Etudes Des Bases Biorthogonales D�Ondelettes Théorie Et Applications

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que

UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA

FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

MEMOIRE DE MAGISTER

Présentée par

MANSOUL BRAHIM

Pour l’obtention du Grade de Magister en Mathématiques Spécialité : Mathématiques

Option : Probabilités et processus stochastiques Titre :

Etudes Des Bases Biorthogonales D’Ondelettes Théorie Et Applications

Devant le jury composé de :

Abdallah Benaisa Pr.Univ.Batna 2 Président Khaled Melkemi Pr.Univ.Batna 2 Directeur de thèse Boubakeur Labed MC.Univ.Biskra Examinateur

Zouhir Mokhtari MC.Univ.Biskra Examinateur Mars 2018

J

e dédie ce modeste travail à :

A

mes parents, aucun hommage ne pourrait être à la hauteur de

l’amour dont ils ne cessent de mon combler.

Q

ue dieu leur procure bonne santé et langueur vie.

A

toute ma famille. A toute mais amis.

E

t à tous ceux qui ont contribué de près ou de loin pour que ce

projet soit possible, je vous dis merci

.

M

es remerciements vont premièrement à DIEU tout puissant pour la volonté, la santé, et la patience, qu’il m’a donné durant toutes ces années d’étude.

A l’occasion de notre mémoire nous remercions tout d’abord Mon encadreur :Pr. Khaled MELKEMI pour son suivi tout le long de notre travail avec ses suggestions, conseils, aides et orientations, membres de jury qui ont pris le peine d’évaluer notre travail.

Je ne remercierai jamais assez, ni assez bien, mes parents et tous ma famille .

En…n, nous formulons nos remerciement chaleureux à Boussaad Abdelmalik, mes chers amis, mes collègues, et tous département de Mathématique.

Dédicace i

Remerciements ii

Table des matières iii

Introduction 1

1 Analyse multirésolution et orthogonalité 3

1.1 Analyse multirésolution . . . 3

1.2 Les fonctions '_j;k(t) et les résultats associées . . . 5

1.3 L’équation dilatation et résultats associées . . . 8

1.4 Projections dans l’espace V_j . . . 11

1.5 La fonction ondelette . . . 12

1.6 Les espaces d’ondelettes Wj . . . 14

1.7 Projection de V_j+1 dans W_j . . . 15

1.8 algorithme de Mallat . . . 16

1.8.1 Décomposition à di¤érentes échelles . . . 17

1.8.2 reconstruction . . . 18

1.9 Approximation des bases d’ondelettes orthogonales . . . 21

2 Analyse multirésolution et biorthogonalité 24

2.1 Analyse multirésolution biorthogonale . . . 24

2.2 Les Fonctions '_j;k(t)et 'e_j;k(t) . . . 25

2.3 Projections dans les espaces Ve_j et V_j . . . 26

2.4 Les fonctions d’ondelettes e(t) et (t) . . . 27

2.5 Algorithme de Mallat . . . 29

2.5.1 Décomposition à di¤érentes échelles . . . 29

2.5.2 reconstruction . . . 31

2.6 Approximation des bases d’ondelettes biorthogonales . . . 34

3 Comparaison numérique entre les bases d’ondelettes orthogonales et biorthogonales dans la compression d’images 36 3.1 Introduction . . . 36

3.2 Généralités sur la compression . . . 36

3.3 Compression avec perte . . . 38

3.3.1 Transforée discréte . . . 39

3.4 Etude comparative . . . 40

3.4.1 Conclusion . . . 45

4 B-splines et bases d’ondelettes 46 4.1 Les B-splines . . . 46

4.2 Transformé de Fourier de B-spline . . . 50

4.3 ondelettes spline orthogonales . . . 51

4.4 ondelettes spline biorthogonales . . . 58

Conclusion 61

Bibliographie 62

L

es ondelettes sont devenues un outil mathématique important, se sont imposées dans déférents domaines d’applications. Par leur aptitude extra ordinaire d’ap- proximation et de concentration de l’énergie, l’implication de la transformée en ondelette dans les di¤érents algorithmes imposant en compression d’images devienne comme un outil essentiel.

Dans ce contexte, la problématique que nous avions …xée au début de notre sujet était la comparaison entre un algorithme de compression qui est basé sur la transformée en ondelettes (orthogonales) et un autre qui est basé sur la transformée en ondelettes (bi- orthogonales), ensuite la construction d’une base d’ondelettes à travers les B-splines . La lecture couvrante plusieurs ouvrages de références et les articles de recherche à ce sujet nous a approuvés de choisir

La compression avec perte destinée aux images à niveaux de gris, tout en essayant de comparer entre un algorithme de compression qui utilise la transformée en ondelettes orthogonales et un autre qui utilise la transformée en ondelettes bi-orthogonales , et de mettre le point sur la question suivante : quel est l’algorithme de compression qui nous o¤re un meilleur taux de compression ?

D’autre part, la construction d’une onde mère qui engendre une base d’ondelettes pour l’espace L2 à travers les B-splines.

Le présent mémoire est structuré de la manière suivante :

Chapitre01 : Donne une explication théorique détaillée concernant les bases d’ondelettes

orthogonales.

Dans ce chapitre nous décrivons la notion d’analyse multirésolution développée par S.Mallat qui représente un outil indispensable pour la construction d’une base d’ondelettes ortho- gonales, ensuite nous présentons l’algorithme de Mallat

Chapitre02 : expose avec clarté la notion des bases d’ondelettes bi-orthogonales.

Dans ce contexte nous expliquons la notion d’analyse multirésolution bi-orthogonales qui est introduite par S.Mallat dans le but de construire une base d’ondelettes bi-orthogonales et en…n nous présentons l’algorithme de Mallat associé.

Chapitre03 : présente des dé…nitions concernant la compression avec perte et une étude comparative.

Dans ce volet nous donnons des notions théoriques au sujet de compression avec perte ainsi que quelques mesures de qualité utilisées communément pour évaluer la qualité de compression , par la suite nous proposons une étude comparative entre un algorithme de compression incluant la transformée en ondelettes orthogonales et un autre incluant la transformée en ondelettes bi-orthogonales.

Chapitre04 : Donne une vision générale sur lesB-splines et leurs propriétés.

Dans ce dernier chapitre nous donnons la dé…nition des B-splines et quelques propriétés concernant ces derniers dans le domaine temporel et fréquentiel. Finalement nous mon- trons comment construire a l’aide des B-splines une onde mère qui engendre une base d’ondelettes orthogonales ou bi-orthogonales.

A la …n, une conclusion générale pour une synthèse de ce travail.

Analyse multirésolution et orthogonalité

1.1 Analyse multirésolution

Le concept de l’analyse multi-résolution est dû à Stéphane Mallat [14] et Yves Meyer [17]

Dé…nition 1.1 une analyse multirésolution est une suite de sous espaces véctoriels fermés V_j de L²(R)qui véri…e les propriétés suivantes :

1 8j 2Z; V_j V_j+1 (1.1)

2 8j 2Z; [^j2ZV_j =L²(R) (1.2)

3-Leurs intersections est déduit à la fonction nule

(i;e \^j2ZV_j =f0g) (1.3)

4-Les espaces sont attachés entre eux tel que le passage de l’un à l’autre soit le résultat

d’un changement d’échelle (Zoom) . comme le cas dyadique ou aura

f 2V_j ()f(2x)2V_{j 1} ()f 2^jx 2V₀; (1.4)

5-Il y a une fonction '₀ 2 V₀ appellée fonction d’échelle telleque '₀ =f'(: k); k 2 Zg o¼u

Z

R

'(t)dt 6= 0construit une base de Riesz de V₀ :l’ensemble des combinaisons linéaires

…nale d’élément de'₀ est une sous espace dense dansV₀ et pour toute fonction de f 2V₀ il y a :

f =X

k2Z

c_k'(t k)

tellequeck est suite del²(Z)

Remarque 1.1 la condition dans la dé…nition telque Z

R

'(t)dt 6= 0 est une condition nécessaire et il peut être démontré (voir, e. g., Noyer) R [11] que

j Z

R

'(t)dtj= 1

pour que Z

R

'(t)dt6= 0donné que l’intégrale n’est pas nulle. alors nous pouvons normaliser cependant nous choisir.

Convention: Nous supposons que toutes les fonctions d’échelle de la dé…nition (1.1) sont fonctions réelles avec

Z

R

'(t)dt=p

2 'b(0) = 1 (1.5)

Une analyse multirésolution donne une belle façon de décomposer. Nous avons espaces d’approximationV_j imbriqués et la capacité de faire un zoom de l’un à l’autre en utilisant la propriété échelle de (1,1). Nous avons une base orthonormée pour V₀ généré par une fonction d’échelle unique '(t) 2 V0 et nous verrons bientôt que nous pouvons utiliser cette base pour former une base orthonormée deV_j. Bien que les espacesV_j sont emboîtés,

ils ne sont pas trop redondant puisque le seul élément commun à tous les espaces est la fonction nule. En…n, la propriété de densité nous dit que l’analyse multirésolution couvre tous L²(R).

Exemple 1.1 (Analyse Multirésolution de Haar) les sous espacesV_j de Haar forme d’une analyse multirésolution de L²(R). Ces espaces sont imbriquée , et les espaces V_j satisfaits de la densité et des propriétés de séparation donnée dans (1.1). La propriété d’échelle dans (1.1) pour l’espaces Haar nous avons montré que l’ensemble f'(t k)gk2Z

est une base orthonormée pourV₀ avec la fonction d’échelle '(t) = (t) [1]

la fonction d’echelle de Haar

1.2 Les fonctions '

_j;k

(t) et les résultats associées

Dans le reste de cette section nous développons di¤érentes propriétés des analyses multi- résolutions. Il est utile de garder à l’analyse multirésolution Haar à l’esprit que nous apprenons sur ces propriétés. Nous commençons par dé…nir les fonctions suivantes.[4];[3]

Dé…nition 1.2 (les fonctions '_j;k(t)) Supposons que'(t)est une fonction d’échelle de l’analyse multirésolution fV_jgj2Z de L²(R) Pour k 2Z, nous dé…nissons

'j;k(t) = 2^2j' 2^jt k (1.6)

Proposition 1.1 (Propriétés assossiés à '_j;k(t))) Soit '_j;k(t) être dé…nies par (1.6) .Alors pour toutk 2Z, '_j;k(t)2V_j et k'_j;k(t)k= 1.

Proof.: Soit k2Z. Commef(t) = '(t k) est un élément de base pourV₀, il est en V₀, donc par la propriété de fonction d’échelle de la dé…nition 11, nous devons avoirf(2^jt)2 V_j Maisf(2^jt) = '(2^jt k), d’autre part que'_j;k(t)2V_j. Nous somme invité à montrer quek'_j;k(t)k= 1.

La propriété de fonction d’échelle est du fait quef'(t k)gk2Zpeut être utilisé en conjonc- tion Dé…nition avec 1,2 à montrer que l’ensemblef'_j;k(t)gk2Zforme une base orthonormée pourV_j.

Proposition 1.2 (une base orthonormée de V_j) Supposons que fV_lgl2Z est une ana- lyse multirésolution pour L²(R) avec la fonction’échelle '(t). Supposons que k 2 Z avec j 6= 0 et considérer l’ensemble S = f'_j;k(t)g^j2Z , où '_j;k(t) est dé…ni par (1.6). Alors S est une base orthornormal pour Vj.

Proof. : D’aprés la proposition 1.1 nous savons que '_j;k(t) 2 V_j et k '_j;k(t) k= 1.

Maintenant supposons que k;l2Z avec k 6=l et considère le produit scalaire

< '_j;k(t); '_j;l(t)>= R

R2^j2'(2^jt k) 2^j2'(2^jt l)dt

= 2^jR

R'(2^jt k); '(2^jt l)dt

(1-7)

.Nous laissons tomber la conjugaison depuis'_j;k(t)est une fonction à valeurs réelles. , on peut écrire (1.7) que.

< '_j;k(t); '_j;l(t)>= R

R'(u)'(u l+k)du

=< '(u); '(u l+k)>

Mais nous savons quek l 6= 0et depuis'(u)et'(u l+k)sont deux éléments distincts d’une base orthonormale pourV₀, leur produit scalaire est 0. Ainsi < '_j;k(t); '_j;l(t)>= 0.

et nous voyons que l’ensemble f'_j;k(t)g^j2Z est un repére orthonormé des fonctions de V_j. Pour montrer que S forme une base pour V_j, nous devons montrer que les éléments de S sont linéairement indépendante et que l’on peut écrire toute fonction f(t) 2V_j comme une combinaison linéaire de les éléments de S. Nous preuvons que les éléments de S sont linéairement indépendants.

Pour voir ce que S engendréeV_j, soit f(t)2V_j. Puis par la propriété de fonction d’échelle de la dé…nition 1.1, nous savons que f(2 ^jt) 2 V₀ Depuis l’ensemble f'(t k)gk2Z est une base orthonormée pour V₀, nous savons que pour k 2Z il existe un a_k 2R telque

f(2 ^jt) =X

k2Z

a_k'(t k)

Remplacement t par2 ^jt et multiplier et diviser chaque terme de la droite par 2^j2 donne

f(t) = X

k2Z

a_k 2^j2

2^j2' 2^jt k =X

k2Z

a_k 2^2j

'_j;k(t)

Ainsi, nous avons écrit f(t)2V_j comme une combinaison linéaire des éléments de S.

Le corollaire suivant nous donne une représentation explicite de f(t) 2 V_j en termes des fonctions de base'_j;k(t).

Corollaire 1.1 (Forme explicite pour f(t)2V_j) Supposons que f(t)2V_j,alors ona

f(t) =X

k2Z

a_k'_j;k(t) (1-8)

Telque

a_k =< f(t); '_j;k(t)>

1.3 L’équation dilatation et résultats associées

Notre prochain résultat montre que la fonction d’échelle'(t)à partir d’une analyse mul- tirésolution satisfait une équation de dilatation.

Proposition 1.3 (la dilatation équation pour '(t)) Supposons que '(t) est la fonc- tion d’échelle pour une analyse multirésolution fV_lgl2Z de L²(R) Puis '(t) satisfait à l’équation de dilatation

'(t) = X

k2Z

h_k'(2t k) (1-9)

Telque

h_k =< '(t); '_1;k(t)> (1-10) Alors, pour '_j;k(t) dé…nie en (1.5), nous avons

'_j;k(t) = X

k2Z

h_{k 2l}'_j+1;k(t) (1-11)

Les coe¢ cientsh_k, k 2Zqui apparaissent dans (1,10) forment ce qu’on appelle le …ltre de fonction d’échelle. On note généralement ce …ltre par h= (:::; h ₁; h₀; h₁; :::).

Proof. On a V_j sont des espaces emboitées ;en particulié V₀ V₁.soit '(t) 2 V₀implique que'(t)2V1, d’aprés la proposition (1-2) nous pouvons écrit par une combinaison léniare d’élément de basef'_1;k(t)g^j2Z donc il existe un h_k, k 2Z telque

'(t) =X

k2Z

h_k'_1;k(t) = p 2X

k2Z

h_k'(2t k)

D’aprés le corrollaire (1-1) nous écrivons

h_k =< '(t); '_1;k(t)>=p 2

Z

R

'(t)'(2t k)dt

Et d’aprés (1-9) ;si nous remplaçons t par2^jt l nous obtient

'(2^jt l) =p 2P

k2Zh_k'(2(2^jt l) k)

=p 2P

k2Zh_k'(2^j+1t (2l+k))

(1-12)

Nous posons m=k+ 2l; donc k =m 2l et multiple (1-12) par 2^j2 on obtient

2^j2'(2^jt l) = '_j;l(t) = 2^j+12 P

m2Zh_{m 2l}'(2^j+1t m)

=P

m2Zh_{m 2l}'_j+1;m(t)

Proposition 1.4 (les fonctions d’échelle et ces espaces )

Supposons queVj =spanf'(2^jt k)gk2Z L²(R)et que'(t)2V0 satisfait une équation de dilatation (1-9). Puis V_j V_j+1et f(t)2V₀ si et seulement si f(2^jt)2V_j

Proof.: Nous prouvons que V_j V_j+1. Supposons que f(t)2V_j. Depuis V_j est engendré par'(2^jt k) k 2Z, nous pouvons écrire

f(t) = X

k2Z

a_k' 2^jt k (1-13)

Mais'(t)satisfait une équation de dilatation (1,9) , donc nous pouvons écrire

'(2^jt k) =p 2P

l2Zh_l'(2(2^jt k) l)

=p 2P

l2Zh_l'(2^j+1t 2k l)

(1-14)

Insertion (1.13) dans (1.14) donne

f(t) =P

k2Za_k(p 2P

l2Zh_l'(2^j+1t 2k l))

=p 2P

k2Za_k(P

l2Zh_l'(2^j+1t 2k l))

Maintenant, nous faisons la substitutionm= 2k+lsur la somme intérieure. Puisl =m 2k et nous avons :

f(t) = p 2P

k2Za_k(P

m2Zh_{m 2k}'(2^j+1t m))

=P

m2Z(p 2P

k2Zakhm 2k)'(2^j+1t m)

Ainsi nous avons écritf(t)comme une combinaison linéaire des fonctions'(2^j+1t m),m2 Z, où les coe¢ cients sont p_m =p

2P

k2Za_kh_{m 2k} , de sorte quef(t)2V_j+1 .

Nous pouvons utiliser l’équation de dilatation (1.9) pour obtenir des propriétés satisfaites par des éléments du …ltre d’échelleh.

Proposition 1.5 ( propriétés du …ltre d’échelle ) Supposons que fV_Jg^j2Z est une analyse multirésolution de L²(R) avec fonction d’échelle '(t) Soit h est le …ltre d’échelle alors les …ltres d’échelle fh_kg_k2Zvéri…ent :

X

k2Z

jh_k j² = 1 X

k2Z

h_k=p 2 X

k2Z

h_kh_{k 2n} = _{0;n 8n2Z}

Exemple 1.2 ( fonction et …ltre d’echelle de Haar ).Rappellons que dans ce cas la fonction d’échelle est construite à partir de la fonction même '(t) déterminée par :

'(t) = 8>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>:

0 si t <0 1 si 0 t <1

0 si 1 t

:

On aura donc :

8>

>>

<

>>

>:

'_1;0(t) = p

2'(2t) = 1 si t 2 0;¹₂ '_1;0(t) = p

2'(2t) = 0 sinon :

ce qui con…rme la décomposition suivante de'(t):

'(t) = 1

p2'_1;0(t) + 1

p2'_1;1(t):

La séquence numérique équivalente à la réponse impulsionnelle du …ltre h_k sera donc :

h_k = (

:::;0; 1 p2; 1

p2;0; :::

) : L’élément souligné correspond à k= 0.

1.4 Projections dans l’espace V

j

Nous voulons penser des espaces V_J pour une analyse multirésolution générale de L²(R) comme des espaces d’approximation. Ainsi, nous avons besoin pour projeter une fonction arbitraire f(t)2L²(R) dans V_J Rappelons que le

P_jf(t) = X

k2Z

hf(t); '_j;k(t)i'_j;k(t) (1-15)

Depuis les espacesV_J sont imbriquées, nous pouvons passer d’un espace d’approximation

V_J+1 à,V_J. Nous le faisons à travers une projection et le résultat suivant.

Proposition 1.6 (Projection Fonctions de V_J+1 dans V_J) Supposons que fV_Jg^j2Z est une analyse multirésolution de L²(R) avec '(t) la fonction d’échelle associé. Supposons quef_j+1(t)2V_j+1 est de la forme

f_j+1(t) =X

k2Z

a_k'_j+1;k(t) (1-16)

où'_j+1;k(t) est donnée par (1.5). Si f_j(t) est la projection de f_j+1(t) dans V_J, alorsf_j(t) a la forme

f_j(t) = X

l2Z

b_l'_j;l(t) =X

l2Z

X

k2Z

a_kh_{k 2l}

!

'_j;l(t) (1-17)

oùh_k, k2Z sont les coe¢ cients de …ltre d’échelle …gurant dans la proposition 1.3

1.5 La fonction ondelette

Dé…nition 1.3 (la fonction et le …ltre d’ondelette ) Supposons que fV_Jg^j2Z est une analyse multirésolution deL²(R)avec'(t)la fonction d’échelle associé qui satisfait l’équa- tion de dilatation (1,6).[6] Nous dé…nissons la fonction d’ondelette (t)2V₁par

(t) = p 2X

k2Z

g_k'(2t k) (1-18)

et plus généralement, les fonctions j;k(t)2V_j+1 par

j;k(t) = 2^j2 2^jt k (1-19)

pour les entiers k; l2Z. Le …ltre d’ondelettes est donné par g = (:::; g ₁; g₀; g₁; :::), où

g_k = ( 1)^kh_{1 k} k 2Z (1-20)

Exemple 1.3 (la fonction et …ltre d’ondelettes de Haar ) D’aprés l’analyse multi- résolution de Haar. Rappelons que dans ce cas la fonction d’ondelette est constuit à partir de la fonction mère (t)dé…nie par :

(t) = 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

:

0 si t <0 1 si 0 t < ¹₂ 1 si ¹₂ t <1

0 si 1 t

la fonction d’onde mere de Haar

donc la décomposition suivante pour (t):

(t) = '(2t) +'(2t 1);

soit :

(t) = 1

p2'_1;0(t) + 1

p2'_1;1(t):

La séquence numérique équivalante à la réponse imputionnelle du …ltre g_k sera donc :

g_k = (

:::;0; 1 p2; 1

p2;0; :::

) :

Proposition 1.7 (Dilatation équation pour j;k(t))Soit j;k(t)être donné par (1.19), oùj; k 2Z. Pour tout entier l 2Z nous ont

j;k(t) = X

k2Z

g_{k 2l}'_j+1;k(t) =X

k2Z

( 1)^kh_{1+2l k}'_j+1;k(t) (1-21)

1.6 Les espaces d’ondelettes W

j

Le résultat suivant, dû à Stéphane Mallat [14] et Yves Meyer [17], identi…e le complément orthogonalW_J àV_j dans V_j+1 et établit une base orthonormée pourW_J.

Théorème 1.1 (L’orthonormalité de W_J) Supposons que fV_Jg^j2Z est un multiréso- lution analyse de L²(R) avec '(t) la fonction d’échelle associé qui satisfait l’équation de dilatation

'(t) = p 2X

k2Z

h_k'(2t k)

Ici, nous supposons que. le …ltre d’échelleh= (:::; h ₁; h₀; h₁; :::). est composé de nombres réels.

Soit la fonction d’ondelettes (t)2V₁ être donné par Dé…nition 1.3. si.

W_J =spanf ^j;k(t)gk2Z (1-22)

puis W_J est le complément orthogonal de V_j dans V_j+1. En d’autres termes,

V_j+1 =V_j W_j; (1-23)

En autre, l’ensemblef ^j;k(t)gk2Zforme une base orthonormée pour W_J

Proof. La preuve de ce théorème est assez technique, et les arguments qui apparaissent dans [14] et [17] utilise la transformée de Fourier. Une très belle démonstration de ce théorème ça n’a pas utiliser la transformée de Fourier apparaît dans le livre de Boggess et Narcowich].

Figure 1 : Schema d’analyse multiresolution

1.7 Projection de V

_j+1

dans W

_j

Pour décomposer une fonction f_j+1(t) 2 V_j+1, on utilise le fait que V_j+1 = V_j W_j et écrirefj+1(t) = fj(t) +!j(t), oùfj(t),!j(t)sont orthogonales,fj(t)2Vj est la projection orthogonale de f_j+1(t) dans V_j et !_j(t) 2 W_j est la projection orthogonale de f_j+1(t) dansW_j. Nous avons déjà une formule (1.17) pourf_j(t). Maintenant, nous cherchons une

formule pour!_j(t). Nous avons la proposition suivante :

Proposition 1.8 (Projection Fonctions de V_j+1 dans W_j) Supposons que fV_Jg^j2Z

est une analyse multirésolution de L²(R) avec '(t) la fonction d’échelle associé. Laissez les espacesW_j être donnés par (1-22) avec la fonction ondelette (t)associé.Supposons que f_j+1(t)2V_j+1 est de la forme

f_j+1(t) = X

k2Z

a_k'_j+1;k(t)

où '_j+1;k(t) donné par (1-5) et a_k =< f_j+1(t); '_j+1;k(t) >; si !_j(t) est la projection orthogonale de fj+1(t) dans Wj ,alors s’écrit de la forme

!_j(t) =P

l2Zc_{k j;l}(t) =P

l2Z

P

k2Za_kg_{k 2l j;l}(t)

=P

l2Z

P

k2Za_k( 1)^kh_{1+2l k j;l}(t)

(1-24)

où gk ,k 2 Z sont les coe¢ cients de …ltre d’ondelettes donnés par (1.20) et j;l(t) est donnée par (1.18).

1.8 algorithme de Mallat

Cet algorithme est construit à partir de la projection de la fonction à étudier sur les sous espaces d’approximationV_j et les espaces de détailsW j.[11];[13];[14]

En traitement de signalf, nous ne savons pas en général l’expression def mais seulement une approximation d’une échelle donnée.

Ainsi l’objectif de l’algorithme est de calculer à partir de cette approximation les détails et les approximations au résolutions inférieurs.

Soit'la fonction d’échelle qui par translation engendre une base orthonormée de V_j et la fonction d’ondelette associée engendre la même chose une base orthonormée de l’espace W j,une représentation commpléte est donnée dans[9]:

Par construction, nous avons'(t)est une fonction deV₀ est parcequeV₀ V₁, alors il est facile et possible de projecter '(t) sur V₁. Les coe¢ cients de la projection donnent une suite numériqueh_n assinilable à la réponse impulsionnelle d’un …ltre numérique.

De la même manière, (t) est une fonction deW₀ et commeW₀ V₁ donc, il est possible aussi de projecter (t)surV₁. Les coe¢ cients de la projection donnent une suite numérique (g_n) assinilable à la réponse impulsionnelle d’un …ltre numérique.

Finalement, on notea^j_nles coe¢ cients de la projection de la fonctionf sur les sous espaces d’approximation etd^j_n les coe¢ cients de la projection de la fonctionf sur les sous espaces de détails .[14]

1.8.1 Décomposition à di¤érentes échelles

Proposition 1.9 Soit'(t)être des fonctions qui génèrent analyse multirésolution avec la fonction ondelette associés (t). Alors pour tout j; k, 2 Z la dilatation suivante équations détiennent :

'_j;k(t) =X

l2Z

h_{l 2k}'_j+1;l(t) (1-25)

j;l(t) =X

l2Z

g_{l 2k}'_j+1;l(t) (1-26)

où les coe¢ cients h_k et g_k sont .les …ltres d’echelle et d’ondelettes

Avec ces équations de dilatation à la main, nous pouvons maintenant trouver les coe¢ cients de projection dans les analyses multirésolution

. Supposons quef_j+1(t)2V_j+1 ont la forme

f_j+1(t) =X

k2Z

a_j+1;k'_j+1;k(t) (1-27)

En suite, la projection defj+1(t) dans Vj,et :

f_j(t) = X

k2Z

a_j;k'_j;k(t) (1-28)

et la projection def_j+1(t) dans W_j, et :

!_j(t) = X

k2Z

d_{j;k j;k}(t) (1-29)

où

a_j;k =X

l2Z

h_{l 2k}a_j+1;l (1-30)

d_j;k =X

l2Z

g_{l 2k}a_j+1;l (1-31)

Figure2 :Algorithme d’analyse de Mallat(ondelette orthogonale)

1.8.2 reconstruction

C’est un processus simple pour récupérerfj+1(t)2Vj+1 à partir des projections defj+1(t) dansV_j etW_j. Supposons quef_j(t)et!_j(t)sont les projections def_j+1(t)dansV_j etW_j, respectivement. puis

f_j+1(t) =X

k2Z

a_j+1;k'_j+1;k(t)

f_j(t) = X

l2Z

b_l'_j;l(t) =X

l2Z

X

k2Z

a_kh_{k 2l}

!

'_j;l(t)

!_j(t) =X

l2Z

d_{k j;l}(t) =X

l2Z

X

k2Z

a_k( 1)^kh_{1+2l k}

!

j;l(t) avecf_j+1(t) =f_j(t) +!_j(t). Donc, nous obtenons

b_l =< f_j(t); '_j;l(t)>=X

k2Z

a_kh_{k 2l} (1-32)

d_l=< !_j(t); _j;l(t)>=X

k2Z

a_k( 1)^kh_{1+2l k} (1-33)

telque :

a_j+1;k =< f_j+1(t); '_j+1;k(t)> (1-34)

Pour la reconstruction, nous supposons queb_k,d_k, sont connus et nous utilisons ces valeurs pour récupérer a_k, k 2Z. Depuisf_j+1(t) =f_j(t) +!_j(t), nous pouvons utiliser (1-28) au (1-29) pour écrire

f_j+1(t) =X

l2Z

b_l'_j;l(t) +d_{k j;l}(t)

Depuis ak est donnée par (1.34), nous pouvons écrire l’identité ci-dessus avec 'j+1;l(t) pour obtenir

a_k =< f_j+1(t); '_j+1;k(t)>

=<X

l2Z

b_l'_j;l(t) +d_{k j;l}(t); '_j+1;k(t)>

ak =< fj+1(t); 'j+1;k(t)>

=<P

l2Zb_l'_j;l(t) +d_{k j;l}(t); '_j+1;k(t)>

=P

l2Zb_l < '_j;l(t); '_j+1;k(t)>+d_k< _j;l(t); '_j+1;k(t)>

De la preuve de la proposition (1.6) nous savons que < '_j;l(t); '_j+1;k(t)>= h_{k 2l}„nous avons< _j;l(t); '_j+1;k(t)>=g_{k 2l}= ( 1)^kh_{1+ k2l}, de sorte que

a_k=X

l2Z

b_lh_{k 2l}+d_k( 1)^kh_{1+ k2l}

Fugure 3 :Algorithme synthese de Mallat (ondelette orthogonale)

Alors, la conclusion de l’algorithme d’analyse et syntèse de Mallat d’une fonction (signal) dans le cas d’ondelette orthogonal sera comme la suite :

Fugure 4 :Algorithme d’analyse et synthese de Mallat (ondelette orthogonale)

1.9 Approximation des bases d’ondelettes orthogo- nales

L’approximation d’une fonction f à une résolution 2 ^jest spéci…é par une grille discret des échantillons qui fournit des moyennes locales def sur des quartiers de taille propor- tionnelle à 2^j. Une approximation multirésolution est ainsi composé des grille embarquée d’approximation. Plus formellement, l’approximation d’une fonction à une résolution2 ^j est dé…ni comme une projection orthogonale sur un espaceV_j 2 L²(R) . L’espace V_j re- groupe toutes les approximations possibles à la résolution2 ^j. Le orthogonal projection est hors de la fonctionPjf 2 Vj qui minimisekf Pjfk. Ce qui suit dé…nition introduite par Mallat[14] et Meyer[16]précise la mathématique propriétés des espaces multi-résolutions.

Pour éviter toute confusion, nous insistons sur le fait qu’un2^j du paramètre d’échelle est l’inverse de la résolution2 ^j [5].

On peut, à l’aide de la connaissance de l’ordre d’une analyse multirésolution et la régularité d’une fonctionf 2L₂(R); déterminer l’erreur de projection entref etP_jf. supposant que l’on à déja la fonction d’échelle'etf deL₂(R), et que l’AMR engendrée par'est d’ordre m, et l’ondellette est associée.[12]

Exemple 1.4 La décomposition d’un signal x(t) = sin(3t) + sin(0:3t) + sin(0:03t)sur une base d’ondelettes orthogonales engendrée par l’onde mère db2. Jusqu’au

niveau 2

Figure 5 :La decomposition x(t) sur une base d’ondelettes orthogonales engendree par l’onde mere db2.

Le signal approximé à partir de la bande d’approximation niveau 2

Fugure 6 :L’approximation x(t) sur une base d’ondelettes orthogonales engendree par l’onde mere db2.

Analyse multirésolution et biorthogonalité

La biorthogonalité est la généralisation utile d’orthogonalité que nous explorons dans ce chapitre. Dans ce chapitre, nous construisons une structure biorthogonale appelée une analyse multirésolution duale [2] Nous avons considéré la notion de bases orthogonales qui ont in…niment nombreux éléments et qui peut être utilisé pour représenter fonction arbitraire L²(R), nous allons examiner. tels systèmes sont appelés base de Riesz.Les pro- priétés de stabilité et l’exhaustivité des bases d’ondelettes bi-orthogonales sont décrits de reconstruction parfaite des …ltreshetehayant une réponse impulsion …nie. L’avantage d’on- delettes biorthogonales est d’introduire une certaine souplesse par-rapport aux ondelettes orthogonales[3]:

2.1 Analyse multirésolution biorthogonale

Dé…nition 2.1 (Ensembles biorthogonales et Espaces dual)Soit 'e(t)et '(t)deux fonctions dans L²(R) et de dé…nir les espaces duales, nous proposons que ' et 'e sont à

support compact[7]

V₀ =spanf'(t k)gk2Z et Ve₀ =spanf'e(t k)gk2Z (2-1)

L’ensemblef'e(t k)gk2Z est biorthogonal à l’ensemble f'(t k)gk2Zsi pour tout k; m2 Z, nous avons

<'e(t m); '(t k)>=

Z

R

e

'(t m); '(t k)dt= _m;k (2-2)

Nous disons que 'e(t) et '(t) sont duals générateurs et Ve₀ et V₀ sont espaces duals

Une conséquence d’être deux générateurs est que les ensembles biorthogonauxf'e(t k)gk2Z

et f'(t k)gk2Z sont automatiquement linéairement indépendants

2.2 Les Fonctions '

j;k

(t)et ' e

j;k

(t)

Dé…nition 2.2 (Les Fonctions '_j;k(t)et 'e_j;k(t)) Supposons que'e(t)et'(t)sont deux générateurs de Ve0 et V0 Pour tous entiers j et k, nous dé…nissons les fonctions

'_j;k(t) = 2^j2' 2^jt k et 'e_j;k(t) = 2^2j'e 2^jt k (2-3)

Le résultat suivant est immédiate

Proposition 2.1 (biorthogonalité pour '_j;k(t)et'e_j;k(t))Supposons,j; k et msont des nombres entiers. puis

< '_j;k(t);'e_j;m(t)>= _m;k (2-4)

'(t) = p 2X

k2Z

hk'(2t k) e

'(t) = p 2X

k2Z

eh_k'e(2t k)

(2-5)

Nous pouvons dé…nir les espaces Ve_j et V_j

Dé…nition 2.3 (Les espaces Ve_j et V_j) Soit j; k 2 Z. Si '_j;k(t)et 'e_j;k(t) sont donnés par (2.3), nous dé…nissons les deux espaces

V_j =spanf'_j;k(t)gk2Z et Ve_j =spanf'e_j;k(t)gk2Z

2.3 Projections dans les espaces V e

_j

et V

_j

Dé…nition 2.4 (Projections biorthogonales) Soit f(t) 2 L²(R) et supposons que Vej

et V_j sont deux espaces. Les projections def(t) dans V_j et Ve_j sont donnés par

f_j(t) =P_f;j(t) = X

k2Z

a_j;k'_j;k(t) et fe_j(t) =Pe_f;j(t) = X

k2Z

ea_j;k'e_j;k(t)

respectivement, où

a_j;k =< f(t);'e_j;k(t)> et ea_j;k =< f(t); '_j;k(t)>

Théorème 2.1 (condition de …ltre dual)Supposons que'e(t)et'(t)satisfaire l’équa- tions de dilatation (2,5). Ces fonctions sont deux générateurs si et seulement si pour tout k2Z

X

l2Z

eh_lh_{l 2k}= _k;0 (2-7)

Proposition 2.2 (Les …ltres eg et g) les coe¢ cients de …ltre eg et g sont donnés compo- sante par composante, par

e

g_k= ( 1)^kh_{1 k} et g_k= ( 1)^keh_{1 k} (2-8)

2.4 Les fonctions d’ondelettes e (t) et (t)

Dé…nition 2.5 (Les fonctions d’ondelettes e(t)et (t)) Supposons que 'e(t)et'(t) satisfont les équations de dilatation donnés par (2.5). Nous dé…nissons des fonctions on- delettes e(t) et (t) par

(t) =p 2X

k2Z

g_k'(2t k) et e(t) = p 2X

k2Z

e

g_k'e(2t k) (2-9)

où les coe¢ cientseg et g sont donnés par (2.8) de la Proposition 2.4.

Dé…nition 2.6 (Les fonctions d’ondelettes e_j;k(t) et j;k(t)) Supposons que e(t) et (t) sont les fonctions ondelettes données par Dé…nition (2.4.1) Puis pour les entiers j et k nous dé…nissons

j;k(t) = 2^j2 2^jt k et e_j;k(t) = 2^j2 e 2^jt k (2-10)

Nous pouvons maintenant dé…nir les espaces d’ondelettesW_j etWf_j.

Dé…nition 2.7 (Les Espaces ondelettes W_j et Wf_j) Soit j; k 2Z. Si e(t) et (t)sont donnés par (2.10), alors nous dé…nissent les espaces d’ondelettes

W_j =spanf ^j;k(t)gk2Z et fW_j =spann

e_j;k(t)o

k2Z (2-11) Notre objectif est maintenant de développer les relations entre les deux espaces et des espaces d’ondelettes analogues à celles décrites dans le chapitre 1. En particulier, nous montrons que les deux espaces peuvent être décomposées comme

V_j+1 =V_j W_j Ve_j+1 =Ve_j fW_j

et cela conduira à des relations de biorthogonalitéW_j ?Ve_j etV_j ?fW_j Ces relations permettent les hiérarchies multirésolutions fV_jgk2Z et n

e V_jo

k2Zet leurs sé- quences d’espaces de complément fW_jgk2Z et n

Wf_jo

k2Z à "s’assemblent comme une fer- meture éclair géante» , comme Daubechies décrit la structure [20].

Nous a¢ rmons maintenant plusieurs relations d’orthogonalité obéi par les fonctions d’échelle et les fonctions d’ondelettes.

Théorème 2.2 (Relations d’orthogonalité de fonctions d’echelles et ondelettes) Nous supposons que'e(t) et '(t) satisfont à la condition de la dualité et les équations de dilatation (2,5). Si '_j;k(t)et 'e_j;k(t) sont donnés par dé…nition (2.1) et e_j;k(t) et j;k(t) sont donnés par dé…nition (2.2), les relations d’orthogonalité puis suivantes sont valables pour tous les entiersj; k; l; et m :

< '_j;k(t); e_j;l(t)> = 0

<'e_j;k(t); _j;l(t)> = 0

< e_j;k(t); _l;m(t)> _{j;m k;l}

Dé…nition 2.8 (biorthogonales fonctions d’échelle) si deux fonctions 'e(t) et '(t) satisfaire à la condition de biorthogonalité (2.1), peuvent être construits par des équations de dilatation (2,5), et de satisfaire le théorème 2.2, alors nous disons que 'e(t) et '(t) sont des fonctions d’échelle biorthogonaux.

Voici une dé…nition formelle de généraliser une analyse multirésolution à notre paramètre biorthogonal.

Dé…nition 2.9 (Dual Biorthogonal d’Analyse Muliresolution)Supposons quen Ve_Jo

k2Z

et fV_Jgk2Z sont des suites de sous-espaces imbriqués de L²(R) V_j V_j+1 et Ve_j Ve_j+1 et que chaque satisfait le critère (1,1) dé…nition de (1,1) d’une analyse multirésolution de

L²(R). Si f'e(t k)gk2Z et f'(t k)gk2Z sont des bases de Riesz de Ve₀ et V₀, respective- ment, alors nous disons n

Ve_Jo

k2Z et fV_Jgk2Z formons une analyse multirésolution double ou une analyse multirésolution biorthogonale de L²(R) .

2.5 Algorithme de Mallat

2.5.1 Décomposition à di¤érentes échelles

Les idées pour la décomposition en utilisant des fonctions d’échelle et des ondelettes bior- thogonales. Nous allons maintenant d’une manière plus systématique, en commençant par une généralisation des équations de dilatation pour relier les espacesV_j+1 etVe_j+1 avec les espacesV_j, W_j etVe_J, Wf_J, respectivement.[2];[3]

Proposition 2.3 (Dilatation équations à di¤érentes échelles) Soit 'e(t) et '(t) être des fonctions qui génèrent analyse multirésolution biorthogonale avec des fonctions ondelettes biorthogonales associés e(t) et (t). Alors pour tout j; k, 2Z la dilatation suivante équa- tions détiennent :

'j;k(t) =X

l2Z

hl 2k'j+1;l(t)

e

'_j;k(t) =X

l2Z

eh_{l 2k}'e_j+1;l(t)

j;l(t) =X

l2Z

g_{l 2k}'_j+1;l(t) e_j;k(t) = X

l2Z

e

g_{l 2k}'e_j+1;l(t)

où les coe¢ cients h_k ,eh_k et g_k, eg_k sont dé…nis par les équations de dilatation ( 2,7 ) et ( 2,8 ) .

Avec ces équations de dilatation à la main, nous pouvons maintenant trouver les coe¢ cients de projection dans les analyses multirésolution duales.

Proposition 2.4 (projections dans un double analyses multirésolution)Soit'e(t) et '(t) être des fonctions qui génèrent analyse multirésolution double échelle n

Ve_Jo

k2Z

et fV_Jgk2Z avec associé fonctions ondelettes biorthogonales e(t) et (t). Supposons que f_j+1(t)2V_j+1 et fe_j+1(t)2Ve_j+1ont la forme

f_j+1(t) =X

k2Z

a_j+1'_j+1;k(t) et fe_j+1(t) = X

k2Z

ea_j+1'e_j+1;k(t): (2-12)

En suite, les projections de f_j+1(t) et fe_j+1(t) dans V_j, Ve_J, respectivement, sont

fj(t) =X

k2Z

aj'j;k(t) et fej(t) = X

k2Z

e

aj'ej;k(t); (2-13)

et les projections des ffj+1(t) et fe_j+1(t) dans W_j, fW_J respectivement, sont

!_j(t) = X

k2Z

d_{j j;k}(t) et !e_j(t) =X

k2Z

de_je_j;k(t) (2-14)

où

a_j;k =X

l2Z

eh_{l 2k}a_j+1;l et ea_j;k =X

l2Z

h_{l 2k}ea_j+1;l (2-15)

d_j;k =X

l2Z

e

g_{l 2k}a_j+1;l et de_j;k =X

l2Z

g_{l 2k}ea_j+1;l (2-16)

Figure7 :Algorithme d’analyse de Mallat(ondelette biorthogonale)

2.5.2 reconstruction

Supposons maintenant que nous avons une fonction f(t) 2 V_j+1 dont la projection coef-

…cients a^j =fa_j;kg dans V_j et d^j =fd_j;kg dans W_j sont connus. Comment pouvons-nous récupérer les coe¢ cients fa_j+1;mg de f(t) dans V_j+1? Pour résoudre ce problème, nous devons imiter les algorithmes de reconstruction du réglage orthogonale en utilisant les équations de dilatation de la Proposition (2-7) :

f(t) =X

j2Z

a_j;k'_j;k(t) +X

j2Z

d_{j;k j;k}(t) (2-17)

Multipliez les deux côtés de cette équation par'e_j+1;m a…n que nous puissions pro…ter de la dualité, et intégrer surR pour obtenir

< f(t);'e_j+1;m(t)> =P

j2Za_j;k < '_j;k(t);'e_j+1;m(t)>+P

j2Zd_j;k < _j;k(t);'e_j+1;m(t)>

=P

j2Za_j;kP

l2Zh_{l 2k} < '_j+1;l(t);'e_j+1;m(t)>+P

j2Zd_j;kP

l2Zg_{l 2k} < _j+1;l(t);'e_j+1;m(t)>

où la dernière étape utilise des équations de dilatation de la Proposition (2-7). Le principe de la dualité (2-5) nous dit que les produits scalaire ci-dessus est l;m. Nous pouvons ainsi

simpli…er le produit scalaire et écrire

< f(t);'e_j+1;m(t)>=X

j2Z

a_j;kh_{m 2k}+X

j2Z

d_j;kg_{m 2k}

Maisa_j+1;m =< f(t);'e_j+1;m(t)>;formule que nous avons souhaitée pour la reconstructio

a_j+1;m =X

j2Z

a_j;kh_{m 2k}+X

j2Z

d_j;kg_{m 2k}

Figure 8 :Algorithme de synthese de Mallat(ondelette biorthogonale)

En conclusion, on peut présenter l’algorithme d’analyse et de synthèse de Mallat d’une fonction (signal) dans le cas d’ondelette orthogonale comme le schéma suivante :

Figure 9 :Algorithme d’analyse et synthese de Mallat (ondelette biorthogonale)

2.6 Approximation des bases d’ondelettes biorthogo- nales

Exemple 2.1 La décomposition d’un signalx(t)sur une base d’ondelettes biorthogonales engendrée par l’onde mère bior4.4. jusqu’au niveau 2.

Fugure 10 :La decomposition d’un signal x(t) sur une base d’ondelettes biorthogonales engendree par l’onde mere bior4.4

Le signal approximé à partir de la bande d’approximation niveau 2

fugure 11 : L’approximation d’un signal x(t) sur une base d’ondelettes biorthogonales engendree par l’onde mere bior4.4

Comparaison numérique entre les bases d’ondelettes orthogonales et biorthogonales dans la compression d’images

3.1 Introduction

Ce chapitre focalise l’attention sur le schéma de compression d’images, comment utiliser la DWT pour la compression, …nalement nous proposons une étude comparative entre des méthodes de compression qui sont basées sur la DWT avec le type d’onde mére orthogonale et biorthogonale, dans le but de faire une comparaisons entre les deux types d’ondes mères qui nous o¤re une meilleure compression.

3.2 Généralités sur la compression

La compression de données a pour but de réduire l’espace requis pour le stockage d’une certaine quantité d’information. Généralement le …chier ou l’image traité contient des

informations qui ne sont pas essentielles, la redondance de données est la base essentielle des méthodes de compression. Notons qu’il existe deux types de compression :

Compression sans perte : permet de retrouver exactement toute l’information conte- nue dans l’image originale. La majorité de ces méthodes sont basées sur le codage ou la prédiction.

Compression avec perte : Ce type de compression comporte une perte de données pendant le processus. Le résultat qu’on peut obtenir est une version dégradée de l’image originale. Le but de ce type de compression est d’éliminer le plus d’information possible sans diminuer la qualité de l’image perçue par le système visuel humain.

Etant donné que l’objectif d’une méthode de compression est de minimiser la quantité d’information qui nécessite à la représentation d’une image, on dé…nit quelques mesures qui sont utilisées par la communauté du traitement d’images dans le cadre d’évaluer une méthode de compression :

Taux de compression :

CR= Nombre de bits de l’image originale

Nombre de bits de l’image compressée (3-1) Erreur quadratique moyenne (Mean square Error) :

MSE = 1

m n

Xm i=1

Xn j=1

(I₀(i; j) I₁(i; j))² (3-2)

tel que :

I0l’image originale de taille n m représentée sur 256 niveaux de gris variant de 0 à 255 I1l’image de même taille après reconstruction.

Le rapport signal maximal sur bruit (peak Signal to Noise Ratio) :

PSNR = 20 log (255)² MSE

!

(3-3)

PSNR est une mesure permette d’estimer numériquement la qualité de l’image recons- truite.

Dans ce mémoire nous intéressons par compression avec perte

3.3 Compression avec perte

Un schéma de compression avec perte [10] est composé d’un module de transformée, un module de quanti…cation et en…n un codeur.

Figure12 : :Schema de compression d’une image avec perte

Concernons notre exposé nous interessons par l’application du premier module de ce shéma ,puisque la majorité des algorithmes de compression avec pert basées sur cette étape.

3.3.1 Transforée discréte

La plus part des méthodes de compression avec perte n’agissent pas directement sur l’image numérique dans sa représentation canonique, mais sur le domaine de sa transformé. Cette transformation peut être linéaire ou non. Il est bien connu qu’une transformation peut permettre de mettre en évidence certaines propriétés de l’image que la représentation originale ou canonique ne laisse pas apparaître. En partant d’un ensemble de valeurs numériques corrélées d’une image, le but est d’obtenir un autre ensemble de valeurs le moins corrélées possible dans l’espace transformé. En général,les schémas de compression par transformation subdivisent l’image de taille NxN en sous-images de taille plus petites avant de faire subir à chacune de ces sous images une transformation. On privilégie les transformations qui sont unitaires et qui conservent l’énergie. La transformation consiste à décomposer une image selon une base adéquate de fonction telles que :

- les coe¢ cients de la transformée soient indépendants

- un nombre minimum de ces coe¢ cients contienne une proportion importante de l’énergie de l’image

Ainsi, on pourra mettre à zéro certains d’entre eux sans nuire de manière signi…cative nià la quantité d’énergie, ni à l’aspect visuel de l’image reconstruite.

On peut distinguer plusieurs transformées [11].

Transformation de Fourier discrète (DFT) Transformation de Karhunen-Loeve (KLT) Transformation de Hadamard (HT)

Transformation en cosinus discrète (DCT) Transformation par ondelette discrète (DWT)

Concernant notre exposé, nous intéressons par la dernière transformée.

Cette transformée a révolutionné plusieurs domaines de l’imagerie notamment la compres- sion d’images, où elle permet un meilleur taux de compression que les autres et ceci avec une meilleure qualité d’image.

3.4 Etude comparative

Cette partie est consacrée a la simulation d’une comparaison entre les ondelettes ortho- gonales et biorthogonales dans le but de compression d’images.Dans cette opération nous utilisons les ondelettes orthogonales et biorthogonales qui sont intégrées dans Matlab.

Notre simulation est constituée d’étapes suivantes :

1 - Décomposition d’une image niveau de gris par la transformée en ondelette discrète(

DWT) ; dans cette étape nous varaions le type d’onde mére.

2 - Seuillage des cœ¢ cients d’ondelettes par un seuilT_H = 15 …xé.

3 - Calcule le pourcentage des cœ¢ cients nules obtenue par l’étape précédentes.

4 - Réstoration de l’image précedente à partir des cœ¢ cients d’ondelettes seuillées avec la transformée en ondelette inverse(IDWT).

5 - Calcule de PSNR dans le but musiré la qualité d’image reconstruite.

Dans ce qui suit nous présentons quelques résultat numériques et vésuales concernant notre simulation

*Le cas de type orthogonal :

onde mére db2 db3 db4 db5 db6

0 0 des cϢ cients nules 79.9468 80.4098 79.8734 79.7607 79.1620 PSNR 34.4928 34.8328 34.7332 34.7304 34.5892

db7 db8 coif1 coif4 coif5

78.7446 78.1933 80.0147 78.7988 78.3918 34.5454 34.5247 34.9125 34.7023 34.6385

image non compressee

image compressee par db2 image compressee par db3

image compressee par db4 image compressee par db5

image compressee par db6 image compressee par db7

image compressee par db8 image compressee par coi‡ette 1

image compressee par coi‡ette 4 image compressee par coi‡ette 5

*Le cas de type biorthogonal :

onde mére bior1.3 bior2.2 bior2.4 bior4.4 bior5.5 bior6.8

0 0 des cϢ cients nules 78.7703 81.0721 80.4739 81.0721 80.0565 80.0701 PSNR 34.9935 34.5583 34.6872 34.7268 34.2752 34.6769

image compressee par bior1.3 image compressee par bior 2.2

image compressee par bior2.4 image compressee par bior2.4

image compressee par bior5.5 image compressee par bior6.8

3.4.1 Conclusion

D’aprés les résultats de notre simulation, que nous avons e¤ectué, dans le cadre de com- paraison entre les shémas de compression qui sont basées sur la DWT avec l’onde mére type orthogonale et biorthogonale, nous pouvons deduire la remarque suivante :

Le pourcentage des cœ¢ cients nules dans le cas des ondelettes biorthogonales est supérieur que le cas des ondelettes orthogonales, ce qui nous o¤res une meilleure compression dans le cas des ondelettes biorthogonales. A partire les résultas que nous obtenons de notre sumilation, nous peuvons dire que l’onde mére la(bior 4.4) est la meilleure onde mére integrée la DWT dans le but de compression.