419 (2)Activités d’approche ACTIVITÉ 1 Aire sous une courbe ALGO Soitf :x7→x2, définie sur l’intervalle[0

(1)

ANALYSE

Intégration 6

Connaissances nécessaires à ce chapitre

I Calculer l’aire des polygones usuels I Effectuer des conversions d’unités d’aire

I Dériver les fonctions usuelles

I Représenter et décrire un domaine du plan

Auto-évaluation

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1 Dans le repère orthogonal (O;−→i ,−→j) suivant, on considère le polygoneOABCDE.

O −→i

−→j A×

×B C

×

×D

×E

×

× ×××

×

1)Combien le polygone OABCDEreprésente-t-il de petits carreaux ?

2) a)Sachant qu’une unité d’aire (1 u.a.) représente deux petits carreaux, quelle est l’aire du polygone, en unités d’aire ?

b)À l’aide des unités graphiques, retrouver ce ré- sultat en découpant astucieusement OABCDE en polygones élémentaires.

3)Sachant que l’unité graphique est 1 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées, quelle est l’aire deOABCDE, en cm²?

2 Calculer les dérivées de chacune des fonctions suivantes en précisant l’intervalleIsur lequel la fonction est dérivable.

1)f :x7→

x⁵−1

2x² ₂

5)j:x7→ x x−2 2)g:x7→xe^x 6)k:x7→e^√^√^x 3)h:x7→ln(x²+1) 7)l:x7→cos(6x−1) 4)i:x7→pp

x²−1 8)m:x7→sin(1−2x) 3 On se place dans un repère orthogonal du plan (O;−→i ,−→j).

1)Représenter le domaine délimité par la courbe de la fonction racine carrée, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=2 etx=4.

2)Décrire chacun des domaines coloriés suivants : a)

O −→i

−

→j

y=lnx

b)

O −→i

−→ j y=e^x

y= x 2 O

−→ j

äääVoir solutions p. 419

(2)

Activités d’approche

ACTIVITÉ 1 Aire sous une courbe ^ALGO

Soitf :x7→x², définie sur l’intervalle[0 ; 1].

On note ^C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;−→

i ,−→

j )et on s’intéresse à l’aire ^A du domaine^D délimité par la courbe^C_f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle[0 ; 1].

Ce domaine n’étant pas polygonal, on ne connaît (pour l’instant) aucune formule permettant de calculer son aire.

O −→i

−→j

C_f D

Partie A : Premiers calculs

1)Donner un encadrement (grossier) de l’aire^A du domaine^D.

2)Découpons l’intervalle[0 ; 1]en deux parties égales et par conséquent le domaine^Den deux sous-domaines^D₁et^D2. Ces domaines ne sont toujours pas polygonaux mais on peut tracer des rectangles, respectivement dits « inférieurs » et « supérieurs », qui permettent d’encadrer leur aire.

1 2

1 D₁

D₂

0 1

2

1 D₁

D₂

0

a) Pourquoi, dans la figure de gauche, l’un des deux rectangles n’apparaît-il pas ? b)À l’aide des deux schémas, donner un encadrement de l’aire^A₁du domaine^D₁. c) De même, donner un encadrement de l’aire^A2du domaine^D2.

d)En déduire un encadrement (plus fin) de l’aire^A du domaine^D.

3)Découpons maintenant l’intervalle[0 ; 1]en trois parties égales et par conséquent le domaine D en trois sous-domaines^D₁,^D₂et^D₃.

a) Faire deux schémas et construire les rectangles inférieurs et supérieurs, approximant chacun des trois sous-domaines.

b)Donner des encadrements de chacune des aires de ces trois sous-domaines et en déduire un encadrement (plus fin) de l’aire^A du domaine^D.

Partie B : Algorithme

Plus généralement, soitn∈N^?: on suppose maintenant que l’on découpe l’intervalle[0 ; 1]en nintervalles de même amplitude et sur chaque intervalle, on construit les rectangles inférieurs et supérieurs.

(3)

1)Chaque intervalle est de la formeI_k= k

n;k+1 n

. Entre quelles valeurskvarie-t-il ? 2) a)Donner l’amplitude commune de chaque intervalle, c’est-à-dire la largeur commune de

chaque rectangle.

b)Quelle est la hauteur du rectangle inférieur construit sur l’intervalleI_k? En déduire son aire.

c) Même question avec le rectangle supérieur.

3)On propose l’algorithme suivant, permettant de calculer la somme Sinf des aires des rectangles inférieurs et la sommeSsupdes aires des rectangles supérieurs.

Le compléter puis le tester dans un logiciel adapté pour de grandes valeurs den.

1. Liste des variables utilisées 2. k,n : entiers

3. Sinf,Ssup : réels 4. Entrée

5. Saisirn 6. Traitements

7. Donner àSinfla valeur 0 8. Donner àSsupla valeur 0

9. Pourkvariant de...à...faire 10. Donner àSinfla valeur Sinf + . . . 11. Donner àSsupla valeur Ssup + . . . 12. Fin Pour

13.Sortie

14. Afficher Sinf 15. Afficher Ssup 16.Fin de l’algorithme

ACTIVITÉ 2 Vers le résultat exact

On reprend les notations de l’algorithme de l’activité 1.

1)Démontrer que : S_{in f} = 1

n³

n−¹

∑

k=0

k²= 1 n³

n−¹

∑

k=1

k² et S_sup= 1 n³

n−¹

∑

k=0

(k+1)²= 1 n³

n

∑

k=1

k².

2)On rappelle que ∑ⁿ

k=1

k²= n(n+1)(2n+1)

6 . (Voir exercice 21, chapitre A1, page 26.) a) Démontrer l’égalité suivante puis en déduire la limite deS_{in f} lorsquentend vers l’infini :

S_{in f} = 1 3− 1

2n+ 1 6n².

b)Démontrer l’égalité suivante puis en déduire la limite deS_suplorsquentend vers l’infini : S_sup= 1

3+ 1 2n+ 1

6n². c) En déduire la valeur exacte de l’aire du domaine^D.

(4)

DÉBAT 3 Quel est le bon article ?

On considère la phrase incomplète suivante :

« On appelle primitive d’une fonctionf, définie et continue sur un intervalleI, . . . fonctionF, définie et dérivable surItelle queF⁰ = f. »

Doit-on remplacer les pointillés par un article défini ou indéfini ? Argumenter.

ACTIVITÉ 4 Loi horaire

Dans un repère terrestre, et en négligeant les forces de frottement dues à l’air, un corpsMde massem(en kg) est soumis à une force unique : son poids−→P = m−→g (en N, ou kg·m·s⁻²), où g=k−→gkest l’accélération de la pesanteur, en m·s⁻².

Dans un repère(O;−→i ,−→j ,−→

k), on note−−−−→OM(t),−−→

v(t)et −→

a(t) les vecteurs position, vitesse et accélération du pointMen fonction du tempst(en s).

Partie A : Rappels généraux de physique

1)Pouri=1, . . . ,n,^#»F_idésignant les forces extérieurs exercées sur le corpsM, et en reprenant les notations précédentes, on rappelle la seconde loi de Newton :

n

∑

i=1

#»F_i=ma(t).^{# »}

a) Exprimer−→g en fonction de−→k.

b)Pour toutt>0, en déduire les coordonnées de−→

a(t).

2)Rappeler le lien qu’il existe entre les fonctions−−→OM,−→v et−→a. Partie B : Équation horaire d’un mouvement vertical

À l’instantt=0 s, on lance verticalement et vers le haut un objetMdepuis une hauteur de 1,5 m et à une vitesse de 3 m·s⁻¹.

1) a)Donner les coordonnées deOM(0)−−−−→et de−−→v(0).

b)Pour toutt>0, en déduire les coordonnées de−−→v(t).

c) Pour toutt>0, en déduire les coordonnées de−−−−→OM(t).

2)En prenantg=10 m·s⁻², à quel moment l’objet retombera-t-il au sol ? Partie C : Équation d’une trajectoire

À l’instantt=0 s, on tire un boulet de canonMdepuis l’origine du repère dans le plan vertical (O;−→

j ,−→

k)avec une vitesse initialev₀. L’angle de tir est donné parα= (−→ j ;−→v₀).

1)Déterminer les coordonnées de−−−−→OM(0)ainsi que de−−→v(0).

2)En déduire les coordonnées de−−→

v(t)puis que :

−−−−→

OM(t)







0 v₀cos(α)t

−1

2gt²+v₀sin(α)t





. 3)En notantyetzles deuxième et troisième coordonnées de−−−−→

OM(t), démontrer que :

z=− g

2v²₀cos²(α)y²+tan(α)y.

(5)

Cours - Méthodes

DÉFINITION Soit(O;−→

i ,−→

j)un repère orthogonal du plan.

On noteIetJles points tels que−→ OI=−→

i et−→ OJ=−→

j .

L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont O, I et J

forment trois sommets. ^O ^I

−→i J

−

→j 1 u.a.

1. Intégrale d’une fonction continue et positive

DÉFINITION :Notion d’intégrale

Soitfune fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]de courbe représentative^C_fdans un repère orthogonal(O;−→i ,−→j ).

L’intégrale deaàbde f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe^C_f, l’axe des

abscisses et les droites d’équationx=aetx=b. ^O ⁻^→i

−

→j

a b

C_f

−

→j

−

→

−

→

Cette aire se note^Z ^b

a f(x)dxet on prononce « intégrale (ou somme) deaàbde f(x)dx».

REMARQUES:

aetbs’appellent respectivement « borne inférieure » et « borne supérieure » de l’intégrale.

La valeur de l’intégrale ne dépend que dea,bet f; la variablexn’intervenant pas dans le résultat, on dit qu’elle est muette et l’on peut donc noter indifféremment :

Z b

a f(x)dx= Z b

a f(t)dt= Z b

a f(u)du=. . . Pour toute fonction f continue et positive en un réela,^Z ^a

a f(x)dx=0 puisqu’il s’agit de l’aire d’un segment de hauteur f(a).

Le symbole^Z est dû à G. W. Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un « s » allongé, rappelant que l’aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.

Exemple Soit f :x7→ x

2+2 définie sur[−3 ; 2].

Le domaine colorié est un trapèze dont l’aire est : Z ₂

−³ f(x)dx= 0, 5+3

2 ×5=8, 75 u.a.

Les unités graphiques étant 0,6 cm pour l’axe des abscisses et 1 cm pour l’axe des ordonnées, 1 u.a. représente 0,6 cm²et donc l’aire co- loriée représente 5,25 cm².

O −→ i

−→j

−3 2

C_f

−→j

−→

Exemple Soit f :x7→1 définie sur[a;b].

Le domaine colorié est un rectangle de longueurb−aet de largeur 1.

Ainsi :

Z _b

a dx=b−au.a.

O −→i

−→ j

a b

C_f

−→

−→j

−→

(6)

THÉORÈME :Dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle[a;b].

La fonctionF:x7→

Z _x

a f(t)dtest définie et dérivable sur[a;b]et on aF⁰= f. PREUVE On démontre ici cette propriété dans le cas d’une fonctionfcroissante.

Pour toutx ∈[a;b],F(x)existe bien puisqu’il s’agit de l’aire du domaine compris entre^C_f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle[a;x].

Démontrons maintenant queFest dérivable sur[a;b]. On considère alors, pour tousx∈[a;b]

eth6=0 tel quex+h∈[a;b]:

∆F

∆x(x) = F(x+h)−F(x)

h .

Sih > 0 (voir schéma de gauche ci-dessous), F(x+h)−F(x)représente l’aire du domaine compris entre^C_fet l’axe des abscisses, sur[x;x+h].f étant croissante, cette aire est comprise entre celles des rectangles de largeurhet de hauteurs respectivesf(x)et f(x+h):

f(x)h6F(x+h)−F(x)6 f(x+h)h ⇐⇒ f(x)6 ∆F

∆x(x)6 f(x+h).

Sih < 0 (voir schéma de droite ci-dessous), F(x)−F(x+h) représente l’aire du domaine compris entre^C_fet l’axe des abscisses, sur[x+h;x].f étant croissante, cette aire est comprise entre celles des rectangles de largeur−het de hauteurs respectivesf(x+h)etf(x):

f(x+h)(−h)6F(x)−F(x+h)6 f(x)(−h) ⇐⇒ f(x+h)6 ∆F

∆x(x)6 f(x).

0 ^x x+h

f(x) f(x+h)

C_f

a b 0 x+h x

f(x+h) f(x)

C_f

a b

f étant une fonction continue, lim

h→0f(x+h) = f(x)et dans les deux cas, d’après le théorème des gendarmes (voir chapitre A1 p. 13), on conclut que lim

h→0

∆F

∆x(x) = f(x).

Voir l’exercice 77 p. 203 pour le cas où fest une fonction décroissante.

2. Primitives d’une fonction continue

DÉFINITION

Soitf une fonction définie et continue sur un intervalleI.

Uneprimitivede f surIest une fonctionFdéfinie et dérivable surItelle queF⁰= f.

(7)

REMARQUE:On dit queFestuneprimitive def et non paslaprimitive de fcar une fonction admettant une primitive n’en admet pas une seule, comme le montre l’exemple ci-dessous.

Exemple Soit f : x 7→ 2xdéfinie surR. AlorsF₁ : x 7→ x² est une primitive de f surR. De même,F₂:x7→x²+1 est aussi une primitive de fsurR. On aF₁⁰ =F₂⁰ = f.

THÉORÈME :Existence de primitives

Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives surI.

PREUVE On démontre ce théorème dans le cas où I est un intervalle fermé [a;b]et on admettra pour cela le résultat suivant : « toute fonction continue sur un intervalle[a;b]est bornée et atteint ses bornes ».

Soitf une fonction continue surIet notonsmson minimum. La fonctionϕ:x7→ f(x)−mest alors continue et positive surI. D’après le théorème précédent, la fonctionΦ:x7→

Z _x a ϕ(t)dt est définie et dérivable surIet on a, pour toutx∈I:Φ⁰(x) =ϕ(x) = f(x)−m.

Étant donné que l’on cherche une fonction F, définie et dérivable sur I telle queF⁰ = f, la fonctionF:x7→Φ(x) +mxest une candidate idéale : elle est définie et dérivable surIet pour toutx∈I,F⁰(x) =Φ⁰(x) +m= f(x).

THÉORÈME :Lien entre les primitives

Soitf une fonction définie et continue sur un intervalleIetFune primitive def surI.

Alorsf admet une infinité de primitives surIqui sont toutes de la forme x7→F(x) +k, k∈R.

PREUVE

• Démontrons d’abord que toutes les primitives ont bien la forme annoncée. SoitGune primitive de f surI. AlorsG⁰= f =F⁰et doncG⁰−F⁰=0.

La fonctionG−F, de dérivée nulle, est donc une fonction constante surI: il existe alors un réelktel que, pour toutx∈I,G(x)−F(x) =k, soitG(x) =F(x) +k.

• Vérifions maintenant que toutes les fonctions de la formex 7→ F(x) +k, aveckréel, sont bien des primitives def. Soitk∈RetG:x7→F(x) +kdéfinie surI. AlorsGest dérivable surIet pour toutx∈I,G⁰(x) =F⁰(x) = f(x):Gest donc bien une primitive def surI.

PROPRIÉTÉ :Condition d’unicité de la primitive

Soientx₀∈Iety₀deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonctionf définie et continue surI, il en existe une seule qui vérifie la conditionF(x₀) =y₀.

PREUVE

• Existence :soitGune primitive de fsurIet considéronsF:x7→G(x)−G(x₀) +y₀, définie surI. AlorsFest aussi une primitive def surIet de plus,F(x₀) =y₀.

• Unicité : notons F et G deux primitives de f sur I telles que F(x₀) = G(x₀) = y₀ et démontrons queF(x) =G(x)pour toutx∈ I. CommeFetGsont deux primitives de f, il existe, d’après le théorème précédent, un réelktel que, pour toutx∈I,F(x) =G(x) +k.

En particulier, pourx=x₀, on obtientk=0 et par conséquentF=GsurI.

(8)

REMARQUE:Pour toutx₀ ∈I,F:x7→

Z _x x0

f(t)dtest donclaprimitive de fsurIs’annulant enx₀. En effet,F est bien une primitive de f sur I et c’est la seule vérifiant la condition F(x₀) =0 .

MÉTHODE 1 Utiliser les propriétés élémentaires des primitives Ex. 20 p. 196 Exercice d’application Soientϕetψles fonctions définies sur[1 ;+∞[par :

ϕ(x) = Z _x

1 t²dt et ψ(x) = x³ 3 .

1) a)Démontrer queϕetψsont deux primitives sur[1 ;+∞[d’une même fonction f que l’on précisera.

b)En déduire la relation qu’il existe entreϕetψ.

2)Déterminer la primitiveFde f telle queF(1) =3.

Correction

1) a) f : t 7→ t² est continue et positive sur[1 ;+∞[donc d’après le théorème p. 184, ϕest définie et dérivable sur[1 ;+∞[et on aϕ⁰= f. De plus, pour toutx>1,ψ⁰(x) =x². b)ψest une primitive def sur[1 ;+∞[doncϕest de la formeϕ(x) =ψ(x) +k,k∈Rpour

toutx>1. En particulier,ϕ(1) =ψ(1) +ket donc 0= 1

3+k, c’est-à-direk=−1 3. On en déduit alors que pour toutx>1,ϕ(x) =ψ(x)−1

3.

2)Les primitives de fsur[1 ;+∞[sont donc de la formeF:x7→ x³

3 +k,k∈R. F(1) =3 donc1

3+k=3 donck= 8

3et ainsiF(x) = x³+8

3 pour tout réelx>1.

PROPRIÉTÉ :Calcul pratique d’une intégrale

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]etFune primitive de fsur[a;b]. Alors : Z _b

a f(x)dx= F(b)−F(a) que l’on note aussi [F(x)]^b_a.

PREUVE Introduisons la fonctionΦ:x7→

Z _x

a f(t)dtde sorte que^Z ^b

a f(t)dt=Φ(b).

ΦetFétant deux primitives de f sur[a;b], on en déduit d’après le théorème précédent qu’il existe un réelktel queΦ(x) =F(x) +kpour toutx∈[a;b].

Ainsi,Φ(b) = F(b) +k. Il nous reste à calculerk: en remarquant queΦ(a) = 0, il vient que F(a) =−ket ainsi,Φ(b) =F(b)−F(a).

Exemple On souhaite calculer^Z ¹

0 x²dx. Pour cela, posons f :x7→x², définie sur[0 ; 1].

En remarquant queF:x7→ x³

3 est une primitive def sur[0 ; 1], on obtient : Z ₁

0 x²dx= x³

3 1

0

= 1³ 3 −0³

3 = 1 3.

(9)

PROPRIÉTÉ :Primitives des fonctions usuelles

Fonctionf définie par Une primitiveFdéfinie par Domaine de validité

f(x) =k, k∈R F(x) =kx R

f(x) =xⁿ,n∈N F(x) = 1

n+1xⁿ⁺¹ R

f(x) = 1

xⁿ,n∈N,n>2 F(x) =− 1 n−1

1

xⁿ⁻¹ ]−∞; 0[ou]0 ;+∞[

f(x) = 1

x F(x) =ln(x) ]0 ;+∞[

f(x) = 1

√x F(x) =2√

x ]0 ;+∞[

f(x) =e^x F(x) =e^x R

f(x) =cos(x) F(x) =sin(x) R

f(x) =sin(x) F(x) =−cos(x) R

MÉTHODE 2 Déterminer des primitives simples sur un intervalle donné Ex. 26 p. 197 1)Commencer par identifier le type de la fonction fainsi que le type de primitive.

2)Dériver ce type de primitive.

3)Ajuster les coefficients, en fonction du résultat précédent puis écrire les primitives.

Exercice d’application

Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.

1) f(x) =x²surR 2)g(x) = 6

x³ sur]−∞; 0[

3)h(x) = 1

2x sur]0 ;+∞[

Correction

1) f est une fonction de degré 2, continue surR, une primitive sera donc de degré 3.

Or(x³)⁰=3x². On écrit alors f(x) =1

3×3x²et les primitives de fsurRsont définies par : F(x) =1

3x³+k,k∈R. 2)gest du type 1

x³, continue sur]−∞; 0[, une primitive sera donc du type 1 x². Or,

1 x²

₀

=−2 x³.

On écrit alorsg(x) = (−3)× −2

x³ et les primitives degsur]−∞; 0[sont définies par : G(x) =− 3

x² +k,k∈R. 3)hest du type1

x, continue sur]0 ;+∞[, une primitive sera donc du type ln(x).

Or,(ln(x))⁰= 1 x. On écrit alorsh(x) = 1

2×1

x et les primitives dehsur]0 ;+∞[sont définies par : H(x) =ln(x)

2 +k,k∈R.

(10)

PROPRIÉTÉ :Primitives et opérations sur les fonctions Soientuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI.

Fonction Une primitive Domaine de validité

f =u⁰+v⁰ F=u+v x∈I

f =u⁰uⁿ,n∈N F= 1

n+1uⁿ⁺¹ x∈I

f = u⁰

uⁿ,n∈N,n>2 F=− 1 n−1

1

uⁿ⁻¹ x∈Itel queu(x)6=0 f = u⁰

u F=ln(u) x∈Itel queu(x)>0

f = u⁰

√u F=2√

u x∈Itel queu(x)>0

f =u⁰e^u F=e^u x∈I

MÉTHODE 3 Déterminer des primitives sur un intervalle donné Ex. 29 p. 197 1)Commencer par identifier le type de f, la fonctionu, ainsi que le type de primitive.

2)Dériver ce type de primitive.

3)Ajuster les coefficients, en fonction du résultat précédent puis écrire les primitives.

Exercice d’application

Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.

1) f(x) = (2x−1)³surR 2)g(x) = x

x²−1 sur]1 ;+∞[

3)h(x) = 1

(2x−1)² surI= 1

2;+∞

Correction

1) f est du typeu⁰u³avecu:x7→2x−1 définie surR, une primitive sera donc du typeu⁴. Or,

(2x−1)⁴₀

=4×2×(2x−1)³=8(2x−1)³. On écrit alors f(x) =1

8×8(2x−1)³et les primitives def surRsont définies par : F(x) = 1

8(2x−1)⁴+k,k∈R. 2)gest du typeu⁰

u avecu:x7→x²−1,u(x)>0 sur]1 ;+∞[, une primitive sera donc du type ln(u).

Or,

ln(x²−1)₀

= 2x

x²−1. On écrit alorsg(x) = 1 2× 2x

x²−1 et les primitives deg sur ]1 ;+∞[sont définies par :

G(x) = 1

2ln(x²−1) +k,k∈R. 3)hest du type u⁰

u² avecu:x7→2x−1,u(x)6=0 surI, une primitive sera donc du type1 u. Or,

1 2x−1

₀

=− 2

(2x−1)². On écrit alorsh(x) =−1

2× −2

(2x−1)² et les primitives deh surIsont définies par :

H(x) =− 1

2(2x−1)+k,k∈R.

(11)

3. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

On a vu au paragraphe précédent que, pour une fonction continue et positive sur[a;b]: Z _b

a f(x)dx=F(b)−F(a).

oùFest une primitive de fsur[a;b]. On étend cette propriété aux fonctions de signe quelconque, continues sur un intervalle[a;b]avec la définition ci-dessous.

DÉFINITION

Soitfune fonction continue sur un intervalle[a;b]et de signe quelconque etFune primitive def sur[a;b]. On pose :

Z _b

a f(x)dx=F(b)−F(a).

Exemple On souhaite calculer^Z ²

−¹(x²−2)dx. Pour cela, on pose f :x7→ x²−2 définie sur I= [−1 ; 2]. Une primitive de fsurIestF:x7→ x³

3 −2xet on obtient alors : Z ₂

−1(x²−2)dx= x³

3 −2x 2

−1

= 2³

3 −4

−

(−1)³ 3 +2

=−3.

REMARQUES:

Pour toute fonction fcontinue ena,^Z ^a

a f(t)dt=F(a)−F(a) =0.

Pour toute fonction fcontinue sur[a;b],^Z ^a

b f(t)dt=F(a)−F(b) =− Z _b

a f(t)dt.

PROPRIÉTÉ :Linéarité de l’intégrale

Soientf etgdeux fonctions continues sur un intervalle[a;b]etλun réel. Alors : Z _b

a (f+g)(t)dt= Z _b

a f(t)dt+ Z _b

a g(t)dt. ^Z ^b

a (λf)(t)dt=λ Z _b

a f(t)dt.

PREUVE Voir exercice 78 p. 203.

PROPRIÉTÉ :Fonction négative et aire

Soitfune fonction continue et négative sur un intervalle[a;b]. Alors, l’aire du domaine situé entre^C_f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle[a;b]est−

Z _b

a f(x)dx.

PREUVE On note^Dle domaine situé entre^C_f et l’axe des abscisses, sur[a;b].

Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de^D est égale à l’aire du domaine^E, compris entre la courbe de−f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle[a;b]. Ainsi :

A_D=^AE = Z _b

a (−f)(x)dx=− Z _b

a f(x)dx.

O −→ i

−

→j

a b

C_f C_−f

O −→

−i

→

−

→ j

D E