Snakes avec a priori en utilisant l'alignement de formes

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Submitted on 29 Nov 2009

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Snakes avec a priori en utilisant l’alignement de formes

Mohamed-Ali Chermi, Stéphane Derrode, Faouzi Ghorbel

To cite this version:

Mohamed-Ali Chermi, Stéphane Derrode, Faouzi Ghorbel. Snakes avec a priori en utilisant

l’alignement de formes. TAIMA’09, May 2009, Hammamet, France. �hal-00437095�

M-A Charmi ¹ , S. Derrode ² , F. Ghorbel ¹

1

Laboratoire CRISTAL,

Groupe de Recherche Images et Formes de Tunisie (GRIFT), Campus Universitaire de la Manouba 2010, Tunisie.

charmi.ma@free.fr,faouzi.ghorbel@ensi.rnu.tn

2

Institut Fresnel (CNRS UMR 6133) Ecole Centrale Marseille, ´ Technopˆ ole de Chˆ ateau-Gombert,

8, rue Fr´ ed´ eric Joliot Curie, 13451 Marseille Cedex 20, France.

stephane.derrode@fresnel.fr

R´ esum´ e Dans cet article, nous pr´ esentons une m´ ethode de snakes avec a priori de forme g´ eom´ etrique. Nous utilisons l’alignement du snake en cours d’´ evolution avec une forme de r´ ef´ erence introduite l’utilisateur pour ajouter de nouvelles forces attirant les snakes vers la forme de r´ ef´ erence. La m´ ethode propos´ ee permet d’am´ eliorer les r´ esultats de l’algorithme dans le cas d’images bruit´ ees, d´ etecte des objets partiellement occult´ es et r´ esout le probl` eme d’´ evolution dans les zones concaves.

Mots cl´ es Snakes, a priori de formes, Invariants, Fourier.

1 Introduction

Les contours actifs [5], snakes, sont des m´ ethodes de d´ etection de contours par la minimisation d’une fonctionnelle d’´ energie. L’´ energie des snakes est calcul´ ee ` a partir des niveaux de gris de l’image qui constituent des primitives de bas niveau. D’ici vient l’utilit´ e d’ajouter des informations a priori sur ces mod` eles. Dans ce contexte, plusieurs travaux ont ´ et´ e pr´ esent´ es. Ces travaux introduisent deux familles d’a priori : un a priori de forme statistique par l’apprentissage des formes et un a priori de forme g´ eom´ etrique en utilisant des descripteurs de formes invariants

Dans la premi` ere famille, Staib et al. [7] proposent de mod´ eliser les formes par une distribution de probabilit´ e Gaussienne. Diffusion Snakes [2] introduisent un a priori statis- tique sur la forme au mod` ele de Mumford-Shah. Dans le contexte de l’a priori g´ eom´ etrique, nous citons l’utilisation des invariants de Fourier [1] et des moments de Legendre [3].

Notre travail traite l’ajout d’un a priori de forme g´ eom´ etrique sur le mod` ele des snakes

en utilisant l’alignement de deux formes en minimisant une distance calcul´ ee sur leurs

descripteurs de Fourier. Ceci nous permet de d´ egager de nouvelles forces qui attirent le

contour en ´ evolution vers la forme introduite par l’utilisateur.

2 M-A Charmi, S. Derrode, F. Ghorbel

Le reste de cet article est organis´ e comme suit : dans la deuxi` eme partie, nous pr´ esentons la m´ ethode d’alignement de formes. L’int´ egration de l’a priori sur la forme est d´ ecrite dans la section 3. Ensuite, nous montrons et discutons les r´ esultats obtenus sur des images synth´ etiques et r´ eelles. Nous finissons par la conclusion et perspectives de ce travail.

2 Alignement de Formes

Le contour d’un objet plan peut ˆ etre repr´ esent´ e par une courbe param´ etr´ ee : γ : [0, 2π] −→ C

l 7−→ x(l) + i y(l), (1)

avec i ² = −1. Les coefficients de Fourier de γ sont donn´ ees par : C _k (γ) =

Z 2π

0

γ(l) e ^−ikl dl, k ∈ Z . (2)

Soient γ ₁ et γ ₂ deux courbes param´ etr´ ees centr´ ees et normalis´ ees de deux objets plans F 1 et F 2 . L’objectif de cette partie est de trouver les param` etres de transformation eucli- dienne entre les courbes γ ₁ et γ ₂ . Ghorbel [4] montre que (3) est une m´ etrique entre les formes F ₁ et F ₂ .

d(F 1 , F 2 ) = inf

(l

,θ)∈T

kγ ₁ (l) − e ^iθ γ 2 (l + l 0 )k, (3) o` u θ est l’angle de rotation avec T = [0, 2π], l <sub>0</sub> est la diff´ erence entre les points de d´ epart des deux courbes. On ne tient pas en compte ici de la translation et du facteur d’´ echelle α ´ etant donn´ e que les deux param´ etrisations sont centr´ ees par rapport ` a leur centres de masse respectifs et normalis´ ees. Dans le domaine de Fourier, par le biais du th´ eor` eme du retard, calculer cette distance revient ` a minimiser f (θ, l ₀ ).

f(θ, l ₀ ) = X

k∈ Z

C _k (γ ₁ ) − e ^i(kl

^+θ) C _k (γ ₂ )

2

. (4)

Dans [6], Person & al. proposent une solution num´ erique pour calculer l ₀ and θ. En effet, l 0 est une des z´ eros de g(l)

g(l) = X

k

ρ _k sin(ψ _k + kl) X

k

kρ _k cos(ψ _k + kl)

− X

k

kρ k sin(ψ k + kl) X

k

ρ k cos(ψ k + kl),

(5)

o` u ρ k e ^iψ

= C _k ^∗ (γ 1 ) C k (γ 2 ). θ v´ erifie l’´ equation (6) et minimise f (θ, l 0 ) o` u l 0 est une de l’´ equation (5).

tan θ = − P

k ρ k sin(ψ k + kl 0 ) P

k ρ _k cos(ψ _k + kl ₀ ) . (6)

Une fois l ₀ et θ calcul´ es, le facteur d’´ echelle α est calcul´ e par la formule suivante :

α = X

k

ρ cos(ψ _k + kl 0 + θ) X

k

C _k (γ ₁ )C _k (γ ₂ ) (7)

Ghorbel montre dans [4] l’unicit´ e des param` etres trouv´ es. En effet, minimiser (4) est

´ equivalent ` a calculer la distance de Hausdorff entre F 1 et F 2 dans le domaine de Fourier.

La figure 1 montre un exemple d’alignement de deux contours de la mˆ eme forme li´ ees par une rotation θ et un d´ ecalage l 0 . La courbe de la figure 1(c) montre l’´ evolution de g(l).

(a) (b) (c)

Figure 1. Exemple d’alignment de courbes en utilisant les descripteurs de Fourier : (a) et (b) sont les deux courbes li´ ees par θ et l

; (c) repr´ esente la variation de g(l). Le point rouge correspond ` a l

.

3 Incorporation le l’a priori dans le mod` ele des Snakes

Un snake [5] est une courbe param´ etr´ ee v(l, t) qui se d´ eplace sous l’influence d’une fonctionnelle d’´ energie pour plaquer les contours d’un objet. La fonctionnelle d’´ energie des snakes comprend essentiellement deux termes :

– l’´ energie interne qui permet le lissage du contour et ´ evite l’apparition des angles aigus,

– l’´ energie externe qui attire les contours vers les gradient fort de l’image.

E (v(l, t)) = Z 1

0

w 1

v ⁰ (l, t)

2 + w 2

v ⁰⁰ (l, t)

2

−w ₃ |∇ (G σ ∗ I)| ² dl.

(8) avec w ₁ , w ₂ and w ₃ les pond´ erations des diff´ erentes ´ energies des snakes. La minimisation de l’´ energie par la m´ ethode d’Euler Lagrange est donn´ ee par l’´ equation suivante [5] :

(I _N + τ A) v(t) = v(t − 1) + τ F _ext (v(t − 1)) , (9) o` u A est une matrice pentadiagonale sym´ etrique calcul´ ee ` a partir des coefficient w ₁ et w ₂ . τ le pas temporel, N le nombre de points du snake, I N la matrice identit´ e et F ext les forces d´ eriv´ ees de l’´ energie externe :

F ext = −∇ |∇(G _σ ∗ I )| ² . (10)

4 M-A Charmi, S. Derrode, F. Ghorbel

Soit v(t) le snake en cours d’´ evolution. v _r la forme repr´ esentant l’a priori de forme (forme de r´ ef´ erence). ` a chaque iteration t, les param` etres l 0 et θ sont estim´ es ` a l’aide de l’algorithme expliqu´ e dans la section 2. Les deux formes v(t) et v r n’ont pas exactement la mˆ eme forme mais cette m´ ethode donne la meilleure approximation des param` etres de transformation. On assure ainsi la correspondance entre le diff´ erents points des deux formes donn´ ees par leurs param´ etrisations en N points.

Ensuite, on construit v r (t), la forme align´ ee avec v(t). Les descripteurs de Fourier C _k (v r (t)) de v ^t _r sont donn´ ees par l’´ equation (11).

C _k (v _r (t)) = 1

α e ^−iθ e ^−ikl

C _k (v(t)). (11) On d´ efinit ainsi les forces F _{f orme} (t) dont la valeur en chaque point du snakes correspond

`

a la direction et la norme du vecteur form´ e par chaque deux points homologues de v(t) et v r (t).

F _{f orme} (t) = v _r (t) − v(t)

|v _r ^t (t) − v(t)| , (12)

Les nouvelles forces des snakes deviennent alors :

F _snakes = c ₁ F _{f orme} + c ₂ F _ext , (13)

o` u c 1 et c 2 sont deux constantes qui pond` erent l’effet des deux forces du snakes. Ces deux param` etres sont d´ etermin´ es d’une mani` ere empiriques. G´ en´ eralement, la valeur de c 2 est la plus importante.

4 R´ esultats exp´ erimentaux

Nous pr´ esentons dans cette section les r´ esultats de la m´ ethode propos´ ee. Nous com- men¸cons par illustrer l’effet des forces introduites au mod` ele. En absence des forces ex- ternes r´ egies par les niveaux de gris (c <sub>2</sub> = 0) de l’image, le snakes ´ evoluent vers la forme de r´ ef´ erence. Dans la figure 2 nous montrons quelques it´ erations de la convergence du contours vers la forme de r´ ef´ erence illustr´ ee par la figure 2(d). Cet exemple montre aussi la capacit´ e du mod` ele ` a ´ evoluer dans les zones concaves. Les mod` eles param´ etriques des snakes sont

(a) (b) (c) (d)

Figure 2. Un contour ´ evoluant sous l’influence des forces de formes uniquement.

connus par leur incapacit´ e d’´ evoluer dans des zones concaves. Le mod` ele GVF [8] est l’un

(a) Initialisation (b) Result

Figure 3. R´ esultats sur des formes concaves.

des rares mod` ele capable de surmonter cet obstacle mais ces r´ esultats d´ ependent de la profondeur de la concavit´ e. La m´ ethode que nous pr´ esentons est capabale d’´ evoluer dans les concavit´ es comme le montre la Figure 3.

Nous avons test´ e notre m´ ethode sur objets partiellement occult´ es et sur des images bruit´ es. Les r´ esultats sont montr´ es dans la figure. 4. Malgr´ e l’intensit´ e du bruit (a), la forme en U est bien localis´ ee. La m´ ethode r´ eussit aussi ` a trouver les contours d’un objet partiellement occult´ e (b). Ces r´ esultats ont ´ et´ e compar´ es avec d’autres donn´ es par une m´ ethode pr´ esent´ ee r´ ecemment [1] et ils sont visuellement meilleures.

(a) Image bruit´ ee, (b) Objet Partielle- ment occult´ e.

Figure 4. R´ esultats des snakes pour des images bruit´ es et pr´ esentant des objets partiellement occult´ es.

La m´ ethode pr´ esent´ ee donne des r´ esultats meilleurs que les m´ ethodes classiques. En effet, les informations a priori aident le contours ` a surmonter le bruit et les zones oc- cult´ ees. En plus, elles permettent d’attirer le contour dans les zones concaves mˆ eme en absence du gradient de l’image. Cependant, la complexit´ e num´ erique de l’algorithme est important par rapport aux mod` eles classiques des snakes. Le sur-coˆ ut provient du calcul de la FFT et de l’estimation des param` etres de la transformation euclidienne. Afin de r´ eduire les temps de calculs, nous tronquons les coefficients de Fourier. Dans [4], Ghorbel montre exp´ erimentalement que pour des formes relativement lisses, 20 coefficients de Fou- rier donnent une bonne approximation de θ et l <sub>0</sub> . En plus, nous r´ eduisons notre espace de recherche au fur et ` a mesure de l’´ evolution de l’algorithme.

Nous avons appliqu´ e la m´ ethode ` a la segmentation des images scintigraphiques du

myocarde en utilisant comme template un croquis d’une forme ressemblant ` a l’anatomie

de l’objet recherch´ e. L’initialisation a ´ et´ e plac´ ee autour du myocarde. Les r´ esultats sont

6 M-A Charmi, S. Derrode, F. Ghorbel

(a) (b) (c) (d)

Figure 5. Application aux images scintigraphiques du myocarde.

pr´ esent´ es dans la figure 5 et semble visuellement satisfaisantes. Afin de tenir en compte des cas pathologiques, nous avons r´ eduit l’influence des forces a priori c ₁ par rapport ` a c ₂ . L’apport de l’a priori est essentiellement dans l’´ evolution dans les zones concaves.

5 Conclusion

Tout le long de cet article, nous avons pr´ esent´ e une m´ ethode d’incorporation d’a priori de forme g´ eom´ etrique au mod` ele des snakes en utilisant l’alignement entre la courbe en cours d’´ evolution et une forme de r´ ef´ erence introduite par l’utilisateur. Cette m´ ethode augmente la robustesse de l’algorithme pour les images bruit´ ees et les objets partiellement occult´ es.

Dans la suite de travail, nous comptons appliquer cette m´ ethode dans des applications de suivis d’objets rigides en mouvement. Nous travaillons aussi sur l’extension de ce travail

`

a des transformation plus g´ en´ erale comme les invariants affines en utilisant les invariants ad´ equats.

R´ ef´ erences

1. M. A. Charmi, S. Derrode, and F. Ghorbel. Fourier-based shape prior for snakes. Pat. Recog. Let., 29(7) :897–904, 2008.

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