TD 14
Complexes et intégration
T.S
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My Maths Space - 2018
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EXERCICE 1 Nombres complexes
Soientz1=−2 + 2i etz2= 4√ 3−4i.
1. Calculer le module et un argument des nombresz1et z2. 2. Donner l’écriture exponentielle des nombresz1 et z2.
3. Donner l’écriture exponentielle deZ=z1z2 de deux manières différentes.
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EXERCICE 2 Primitive qui s’annule en a
On définit la fonctionF sur [1; +∞[ parF(x) = Z x
1
t2ln(t) dt.
1. Prouver queF(x)>0 pour toutx>1.
2. Prouver queF est dérivable sur [1; +∞[ et donner l’expression deF′(x) pourx>1.
3. Quel est le sens de variation de la fonctionF sur [1; +∞[ ? 4. On considère la fonctionGdéfinie sur [1; +∞[ par
G(x) = x3 3
ln(x)−1 3
Prouver queϕ:x7→F(x)−G(x) est une fonction constante sur [1; +∞[.
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EXERCICE 3 Intégrale et suite
Soitn∈N. On définit la suite (In)n∈N parIn= Z n+1
n
t t2+ 1 dt.
1. CalculerI0.
2. Que représente graphiquementIn dans un repère orthonormé ? Faire un schéma.
3. Déterminer lim
n→+∞In.
4. On définit désormais, la suite (Kn)n∈NparKn = Z n+1
n
1 t2+ 1 dt.
(a) Encadrer 1
1 +t2 pour toutt∈[n;n+ 1].
(b) En déduire un encadrement de l’intégraleKn, pour toutn∈N. (c) Déterminer lim
n→+∞Kn.
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EXERCICE 4 Trigonométrie
Exercices 78 page 224, 87 page 225.
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EXERCICE 5 Méthode des rectangles
À partir de 88 page 225.
La fonction f est définie sur [0,1] par f(x) = 1
1 +x2. On découpe l’intervalle [0,1] en 15 intervalles identiques. En s’appuyant sur la méthode traitée en classe et l’utilisation de la calculatrice pour calculer une somme,
encadrer Z 1
0
1
1 +t2dt par les termesi15et s15qu’il faut calculer.
1
