

_{1 Cj}

₁

1 et

_P(v)

= 0. Alors

0(v)

et

_q#2(v)

sont deux racines

de P

_qui

ont même classe résiduelle dans K. Comme l’extension résiduelle

est

_{supposée séparable,}

le

_polynôme

P =

-¿1=o êjtj E

E[t]

n’a que des

racines

_simples;

_par

_conséquent

_{l’application t}

H t réalise une

_bijection

entre les racines de P et celles de P. On en déduit

0(v) =:

et _par

conséquent 0 =

~2.

0

Pour

_abréger,

pour r un nombre réel tel _{que 0} r

_1,

nous

_appellerons

r-perturbé

d’un

_{endomorphisme}

_{isométrique 0}

de K tel _que

_{§(lÇp )}

ç

_Cp,

tout

_{endomorphisme}

₁₁

de K

_ayant

même restriction au sous-corps

Cp

que

~

et tel _que

_{l’implication}

soit vraie. On voit d’ailleurs en utilisant la formule

(24)

_que cette

implica-tion sera satisfaite dès _que

~~1(t) - ~(t)~ 1

r.

Théorème 5. Soit K un _corps d’éléments

algébriques

tel _que l’extension,

résiduelle

_K/E

est

_séparable.

_{Soit ~}

un

endomorphisme isométrique

de II~

tel _que

_~((Cp)

_ç

_Cp

_et,

_pour un r

1,

~1

un

r-perturbé

de

4&#x3E;.

On considère un _espace vectoriel normé M de

_{dimension finie}

sur

IK,

muni d’une action

de C =

1K[x;

_~]

prolongeant

la structure de

_K-espace

vectoriel de

_M,

telle

Alors les C-modules à

_gauche

_0*(M)

et

_{~l (M)}

sont

_isomorphes.

Preuve : On _rapporte

_l’espace

vectoriel M à une base

(el, - - - , en).

_Puisque

le _corps K est

_complet,

toutes les normes sur M sont

_{équivalentes}

_[4,

Théorème

_1.4.21,

de sorte

_qu’il

existe deux constantes A et B réelles

posi-tives telles _que

,- ,

On écrit

_{XS .ei}

=

1

pour des éléments de Ceci

permet

de définir une matrice carrée

Gs

d’ordre n à coefficients dans K : la matrice

d’élément

_général

_gi,j,s.

_{D’après l’inégalité}

_(27),

on a _{pour tout} R r

Il en résulte

_{l’existence,}

_pour tout R _r, d’une constante

_{cl (R)}

telle _que

où on a défini la norme d’une matrice comme la

_{plus grande}

valeur absolue

d’un de ses coefficients. On considère alors la matrice

qui

converge

d’après

la condition

(28).

Par continuité de la

dérivation d

sur le _corps K et utilisation de la formule

_(23),

on tire de cette

_expression

où on a

_posé

La définition de

Cs

_permet

de

montrer

_qu’on

a l’identité matricielle

Gs+i

=

G,G, +

dt

1 ce

qui

permet

d’écrire

On utilise alors la formule

_qu’il

est facile ~ /

d’où en vertu du

_{développement}

_{(24) :}

qui exprime que H

est la matrice d’un

_morphisme

C-linéaire de

_{0* (M)}

dans

0*(M)

quand

on les

_rapporte

aux bases

(10

D’autre

_part,

H est à coefficients entiers

_(car

les

_Gs

le

_sont)

et sa réduction dans l’anneau des

matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K est la matrice

_identité,

donc

H est

_inversible,

ce

_qui

_prouve le résultat désiré. D

BIBLIOGRAPHIE

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Rigid Analytic Geometry. Springer-Verlag, Berlin _Heidelberg New York _Tokyo, 1984. [2] N. Bourbaki, Eléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3. _{Hermann, Paris,} 1970. [3] N. Bourbaki, Eléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 4 à 7. _Masson, Paris New-York

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256 _(1979), 199-213.

Alain SALINIER

LACO _(UPRES A 6090 _CNRS)

Département de _{Mathématiques}

Faculté des Sciences

123, avenue Albert Thomas

87060 LIMOGES Cedex, FRANCE E-mail: alain . s al inierounil im . f r