Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux équations aux dérivées partielles hautement oscillantes

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oscillantes

Guillaume Leboucher

To cite this version:

Guillaume Leboucher. Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux équations aux

dérivées partielles hautement oscillantes. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université

Rennes 1, 2015. Français. �NNT : 2015REN1S121�. �tel-01326270�

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1

sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne

pour le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention : Mathématiques

Ecole doctorale Matisse

présentée par

Guillaume Leboucher

préparée à l’unité de recherche IRMAR (n°6625) Institut de Recherche Mathématiques de Rennes

Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux équations aux

dérivées partielles hautement

oscillantes.

Thèse soutenue à Rennes le 8 Décembre 2015

devant le jury composé de :

François CASTELLA

Professeur à l'université de Rennes / président

Assyr ABDULLE

Professeur à l'école Polytechnique de Lausanne / rapporteur

Hélène BARUCQ

Professeur à l'université de Pau / rapporteur

Gilles VILMART

Maître de conférence à l'université de Genève / examinateur

Mechthild THALHAMMER

Professeur à l'université d'Innsbruck / examinateur

Florian MEHATS

Professeur à l'université de Rennes / directeur de thèse

Philippe CHARTIER

Directeur de recherche à l'INRIA de Rennes / co-directeur de thèse

N

attribué par la bibliothèque

THÈSE

pour obtenir le grade de

Docteur de l'Université de Rennes 1 Spécialité : Mathématiques

préparée au laboratoire IRMAR dans le cadre de l'École Doctorale MATISSE

présentée et soutenue publiquement par

Leboucher Guillaume

le 8 Décembre 2015 Titre:

Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux équations aux dérivées partielles hautement oscillantes.

Directeur de thèse: Florian Méhats Co-directeur de thèse: Philippe Chartier

M. Assyr Abdulle, Jury Rapporteur Mme. Hélène Barucq, Rapporteur Mme. Mechtild Thalhamer, Examinateur

M. Gilles Vilmart, Examinateur

M. François Castella, Examinateur

M. Florian Méhats, Directeur de thèse

M. Philippe Chartier, Co-directeur de thèse

Cette thèse présente des travaux originaux dans le domaine des méthodes de moyen- nisation d'ordre élevé. On s'intéresse notamment à des procédures de moyennisa- tion dite stroboscopique ou quasi-stroboscopique dans des espaces de Banach ou de Hilbert. Ces procédures sont ensuite appliquées à des exemples concrets : des équations d'évolutions hautement oscillantes.

Plus précisément, on montre dans un premier temps un résultat de moyennisation stroboscopique dans un espace de Banach où l'on obtient des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est ensuite appliqué sur deux équations des ondes semi- linéaire hautement oscillantes. On montre également que la Stroboscopic Averaging Method s'applique à une équation des ondes semi-linéaire avec conditions de Dirich- let. On trouve enn numériquement, une dynamique intéressante de l'équation des ondes semi-linéaire mise en lumière par la procédure de moyennisation.

Dans un second temps, on présente un théorème de moyennisation quasi-strobos-

copique dans un espace de Hilbert quelconque avec des estimations d'erreurs expo-

nentielles. Ce théorème est alors appliqué de façon indirecte à une équation de

Schrödinger semi-linéaire oscillante. Cette équation est d'abord projeté dans un

espace de dimension nie pour qu'on puisse lui appliquer le théorème de moyen-

nisation quasi-stroboscopique. On écrit alors un résultat de moyennisation quasi-

stroboscopique pour l'équation de Schrödinger semi-linéaire avec des estimations

d'erreur polynomiales.

This thesis presents some original work in the eld of high order averaging procedure.

In particular, we are interested in stroboscopic and quasi-stroboscopic averaging pro- cedure in abstract Banach or Hilbert spaces. This procedures is applied to concrete examples: some highly oscillatory evolution equations.

More precisely, we rst show a theorem of stroboscopic averaging in a Banach space where we obtain exponential error estimates. This theorem is then applied on two semi-linear and highly oscillatory wave equations. We also put in evidence that the Stroboscopic Averaging Method works ne with a semi-linear wave equa- tion with Dirichlet conditions. Finally, the averaging procedure puts in evidence, numerically, an interesting dynamics regarding the semi-linear wave equation with Dirichlet conditions.

In a second part, we present a quasi-stroboscopic averaging theorem in a Hilbert space with exponential error estimates. This theorem is applied on a semi-linear Schrödinger equation. This equation has rst, to be project in a nite dimen- sional space in order to t in the hypotheses of the theorem. We then write a quasi-stroboscopic averaging theorem for a semi-linear Schrödinger equation with polynomial error estimates.

iv

Je remercie toutes celles et ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à la réalisation de cette thèse. Tout d'abord, ceux sans qui, la tenue d'une soutenance aurait été tout simplement impossible.

• Florian et Philippe, mes directeurs de thèse qui ont pris la peine de relire et corriger mes innombrables fautes (qu'elles soient d'Anglais ou Mathématiques) tout au long de ces quatre ans, qui m'ont aidé et guidé tant bien que mal et qui ne m'ont pas laissé tomber.

• Assyr Abdulle et Hélène Barucq, qui ont accepté de relire et commenter cette thèse.

• Mechtild Thalhammer, Gilles Vilmart et François Castella qui ont accepté de faire partie du jury et me permettent de leur exposer mes travaux.

Ensuite tout ceux qui ont été présent durant ces quatres ans an de m'aider ou de m'inspirer:

• Chantal Halet, Carole Wosiak, Hélène Rousseaux et Marie-Aude Verger qui forment l'équipe de secrétaire la plus ecace avec lesquelles il m'ait été donné de travailler,

• L'équipe IPSOS de l'INRIA dont Philippe est le directeur,

• L'équipe d'analyse et d'analyse numérique de l'université de Rennes,

• L'équipe de sciences en cour[t]s qui m'a permis de tourner un court métrage parlant de mon sujet de thèse,

• Alexander Osterman, pour ses invitations à Innsbruck et à Dobbiaco,

• Anti, pour avoir rendu des conférences réellement passionantes.

En troisième lieu, je tiens à remercier les Rennais qui m'ont soutennu avant, pendant et après la thèse:

• Bastien, qui est le seul doctorant à organiser une raclette pour son pot de thèse,

• Florent, pour les délires et les soirées passées rue de la soif,

• Grand Ju, qui ne nira jamais de me faire rire,

• Cristophe, dont je pensais être débarassé après ma thèse mais qui m'a suivi jusqu'à Paris,

• Yohann, excellent chercheur à qui il faudrait donner un poste, j'ai un pari en cours avec lui,

• Jérémy, aussi aimable et gentil qu'il est bon mathématicien,

• Quentin, qui me suit depuis la première et qui a poussé le vice jusquà soutenir le même jour que moi.

• Lisa, qui m'a toujours bien accueilli sur Rennes.

• Hélène, toujours présente, surtout quand je m'y attend le moins,

• Fif, auteur des paris les plus fous et qui pourtant n'a pas osé parier que je ne soutiendrais jamais (pour ce que j'en sais en tout cas),

• Manue et les jumeaux qui m'ont toujours accepté dans leurs vies (comme si ils avaient le choix) et m'ont permis de squatter chez eux quand je venais sur Rennes,

• Elise, qui m'a soutenu et motivé tout au long de la thèse (Et pas seulement pour aller courir).

Si il est important de connaitre des matheux, des thésards an de pouvoir échanger et discuter, je pense qu'il est tout aussi (voire plus) important d'avoir des amis en dehors de l'ENS et de l'IRMAR. J'aimerais les remercier ici même s'il semble peu probable qu'ils lisent un jour ces mots.

• Le personnel du collége Hector Berlioz, particulièrement disponibles et sym- pathiques. On ne pouvait pas imaginer pire comme environnement et rêver mieux comme collègues. Plus particulièrement, je remercie Teva, Laurent, Carole, Joan, Muriel, Juliette et Isabelle pour des raisons diérentes.

vi

particulièrement Bruno, Step, Vince, Nior et Koni avec qui mes échanges pok- eristiques ont toujours été passionnant.

• Les manceaux qui sont avec moi depuis toujours : Samy, Lucile, Clément Thomas, Priscillia, Didi, Gaby, Sophie et la grande Emilie. Je leur dois beau- coup.

• Fabien, mon plus vieil ami qui même sans comprendre, osait me demander ce qu'il y avait dans ma thèse.

Enn, je tiens à remercier tout ceux que je considère comme ma famille pour leur présence et l'aide innie qu'ils m'ont apporté.

• Martin mon cousin Germain et Daniela.

• La famille Deichelborher avec Jean, Monique, Mireille, Pierrot, Loïc et Clé- ment.

• Ma belle famille, notamment Jean-Marc, Chantal, Nicolas, Mathieu, Edwige, Eloïse et Aubin (mes premiers nièces et neveux) ainsi que le reste des Alsaciens.

• La famille Moreau avec Laurence, Christophe, Corentin, Laurie et Elise.

• Les Normands, Eric, Edith, Emeric, Martha, Emeline, Erika, Raphaël et Ethan.

• La famille Chaussavoine avec Annie, Jean-Luc, Alizée et Vincent.

• Mes colocs de toujours, Thomas et Juju.

• Ma grand mère, une femme qui m'impressionnera toujours.

• Laurent et Maud: Et oui je serais docteur avant vous nalement.

• Filou, Loris, Marie, Thibault, Amaury, Lancelot, Bénédicte, ainsi que mes parents. Je leur dois tellement à tous qu'ils seraient bien trop lonq de l'exposer ici.

• Mama.

Cette thèse est dédiée à mon grand père et à ma tante.

viii

Résumé . . . iii

Abstract . . . iv

Remerciements . . . . v

Contents . . . ix

1 Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux équa- tions diérentielles ordinaires 1 1 Introduction et historique . . . . 1

1.1 Un petit historique de la moyennisation . . . . 1

1.2 Problèmes de références . . . . 2

1.3 Exemples de problèmes pour les Equations Diérentielles Or- dinaires. . . . 5

2 Diérentes méthodes de résolutions. . . . 9

2.1 Résolution utilisant les séries de Taylor. . . 10

2.2 Résolution utilisant les B-séries . . . 12

2.3 Résolution utilisant une équation de transport . . . 18

3 Une méthode numérique: La SAM (Stroboscopic Averaging Method) 22 3.1 Principe général de la SAM . . . 23

3.2 Estimations d'erreurs et exemples numériques . . . 24

4 Les probèmes quasi-périodiques . . . 28

5 Résumé des résultats de la thèse . . . 30

5.1 Diérentes méthodes pour diérents point de vue . . . 30

5.2 Chapitre 2 : Méthode de moyennisation stroboscopique et équation des ondes hautement oscillantes . . . 31

5.3 Chapitre 3 : Méthode de moyennisation quasi-strobos-copique dans des espaces de Hilbert . . . 33

5.4 Chapitre 4 : Méthode de moyennisation quasi-strobos-copique pour une équation de Schrödinger semi-linéaire. . . 34

2 Stroboscopic averaging of highly-oscillatory non-linear wave equa- tions 37 1 Introduction . . . 37

2 High-order averaging and analytic functions in a Banach space . . . . 40

2.1 Preliminaries . . . 40

2.2 Perko's formulas . . . 41

2.3 Averaging theorem with polynomial remainder . . . 43

2.4 Analytic functions in a Banach space . . . 45

2.5 Averaging theorem with exponential error estimate . . . 48

2.6 Geometric properties of stroboscopic averaging . . . 50

3 Two examples : Wave equations with Dirichlet and periodic boundary conditions . . . 53

3.1 A semi-linear wave equation with Dirichlet Boundary conditions. 53 3.2 A semi-linear wave equation with periodic boundary conditions. 58 4 Stroboscopic Averaging Method for a semi-linear wave equation. . . . 61

4.1 The numerical method . . . 61

4.2 A semi-linear wave equation with Dirichlet boundary condi- tions: Numerical results. . . 63

4.3 Energy exchange between modes in a non linear wave equation : heuristic analysis. . . 66

5 Appendix . . . 69

3 Quasi-stroboscopic averaging in Hilbert spaces 71 1 Introduction . . . 71

1.1 The formal equations of quasi-stroboscopic averaging . . . 72

2 Abstract settings . . . 74

2.1 Analytic functions in a Hilbert space . . . 74

2.2 Quasi-periodic functions with values in A

. . . 75

2.3 Analytic quasi-periodic functions with values in A

. . . 76

2.4 Main Result: Exponential estimates for the quasi-strobos- copic averaging procedure . . . 79

3 Technical proofs and intermediate results . . . 80

3.1 Preliminary Lemmas . . . 80

3.2 Resolution of (1.11) with polynomial remainder estimates . . . 83

3.3 Proof of Theorem 2.13 . . . 85

4 Quasi-stroboscopic procedure for a semi-linear Schrödinger equa- tion 89 1 Introduction . . . 89

2 Projection of the nonlinear Schrödinger equation . . . 91

2.1 Geometric form of the nonlinear Schrödinger equation . . . 91

2.2 Hamiltonian character of equation (2.2) . . . 94

2.3 Projection in a nite dimensional space . . . 95

3 Application of the quasi-stroboscopic averaging procedure in X

. . . 97

3.1 A theorem of quasi-stroboscopic averaging . . . 98

4 Quasi-periodic averaging with polynomial remainder estimates . . . . 103

x CONTENTS

xii CONTENTS

Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux

équations diérentielles ordinaires

1 Introduction et historique

1.1 Un petit historique de la moyennisation

L' étude des problèmes perturbés vient originellement de l'objectif de relier les ob- servations sur le déplacement des planètes avec les théories de Newton. Les premières tentatives des physiciens furent de créer des tables astronomiques pour chaque nou- veau cas qu'ils rencontraient. Cependant aucune théorie globale ne permettait de résoudre des équations diérentielles toujours plus complexe. L'idée de regarder un problème moyenné (souvent plus simple) que le problème de base an d'en déduire des résultats qualitatifs vient notamment de Clairaut [21], Laplace [26] et Lagrange [36]. De nombreux autres scientiques comme Jacobi, Van der Pol ou Poincaré, ont par la suite, repris cette méthode.

Cependant, la relation entre les solutions de l'équation de départ et de l'équation moyennée, bien que très utilisée en physique, restait formelle. La première preuve de validité asymptotique fut apporté par Fatou [28] en 1928 pour des champs de vecteurs périodiques. En union Soviétique, à la même époque des résultats similaires sont obtenus par Mandelstam et Papalexi [33]. Une percée importante est faite par Krylov et Bogoliubov [35] lorsqu'ils appliquent les résultats de la moyennisation aux champs de vecteurs presque périodiques. Les thérories sur la moyennisation sont alors rassemblées dans un livre important écrit par Bogoliubov et Mitropolsky [5]

en 1955 (traduit en Anglais en 1961 [4]) .

Ce sera le point de départ d'un grand nombre de travaux explorant plusieurs domaines des mathématiques. On peut citer notamment :

• Les formes normales de Birko qui consiste à mettre un système Hamiltonien sous une forme plus simple à intégrer.

• La théorie KAM du nom des trois mathématiciens qui en sont à l'origine:

Kolmogorov [34], Arnold [2] et Moser [41].

• La moyennisation d'ordre élevé notamment présentée par Perko [44] en 1969 puis par Ellison, Saenz et Dumas [27] qui est au coeur des travaux de cette thèse.

De nombreux autres auteurs ont apportés des contributions dans ces domaines aux cours des dernières décénnies et il serait fastidieux de tous les citer et de n'en ou- blier aucun. Cependant, un certain nombre sont revenues régulièrement dans mes recherches. A propos des formes normales de Birkho, on peut se référer à Bambusi [3]. Au sujet de la moyennisation, le livre de Sanders, Verhulst et Murdock [47] con- tient énormément d'informations. Enn, Hairer Lubich et Wanner [32] reprennent la théorie KAM ainsi que de nombreux autres concepts (B-séries, Erreur de l'analyse rétrograde ...). Ils sont également à l'origine d'une méthode de moyennisation par- ticulière appelée "modulated fourier expansion" [22].

Durant ces derniéres années, Chartier, Méhats, Murua, Sanz Serna et Castella ([9, 10, 11, 13, 16, 17, 20]) ont développé l'idée de moyennisation stroboscopique et trouvé une méthode numérique ecace pour résoudre les problèmes avec champs de vecteurs périodiques. Nous présentons maintenant plus en détail le principe de la moyennisation stroboscopique.

1.2 Problèmes de références

On s'intéresse tout d'abord aux problèmes en temps long de la forme dy

dt = εf t, y

, y

(0) = y

(1.1)

On considère un entier D ≥ 1 et on note X = R

ou C

. Dans l'équation (1.1), y

(t) est dans X , ε > 0 est un petit paramètre et f est une fonction régulière et P -périodique par rapport à la variable t . On note alors T le tore de période P , c'est à dire T = R /(P Z ) . Ces problèmes sont appelés hautement oscillants et l'on cherche à les résoudre sur un intervalle de temps [0, T /ε] où T est indépendant de ε .

2 1. INTRODUCTION ET HISTORIQUE

Ces problèmes sont équivalents aux problèmes dits hautements oscillants que l'on peut formuler ainsi:

dy

dτ = f

τ ε , y

, y

(0) = y

. (1.2)

avec f , une fonction régulière de T × X à valeurs dans X . On cherche alors si (1.2) à une unique solution pour τ ∈ [0, T ] . Ces deux problèmes, mathématiquement semblables, s'appliquent à de nombreux problèmes concrets (cf section 1.3). Si dans la thèse, on étudiera indistinctement l'une ou l'autre forme, on présente dans cette introduction, la moyennisation stroboscopique pour des problèmes sous la forme (1.1) (problèmes en temps long).

Le principe de la moyennisation est de trouver un changement de variable Φ : T × X → X régulier ainsi que le ot Ψ d'une équation autonome

d

dt Ψ(t, y

) = εG Ψ(t, y

); ε

(1.3) tel que la solution y

du problème (1.1) s' écrive

y

(t) = Φ (t, (Ψ(t, y

))) , ∀t ∈ [0, T /ε]. (1.4) La fonction G est alors appelée champs de vecteur moyenné de l'équation (1.1). Il dépend du champs de vecteur f et de ses diérentes dérivées.

En pratique, l'expression (1.4) n'e peut être obtenue que dans des cas très par- ticuliers. (Par exemple, dans le cas où f est une application linéaire). En règle générale, on cherchera à montrer une version tronquée de la relation (1.4). C'est à dire, pour tout n ∈ N

, on trouve un changement de variable Φ

: T × X → X et le ot Ψ

d'une équation autonome

d

dt Ψ

(t, y

) = ε

n

X

j=1

ε

G

Ψ

(t, y

)

!

, (1.5)

tel que

y

(t) − Φ

t, Ψ

(t, y

)

= O(ε

), ∀t ∈ [0, T /ε] (1.6) où | · |

est la norme usuelle de R

ou C

et O est la notation de Landau classique.

Dans la suite, on uitilisera la notation classique

∀t ∈ R Φ(t) : y ∈ X → X 3 Φ(t, y).

Il a été prouvé que si, pour tout n ∈ N

, le champs de vecteurs G

:= G

+ εG

+ . . . + ε

G

est unique, il y a en revanche une innité de choix possible pour le changement de variable Φ

. Classiquement, on impose alors que le changement de variable soit de moyenne nulle, c'est à dire,

hΦi = 1 P

Z

Φ(θ)dθ ≡ 0. (1.7)

Une autre possibilité qui mène alors à la moyennisation dite stroboscopique, est d'imposer Φ(0) = Id

. Ce choix de moyennisation a plusieurs avantages. Pre- mièrement, la moyennisation stroboscopique est la seule qui préserve la structure du problème de base (cf [16, 17] et partie 2.3). Ensuite, cette procédure mène a une méthode numérique: la Stroboscopic Averaging Method (SAM) (cf [10] et partie 3).

On dénit l'ensemble

T

= {P k, k ∈ Z }. (1.8) Les éléments de T

sont appelés les temps stroboscopiques et jouent un rôle impor- tant dans la procédure de moyennisation stroboscopique. En eet, la solution y

de l'équation (1.1) et la solution (formelle) Y de l'equation (1.3) coïncident sur ces temps stroboscopiques. Ecrit diéremment,

∀t ∈ T

, y(t) = Y (t).

Cette remarque est essentielle pour la construction de la SAM.

On notera que dans les cas où la fonction f de l'équation (1.1) est analytique par rapport à la variable y , on peut raner l'inégalité (1.6). En eet, il est possible de construire (cf [13] et Partie 2.3) un changement de variable Φ

et un champ de vecteur G

tel que le ot Ψ

de l'équation autonome

d

dt Ψ

(t, y

) = εG

(Ψ(t, y

)), satisfasse la relation

|y

(t) − Φ

(t, Ψ

(t, y

))|

≤ C

e

où C

et C

sont deux constantes positives indépendantes de ε .

4 1. INTRODUCTION ET HISTORIQUE

Enn on s'intéresse également aux problèmes où la fonction f dans (1.1) n'est plus périodique en t mais quasi-périodique (cf [42, 38]). Cela englobe notamment tous les problèmes de la forme

dy

dt = εf (tω

, . . . , tω

, y

) , y

(0) = y

. (1.9) Dans l'équation ci dessus, d est un entier plus grand que 2 , la fonction f : T

× X → X est supposée régulière et les réels ω

, . . . , ω

sont non rationnellement dépendant.

Plus précisément, ils devront vérier une hypothèse de non-résonnance forte qui sera exposé dans la partie 4. On dénit alors ω = (ω

, . . . , ω

) , le vecteur des fréquences de l'équation (1.9). Par souci de simplications, on notera pour (t, y) ∈ R × X ,

f (tω, y) = f(tω

, . . . , tω

, y).

Par analogie avec la cas périodique, on cherche alors un changement de variable Φ

: T

× X → X régulier ainsi que le ot Ψ

d'une équation autonome tel que

y

(t) − Φ

tω, Ψ

(t, y

)

= O(ε

), ∀t ∈ [0, T /ε]. (1.10)

1.3 Exemples de problèmes pour les Equations Diérentielles Ordinaires.

Dans cette partie, on donne trois exemples d'équations diérentielles ordinaires en- trant dans la catégorie des problèmes de références cités plus haut.

Un problème jouet

On considère le problème suivant, dx

dt = −2iπε

t e

x

, x(0) = x

∈ C

. (1.11) Cette équation est intéressante pour appréhender le concept de moyennisation stro- boscopique. On vérie en introduisant la variable x ˜ = εt et y =

x ˜ x

, que le problème (1.11) peut être mis sous la forme (1.1)

dy dt =

ε

−2iπε x e ˜

x

= εf (t, y).

La fonction f est 1 -périodique par rapport à t , régulière par rapport à y : L'ensemble des temps stroboscopiques est tout simplement Z.

On connait une solution de l'équation (1.11) donnée par

x(t) = 1

1

x0

− ε

te

+ i

(e

− 1) .

Figure 1.1: La solution de l'équation (1.11) et la solution de l'équation moyennée correspondante.

L'intêret de cet exemple est qu'on peut calculer exactement le champ moyénnée G

et donc la procédure de moyennisation stroboscopique est exacte. Après calculs, on trouve

G(z; ε) = εz

. Ainsi le ot de l'équation

dΨ

(t, x

)

dt = εG(Ψ

(t, x

); ε) = ε

(Ψ

(t, x

))

se calcule et l'on a

Ψ

(t, x

) = 1

1 x0

− εt .

Il est plus fastidieux de calculer le changement de variable correspondant. Cepen- dant, ce n'est pas nécessaire pour remarquer que pour t ∈ T

:= Z, on a

x(t) = Ψ

(t, x

).

On retrouve cette propriété sur la gure 1.1 ou l'on voit que la courbe rouge (solution de l'équation initiale) et la courbe bleue (solution de l'équation moyennée) coïncident aux temps stroboscopiques.

6 1. INTRODUCTION ET HISTORIQUE

L'équation de Van der Pol

L'équation de Van der Pol, du nom du physicien Néerlandais Balthasar Van der Pol est une équation hautement oscillante qui a trouvé de nombreuses applications en sciences physiques et biologiques. Etant donné ω

> 0 , l'oscillateur libre de Van der Pol est régi par l'équation

¨

x + ω

x = ε(1 − x

) ˙ x, x(0) = x

, x(0) = ˙ x

. (1.12) Le changement de variable y =

x

˙ x

donne automatiquement l'équivalence entre l'équation (1.12) et l'équation suivante

˙ y =

0 ω

−ω

0

y + εF (y), y(0) = x

x

, où la fonction F est donnée par

F : y

y

∈ R

→ R

3

0 (1 − y

)y

. Par souci de simplication, on dénit A :=

0 ω

−ω

0

. Le deuxième changement de variable v = e

y montre que l'équation (1.12) est équivalente à l'équation

˙

v = εe

F (e

v), v(0) = x

x

qui est bien sous la forme du problème (1.1).

Le problème de Fermi-Pasta-Ulam

Le problème de Fermi-Pasta-Ulam (ou problème FPU), du nom du Physicien En- rico Fermi, de l'informaticien John Pasta et du mathématicien Stanislas Ulam qui l'ont étudié [29] est un modèle simple de mécanique qui entraine un comportement dynamique innatendu. On considère que m ressorts raides (partie linéaire) sont ac- crochés en alternance avec m + 1 ressorts mous (partie non linéaire). Les ressorts sont accrochés à chaque extrémités et on s'intéresse au mouvement de chaque points entre deux ressorts x

, . . . , x

(cf gure 1.3).

Pour tout i = 1, . . . , 2m , le point x

satisfait l'équation diérentielle suivante

¨

x

= (x

+ x

− 2x

) + ε (x

− x

)

− (x

− x

)

(1.13) On note alors x le vecteur de x

, . . . , x

. Le système d'équation associé au problème FPU s'écrit

¨

x = Ax + εg(x), x(0) = x

, x(0) = ˙ x

, (1.14)

Figure 1.2: Portrait de phase de la solution de l'équation de Van der Pol (bleu) et de l'équation moyennée associée (rouge)

Figure 1.3: Le problème FPU.

8 1. INTRODUCTION ET HISTORIQUE

où la matrice A est la matrice avec des −2 sur la diagonale et des 1 sur les sur et sous diagonales :

A :=



















−2 1 0 0 · · · 0 1 −2 1 0 · · · 0

... ... ...

0 · · · 1 −2 1 0 0 · · · 0 1 −2 1 0 · · · 0 0 1 −2



















La matrice A est dénie négative, on peut donc dénir √

−A . Appliquant le change- ment de variable y =

x

˙ x

, on montre que le système (1.14) est équivalent au système

˙ y =

0 √

−A

− √

−A 0

y + εF (y), y(0) = x

x

, (1.15)

avec F : y = y

y

∈ ( R

)

→ 0

g(y

)

. On pose alors B :=

0 √

−A

− √

−A 0

et le changement de variable v = e

y . L'équation (1.14) est nalement équivalente à l'équation

˙

v = e

F (e

v), v(0) = x

x

. (1.16)

On remarque alors que l'application t → e

est quasi-périodique avec un maxi- mum de 2m fréquences (les quasi-périodes dépendent des valeurs propres de √

−A ).

L'équation (1.16) est alors sous la même forme que l'équation (1.9) avec d ≤ 2m .

2 Diérentes méthodes de résolutions.

On reprend la propriété fondamentale de la moyennisation (1.4), En dérivant cette égalité par rapport au temps, on obtient

dy

dt (t) = ∂

Φ(t, Ψ(t, y

)) + ∂

Φ(t, Ψ(t, y

))(∂

Ψ(t, y

)).

On en déduit, d'après (1.1) et (1.3),

εf (t, y

(t)) = ∂

Φ(t, Ψ(t, y

)) + ε∂

Φ(t, Ψ(t, y

))(G

(Ψ(t, y

))).

En posant alors y = Ψ(t, y

) , on obtient une équation sur X ,

∂

Φ(t, y) = εf (t, Φ(t, y)) − ε∂

Φ(t, y)G

(y). (2.1)

On sait qu'il n'exite pas en général de solution pour cette équation appelée équation homologique dans la théorie KAM. Néanmois, plusieurs techniques permettent de trouver des quasi-solutions (le terme quasi-solution est introduit dans [13]) pour (2.1) que l'on présente maintenant.

2.1 Résolution utilisant les séries de Taylor.

Développement de Taylor des formules de la moyennisation

L'idée de base de la méthode est de présenter Φ et G comme des séries (formelles) en puissances de ε . Autrement dit, pour tout t ∈ R, on suppose que

Φ(t) = Id + ε Φ

(t) + ε

Φ

(t) + . . . (2.2) G = G

+ εG

+ ε

G

+ . . . (2.3) En admettant que le développement précédent soit valide, on a

∂

Φ(t) = ε∂

Φ

(t)+ε

∂

Φ

(t)+. . . e t ∂

Φ(t) = Id+ε∂

Φ

(t)+ ε

∂

Φ

(t)+. . . . (2.4) On développe alors f (t, Φ(t, y)) et ∂

Φ(t, y)G

(y) en puissance de ε en utilisant leur séries de Taylor. Cela donne, pour les premiers termes,

f(t, Φ(t, y)) = f(t, y) + ε∂

f(t, y)Φ

(t, y) + O(ε

) (2.5) et

∂

Φ(t, y)G

(y) = G

(y) + ε G

(y) + ∂

Φ

(t, y)G

(y)

+ O(ε

). (2.6) On introduit alors les formules (2.4), (2.5) et (2.6) dans l'équation (2.1). En identi- ant les puissances en ε , on obtient

f(t, y) = ∂

Φ

(t, y) + G

(y).

∂

f (t, y)Φ

(t, y) = ∂

Φ

(t, y) + ∂

Φ

(t, y)G

(y) + G

(y) . . .

On remarque que pour k ∈ N

, ces équations sont toutes de la forme

∂

Φ

(t, y) + G

(y) = g

(t, y) (2.7) avec g

une fonction ne dépendant que de f , G

, . . . G

et de Φ

, . . . Φ

. De plus, g

est P -périodique par rapport à t . La fonction Φ

étant périodique en t , on prend la moyenne dans (2.7) et on obtient une formule pour G

:

∀k ∈ N

, ∀y ∈ X, G

(y) = 1 P

Z

g

(t, y)dt. (2.8) Le changement de variable Φ

peut alors être calculé par la formule

∀k ∈ N

, t ∈ R , y ∈ X, Φ

(t, y) = Z

0

g

(θ, y) − G

(y)dθ. (2.9)

10 2. DIFFÉRENTES MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS.

Théorème de moyennisation de Perko

Pour tout n entier positif et toute région K convexe de X on dénit P

(K ) l'ensemble des fonctions f : [0, ∞[×K → X qui sont P -périodiques et continues par rapport à la première variable et qui sont de classe C

par rapport à la deuxième variable.

On dénit ensuite pour tout t ∈ [0, ∞[ , l'approximation de y

d'ordre n y

(t) = Y

(t) +

n

X

j=1

ε

Φ

(t, Y

(t)) (2.10) où la fonction Y

est la solution du système autonome tronquée

dY

dt = G

(Y

) + . . . + ε

G

(Y

). (2.11) Les fonctions Φ

, . . . , Φ

, G

, . . . , G

sont alors respectivement données par les équa- tions (2.9) et (2.8) avec les fonctions g

, . . . , g

dénis par (pour j = 1, . . . , n )

g

(t, y) =

j−1

X

k=1

X

i1+...+ik=j−1

1

k! ∂

f (t, y) [Φ

, . . . , Φ

] (t, y) − ∂

Φ

(t, y)G

(y)

! . (2.12) On redonne ici le thórème prouvé par Perko dans [44].

Theorem 2.1 Soient T > 0 , n ∈ N

, K un domaine convexe de X , y

∈ K , f ∈ P

(K ) . On suppose que l'équation autonome d'ordre 1

dY

dτ = εG

(Y

), Y

(0) = y

a une unique solution Y

(t) incluse dans K pour tout 0 ≤ t ≤ T /ε . Alors,

• Il existe ε

> 0 tel que pour 0 < ε ≤ ε

, l'équation (1.2) dy

dt = εf (t, y

) , y

(0) = y

a une unique solution y

telle que y(t) ∈ K pour 0 ≤ t ≤ T /ε .

• L'approximation d'ordre n , notée y

et dénie par (2.10) satisfait pour 0 ≤ t ≤ T /ε ,

|y(t) − y

(t)| ≤ C

ε

(2.13)

avec C

une constante indépendante de ε .

Proof. On ne redonnera pas ici la preuve complète que l'on peut retrouver dans [44]

mais les idées générales qui mènent au résultat.

La première étape est bien entendu de vérier que pour j = 1, . . . , n les fonctions g

et Φ

sont des fonctions de P

(K) et donc que la formule des g

est valide par récurrence.

La seconde étape est de montrer que puisque Y

(t) reste dans K pour tout 0 ≤ τ ≤ T /ε , l'équation autonome d'ordre n (2.11) a une unique solution Y

qui reste également dans K lorsque ε est susament petit.

La troisième et la plus importante étape est de calculer les restes dans les séries de Taylor de la diérence y

(t) − y

(t) et de vérier que ces restes sont bornés par ε

.

Enn, par un raisonnement en boucle (bootstrap argument), en supposant que l'estimation (2.13) est valide pour t ≤ T

, on montre qu'en choisissant ε susament petit, la solution y

de l'équation (1.2) existe et reste dans K pour 0 ≤ t ≤ T /ε .

Remark 2.2 An de faire le lien avec la partie 1.2, on écrit

Φ

= Id +

n

X

j=1

ε

Φ

et G

=

n

X

j=1

ε

G

.

2.2 Résolution utilisant les B-séries

En analyse numérique et notamment pour les méthodes de Runge-Kutta, il est intéressant de faire correspondre les diérents termes de la solution d'une équation autonome développée en séries de Taylor avec des arbres à racine (rooted tree) [14, 40]. Cela permet de simplier les notations, les calculs et donne des conditions d'ordre (souvent très simples) pour les méthodes numériques. Les B-séries sont alors des séries formelles sur l'ensemble des arbres à racines . La théorie des B-séries a été développée par Butcher dans les années 1963 - 1972 [7, 8] puis par Hairer et Wanner [31]. Le concept des B-séries a ensuite été appliquée par Chartier, Murua et Sanz-Serna [16] à la moyennisation stroboscopique.

Présentation des B-séries

An d'introduire les B-séries, on considère l'équation autonome suivante dz

dt = ˜ f(z), z(t

) = z

(2.14)

12 2. DIFFÉRENTES MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS.

Le but ici est de trouver un méthode simple et ecace pour calculer les dérivées q ième d

z

dt

de la solution de cette équation. On a dz

dt = f(z) ˜ d

z

dt

= f ˜

(z) dz dt d

z

dt

= f ˜

(z) dz

dt , dz dt

+ ˜ f

(y) d

z dt

d

z

dt

= f ˜

dz

dt , dz dt , dz

dt

+ 3 ˜ f

(z) d

z

dt

, dz dt

+ ˜ f

(y) d

z dt

. . .

On remplace alors les dérivées de z dans les membres de droites an d'obtenir des relations qui ne dépendent que des dérivées de f ˜ . On trouve formellement (pour des soucis de clarté, on a ommis les dépendances en z ),

dz

dt = f ˜ d

z

dt

= f ˜

f ˜ d

z

dt

= f ˜

f , ˜ f ˜

+ ˜ f

f ˜

f ˜ d

z

dt

= f ˜

( ˜ f , f , ˜ f) + 3 ˜ ˜ f

( ˜ f

f , ˜ f) + ˜ ˜ f

f ˜

( ˜ f , f ˜ ) + ˜ f

f ˜

f ˜

f ˜ . . .

L'idée générale des B-séries est d'associer à chaque éléments diérentiels qui se trouvent dans les membres de droites ci dessus, un arbre à racine.

Denition 2.1 L'ensemble des arbres à racines, noté T , est déni récursivement par

1. Le graphe • muni d'un unique point (appelée la racine) appartient à T . 2. Si u

, . . . , u

∈ T , alors le graphe obtenu en reliant les racines de u

, . . . u

à un point appartient encore à T noté u = [u

, . . . , u

] . Le nouveau point d'attache est la racine de u .

On appelle alors l'ordre de l'arbre u et on note |u| le nombre de points du graphe.

Dans le tableau 2.2, on répertorie tous les arbres à racines d'ordre inférieur à 4 .

On dénit ensuite les éléments diérentiels qui à chaque arbre lui associe les

dérivées d'une fonction.

Figure 1.4: Exemple d'arbres á racines

Denition 2.2 Soit f : X → X une fonction régulière. L'élément diérentiel d'un arbre à racines u ∈ T est une fonction F (u) : X → X dénit par récurrence:

1. F (•)(y) = ˜ f(y) .

2. F (u)(y) =

f ˜ (y)[F (u

)(y), . . . , F (u

)(y)] si on a u = [u

, . . . , u

] .

|u| u Graphe F (u) σ(u)

1 • • f ˜ 1

2 [•] f ˜

f ˜ 1

3 [[•]] f ˜

f ˜

f ˜ 1 [•, •] f ˜

( ˜ f , f) ˜ 2 4 [[[•]]] f ˜

f ˜

f ˜

f ˜ 1 [[•, •]] f ˜

f ˜

( ˜ f , f ˜ ) 2 [[•], •] f ˜

( ˜ f

f , ˜ f ˜ ) 1 [•, •, •] f ˜

( ˜ f , f , ˜ f ˜ ) 6 Table 1.1: Arbres à racines d'ordre inférieur à 4 .

Si z est la solution exacte de l'équation (2.14), sa dérivé n -ième est donnée par la proposition suivante.

Proposition 2.3 Si la fonction f ˜ est de classe C

(X) , la solution de l'équation (2.14) vérie pour q ≤ m ,

d

z

dt

(t

) = X

|u|=q

α(u)F (u)(z

), (2.15)

14 2. DIFFÉRENTES MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS.

où les coecients α(u) sont des entiers positifs.

An de trouver l'ordre d'une méthode numérique, on développe la solution exacte à l'aide de série de Taylor et l'on compare la solution numérique développée elle aussi en série. Ainsi, on a pour h susament petit,

z(t

+ h) = z(t

) + h dz

dt (t

) + h

2!

d

z

dt

(t

) + . . .

= y

+ hf(y

) + h

2! f

(y

)f (y

) + . . .

L'introduction des B-séries est motivée par la formule précédente. Il s'agit de séries formelles en puissance de h utilisant les éléments diérentiels F (u) dénis plus haut. Cependant, pour des raisons pratiques, on introduit également un coecient de symmétrie lié à chaque arbre.

Denition 2.3 Le coecient de symmétrie σ(u) est déni par récurrence. On a σ(•) = 1 et pour u = [u

, . . . , u

] ,

σ(u) = σ(u

) . . . σ(u

)µ

!µ

! . . . ,

où les entiers µ

, µ

, . . . compte le nombre d'arbres identiques parmi u

, . . . , u

. Par exemple, le coecient de symmétrie de l'arbre [•, •] est 2 . On explique plus en détail dans [32] la raison de l'introduction de ces coecients de symmétrie. Cela nous permet de donner la forme courante des B-séries.

Denition 2.4 Pour une application a : T ∩ {∅} → R, on appelle B-séries une série formelle de la forme

B (a, z) = a(∅)z + X

u∈T

h

σ(u) a(u)F (u)(z). (2.16) B-séries et formules de moyennisation

Dans cette partie, on va utiliser les B-séries dans la procédure de moyennisation stroboscopique. Revenons au problème en temps long (1.1)

dy

dt = εf (t, y

), y

(0) = y

La fonction f étant P -périodique, on peut la développer en séries de Fourier. Ainsi on obtient

dy

dt = X

k∈Z

e

f

(y

).

An de ne pas compliquer inutilement les calculs, on va supposer que dans cette partie, la fonction f est 2π -périodique. Ainsi le développement en série de Fourier donne,

dy

dt = X

k∈Z

e

f

(y

).

On introduit alors ce qu'on appelle des arbres à racines colorés, c'est à dire des arbres où chaque point possède une étiquette k ∈ Z.

Denition 2.5 L'ensemble U des arbres à racines colorés se dénit par récurrence.

• Pour tout k ∈ Z le point coloré k appartient à U .

• Si u

, . . . , u

∈ U alors le fait de greer les racines de u

, . . . , u

a un nouveu point de couleur k se note

u = [u

, . . . , u

]

et est un arbre de U .

On note, comme pour les arbres à racines, |u| le nombre de points du graphe. Les éléments diérentiels sont dénini en fonction des modes de Fourier de la fonction f .

Denition 2.6 L'élément diérentiel d'un arbre à racines coloré u ∈ U est une fonction F (u) : X → X dénit par récurrence:

1. F ( _k )(y) = f

(y) .

2. Si on a u = [u

, . . . , u

]

, on dénit

F (u)(y) = f

(y)[F (u

)(y), . . . , F (u

)(y)].

Les coecients de symmétrie σ(u) sont dénis de la même façon que précedemment (voir Dénition 2.3). On a alors le résultat suivant: La solution y

de l'équation (1.2) possède un développement en B-séries

y

(t) = y

+ X

u∈U

ε

β

(t)

σ(u) F (u)(y

) = y

+ X

j≥1

ε

X

|u|=j

β

(t)

σ(u) F (u)(y

). (2.17) Les entiers β

(t) sont les coecients élémentaires de l'arbre u et sont dénit ci-après.

(Les détails de l'obtention de cette séries ainsi que les calculs des coecients de β

peuvent être trouvés dans [16]).

Denition 2.7 Les coecients β

(t) sont dénit par récursivité.

16 2. DIFFÉRENTES MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS.

1. Pour l'arbre u = _k , on a

β

(t) = Z

0

e

dθ.

2. Si u est de la forme u = [u

, . . . , u

]

, on a β

(t) =

Z

e

β

(θ) . . . β

(θ)dθ.

Ce qui est intéressant ici, c'est que les coecients β

(t) sont universels dans le sens qu'ils ne dépendent pas de la fonction f de l'équation de départ. Il ne semble pas possible d'obtenir des formules simple pour ces coecients. Cependant, Chartier

& al. montrent qu'il y a un moyen d'obtenir ces coecients par récurrence. On introduit pour tout r ∈ N et k ∈ Z, les fonctions

φ

(t) = t

exp(ikt) et β ˜

(t) = Z

0

φ

(θ)dθ.

Les coecients β ˜

se calculent eux par la formule de récurrence suivante valide pour k 6= 0 et r ∈ N

,

β ˜

(t) = i k − i

k e

, β ˜

(t) = ir k

β ˜

(t) − i

k φ

(t).

Quand k = 0 , on a

β ˜

(t) = t

r + 1 .

On sait alors qu'il existe des constantes a

∈ C tel que les coecients β

(τ ) s'écrivent

β

(τ ) = X

r∈N,k∈Z

a

φ

(τ ) = X

r∈N,k∈Z

a

τ

e

.

Les constantes a

peuvent alors être trouvées par récurrence en utilisant les fonc- tions β ˜

(voir [16] pour plus d'informations).

En utilisant la décomposition en Fourier et les B-séries, on peut directement écrire la solution Y de l'équation moyénnée

dY

dt = εG(Y ; ε) sous la forme d'une B-série. Si l'on dénit

˜

α

(t) = X

r∈N,k∈Z

a

t

,

alors Y s'écrit formellement comme Y (t) = y

+ X

j=1

ε

X

|u|=j

˜ α

(t)

σ(u) F (u)(y

).

De là, on peut calculer les valeurs du champ moyen G en dérivant l'expression précédente par rapport à t .

Il faut préciser que les formules obtenues ici sont formelles dans le sens que les séries considérées ne sont pas convergentes. An d'obtenir des résultats concrets, on tronque les séries et on borne les erreurs associées. Les calculs et les bornes d'erreurs ont été obtenus par Chartier & al. [18] dans un cadre plus général (un cadre quasi-périodique, cf partie 4).

2.3 Résolution utilisant une équation de transport

On reprend l'équation (2.1) obtenue en dérivant l'égalité de moyennisation (1.4):

εf (t, Φ(t, y)) = ∂

Φ(t, y) + ε∂

Φ(t, y) G(y).

On rappelle la notation de la moyenne hΦ(·, y)i = 1

P Z

0

Φ(θ, y)dθ,

et on note f ◦ Φ(t, y) = f(t, Φ(t, y)) . On remarque alors qu'en prenant la moyenne dans l'équation (2.1) et en supposant que ∂

Φ(t, y) est inversible, on obtient pour le champ de vecteur G

,

G(y) = h∂

Φ(·, y)i

hf ◦ Φ(·, y )i. (2.18) On en déduit alors léquation de transport pour Φ

∂

Φ(t, y) = ε f (t, Φ(t, y)) − ∂

Φ(t, y)h∂

Φ(·, y)i

hf ◦ Φ(·, y)i

. (2.19)

On introduit ensuite deux opérateurs non-linéaires Λ et Γ

dénit par

Λ(Φ)(t, y) = f(t, Φ(t, y)) − ∂

Φ(t, y)h∂

Φ(·, y)i

hf ◦ Φ(·, y)i (2.20) et

Γ

(Φ)(t, y) = y

+ ε Z

0

Λ(Φ)(θ, y)dθ. (2.21)

Avec ces notations l'équation (2.19) se réécrit

∂

Φ(t, y) = εΛ(Φ)(t, y), Φ(0, y) = y (2.22) ou bien dans sa version intégrale

Φ(t, y) = Γ

(Φ)(t, y). (2.23) Au vu des résultats précédents, il n'est pas possible, en général de trouver une solution pour l'équation (2.22). On cherche alors des quasi-solutions qui ont par exemple été introduites dans [13].

18 2. DIFFÉRENTES MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS.

Construction des quasi-solutions et estimation exponentielle

La construction de la moyennisation stroboscopique par l'équation de transport (2.22) n'a jamais été publié dans le cadre des EDOs. Actuellement, la seule pub- lication sur le sujet est [13] qui donne la construction dans le cadre plus général des espaces de Banach (en dimension innie) et donne l'exemple d'une équation de Schrödinger semi-linéaire. C'est cette construction que l'on présente succintement ici. Dans cet article, Castella & al. montrent également que lorsque la fonction f de l'équation (1.1) est analytique par rapport à la seconde variable (et non plus de classe C

comme dans le Théorème 2.1) l'erreur dans l'estimation (2.13) est exponentiellement petite (par opposition à l'estimation en O(ε

) ).

Ce type d'estimation est classique en théorie KAM (on pourra consulter à ce sujet [32]). En ce qui concerne la moyennisation stroboscopique, de premiers résultats ont été obtenus par Chartier & al. en utilisant les B-séries (cf [16]).

Pour tout ouvert K de R

, on dénit l'élargissement de K dans C

de taille ρ > 0 par

K

= {y + ˜ y, (y, y) ˜ ∈ K × C

, s.t. |˜ y|

≤ ρ}

On s'intéresse ensuite à l'ensemble A

des fonctions ϕ : (t, y) ∈ T × K

→ C

3

˜

ϕ(t, y) analytiques et bornées sur K

. L'ensemble A

est alors un espace de Banach muni de la norme

kϕk

= sup

(t,y)∈T×Kρ

kϕ(t, y)k

. On consière n ∈ N

et la suite de fonctions

Φ

(t) = Id

, Φ

(t) = Γ

(Φ

)(t), k = 0, . . . , n, (2.24) (l'opérateur Γ

étant déni par (2.21)) ainsi que le champ de vecteur

G

(y) = h∂

Φ

(·, y)i

hf ◦ Φ

(·, y)i. (2.25) Pour nir, les fonctions G

( k = 0, . . . , n ) intervenants dans l'équation autonome (2.11) sont données par

G

(y) = 1 k!

dG

dε

(y) (2.26)

On a alors le théorème suivant:

Theorem 2.4 Soient T > 0, R > 0 , K un domaine convexe de R

et y

∈ K . On

suppose que la fonction f : T × R

→ R

de l'équation (1.1) est bornée et analytique

dans K

.

• Alors, pour tout n ∈ N, il existe ε(n) > 0 , tel que pour 0 < ε < ε(n) et k = 0, . . . , n les fonctions Φ

et G

sont bien dénies, P -périodique et de classe C

par rapport à t et analytiques en la variable y .

De plus, il existe ε

et pour 0 < ε ≤ ε

, n

∈ N tel que les propositions suivantes soient vériés (Par souci de simplication, on note Φ

= Φ

, G

= G

).

1. L'équation (1.1)

dy

dt = εf (t, y

), y

(0) = y

a une unique solution y

satisfaisant y

(t) ∈ K pour 0 ≤ t ≤ T /ε . 2. La solution y

satisfait

∀t ∈ [0, T /ε], y

(t) = Φ

(t, Y (t)) où Y est la solution de l'équation quasi-autonome suivante

dY

dt = εG

(Y ) + R(t, Y ). (2.27) Le reste R ci-dessus est alors C

et périodique en t , analytique sur K

par rapport à la seconde variable et vérie

kRk

≤ C

e

où C

C

sont deux constantes positives indépendantes de ε . 3. On introduit alors Ψ

le ot de l'équation autonome

dY

dt = εG

(Y ), Y (0) = y

.

La solution y

de l'équation (1.1) est alors exponentiellement proche de Φ

◦ Ψ

(t, y

) . C'est à dire qu'il y a C ˜

et C ˜

deux constantes positives telles que

∀t ∈ [0, T /ε], |y(t) − Φ

◦ Ψ

(t, y

)|

C^D

≤ C ˜

e

. (2.28) 4. De plus, si la solution de l'équation (1.1) a une unique solution restant dans K sur R alors l'équation (2.27) est valable sur R et la relation (2.28) est valide pour τ ∈ [0, T /ε ˜

] , pour tout T > ˜ 0 et 0 < α < 1 pour ε susament petit.

20 2. DIFFÉRENTES MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS.

Préservation des invariants dans le cas d'un système Hamiltonien

Un des avantages de la moyennisation stroboscopique par rapport aux autres choix de moyennisation est la conservation des invariants dans le cas d'équation hamil- tonienne. On suppose dans cette partie que D est un nombre pair et que l'équation (1.1) est Hamiltonienne. C'est à dire qu'il existe une fonction H : T × R

→ R analytique par rapport à la seconde variable telle que l'équation (1.1) s'écrive

dy

dt = εJ

∇H(t, y

), y

(0) = y

, (2.29) où la matrice J est la matrice symplectique

J

=

0 −I

I

0

.

On rappelle également qu'une fonction (t, y) → ϕ(t, y) est dite symplectique si

∀(t, y, y

, y

) ∈ T × K × ( R

)

, (J ∂

ϕ(t, y)y

, ∂

ϕ(t, y)y

) = (J y

, y

) où (·, ·) est le produit scalaire usuel sur R

.

De façon formelle, le champ de vecteur G (de l'équation (1.3)) est Hamiltonien tandis que le changement de variable Φ est une fonction symplectique. Mais, tout comme on ne peut pas avoir l'expression (1.4) de manière exacte, les fonctions G

et Φ

dénis en (2.8) et (2.9) sont respectivement Hamiltoniennes et symplectiques en commettant une erreur en O(ε

) .

Denition 2.8 Un champ de vecteur f ˜ est dit Hamiltonien à une perturbation en ε

près si il existe une fonction F telle que

∀y ∈ K, f ˜ (y) = J

∇F (y) + O(ε

).

De même, une fonction ϕ est symplectique à une perturbation en ε

si elle vérie pour (t, y, y

, y

) ∈ T × K × ( R

)

,

(J ∂

ϕ(t, y)y

, ∂

ϕ(t, y)y

) = (J y

, y

) + O ε

|y

|

|y

|

. On a alors le théorème suivant prouvé encore une fois dans [13].

Theorem 2.5 Sous les hypothèses du Théorème 2.4 et en supposant que f est

Hamiltonien (avec la fonction hamiltonienne associée H ). Pour tout n ∈ N, les

fonctions Φ

et G

dénis par (2.24) et (2.25) sont respectivement symplectique

et Hamiltoniens a un terme de perturbation en ε

. C'est à dire que pour (t, y) ∈ T × K, y

, y

∈ R

, on a

J ∂

Φ

(t, y)y

, ∂

Φ

(t, y)y

= (J y

, y

) + O ε

|y

|

|y

|

G

(y) = J

∇H

(y) + O(ε

),

où la fonction H

est dénit par

H

(y) = hH ◦ Φ

(·, y)i − 1 2ε

D

(J ∂

Φ

(·, y), Φ

(·, y)) E .

On sait alors que la procédure de moyennisation stroboscopique permet de con- server le caractère Hamiltonien de l'équation de base. En fait, il préserve tout invariant du système (1.1). Plus précisemment, on suppose que la solution y

de (1.1) admette un invariant Q , c'est à dire une fonction régulière de T × R

→ R telle que

∀t ∈ [0, T /ε], Q(t, y

(t)) = Q(0, y

).

On remarque qu'en dérivant les deux côtés de la derni ere équation, on obtient

∂

Q(t, y

) + εQ(t, y

)f(t, y

) = 0. (2.30) On a alors le théorème suivant relatif à la préservation des invariants.

Theorem 2.6 On se place sous les hypothèses du Théorème 2.4, et on suppose que la fonction (t, y) ∈ T × R

→ Q(t, y) ∈ R est un invariant de l'équation (1.1) dans le sens que Q satisfait l'équation (2.30) pour tout (t, y) ∈ T × K . On suppose de plus que Q est analytique par rapport à la variable y sur K

pour 0 < ρ < R . Alors, pour tout n ∈ N, le changement de variable Φ

et le champ de vecteur moyénné G

satisfont pour tout y ∈ K, t ∈ T,

Q(t, Φ

(t, y)) = Q(0, y) + O(ε

), et (∂

Q(0, y))G

(y) = O(ε

).

Remark 2.7 La preuve du théorème 2.6 présentée dans [13] utilise l'hypothèse que l'invariant Q est analytique. An d'obtenir des erreurs, en ε

, peut conjecturer qu'il sut que Q soit simplement de classe C

par rapport à a la variable y .

3 Une méthode numérique: La SAM (Stroboscopic Averaging Method)

La diculté de calculer numériquement les solutions des équations (1.1) ou (1.2)

avec des méthodes standard (Runge Kutta, Méthodes de Taylor, . . . ) est bien

connue. Cela provient notamment du fait que le pas d'intégration doit être un O(1)

22 3. UNE MÉTHODE NUMÉRIQUE: LA SAM (STROBOSCOPIC AVERAGING

METHOD)