Contributions à l'étude d'une marche aléatoire centrifuge et théorèmes limites pour des processus aléatoires conditionnés.

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Contributions à l’étude d’une marche aléatoire centrifuge et théorèmes limites pour des processus

aléatoires conditionnés.

Rodolphe Garbit

To cite this version:

Rodolphe Garbit. Contributions à l’étude d’une marche aléatoire centrifuge et théorèmes limites pour

des processus aléatoires conditionnés.. Mathématiques [math]. Université François Rabelais - Tours,

2008. Français. �tel-00366462�

UNIVERSIT´ E FRANC ¸ OIS-RABELAIS DE TOURS

ECOLE DOCTORALE S. S. T. ´

LABORATOIRE DE MATH ´ EMATIQUES ET PHYSIQUE TH ´ EORIQUE

TH` ESE

pr´ esent´ ee et soutenue par

Rodolphe GARBIT

le 20 octobre 2008

pour obtenir le grade de : Docteur de l’Universit´ e Fran¸ cois-Rabelais, Tours Discipline : Math´ ematiques

CONTRIBUTIONS ` A L’´ ETUDE D’UNE MARCHE AL´ EATOIRE CENTRIFUGE

ET

TH´ EOR` EMES LIMITES POUR DES PROCESSUS AL´ EATOIRES CONDITIONN´ ES

TH ` ESE dirig´ ee par :

M. LESIGNE Emmanuel Professeur, universit´ e de Tours M. PEIGN ´ E Marc Professeur, universit´ e de Tours RAPPORTEURS :

M. CARMONA Philippe Professeur, universit´ e de Nantes M. ENRIQUEZ Nathana¨ el Professeur, universit´ e de Paris X

JURY :

M. ABRAHAM Romain Professeur, universit´ e d’Orl´ eans M. CARMONA Philippe Professeur, universit´ e de Nantes

M. COULHON Thierry Professeur, universit´ e de Cergy-Pontoise M. ENRIQUEZ Nathana¨ el Professeur, universit´ e de Paris X

M. LE PAGE ´ Emile Professeur, universit´ e de Bretagne-Sud M. LESIGNE Emmanuel Professeur, universit´ e de Tours

M. PEIGN ´ E Marc Professeur, universit´ e de Tours

R´ esum´ e Dans la premi` ere partie de cette th` ese, nous ´ etudions un mod` ele de marche al´ eatoire centrifuge. Nous d´ emontrons une loi du logarithme it´ er´ e pour sa norme, et nous obtenons la loi asymptotique des fluctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de d´ ecroissance exponentielle de la probabilit´ e qu’elle se trouve ` a l’instant n dans un compact fix´ e en montrant que la probabilit´ e qu’une marche al´ eatoire centr´ ee classique retourne dans un compact ` a l’instant n sans quitter un cˆ one ne d´ ecroˆıt pas ` a vitesse exponentielle.

Dans la seconde partie, nous ´ etudions le mouvement brownien de dimension quelconque, condi- tionn´ e ` a rester dans un cˆ one de r´ evolution pendant une unit´ e de temps, et nous en d´ eduisons un principe d’invariance pour une marche al´ eatoire conditionn´ ee ` a rester dans un cˆ one.

Mots cl´ es : Marche al´ eatoire centrifuge, mouvement brownien conditionn´ e, th´ eor` emes limite.

Abstract In the first part of this thesis, we study a model of centrifugal random walk. We prove a Law of Iterated Logarithm for its norm, and find the asymptotic law of the fluctuations of its direction. We then give upper and lower bounds for the exponential decay of the probability that the centrifugal random walk visits a fixed compact set at time n; this is achieved by proving that the probability that a centered random walk visits a compact set at time n without having left a cone does not decrease exponentially.

In the second part, we study the multidimensional Brownian motion conditioned to stay in a circular cone for a unit of time, and derive an Invariance Principle for a random walk conditioned to stay in a circular cone.

Key words : Centrifugal random walk, conditioned Brownian motion, limit theorems.

Table des mati` eres

Notations 7

Introduction 9

I Contributions ` a l’´ etude d’une marche al´ eatoire centrifuge 23

1 Pr´ esentation du mod` ele 25

1.1 Mod` ele ´ el´ ementaire et hypoth` eses d’isotropie . . . . 25

1.2 Support de la marche centrifuge . . . . 27

1.3 Estimations de moments . . . . 31

2 Comportement en norme 33 2.1 Loi des grands nombres . . . . 33

2.2 Loi du logarithme it´ er´ e . . . . 34

2.3 Th´ eor` eme limite central fonctionnel . . . . 36

3 Comportement en direction 39 3.1 Convergence de la direction . . . . 39

3.2 Th´ eor` eme limite central pour l’angle en dimension deux . . . . 40

3.2.1 Angle de la marche centrifuge : d´ efinition et convergence . . . . 40

3.2.2 Quelques estimations . . . . 41

3.2.3 D´ emonstration du th´ eor` eme limite central pour l’angle . . . . 44

3.3 Th´ eor` eme limite central pour la direction . . . . 46

3.3.1 Quelques commentaires ` a propos de la dimension deux . . . . 47

3.3.2 De nouvelles estimations . . . . 47

3.3.3 D´ emonstration du th´ eor` eme limite central pour la direction . . . . 48

4 Comportement global 51 4.1 Une conjecture . . . . 51

4.2 Un th´ eor` eme limite central . . . . 52

5 Vers un th´ eor` eme limite local 55 5.1 Transform´ ee de Laplace . . . . 55

5.2 Encadrement du taux de d´ ecroissance de la probabilit´ e de retour dans un compact . 57 5.2.1 Majoration . . . . 58

5.2.2 Minoration . . . . 58

5.3 Cas d’´ egalit´ e des bornes de l’encadrement ; th´ eor` eme limite local . . . . 62

5.3.1 Marche centrifuge plane aux quatre plus proches voisins . . . . 62

5.3.2 Marches centrifuges de loi invariante par rotation . . . . 64

6 Sur le temps de sortie d’un cˆ one pour une marche al´ eatoire 67 6.1 Introduction . . . . 67

6.2 Cˆ one de s´ ecurit´ e . . . . 69

6.3 Probabilit´ e de retour ` a une distance inf´ erieure ` a la racine carr´ ee du temps sans jamais quitter le cˆ one . . . . 71

6.4 Probabilit´ e de retour dans une boule sans jamais quitter le cˆ one . . . . 73

6.5 A propos des constantes du th´ ` eor` eme . . . . 75

6.6 Application au cas d´ ecentr´ e . . . . 75

II Th´ eor` emes limites pour des processus al´ eatoires conditionn´ ees ` a rester dans des cˆ ones 77 7 Mouvement brownien conditionn´ e ` a rester dans un cˆ one 79 7.1 Mouvement brownien conditionn´ e . . . . 81

7.1.1 Propri´ et´ e de Markov . . . . 83

7.1.2 Probabilit´ es de transition . . . . 84

7.1.3 Continuit´ e ` a l’int´ erieur . . . . 86

7.1.4 Prolongement au bord . . . . 87

7.2 Le cas d’un demi-espace . . . . 94

7.2.1 Demi-droite et m´ eandre brownien . . . . 94

7.2.2 Demi-espace et m´ eandre brownien en dimension sup´ erieure . . . . 98

7.2.3 Application ` a des ouverts « lisses » . . . . 99

7.3 Le cas d’un cˆ one de r´ evolution . . . 107

7.3.1 Prolongement en dehors du sommet . . . 107

7.3.2 Prolongement au sommet . . . 108

8 Principe d’invariance pour des marches al´ eatoires conditionn´ ees 117 8.1 Marche al´ eatoire et processus de Donsker conditionn´ e . . . 117

8.1.1 Quelques d´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires . . . 117

8.1.2 Propri´ et´ e de Markov . . . 119

8.1.3 Convergence ` a l’int´ erieur du cˆ one . . . 120

8.2 Le cas d’un demi-espace . . . 120

8.2.1 La m´ ethode de Bolthausen pour la dimension 1 . . . 121

8.2.2 Extension en dimension sup´ erieure . . . 124

8.2.3 Application aux bords localement lin´ eaires . . . 128

8.3 Cˆ one quelconque . . . 128

8.3.1 Enonc´ ´ es des principaux r´ esultats obtenus . . . 129

8.3.2 La m´ ethode de Shimura . . . 130

8.3.3 Dans quels cas peut-on utiliser cette approche ? . . . 134

Annexes 139

A Th´ eor` eme limite central pour martingales 139

B Convergence en loi de processus 141

C Minimum des fonctions convexes 143

Bibliographie 145

Remerciements

Je tiens d’abord ` a exprimer toute ma reconnaissance envers mes deux directeurs de th` ese, Em- manuel Lesigne et Marc Peign´ e. Ils ont su patiemment aiguiller mes recherches, me proposer des pistes int´ eressantes, et m’ont toujours soutenu dans les moments de doutes. Je les remercie pour le temps qu’ils ont pass´ e ` a lire et relire mes manuscrits, parfois obscurs, et pour celui pass´ e ` a r´ efl´ echir aux questions que je leur posais. Je me rem´ emore avec une pointe de nostalgie toutes les fois o` u je frappais ` a leur porte avec une « petite question de math´ ematique ´ el´ ementaire » qui, g´ en´ eralement, nous occupait pendant quelques heures. . . Encore merci.

Je voudrais remercier ensuite ´ Emile Le Page de m’avoir g´ en´ ereusement accueilli ` a Vannes pen- dant quelques jours. Les heures que nous avons pass´ ees ` a d´ efricher certains travaux ´ epineux de M. Shimura ont permis au chapitre sur le mouvement brownien conditionn´ e de voir le jour.

Les deux rapporteurs de cette th` ese, Philippe Carmona et Nathana¨ el Enriquez, ont pris de leur pr´ ecieux temps pour lire minutieusement ce manuscrit et en r´ ediger un rapport. Je leur en suis profond´ ement reconnaissant.

Je remercie vivement Romain Abraham, Thierry Coulhon et ´ Emile Le Page d’avoir accept´ e de faire partie de mon jury.

Je tiens aussi ` a remercier les doctorants et anciens doctorants du laboratoire, et tout par- ticuli` erement Xavier Thirion, pour la bonne humeur qui r´ egnait dans nos bureaux. Mes remercie- ments vont aussi ` a Olivier Ley pour son aide sur quelques questions d’analyse. Je remercie ´ egalement Anne-Marie Chesnais et Bernadette Vall´ ee pour leur gentillesse d´ esormais l´ egendaire.

J’ai aussi une pens´ ee toute particuli` ere pour ´ Etienne Sandier sans qui je n’aurais peut-ˆ etre pas fait de math´ ematiques.

Ma famille et mes amis ont compris que j’´ etudie la marche d’un ivrogne qui essaie de fuir le commissariat au plus vite. Malgr´ e cela, ils m’ont toujours soutenu. Je les remercie de leur confiance.

Enfin, je remercie Julie qui rend ma vie plus belle.

Notations

Avertissement : constante variable Dans les in´ egalit´ es, les lettres κ, c ou C d´ esignent des constantes r´ eelles positives dont la valeur est susceptible de changer d’une ligne ` a l’autre.

Ensembles particuliers

– B(x, r) ou B ^d (x, r) = {y ∈ R ^d : ky − xk < r}, boule ouverte de centre x et de rayon r.

– B(x, r] ou B ^d (x, r] = {y ∈ R ^d : ky − xk ≤ r}, boule ferm´ ee de centre x et de rayon r.

– B ou B ^d = B ^d (0, 1), boule unit´ e de R ^d . – B r ou B ^d _r = B ^d (0, r).

– S(x, r) ou S ^d (x, r) = {y ∈ R ^d : ky − xk = r}, sph` ere de centre x et de rayon r.

– S ou S ^d = S ^d (0, 1), sph` ere unit´ e de R ^d . – S r ou S ^d _r = S ^d (0, r).

– O O _r = {y ∈ R ^d : kyk ≥ r}, couronne ext´ erieure ferm´ ee.

– O O ^R _r = {y ∈ R ^d : r ≤ kyk ≤ R}.

Inhabituelles mais efficaces

– (x _n ) ∈ (A _n ), signifie que, pour tout n, x _n ∈ A _n . Espace de fonctions

– C t ou C _t ^d , espace des fonctions continues sur l’intervalle [0, t], ` a valeurs dans R <sup>d</sup> . – C ∞ ou C <sub>∞</sub> <sup>d</sup> , espace des fonctions continues sur l’intervalle [0, +∞[, ` a valeurs dans R ^d . – Π _t , projection de C ∞ sur C _t par restriction : Π _t (w) = w _|[0,t] .

– X t ou X(t), fonctions coordonn´ ees : X t (w) = w(t).

– θ t , d´ ecalage temporel : θ t (w)(s) = w(t + s).

– θ _τ , d´ ecalage temporel par un temps optionnel : θ _τ (w)(s) = w(τ (w) + s).

Ecriture polaire ´ Pour tout x ∈ R ^d \ {0}, on note ~ x = x/kxk la projection du point x sur la sph` ere unit´ e S ^d−1 .

Abr´ eviation Le TTC d´ esigne indiff´ eremment l’une ou l’autre des deux versions du th´ eor` eme de la transformation continue qui sont pr´ esent´ ees en annexe (th´ eor` emes B.1 et B.2).

Terminologie Dans toute cette th` ese, le terme « positif » est employ´ e pour dire l’appartenance

`

a l’ensemble R ⁺ ∗ = {x ∈ R : x > 0}.

Introduction

Cette th` ese est compos´ ee de deux parties largement ind´ ependantes que nous pr´ esentons ici dans leurs grandes lignes.

Partie I. Contributions ` a l’´ etude d’une marche al´ eatoire centrifuge

La marche al´ eatoire centrifuge a ´ et´ e introduite et ´ etudi´ ee par J.-D. Fouks, E. Lesigne et M. Peign´ e dans [13]. C’est une chaˆıne de Markov dans l’espace euclidien R ^d , d ≥ 1, dont les transitions sont celles d’une marche al´ eatoire sym´ etrique, perturb´ ees par une d´ erive centrifuge. Plus pr´ ecis´ ement, les probabilit´ es de transition sont donn´ ees par la relation

(1) p(x, x + dy) = (1 + a(kyk)h ~ x, y i)µ(dy) =: µ _{~ x} (dy) (avec ~ x = x/kxk) ,

o` u µ est une loi de probabilit´ e sur R <sup>d</sup> , sym´ etrique et ` a support born´ e, et a est une fonction posi- tive convenablement choisie. La loi µ repr´ esente la loi de la marche non perturb´ ee. Pour obtenir un comportement centrifuge, on impose aux lois µ(dy) et a(kyk)µ(dy) de satisfaire les conditions d’isotropie suivantes :

1. la matrice de covariance de µ(dy) est ´ egale ` a m <sup>0</sup> I , m <sup>0</sup> > 0 ; 2. la matrice de covariance de a(kyk)µ(dy) est ´ egale ` a mI, m > 0.

L’accroissement moyen partant d’un point x ∈ R ^d est alors donn´ e par (2)

Z

y µ _{~ x} (dy) = m~ x , et la variance dans la direction ~ u vaut

(3)

Z

h y − m~ x, ~ u i ² µ _{~ x} (dy) =

( m ⁰ si ~ u ⊥ ~ x ; m ⁰ − m ² si ~ u = ~ x .

L’´ equation (2) assure que l’accroissement est centrifuge en moyenne, tandis que l’´ equation (3) montre que la dispersion est plus importante sur l’hyperplan orthogonal ` a la direction de l’accroissement.

L’exemple le plus simple de ces marches al´ eatoires centrifuges est celui de la marche centrifuge aux quatre plus proches voisins sur Z ² . Elle est obtenue en perturbant la marche simple aux quatre plus proches voisins sur Z ² , dont la loi µ est donn´ ee par

µ = 1

4 (δ _e

+ δ −e

+ δ _e

+ δ −e

) ,

avec e ₁ = (1, 0) et e ₂ = (0, 1). La fonction de perturbation a est choisie constante, ´ egale ` a un

param` etre compris entre 0 et 1. Pour un point x = (r cos θ, r sin θ) ∈ Z ² , les transitions aux quatre

plus proches voisins de x sont donn´ ees par :

p(x, x + e ₁ ) = 1

4 (1 + a cos θ) ; p(x, x − e ₁ ) = 1

4 (1 − a cos θ) ; p(x, x + e 2 ) = 1

4 (1 + a sin θ) ; p(x, x − e 2 ) = 1

4 (1 − a sin θ) . Les param` etres m ⁰ et m valent respectivement 1/2 et a/2.

Notons (X n ) n≥0 la chaˆıne de Markov ` a valeurs dans R ^d , issue de l’origine, associ´ ee aux transitions p d´ efinies par (1). Pour toute fonction mesurable born´ ee f sur R ^d , on a

E (f(X _n+1 ) | F _n ) = Z

f (X _n + y)(1 + a(kyk)h X ~ _n , y i) µ(dy) , o` u F <sub>n</sub> = σ{X <sub>1</sub> , . . . , X n } est la filtration naturelle associ´ ee ` a la suite (X n ).

Nous noterons ρ _n = kX _n k le module de la marche centrifuge et X ~ _n = X _n /ρ _n la direction de la marche centrifuge (lorsqu’elle est d´ efinie).

Dans l’article [13], J-D. Fouks, E. Lesigne et M. Peign´ e ´ etudient le comportement asymptotique en norme, puis en direction, de la marche centrifuge et obtiennent les r´ esultats suivants :

Th´ eor` eme 1 (Loi des grands nombres pour la norme). Presque sˆ urement, pour tout > 0,

n→∞ lim

ρ _n − nm n

⁺

= 0 . Th´ eor` eme 2 (Th´ eor` eme limite central pour la norme). La suite

ρ n − nm

√ n

converge en loi vers une loi normale centr´ ee de variance m ⁰ − m ² .

Th´ eor` eme 3 (Convergence de la direction). La suite des directions ( X ~ n ) converge presque sˆ urement vers une direction limite X. ~

Th´ eor` eme 4 (Support de la direction limite). En dimension d ≥ 2, le support de la loi de la direction limite X ~ est la sph` ere S ^d−1 tout enti` ere.

Th´ eor` eme 5 (Ind´ ependance asymptotique de la norme et de la direction). Le couple ρ n − nm

√ n , ~ X n

converge en loi vers (U, ~ X), o` u la variable U est ind´ ependante de X ~ et suit la loi gaussienne N (0, m ⁰ − m ² ).

Les trois premiers th´ eor` emes (1, 2 et 3) sont trait´ es par des m´ ethodes de martingales : la suite consid´ er´ ee est d´ ecompos´ ee en une martingale ` a laquelle on applique des th´ eor` emes classiques de convergence, et un reste dont on d´ emontre qu’il est n´ egligeable. Les deux th´ eor` emes suivants (4 et 5) reposent sur un r´ esultat de pi´ egeage de la marche centrifuge dans des cˆ ones de petite ouverture.

Notre contribution ` a l’´ etude de la marche centrifuge peut ˆ etre class´ ee selon les sujets suivants :

Comportement de la norme En utilisant les mˆ emes m´ ethodes de martingales, nous compl´ etons la panoplie des r´ esultats « classiques » :

Th´ eor` eme 2.2 (Loi du logarithme it´ er´ e pour le module). Presque sˆ urement, lim sup

n→∞

ρ n − nm

p 2n(m ⁰ − m ² ) log log n = +1 . Pour tout n ≥ 1, notons Γ n (t) le processus sur C ₁ valant

ρ _k − km p n(m ⁰ − m ² ) aux instants t = k/n et interpol´ e lin´ eairement ailleurs.

Th´ eor` eme 2.6 (Principe d’invariance pour le module). La suite de processus (Γ _n ) converge en loi vers le mouvement brownien.

Comportement de la direction En affinant les estimations utilis´ ees pour d´ emontrer le th´ eor` eme 3 de convergence de la direction, nous obtenons une vitesse de convergence :

Th´ eor` eme 3.1. Presque sˆ urement, pour tout > 0,

n→∞ lim n

⁻ ( X ~ − X ~ _n ) = 0 .

Cette vitesse de convergence est optimale puisque nous d´ emontrons que la suite

n

( X ~ − X ~ n )

converge en loi quand n tend vers l’infini. Nous avons d’abord ´ etudi´ e le cas de la dimension 2 o` u cette question devient un probl` eme d’angle, donc essentiellement unidimensionnel. Nous appelons angle d’un vecteur ~ u ∈ S ¹ tout nombre r´ eel θ tel que ~ u = e ^iθ , o` u le cercle S <sup>1</sup> est identifi´ e avec le groupe des nombres complexes de module 1. On d´ efinit par r´ ecurrence la suite (θ n ) des angles de la marche al´ eatoire, trajectoire par trajectoire, en choisissant pour θ <sub>n+1</sub> (ω) l’unique angle de X ~ <sub>n+1</sub> appartenant ` a l’intervalle [θ _n (ω) − π, θ _n (ω) + π[. Avec ce choix, les accroissements θ _n+1 − θ _n sont comparables aux accroissements X ~ n+1 − X ~ n , et l’on en d´ eduit que la suite (θ n ) converge presque sˆ urement vers un angle limite θ. En utilisant des m´ ethodes de martingales, nous obtenons :

Th´ eor` eme 3.7. La suite

n

(θ − θ _n ) converge en loi vers une gaussienne N (0, _m ^m

).

Lorsque la dimension est plus grande (d ≥ 3), il n’est plus possible de se ramener ` a un probl` eme unidimensionnel. On peut n´ eanmoins traiter directement la suite des directions ( X ~ n ) ` a l’aide de th´ eor` emes limites pour des martingales dont la variance conditionnelle poss` ede un ´ equivalent qui n’est pas d´ eterministe. En utilisant de tels outils, nous avons obtenu le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 3.10. La suite

n

( X ~ − X ~ _n )

converge en loi vers une variable Y dont la fonction caract´ eristique φ est donn´ ee par

(4) φ(t) = E(e ⁻

^{h t,Γti} ) ,

o` u Γ est la matrice al´ eatoire dont les coefficients γ _ij sont donn´ es par γ _ij = _m ^m

(δ _ij − X ~ ⁱ X ~ ^j ).

Restait ` a interpr´ eter g´ eom´ etriquement la loi de Y . Et c’est l` a que le r´ esultat obtenu en dimension 2 s’est r´ ev´ el´ e utile. Pour x assez petit, on a e ^ix ∼ = 1 + ix, donc e ^i(θ

^−θ) − 1 ∼ = i(θ n − θ), ou encore e ^iθ

− e ^iθ ∼ = i(θ _n − θ) e ^iθ . En termes de vecteurs, cette relation se traduit par

n

( X ~ _n − X) ~ ∼ = n

(θ _n − θ) R( X) ~ ,

o` u R est la rotation d’angle π/2. De l` a ` a penser que l’expression pr´ ec´ edente converge en loi vers la variable ρR( X), o` ~ u ρ est une variable de loi N (0, _m ^m

) ind´ ependante de X, il n’y a qu’un pas qu’un ~ calcul permet de franchir : la fonction carat´ eristique de ρR( X) est bien donn´ ~ ee par la formule (4) ! Cela se g´ en´ eralise de la fa¸ con suivante. Donnons-nous :

– une famille {(e ₁ (~ u), e 2 (~ u), . . . , e d (~ u)) : ~ u ∈ S ^d−1 } de bases orthonorm´ ees de R ^d telles que e ₁ (~ u) = ~ u ;

– des variables al´ eatoires ρ ₂ , ρ ₃ , . . . , ρ _d de loi normale N (0, _m ^m

) telles que ρ ₂ , ρ ₃ , . . . , ρ _d et X ~ soient mutuellement ind´ ependantes.

Alors φ est la fonction caract´ eristique du vecteur Y = ρ ₂ e ₂ ( X) + ~ ρ ₃ e ₃ ( X) + ~ · · · + ρ _d e _d ( X). ~ Comportement global Compte tenu des th´ eor` emes 1, 3 et 3.1, l’identit´ e

X n − nm ~ X = (ρ n − nm) X ~ n + nm( X ~ n − X) ~ implique

n→∞ lim

X _n − nm ~ X

n

⁺ = 0 p. s.,

quel que soit > 0. Nous nous sommes int´ eress´ es au cas o` u est pris ´ egal ` a 0, mais les m´ ethodes de martingales utilis´ ees jusqu’` a pr´ esent se sont r´ ev´ el´ ees inefficaces : la diff´ erence entre la partie matingale et la suite de d´ epart n’est pas n´ egligeable. ´ Etant donn´ es les th´ eor` emes 2, 3 et 3.10, on s’attend n´ eanmoins ` a la convergence en loi suivante :

Conjecture 4.1. La suite

X _n − nm ~ X

√ n

!

converge en loi vers la variable

Z = ρ ₁ X ~ + ρ ₂ e ₂ ( X) + ~ . . . + ρ _d e _d ( X) ~ ,

o` u ρ 1 suit une loi N (0, m ⁰ − m ² ), ρ 2 , . . . , ρ d suivent la loi N (0, m ⁰ ), et les variables ρ 1 , ρ 2 , . . . , ρ d et X ~ sont mutuellement ind´ ependantes.

Notez que les variances des coordonn´ ees ρ ₁ , ρ ₂ , . . . , ρ _d correspondent bien ` a celles qu’on attend au vu de l’identit´ e (3).

La variable Z apparaˆıt dans un autre th´ eor` eme limite central. Il y a en fait une martingale qui s’obtient tr` es naturellement ` a partir de la suite (X <sub>n</sub> ) : d’apr` es l’´ equation (2), on a

E (X _n+1 − X _n | F _n ) = m ~ X _n ,

ce qui signifie que la suite (X n+1 − X n − m ~ X n ) est une suite d’accroissements de martingale. En

appliquant un th´ eor` eme limite central directement ` a la martingale qui poss` ede ces accroissements,

on obtient :

Th´ eor` eme 4.2. La suite

X _n − m P n−1 k=1 X ~ _k

√ n

!

converge en loi vers la variable

Z = ρ ₁ X ~ + ρ ₂ e ₂ ( X) + ~ . . . + ρ _d e _d ( X) ~ .

Ce th´ eor` eme est l’un des plus faciles ` a obtenir parce qu’il s’agit d’une vraie martingale et qu’il n’y a donc pas de reste ` a estimer. Malheureusement, il ne permet ni de confirmer ni d’infirmer la conjecture.

Premier pas vers un th´ eor` eme limite local La question d’un th´ eor` eme limite local pour la marche centrifuge est pos´ ee dans [13]. Il s’agit de d´ eterminer un ´ equivalent, lorsque n tend vers l’infini, de la probabilit´ e pour que la marche centrifuge se trouve ` a l’instant n dans une partie born´ ee K de l’espace. Les auteurs de l’article soulignent qu’ils savent d´ ej` a que

P(X n ∈ K) ≤ Cρ ⁿ ,

o` u ρ ∈]0, 1[ et C sont deux constantes. On doit donc s’attendre ` a un ´ equivalent dont le terme principal est exponentiel. Un premier pas vers le th´ eor` eme limite local consiste alors ` a pr´ eciser le taux de d´ ecroissance exponentielle, c’est-` a-dire la limite (lorsqu’elle existe) de la suite de terme g´ en´ eral

P (X n ∈ K) ^1/n .

Pour tout ~ u ∈ S ^d−1 , notons L _{~ u} la transform´ ee de Laplace de la loi µ _{~ u} , d´ efinie pour tout x ∈ R ^d par

L _{~ u} (x) = Z

e ^{h x,y i} µ _{~ u} (dy) .

Il est d´ emontr´ e dans l’article [13] que, pour tout λ > 0, le maximum en ~ u ∈ S ^d−1 de la quantit´ e L _{~ u} (−λ~ u) majore la transform´ ee de Laplace E (e ^tρ

) du module de la marche centrifuge ´ evalu´ ee en t = −λ. Un argument classique permet d’en d´ eduire que

lim sup

n→∞ P (X _n ∈ K) ^1/n ≤ inf

λ>0 max

~ u∈ S

L _{~ u} (−λ~ u) .

Les auteurs d´ emontrent par ailleurs que ce majorant est < 1. Il ne restait donc plus qu’` a trouver un bon minorant de la limite inf´ erieure de P(X n ∈ K) ^1/n .

L’id´ ee g´ en´ erale de notre approche est la suivante : si la marche centifuge (X n ) reste dans un cˆ one de direction ~ u et de petite ouverture, alors les lois µ _{X ~}

n

des accroissements restent proches de la loi µ _{~ u} , et la marche centrifuge a un comportement qui est proche de celui d’une vraie marche al´ eatoire de loi µ _{~ u} qui reste dans ce mˆ eme cˆ one. En utilisant le proc´ ed´ e de relativisation de Cramer, on arrive grosso modo ` a la minoration

P(X n ∈ K) ≥

x∈ inf S

L _{~ u} (x) n

P(S n ∈ K; T C (S n ) > n) ,

o` u C est le cˆ one dont il ´ etait question, T _C le temps de sortie de C, d´ efini pour toute suite (x _n ) ∈ R ^d par T C (x n ) = inf{k ≥ 1 : x k ∈ / C}, et (S _n ) une marche al´ eatoire centr´ ee.

Se pose alors la question du comportement asymptotique de la quantit´ e P (S _n ∈ K; T _C (S _n ) > n).

Ce comportement ´ etait d´ ej` a connu pour certaines lois, mais il n’existait aucun r´ esultat g´ en´ eral. Nous

´

etudions cette quantit´ e au chapitre 6 et d´ emontrons qu’elle ne d´ ecroˆıt pas exponentiellement vite vers 0.

On obtient alors le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 5.6. Pour toute partie born´ ee et accueillante ¹ K ⊂ R ^d , on a lim inf

n→∞ P( X n ∈ K ) ^1/n ≥ sup

~ u∈ S

x∈ inf R

L _{~ u} (x) .

L’encadrement ainsi obtenu permet de r´ epondre positivement ` a la question de l’existence d’un taux de d´ ecroissance exponentielle ` a condition que les deux bornes soient ´ egales, c’est-` a-dire

sup

~ u∈ S

inf

x∈ R

L _{~ u} (x) = inf

λ>0 max

~ u∈ S

L _{~ u} (−λ~ u) .

Nous avons pu d´ emontrer que cette ´ egalit´ e a lieu dans deux cas particuliers :

Th´ eor` eme 5.8. Pour la marche centrifuge plane aux quatre plus proches voisins, de param` etre a ∈ [0, 1], on a

n→∞ lim P(X n ∈ K) ^1/n =

r 2 − a ²

2 ,

quelle que soit la partie K ⊂ Z ² born´ ee et contenant au moins deux points (x, y) et (x ⁰ , y ⁰ ) de Z ² distincts de l’origine et tels que x + y et x ⁰ + y ⁰ aient une parit´ e diff´ erente ² .

Th´ eor` eme 5.9. Pour toute marche centrifuge dont la loi non perturb´ ee µ est invariante par les rotations vectorielles, les bornes de l’encadrement sont ´ egales et valent

λ>0 inf L _{~ u} (−λ~ u) , quel que soit ~ u ∈ S ^d−1 .

Temps de sortie d’un cˆ one pour une marche al´ eatoire Ce chapitre a fait l’objet d’une note publi´ ee aux Comptes Rendus de l’Acad´ emie des Sciences [14].

Soit L une loi de probabilit´ e sur R ^d et soit Ω l’ensemble des suites (ξ n ) n≥0 ∈ R ^d muni de sa tribu bor´ elienne et de la famille de mesures probabilit´ es ( P x ) _{x∈ R}

, o` u P x = δ _x ⊗ L ^{⊗ N} (δ _x est la mesure de Dirac en x). Sous P x , les variables ξ ₀ , ξ ₁ , ξ ₂ . . . sont ind´ ependantes, ξ ₀ = x et ξ ₁ , ξ ₂ . . . suivent la loi L. Nous notons (S _n ) n≥0 la marche al´ eatoire associ´ ee (i.e. S n = ξ 0 + ξ 1 + · · · + ξ n ).

On fixe un cˆ one C, convexe et d’int´ erieur non vide, ayant son sommet en l’origine et on consid` ere le temps de sortie T _C du cˆ one C d´ efini par

T C = inf{n ≥ 1 : S n 6∈ C} .

La recherche d’un ´ equivalent de la quantit´ e P x (T C > n) lorsque n tend vers l’infini (pour un x ∈ C fix´ e) est un sujet ancien qui a fait l’objet de nombreux travaux. Un premier r´ esultat ob- tenu par F. Spitzer ([31], Theorem 3.5) en dimension 1 pour C =]0, +∞[, et d´ esormais classique, dit que P 0 (T C > n) est ´ equivalent ` a cn <sup>−1/2</sup> lorsque la loi L est ap´ eriodique, centr´ ee, et poss` ede un moment d’ordre 2. En fait, on sait pr´ ecis´ ement que P 0 (T _C = n) est ´ equivalent ` a (c/2)n ^−3/2

1. La notion d’ensemble accueillant est d´ efinie au chapitre correspondant ; ne consid´ erer que de tels ensembles est une pr´ ecaution qui permet de rendre rigoureux le raisonnement que nous avons esquiss´ e.

2. Ce sont les parties accueillantes de Z

pour la marche centrifuge plane aux quatre plus proches voisins.

(Borovkov [4], Corollary 9), et c’est grˆ ace ` a cette estimation que D. Iglehart a pu donner la premi` ere d´ emonstration du principe d’invariance pour une marche al´ eatoire conditionn´ ee ` a rester positive ([18]). La d´ emonstration que donne F. Spitzer du premier r´ esultat utilise la factorisation de Wiener-Hopf ; par les mˆ emes m´ ethodes, D. Iglehart d´ emontre <sup>3</sup> que la quantit´ e E 0 (φ(S <sub>n</sub> ); T <sub>C</sub> > n) (o` u φ est une fonction de la variable r´ eelle ` a support compact) est ´ equivalente ` a cn ^−3/2 . Ce r´ esultat intervient de fa¸ con essentielle pour l’obtention d’un th´ eor` eme limite local sur le groupe affine de la droite r´ eelle ([21]) ou dans l’´ etude des probabilit´ es d’extinction de processus de branchement en milieu al´ eatoire ([15]). Des r´ esultats du mˆ eme ordre existent en dimension sup´ erieure lorsque C est un demi-espace ; ils permettent par exemple d’obtenir un th´ eor` eme limite local pour les marches al´ eatoires centr´ ees sur le groupe des matrices triangulaires sup´ erieures d’ordre 2 ([22]). Des travaux plus r´ ecents, dus ` a N. Varopoulos [33], montrent qu’en toute dimension E x (φ(S n ); T C > n) d´ ecroˆıt ` a vitesse polynomiale vers 0 lorsque des hypoth` eses convenables <sup>4</sup> sont faites sur la loi L et la position du cˆ one (qui doit ˆ etre adapt´ ee ` a la loi L).

L’int´ erˆ et que nous portons ` a ces r´ esultats est dˆ u ` a la m´ ethode que nous employons pour minorer la probabilit´ e pour que la marche centrifuge se trouve dans une partie born´ ee de l’espace ` a l’instant n.

Comme nous l’avons expliqu´ e dans le paragraphe traitant de cette question, pour minorer le taux de d´ ecroissance exponentielle de la marche centrifuge, il suffit de d´ emontrer que la quantit´ e P x (S _n ∈ K; T _C > n) ne d´ ecroˆıt pas ` a vitesse exponentielle vers 0 lorsque (S <sub>n</sub> ) est une marche de loi L, centr´ ee et ` a support born´ e. Le r´ esultat requis n’a pas besoin d’ˆ etre aussi pr´ ecis que ceux que nous avons cit´ es plus haut, mais il doit ˆ etre valable sous des hypoth` eses beaucoup plus g´ en´ erales.

Ayant cela ` a l’esprit, nous avons obtenu le r´ esultat qui suit.

On suppose que la loi L des accroissements poss` ede une moyenne µ et une matrice de covariance d´ efinie positive. Nous fixons une direction ~ u int´ erieure au cˆ one C et notons C δ = δ~ u + C le cˆ one C translat´ e par δ~ u.

Th´ eor` eme 6.1. Si µ = 0, alors il existe deux nombres r´ eels positifs R 0 et δ tels que pour tout compact K ⊂ C _δ on ait

lim inf

n→∞ inf

x∈K P x ( kS _n k ≤ R ₀ ; T _C > n ) ^1/

√ n > 0 .

Les constantes δ et R ₀ d´ ependent de la loi L et du cˆ one C et peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees de la fa¸con suivante :

– pour que la marche puisse rester dans le cˆ one pendant un certain temps, il peut ˆ etre n´ ecessaire qu’elle soit issue d’un point suffisamment ´ eloign´ e du bord de C : le cˆ one translat´ e C δ joue le rˆ ole d’un cˆ one de s´ ecurit´ e. Si la marche issue de 0 reste dans C et atteint son int´ erieur

`

a l’instant n avec une probabilit´ e positive, c’est-` a-dire si P 0 (S <sub>n</sub> ∈ C <sup>o</sup> ; T <sub>C</sub> > n) > 0, alors le r´ esultat du th´ eor` eme est vrai avec δ = 0.

– il se peut que la marche ne puisse pas s’approcher trop pr` es de l’origine sans quitter le cˆ one ; cela justifie l’existence d’une distance critique R ₀ .

La d´ emonstration du th´ eor` eme 6.1 ne fait appel qu’` a des outils tr` es classiques du Calcul des Probabilit´ e, dont le plus sophistiqu´ e est le Principe d’invariance de Donsker. Afin d’en donner une

3. Pour ˆ etre tout ` a fait pr´ ecis, D. Iglehart s’int´ eresse dans [19] ` a une marche al´ eatoire de moyenne n´ egative avec des moments exponentiels ; il d´ emontre que la quantit´ e P (S

∈ K; T

> n) d´ ecroˆıt en n

ρ

, o` u ρ est le minimum de la transform´ ee de Laplace de la loi des accroissements. Dans [21], E. Le Page et M. Peign´ e lui attribuent cependant le r´ esultat pour une marche centr´ ee et montrent comment celui-ci s’obtient ` a l’aide des m´ ethodes d´ evelopp´ ees par D. Iglehart.

4. N. Varopoulos ´ etudie d’abord le cas o` u L est ` a support born´ e, port´ ee par un r´ eseau ou absolument continue,

puis ´ etend ses r´ esultats ` a une classe particuli` ere de lois ayant un support non born´ e et des moments d’ordre grand

(cf. [33], section 6.2). Le cˆ one doit se trouver en position g´ en´ erale relativement ` a la loi L (cf. [33], section 0.7).

id´ ee assez pr´ ecise, voyons par exemple comment nous d´ emontrons que lim inf

n→∞ P 0 (T C > n) ^1/

√ n > 0 ,

lorsqu’il existe un point z ` a l’int´ erieur du cˆ one tel que P 0 (ξ 1 = z) > 0. On commence par minorer P 0 (T _C > n) en ne consid´ erant que les trajectoires de la marche dont les [ √

n] premiers pas sont

´

egaux ` a z ; en utilisant l’ind´ ependance et la stationnarit´ e des accroissements, on obtient P 0 (T _C > n) ≥ ( P 0 (ξ ₁ = z))

√ n

P 0 ([ √

n]z + S _k ∈ C, k = 1 . . . k _n ) , o` u k n = n − [ √

n]. On utilise ensuite le fait que le cˆ one est invariant par changement d’´ echelle et convexe pour r´ ecrire le dernier terme de droite sous la forme

P 0 (γ _n z + S _k

(t) ∈ C, ∀t ∈]0, 1]) , o` u γ _n = [ √

n]/k _n et {S _n (t), t ≥ 0} est le processus ` a trajectoires continues valant S _k /n aux instants t = k/n et interpol´ e lin´ eairement ailleurs. Grˆ ace au principe d’invariance de Donsker, qui stipule que S _n converge en loi vers le mouvement brownien B issu de 0, on a

n→∞ lim P 0 (γ _n z + S _k

(t) ∈ C, ∀t ∈]0, 1]) = P 0 (z + B (t) ∈ C, ∀t ∈]0, 1]) ; et comme z est ` a l’int´ erieur de C, cette limite est positive. Il s’ensuit alors que

lim inf

n→∞ P 0 (T C > n) ^1/

√ n ≥ P 0 (ξ 1 = z) . Avec le mˆ eme argumentaire, on peut aussi d´ emontrer que

lim inf

n→∞ P 0 (kS _n k ≤ √

n; T _C > n) ^1/

√ n ≥ P 0 (ξ ₁ = z) .

Le th´ eor` eme 6.1 s’en d´ eduit par une comparaison entre les quantit´ es P 0 (kS _n k ≤ √

n; T _C > n) et P 0 (kS _n k ≤ R; T C > n).

Le proc´ ed´ e de relativisation de Cramer permet de d´ eduire facilement du th´ eor` eme 6.1 le corollaire suivant :

Corollaire 6.2. Si µ 6= 0 et si la loi L poss` ede tous les moments exponentiels, alors il existe deux nombres r´ eels positifs R ₀ et δ tels que pour tout point x ∈ C _δ on ait

n→∞ lim P x ( kS _n k ≤ R ₀ ; T _C > n ) ^1/n = ρ L , o` u ρ L est le minimum de la transform´ ee de Laplace de la mesure L.

Notons que la limite apparaissant dans l’´ enonc´ e pr´ ec´ edent ne d´ epend pas du cˆ one choisi.

Partie II. Th´ eor` emes limites pour des processus al´ eatoires conditionn´ es ` a rester dans des cˆ ones

Cette partie est consacr´ ee ` a l’obtention de th´ eor` emes de convergence en loi pour les processus suivants :

1. le mouvement brownien issu d’un point x ` a l’int´ erieur d’un cˆ one C et conditionn´ e ` a rester dans ce cˆ one pendant une unit´ e de temps ; nous ´ etudions la convergence en loi de ce processus lorsque x tend vers le sommet du cˆ one ;

2. une marche al´ eatoire centr´ ee, convenablement normalis´ ee, et conditionn´ ee ` a rester dans un cˆ one jusqu’` a l’instant n ; nous ´ etudions la convergence en loi lorsque n tend vers l’infini.

Le second cas peut ˆ etre consid´ er´ e comme l’anologue discret du premier, et il n’est pas surprenant

que la limite apparaissant dans ces deux cas soit la mˆ eme. Dans les deux paragraphes suivants, nous

pr´ esentons les r´ esultats que nous avons obtenus et leurs liens avec des travaux ant´ erieurs.

Mouvement brownien conditionn´ e Dans ce qui suit, d ≥ 1 est un entier fix´ e. Soit C _∞ l’espace des fonctions continues w : [0, ∞[→ R ^d muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, et soit {X(t), t ≥ 0} le processus canonique de C _∞ (pour tout w ∈ C _∞ , X(t)(w) = w(t)).

Pour tout x ∈ R ^d , on note W _x la loi sur C _∞ du mouvement brownien issu de x. Soit C ⊂ R ^d un cˆ one de r´ evolution de sommet 0, ouvert et convexe, et soit τ C = inf{t > 0 : X t ∈ / C} le temps de sortie de C. Pour tout x ∈ C et t > 0, on d´ efinit la loi W f _x,t ^C du mouvement brownien issu de x et conditionn´ e ` a rester dans C jusqu’` a l’instant t en posant

W f _x,t ^C (A) = W _x (A; τ _C > t) W x (τ C > t) , quel que soit A ∈ C _∞ .

Le r´ esultat principal de ce chapitre est le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 7.42. Lorsque x ∈ C tend vers 0, la loi W f _x,1 ^C converge ´ etroitement (sur C _∞ ) vers une loi limite W f _0,1 ^C .

Ce th´ eor` eme ´ etend en dimension sup´ erieure les r´ esultats pr´ ec´ edemment obtenus par R. Durrett, D. Iglehart et D. Miller ([10]) en dimension 1, et par M. Shimura ([28]) en dimension 2.

Dans le cas de la dimension 1 avec C =]0, +∞[, l’existence d’une limite est d´ emontr´ ee direc- tement en identifiant la loi conditionnelle avec celle d’une section du mouvement brownien. Plus pr´ ecis´ ement, les auteurs introduisent le temps al´ eatoire T x d´ efini par

T x = inf{t ≥ 0 : X t = x et X s > 0, ∀s ∈]t, t + 1]} , (qui est W 0 -presque sˆ urement fini) et d´ emontrent que

W f _x,1 ^C (∗) = W ₀ (X(T _x + ·) ∈ ∗) .

Il leur suffit alors de v´ erifier que T x converge presque sˆ urement vers T 0 pour obtenir le th´ eor` eme 7.42 ; la loi limite est donn´ ee par la relation W f _0,1 ^C (∗) = W ₀ (X(T ₀ + ·) ∈ ∗). En calculant les transitions limites, ils d´ emontrent que cette loi est celle du m´ eandre brownien qui se d´ efinit habituellement, sous W 0 , par la transformation des trajectoires

X ^∗ (t) = 1

√ 1 − σ |X(σ + (1 − σ)t)| ,

o` u σ = sup{t ≤ 1 : X _t = 0} est le temps du dernier retour en 0 avant l’instant 1.

En dimension sup´ erieure, leur m´ ethode permet ´ evidemment de traiter le cas o` u C est un demi- espace, mais est inadapt´ ee aux autres cas ; nous y reviendrons dans le paragraphe consacr´ e aux marches al´ eatoires conditionn´ ees.

Notre d´ emonstration du th´ eor` eme 7.42 en dimension d ≥ 2 s’inspire largement de celle qu’en donne M. Shimura en dimension 2 et suit le sch´ ema habituel :

1. convergence des lois fini-dimensionnelles ; 2. tension.

Convergence des lois fini-dimensionnelles La convergence des lois fini-dimensionnelles se

d´ eduit de la convergence des lois de premi` ere transition, c’est-` a-dire des lois f W _x,1 ^C (X _t ∈ dy) (t ∈]0, 1])

lorsque x ∈ C tend vers 0. Ces lois poss` edent toutes une densit´ e par rapport ` a la mesure de Lebesgue

qui s’exprime en fonction des transition p ^C (t, x, y) du mouvement brownien tu´ e ` a la sortie de C par la formule

W f _x,1 ^C (X t ∈ dy) = p ^C (t, x, y) W _y (τ _C > 1 − t) W x (τ C > 1) dy .

Nous d´ eterminons la densit´ e limite en calculant un ´ equivalent du noyau de la chaleur p ^C (t, x, y), lorsque x tend vers 0, grˆ ace au d´ eveloppement en s´ erie qu’en donnent R. Ba˜ nuelos et R. Smits dans [1]. Bien que la formule pour le noyau de la chaleur d’un cˆ one du plan fˆ ut connue depuis 1959 (cf. [8], p. 379) M. Shimura n’en fait pas usage ; il reformule le probl` eme en terme de processus d’Ornstein-Uhlenbeck tu´ e dont il parvient ` a calculer les transitions.

Tension Pour d´ emontrer la tension ⁵ de la famille de lois {f W _x,1 ^C : x ∈ C} lorsque x ∈ C tend vers 0, nous reprenons une id´ ee de prolongement due ` a M. Shimura selon laquelle il suffit de d´ emontrer que cette famille est tendue lorsque x ∈ C tend vers n’importe quel autre point du bord de C.

En dimension 2, pour un point x ₀ 6= 0 appartenant au bord de C, il est assez facile de d´ eduire de la version unidimensionnelle du th´ eor` eme 7.42 que ( f W _x ^C

_,1 ) converge (et est donc tendue) lorsque x _n ∈ C tend vers x ₀ , car C est localement un demi-espace en x ₀ . Mais en dimension d ≥ 3, la g´ eom´ etrie du bord d’un cˆ one n’est plus aussi simple, et cela nous a amen´ e ` a reconsid´ erer le probl` eme dans un cadre plus g´ en´ eral.

Sans entrer dans tous les d´ etails, on remplace le cˆ one C par un ouvert U contenu dans le demi- espace D = {x = (x ₁ , . . . , x _d ) : x ₁ > 0} et dont le bord contient 0, et l’on ´ etudie la convergence des lois W f _x,1 ^U lorsque x ∈ U tend vers 0. Pour tout x ∈ U , on a la relation suivante :

(5) W f _x,1 ^U (∗) = W f _x,1 ^D (∗; τ _U > 1) f W _x,1 ^D (τ _U > 1) .

En utilisant la version unidimensionnelle du th´ eor` eme 7.42, on d´ emontre que les lois W f <sub>x,1</sub> <sup>D</sup> convergent vers une loi W f <sub>0,1</sub> <sup>D</sup> , que l’on appellera D-m´ eandre brownien, sous laquelle les coordonn´ ees du processus canonique (X <sub>1</sub> , X <sub>2</sub> , . . . , X <sub>d</sub> ) sont ind´ ependantes et X <sub>1</sub> (resp. X <sub>2</sub> , . . . , X <sub>d</sub> ) est un m´ eandre brownien (resp. mouvement brownien). Si U est suffisamment lisse en 0, on peut esp´ erer que le D-m´ eandre brownien reste pendant une unit´ e de temps dans U avec une probabilit´ e positive, c’est-` a-dire que W f _0,1 ^D (τ _U > 1) > 0. Supposons que U ait cette propri´ et´ e et qu’en plus on puisse appliquer un th´ eor` eme du type Portemanteau au num´ erateur et au d´ enominateur du membre de droite de l’´ equation (5).

On en d´ eduirait alors que

x∈U→0 lim W f _x,1 ^U (∗) = W f _0,1 ^D (∗; τ _U > 1) f W _0,1 ^D (τ U > 1) .

Des conditions suffisantes pour exploiter cet argument sont donn´ ees dans la proposition suivante : Proposition 7.23. On suppose que U est un ouvert co-r´ egulier ⁶ . On a :

1. si f W _0,1 ^D (τ U > 0) = 1, alors W f _0,1 ^D (τ U > 1) > 0 ;

2. si (x _n ) ∈ U est une suite convergeant vers 0 telle que

(6) lim

s→0 lim sup

n→∞

f W _x ^D

_,1 (τ _U ≤ s) = 0 ,

alors la suite de mesures f W _x ^D

_,1 (∗; τ _U > 1) converge vers W f _0,1 ^D (∗; τ _U > 1).

5. Nous disons que la famille de lois {f W

: x ∈ C} est tendue lorsque x ∈ C tend vers 0 si, pour toute suite (x

) ∈ C convergeant vers 0, la suite (f W

)

est tendue.

6. voir le chapitre correspondant.

Si les deux conditions sont r´ eunies, alors la suite (f W _x ^U

_,1 ) converge vers W f _0,1 ^U := W f _0,1 ^D (∗ | τ _U > 1).

Dans [6], K. Burdzy obtient un crit` ere qui permet de d´ ecider, selon la r´ egularit´ e du bord de U en 0, si f W <sub>0,1</sub> <sup>D</sup> (τ <sub>U</sub> > 0) = 1 ou 0 (le mˆ eme crit` ere est d´ ecouvert ind´ ependamment par M. Shimura dans [27], mais seulement en dimension 2). Nous insistons seulement sur le fait que ce crit` ere suffit

`

a d´ emontrer que W f _0,1 ^D (τ _U > 1) > 0 lorsque U contient une boule qui est tangente au bord de D en 0. La condition (6) est quant ` a elle une hypoth` ese technique ad hoc permettant de compenser la forte irr´ egularit´ e de τ _U , mais qui est loin d’ˆ etre une condition n´ ecessaire : elle n’a aucune chance d’ˆ etre v´ erifi´ ee si, par exemple, la suite (x _n ) longe le bord de U . En utilisant un argument de nature g´ eom´ etrique, nous sommes cependant parvenus ` a d´ emontrer que cette condition est v´ erifi´ ee lorsque U = B est une boule de rayon r > 0 centr´ ee en re ₁ et que la suite (x _n ) est port´ ee par le demi-axe {λe ₁ : λ > 0}.

Ces r´ esultats, bien que partiels, permettent de r´ esoudre le probl` eme initial. Consid´ erons de nouveau un cˆ one convexe C de sommet 0 et un point x <sub>0</sub> 6= 0 appartenant au bord de C. Si C contient une boule B dont le bord est tangent au bord de C en x 0 , alors la suite W f <sub>x,1</sub> <sup>C</sup> converge lorsque x tend vers x 0 le long du rayon joignant le centre de la boule B ` a x 0 . Lorsque C est un cˆ one de r´ evolution, l’invariance du probl` eme par rotation autour de l’axe de C et par homoth´ etie font que l’on peut toujours se ramener au cas pr´ ec´ edent. Nous obtenons donc :

Th´ eor` eme 7.34. Soit C ⊂ R ^d un cˆ one de r´ evolution convexe de sommet 0. Pour tout point x ₀ 6= 0 du bord de C et toute suite (x n ) ∈ C convergeant vers x 0 , la suite ( W f _x ^C

_,1 ) est convergente (donc tendue).

Comme nous l’avons mentionn´ e plus tˆ ot, cela suffit ` a d´ emontrer la tension de la suite (f W _x ^C

_,1 ) lorsque x n ∈ C tend vers 0 et compl` ete donc la d´ emonstration du th´ eor` eme 7.42.

Marche al´ eatoire conditionn´ ee L’´ etude que nous menons dans cette seconde partie trouve son origine dans une s´ erie d’articles ([27],[28],[29]) que M. Shimura a publi´ es dans les ann´ ees quatre- vingt. Il y ´ etudie des marches al´ eatoires dans le plan, conditionn´ ees ` a rester dans des cˆ ones, et l’analogue « continu », ` a savoir le mouvement brownien plan conditionn´ e ` a rester dans un cˆ one pendant une unit´ e de temps. Pour bien comprendre les travaux de M. Shimura, il nous faut revenir un peu en arri` ere.

L’histoire commence en 1960, lorsque F. Spitzer parvient ` a calculer un ´ equivalent de la probabi- lit´ e pour qu’une marche al´ eatoire centr´ ee reste positive jusqu’` a l’instant n. Soit (S n ) n≥0 une marche al´ eatoire r´ eelle dont les accroissements (ind´ ependants et identiquement distribu´ es) ξ _n = S _n − S n−1

(S 0 = 0) sont centr´ es et de carr´ e int´ egrable, avec E(ξ _n ² ) = σ ² . F. Spitzer consid` ere le temps T ⁺ = inf{n ≥ 1 : S n ≤ 0} de sortie de l’intervalle ]0, +∞[ et d´ emontre dans [31] que

P (T ⁺ > n) ∼ cn ^−1/2 ,

lorsque la loi des accroissements est ap´ eriodique. Dans une note de bas de page rajout´ ee avant la publication, il annonce le th´ eor` eme limite central suivant pour la marche (S <sub>n</sub> ) conditionn´ ee ` a rester positive :

(7) ∀x ∈ R ⁺ , lim

n→∞ P (S n /σ √

n ≤ x | T ⁺ > n ) = 1 − e ^−x

^/2 . Apparemment il n’a jamais publi´ e sa d´ emonstration.

Il faut attendre l’ann´ ee 1974 pour que D. Iglehart donne ` a ce r´ esultat le statut d’un th´ eor` eme : dans son article [18], il d´ emontre que le processus {S _[nt] /σ √

n, t ≥ 0} conditionn´ e par l’´ ev´ enement

{T ⁺ > n} converge en loi vers le m´ eandre brownien. Pour cela, il utilise des estimations pr´ ecises de P(T ⁺ = n) qui lui permettent d’´ ecrire les quantit´ es semblables ` a (7) comme des sommes de Riemann ; afin d’avoir un bon contrˆ ole de ces sommes, il ajoute l’hypoth` ese que les accroissements ont un moment d’ordre 3 (ce qui permet d’avoir une vitesse de convergence dans le TLC ordinaire).

Deux ans plus tard, E. Bolthausen ([3]) red´ emontre le th´ eor` eme de D. Iglehart en s’affranchis- sant ` a la fois de l’hypoth` ese de moment d’ordre 3 et de la condition d’ap´ eriodicit´ e. Plus surprenant : la d´ emonstration de E. Bolthausen ne n´ ecessite aucun calcul et utilise seulement le principe d’in- variance de Donsker et le th´ eor` eme de la transformation continue. Afin d’en expliquer les grandes lignes, introduisons quelques notations.

Soit C _∞ l’espace des fonctions continues w : [0, ∞[→ R muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, et soit {X(t), t ≥ 0} le processus canonique de C ∞ (pour tout w ∈ C ∞ , X(t)(w) = w(t)). Pour tout n ≥ 1, on d´ esigne par W ⁿ la loi sur C _∞ du processus {S _n (t), t ≥ 0}

valant S _k /σ √

n aux instants t = k/n et interpol´ e lin´ eairement ailleurs. Enfin, nous introduisons un temps al´ eatoire T d´ efini par T (w) = inf {t ≥ 0 : w(t + s) > w(t), ∀s ∈]0, 1]}. Il n’est pas difficile de voir que T est W ⁿ -presque sˆ urement fini et v´ erifie

P (S _n ∈ A | T ⁺ > n ) = W ⁿ (X(T + ·) − X(T ) ∈ A) ,

pour tout n ≥ 1 et tout A ∈ C _∞ . Cette identit´ e fondamentale donne une repr´ esentation du pro- cessus conditionn´ e en terme d’une section du processus original. Rappelons que d’apr` es le principe d’invariance de Donsker la suite (W <sup>n</sup> ) converge en loi vers la mesure de Wiener W (c’est-` a-dire la loi du mouvement brownien). E. Bolthausen d´ emontre que, sous W , le temps T est encore presque sˆ urement fini et continu (comme fonction sur C ∞ ). En utilisant le th´ eor` eme de la transformation continue (TTC, cf. Annexe B), il en d´ eduit que

n→∞ lim P (S _n ∈ ∗ | T ⁺ > n ) = W (X(T + ·) − X(T ) ∈ ∗) .

D’apr` es le th´ eor` eme de D. Iglehart, la limite est le m´ eandre brownien. Il nous faut mentionner ici le fait qu’au mˆ eme moment, R. Durrett, D. Iglehart et D. Miller ([10]) d´ emontrent avec une m´ ethode similaire que le mouvement brownien issu d’un point x > 0 et conditionn´ e ` a rester positif pendant une unit´ e de temps converge aussi en loi vers le m´ eandre brownien lorsque x tend vers 0. Ce r´ esultat peut ˆ etre consid´ er´ e comme l’analogue en temps continu du th´ eor` eme d’Iglehart-Bolthausen.

Supposons maintenant que (S n ) soit une marche al´ eatoire ` a valeurs dans R <sup>d</sup> (d ≥ 2) centr´ ee et de matrice de covariance ´ egale ` a l’identit´ e de M _d ( R ). Supposons aussi fix´ e un cˆ one convexe C issu de l’origine tel que P(ξ 1 ∈ C) > 0 et notons T C le temps de sortie de C. Le processus de Donsker S _n , conditionn´ e ` a rester dans C, peut encore ˆ etre repr´ esent´ e comme une section du processus original

`

a l’aide du temps T (w) = inf{t ≥ 0 : w(t + s) − w(t) ∈ C, ∀s ∈]0, 1]} qui permet d’´ ecrire P (S _n ∈ A | T _C > n ) = W ⁿ (X(T + ·) − X(T ) ∈ A) ,

pour tout n ≥ 1 et tout A ∈ C _∞ . La perspective d’en d´ eduire un principe d’invariance pour des marches al´ eatoires conditionn´ ees ` a rester dans des cˆ ones a sans doute motiv´ e quelques recherches, car M. Shimura et K. Burdzy publient, chacun de leur cˆ ot´ e et ` a peu pr` es en mˆ eme temps, des r´ esultats relatifs au temps al´ eatoire T. Dans [5], K. Burdzy d´ ecouvre que l’´ ev´ enement

A(α) ={ Il existe des temps 0 ≤ t ₁ < t ₂ et un cˆ one C d’angle α et de sommet X(t ₁ ) tels que X(t) ∈ C pour tout t ∈]t ₁ , t ₂ ]}

a une mesure de Wiener ´ egale ` a : – 0 si cos(α/2) > 1/ √

d ;

– 1 si cos(α/2) < 1/ √ d.

M. Shimura ([28]) d´ emontre lui aussi ce r´ esultat en dimension d = 2 et r` egle le cas cos(α/2) = 1/ √ 2 (la probabilit´ e est encore nulle). En cons´ equence, pour des cˆ ones de petite ouverture, le temps T est W -presque sˆ urement infini. La conclusion est sans appel : la m´ ethode ne s’´ etend pas en dimension d ≥ 2. Toutefois, M. Shimura parvient ` a ´ etendre ` a la fois le th´ eor` eme de Durrett-Iglehart-Miller au mouvement brownien planaire conditionn´ e ` a rester dans un cˆ one pendant une unit´ e de temps, et le principe d’invariance d’Iglehart-Bolthausen ` a une marche al´ eatoire planaire conditionn´ ee ` a rester dans un cˆ one. Nous ne rentrerons pas ici dans les d´ etails des hypoth` eses et des techniques qu’il utilise pour obtenir son principe d’invariance : cela sera discut´ e dans le chapitre correspondant. En nous inspirant de la d´ emonstration qu’il propose, nous avons obtenu le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 8.19. (d = 2). Soit C est un cˆ one du plan d’ouverture β. On suppose que la marche al´ eatoire (S <sub>n</sub> ) est ` a pas born´ es et que P (T _C > n) d´ ecroˆıt lentement ⁷ vers 0. Alors la suite de mesures conditionnelles

( P (S _n ∈ ∗ | T _C > n )) _n converge vers W f _0,1 ^C sur C _∞ . De plus, on a

P(T C > n) = n ^−π/2β L(n) ,

o` u L(n) est une fonction ` a variation lente.

Bien que l’hypoth` ese de d´ ecroissance lente de P (T <sub>C</sub> > n) paraisse difficile ` a v´ erifier en pratique, sa pr´ esence est justifi´ ee par les faits suivants :

1. sous les hypoth` eses du th´ eor` eme de Shimura, on peut d´ emontrer directement (en utilisant des arguments semblables aux siens) que P(T C > n) d´ ecroit lentement vers 0 ;

2. les travaux [33] de N. Varopoulos montrent que cette hypoth` ese est satisfaite par une grande classe de lois ;

3. historiquement, la premi` ere d´ emonstration qu’a donn´ ee D. Iglehart du principe d’invariance pour une marche r´ eelle conditionn´ ee ` a rester positive utilisait de fa¸ con cruciale l’´ equivalent P (T _C > n) ∼ cn ^−1/2 .

4. enfin, l’argument le plus important est que cette condition est tout simplement n´ ecessaire.

On a en effet le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 8.20. On suppose que d ≥ 2 et que C est un cˆ one de r´ evolution.

Si

P (S _n ∈ ∗ | T _C > n ) ⇒ W f _0,1 ^C , alors on a

P(T C > n) = 1 n

⁻

L(n) ,

o` u L est une fonction ` a variation lente.

7. Une suite f : N → R d´ ecroˆıt lentement vers 0 si f (n) tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini et si pour tout t > 1, on a

lim inf f([tn])

f(n) > 0 .

Remarque. Le coefficient α ₁ est donn´ e par la formule α 1 =

s λ 1 +

d 2 − 1

2

,

o` u −λ <sub>1</sub> < 0 est la premi` ere valeur propre du Laplacien sph´ erique agissant comme op´ erateur sur les fonctions diff´ erentiables sur C ∩ S ^d−1 qui s’annulent sur ∂C ∩ S ^d−1 (voir la section 7.3.2 du chapitre 7).

Perspectives Nous esp´ erons ´ etendre le th´ eor` eme 8.19 en dimension d ≥ 3 comme nous l’avons fait dans le cas du mouvement brownien (th´ eor` eme 7.42). Il y a cependant une difficult´ e suppl´ ementaire

`

a surmonter car, contrairement au mouvement brownien, les processus de Donsker ne b´ en´ eficient

pas des propri´ et´ es d’invariance par rotation et par changement d’´ echelle que nous avons mises ` a

profit pour d´ emontrer le th´ eor` eme 7.42.

Premi` ere partie

Contributions ` a l’´ etude d’une marche

al´ eatoire centrifuge

Chapitre 1

Pr´ esentation du mod` ele de la marche centrifuge

R´ esum´ e. La marche al´ eatoire centrifuge est un processus de Markov dans l’espace euclidien dont les transitions sont celles d’une marche al´ eatoire sym´ etrique ordinaire perturb´ ees par une d´ erive centrifuge. Ce processus a ´ et´ e introduit et ´ etudi´ e par J. D. Fouks, E. Lesigne et M. Peign´ e dans [13].

Une pr´ esentation succinte du mod` ele et des r´ esultats qu’ils ont ´ etablis a d´ ej` a ´ et´ e donn´ ee dans l’introduction g´ en´ erale. Dans ce chapitre, nous revenons sur le mod` ele de la marche centrifuge et rappelons les estimations de moments obtenus dans [13] que nous utiliserons sans arrˆ et au cours de ce travail.

1.1 Mod` ele ´ el´ ementaire et hypoth` eses d’isotropie

Soit un entier d ≥ 2. La marche centrifuge est la chaˆıne de Markov dans R ^d associ´ ee ` a la probabilit´ e de transition p d´ efinie sur R ^d par la formule ¹

(1.1) p(x, x + dy) = (1 + a(kyk)h ~ x, y i) µ(dy) =: µ _{~ x} (dy) , o` u

– µ est une loi de probabilit´ e sur R ^d , sym´ etrique et ` a support born´ e, qui repr´ esentera la loi de la marche non perturb´ ee. (On suppose que µ n’est pas la masse de Dirac en 0) ;

– a est une fonction positive d’une variable r´ eelle, bor´ elienne, et telle que kyka(kyk) ≤ 1 pour µ-presque tout y.

Cela assure en particulier que, pour tout x 6= 0, la fonction y 7→ 1 + a(kyk)h ~ x, y i est bien une densit´ e de probabilit´ e pour la mesure µ.

Conditions d’isotropie Afin d’obtenir un comportement centrifuge, on impose aux lois µ(dy) et a(kyk)µ(dy) de satisfaire les conditions d’isotropie suivantes :

– la matrice de covariance de µ(dy) est ´ egale ` a m <sup>0</sup> I, m <sup>0</sup> > 0 ; – la matrice de covariance de a(kyk)µ(dy) est ´ egale ` a mI, m > 0.

1. Pour x = 0 la formule (1.1) doit se lire simplement p(0, dy) = µ(dy). Cette convention sera utilis´ ee dans

l’ensemble de nos calculs.

La premi` ere condition implique que dans toute base orthonorm´ ee la matrice de covariance de µ est

´

egale ` a m ⁰ I , donc

(1.2) ∀~ x ∈ S ^d−1 ,

Z

h y, ~ u ih y, ~ x i µ(dy) =

( m si ~ u = ~ x ; 0 si ~ u ⊥ ~ x . La variance V = R

kyk µ(dy) de µ est ´ egale ` a dm <sup>0</sup> . Puisque la mˆ eme condition est impos´ ee ` a la mesure a(kyk) µ(dy), on a aussi

(1.3) ∀~ x ∈ S ^d−1 , Z

h y, ~ u ih y, ~ x ia(kyk) µ(dy) =

( m ⁰ si ~ u = ~ x ; 0 si ~ u ⊥ ~ x . . Avec ces hypoth` eses d’isotropie, l’accroissement moyen est centrifuge :

Proposition 1.1. L’accroissement moyen partant d’un point x 6= 0 vaut Z

y µ _{~ x} (dy) = m~ x . D´ emonstration. On a

Z

y µ _{~ x} (dy) = Z

y µ(dy)

| {z }

=0

+ Z

yh ~ x, y ia(kyk) µ(dy) ;

donc

h ~ u, Z

y µ _{~ x} (dy) i = Z

h ~ u, y ih ~ x, y ia(kyk) µ(dy) ,

et le r´ esultat d´ ecoule de (1.3).

La proposition suivante montre que la dispersion de l’accroissement est plus importante sur l’hyperplan orthogonal ` a x.

Proposition 1.2. Partant d’un point x 6= 0, la variance de l’accroissement dans une direction ~ u vaut

Z

h y − m~ x, ~ u i ² µ _{~ x} (dy) =

( m ⁰ si ~ u ⊥ ~ x ; m ⁰ − m ² si ~ u = ~ x . La variance de l’accroissement vaut

Z

ky − m~ xk ² µ _{~ x} (dy) = dm ⁰ − m ² . D´ emonstration. On a

Z

h y − m~ x, ~ u i ² µ _{~ x} (dy) = Z

h y, ~ u i ² µ _{~ x} (dy) − 2mh ~ x, ~ u i Z

h y, ~ u i µ _{~ x} (dy) + m ² h ~ x, ~ u i ² . Or,

Z

h y, ~ u i ² µ _{~ x} (dy) = Z

h y, ~ u i ² µ(dy) + Z

h y, ~ u i ² h ~ x, y ia(kyk) µ(dy) = m + 0 ,

car la fonction y 7→ h y, ~ u i ² h ~ x, y ia(kyk) est impaire et µ sym´ etrique ; et d’apr` es la proposition 1.1

on a Z

h y, ~ u i µ _{~ x} (dy) = h Z

y µ _{~ x} (dy), ~ u i = mh ~ x, ~ u i .

Donc Z

h y − m~ x, ~ u i ² µ _{~ x} (dy) = m ⁰ − m ² h ~ x, ~ u i ² .

Quelques notations Dans toute la suite, nous noterons (X _n ) n≥0 la marche al´ eatoire centrifuge de loi de base µ et de fonction de perturbation a, c’est-` a-dire la chaˆıne de Markov associ´ ee ` a la probabilit´ e de transition p d´ efinie par la relation (1.1). Pour toute fonction mesurable born´ ee f sur R ^d , on a

E (f(X _n+1 ) | F _n ) = Z

f (X _n + y)(1 + a(kyk)h X ~ _n , y i) µ(dy) , o` u F <sub>n</sub> = σ{X <sub>1</sub> , . . . , X n } est la filtration naturellement associ´ ee ` a la suite (X n ).

La loi du processus (X _n ) n≥0 est enti` erement d´ etermin´ ee par la loi des transitions et par la distribution ν de la variable al´ eatoire X ₀ . Nous noterons alors P ν la probabilit´ e sur l’espace des r´ ealisations et E ν l’esp´ erance associ´ ee. Si la distribution initiale ν de la chaˆıne est une masse de Dirac en un point x ∈ R ^d , la probabilit´ e P ν est not´ ee P x . Lorsque x = 0, on omet l’indice.

Nous noterons ρ _n = kX _n k le module de la marche centrifuge et X ~ _n = X _n /ρ _n la direction de la marche centrifuge (lorsqu’elle est d´ efinie).

La proposition 1.1 dit exactement que

E (X _n+1 − X _n | F _n ) = m ~ X _n .

c’est-` a-dire que l’accroissement moyen, partant de X n , est proportionnel ` a X ~ n : la marche est centrifuge en moyenne.

1.2 Support de la marche centrifuge

Dans cette section, nous d´ emontrons que le support de la marche centrifuge est le mˆ eme que celui de la marche al´ eatoire de loi µ, ´ eventuellement priv´ e de l’origine. Pour ce faire, nous ´ etablissons en fait une propri´ et´ e un peu plus forte qui constituera un outil essentiel pour cerner le domaine de validit´ e du th´ eor` eme limite local du chapitre 5.

Soient S le support de la loi µ et G le support de la marche al´ eatoire de loi µ. On rappelle que G est le semi-groupe ferm´ e engendr´ e par S et que ses ´ el´ ements sont donc caract´ eris´ es par la relation

y ∈ G ⇔ ∀ > 0, ∃z ₁ , z 2 , . . . , z n , tels que z i ∈ S et z 1 + z 2 + · · · + z n ∈ B (y, ) . On note G ^∗ = G \ {0}.

La principale difficult´ e dans l’´ etude du support de la marche centrifuge provient du fait que la densit´ e 1 + a(kyk)h ~ x, y i peut s’annuler lorsque y se trouve sur la demi-droite engendr´ ee par −~ x.

Ainsi, partant de x 6= 0, un pas dans la direction −~ x peut ˆ etre impossible pour la marche centrifuge alors qu’il est possible pour la marche al´ eatoire de loi µ. Notre premier lemme montre que, dans les bons cas, un pas possible pour la marche al´ eatoire de loi µ l’est aussi pour la marche centrifuge.

Lemme 1.3. Soient x et y deux points de G ^∗ non align´ es avec l’origine et tels que y − x ∈ S. Pour tout > 0, il existe α > 0 tel que

z∈B(x,α] inf P z ( X 1 ∈ B(y, ] ) > 0 .

D´ emonstration. Fixons > 0 et posons a = y − x. Comme les points x et y ne sont pas align´ es avec l’origine, les points x et a ne le sont pas non plus et l’on peut trouver un 0 < α ≤ /2 tel qu’un point z de B(x, α] et un point u de B(a, α] ne soient jamais align´ es avec l’origine. Choisissons un tel α.

Comme aucune des deux boules B(x, α] et B(a, α] ne contient l’origine, la fonction (z, u) 7→ h ~ z, ~ u i

est continue sur le compact B(x, α] × B (a, α] et y atteint son minimum γ. Par le choix de α, on a