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Etude des systèmes dynamiques hybrides par représentation d’état discrète et automate hybride
Monika Kurovszky
To cite this version:
Monika Kurovszky. Etude des systèmes dynamiques hybrides par représentation d’état discrète et
automate hybride. Automatique / Robotique. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG,
2002. Français. �tel-00198326�
Universit´ e Joseph Fourier - GRENOBLE 1
No. attribu´ e par la biblioth` eque
THESE
pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UJF
Sp´ ecialit´ e : AUTOMATIQUE-PRODUCTIQUE
pr´ epar´ ee au Laboratoire d’Automatique de Grenoble
dans le cadre de l’´ Ecole Doctorale Electronique, ´ ´ Electrotechnique, Automatique, T´el´ecommunication et Signal
pr´ esent´ ee et soutenue publiquement par
Monika KUROVSZKY
le 12 d´ ecembre 2002
Titre :
ETUDE DES SYST` ´ EMES DYNAMIQUES HYBRIDES PAR REPR´ ESENTATION D’´ ETAT DISCR` ETE ET AUTOMATE
HYBRIDE
Directeur de th` ese :
M. Hassane ALLA (Laboratoire d’Automatique de Grenoble)
JURY :
Pr´ esident M. Alain BARRAUD Professeur ` a l’ENSIEG, INP de Grenoble Rapporteur M. Jean-Claude HENNET Directeur de Recherche CNRS, LAAS Toulouse Rapporteur M. Jean-Jacques LOISEAU Directeur de Recherche CNRS, IRCyN-Ecole
Centrale de Nantes
Examinateur M. Yves QUENEC’HDU Professeur ` a SUPELEC Rennes
Examinateur M. Hassane ALLA Professeur ` a l’Universit´ e Joseph Fourier
`
a la suite ...
Remerciements
Tout d’abord, je tiens ` a remercier ` a mon professeur M. Hassane ALLA, pour son accueil, ses conseils et sa disponibilit´ e pendant tous ces trois ans. Ses connaissances scientifiques et son esprit d’analyse m’ont permis de mener ` a terme ce travail de recherche.
Je tiens ` a remercier M. Alain BARRAUD, professeur ` a l’INPG, qui m’a fait l’honneur de pr´ esider le jury r´ euni pour la soutenance de ma th` ese de doctorat.
Je remercie ´ egalement M. Jean-Claude HENNET, directeur de recherche CNRS
`
a LAAS de Toulouse, et ` a Jean-Jacques LOISSEAU, directeur de recherche CNRS ` a IRCCyN - ´ Ecole Centrale de Nantes, qui m’ont fait l’honneur d’avoir accept´ e la charge d’ˆ etre rapporteurs sur mon travail.
Je remercie ` a M. Yves QUENEC’HDU, professeur ` a SUPELEC de Rennes, qui lui aussi m’a fait l’honneur d’avoir accept´ e de porter un jugement sur mon travail de recherche et de faire partie du jury de soutenance de ma th` ese.
Je tiens exprimer mes plus sinc` eres remerciements et toute ma gratitude ` a Mme.
Simona Iuliana CARAMIHAI, professeur ` a l’Univerist´ e ”POLITEHNICA” de Bucarest, qui m’a dirig´ e vers la recherche scientifique.
Je tiens ` a remercier M.Ren´ e DAVID pour ses remarques, toujours constructives, lors de mes premi` eres expos´ es dans l’ancienne ´ equipe SyLODI. Lors de ces ´ echanges, j’ai pu appr´ ecier ses qualit´ es scientifiques et humaines.
Je remercie le directeur M. Luc DUGARD de m’avoir accueilli dans ce laboratoire.
Mes remerciements s’adressent ´ egalement aux membres des ´ equipes SyLODI et CS 2 , pour leurs sympathie, leurs remarques et conseils. Merci Alexia pour les remarques et corrections de la th` ese.
Je remercie ´ egalement ` a l’ensemble de l’´ equipe technique et administrative pour leur gentillesse, leur bon humeur et leur efficacit´ e.
Tout particuli` erement, je remercie ` a mes amis Tiberiu SAVA, Rosa ABBOU, Siana Petropol, Cora et Stefan GIURGEA, Ioana FAGARASAN, Daniel MORARU, Jean-Marc BOLLON et Moez YEDDES pour leur soutien moral et les bons moments que nous avons pass´ e ensemble.
Un grand merci ` a tous ceux qui, par leur soutien sous une forme ou une autre, m’ont aid´ e dans la r´ ealisation de ce travail.
Une pens´ ee tr` es reconnaissante pour mes parents qui sont ` a l’origine de ma formation.
Merci aussi ` a toute ma famille pour leur soutien ... loin des yeux mais si proches de cœur.
Merci, enfin, ` a Catalin pour ... tout.
5
Table des mati` eres
Introduction 11
1 Etude des syst` ´ emes dynamiques hybrides 15
1.1 Probl´ ematique . . . . 17
1.2 Classes de ph´ enom` enes hybrides . . . . 22
1.2.1 Commutation autonome . . . . 22
1.2.2 Commutation contrˆ ol´ ee . . . . 23
1.3 Mod´ elisation des SDH . . . . 23
1.3.1 Approche de mod´ elisation continue . . . . 24
1.3.2 Approche de mod´ elisation ´ ev´ enementielle . . . . 26
1.3.3 Approche de mod´ elisation mixte . . . . 32
1.4 Mod´ elisation en vue de l’analyse et de la synth` ese de la commande . . . . . 34
1.4.1 Analyse des SDH . . . . 35
1.4.2 Synth` ese et commande des SDH . . . . 38
1.5 Conclusions et objectifs de notre travail . . . . 39
2 Structure g´ en´ erique et classe d’application consid´ er´ ee 41 2.1 Introduction . . . . 43
2.2 Une structure g´ en´ erique des SDH . . . . 44
2.2.1 Le proc´ ed´ e . . . . 44
2.2.2 Les sp´ ecifications . . . . 47
2.3 Automate hybride . . . . 49
2.3.1 Syntaxe . . . . 49
2.3.2 S´ emantique . . . . 53
2.4 Classe d’application consid´ er´ ee . . . . 53
2.4.1 G´ en´ eralit´ es . . . . 53
2.4.2 Syst` emes de production - Une architecture g´ en´ erique . . . . 54
2.4.3 Nature hybride des syst` emes de production . . . . 54
2.5 Exemple de mod´ elisation . . . . 60
2.5.1 Description de l’exemple . . . . 60
2.5.2 Mod´ elisation math´ ematique . . . . 61
2.5.3 Mod` ele de l’automate hybride . . . . 61
2.6 Conclusions . . . . 64
3 Analyse du comportement dynamique des syst` emes hybrides 67 3.1 Probl´ ematique . . . . 69
3.2 Calcul de l’espace atteignable . . . . 70
3.2.1 Repr´ esentation en temps-discret de la dynamique continue du syst` eme 71 3.2.2 Repr´ esentation des r´ egions par des poly` edres . . . . 72
7
TABLE DES MATI`ERES
3.2.3 Calcul des successeurs continus . . . . 73
3.3 Franchissabilit´ e des transitions . . . . 76
3.3.1 Cas d’un sommet poss´ edant une transition d’entr´ ee et une transition de sortie . . . . 77
3.3.2 Cas d’un sommet poss´ edant une transition d’entr´ ee et plusieurs transitions de sortie . . . . 80
3.4 Automate atteignable . . . . 81
3.4.1 Algorithme de construction de l’automate atteignable . . . . 83
3.4.2 Exemple d’application . . . . 86
3.4.3 Analyse de l’algorithme . . . . 91
3.5 Conclusions . . . . 92
4 Synth` ese de la commande 93 4.1 Probl´ ematique . . . . 95
4.2 D´ epliage temporel . . . . 96
4.2.1 Approche Brandin-Wonham . . . . 96
4.2.2 Mod` ele propos´ e : Automate d´ epli´ e . . . 100
4.2.3 Construction du mod` ele d´ epli´ e . . . 101
4.3 Synth` ese de superviseur . . . 106
4.3.1 Concept de supervision . . . 106
4.3.2 Structures de contrˆ ole . . . 107
4.3.3 Existence du superviseur . . . 108
4.3.4 Algorithme de synth` ese du superviseur . . . 112
4.4 Mod` ele de commande . . . 115
4.5 Exemple d’application . . . 118
4.5.1 D´ epliage temporel de l’automate atteignable . . . 120
4.5.2 Synth` ese de superviseur . . . 121
4.5.3 Proc´ edure de re-pliage . . . 122
4.6 Conclusions . . . 124
Conclusions et perspectives 125
Bibliographie 129
A G´ en´ eralisation de la m´ ethode ”Clock Translation” 135
B Exemple de construction de l’automate atteignable 139
Table des figures
1.1 Mod` ele du thermostat . . . . 18
1.2 Trajectoire de la temp´ erature . . . . 19
1.3 Mod` ele non-d´ eterministe du thermostat . . . . 20
1.4 Deux trajectoires diff´ erentes pour la mˆ eme condition initiale θ 0 . . . . 20
1.5 (a) Trajectoire d’une boule de billard et (b) Automate associ´ e . . . . 22
1.6 Syst` eme d’embrayage m´ ecanique . . . . 23
1.7 Fonction compteur p et interpretation de p et de t p . . . . 26
1.8 Evolution dynamique du mod` ele de Brockett . . . . 26
1.9 Sch´ ema du principe g´ en´ eral de la supervision . . . . 27
1.10 Incontrˆ olabilit´ e d’un langage . . . . 28
1.11 Mod` ele d’Antsaklis . . . . 30
1.12 Automate hybride . . . . 33
1.13 Mod` ele de RdP hybride d’un syst` eme de fabrication par lots . . . . 34
2.1 Exemple d’une structure physique particuli` ere . . . . 45
2.2 Partie d’un automate hybride . . . . 47
2.3 Mod` ele du thermostat avec les sp´ ecifications de fonctionnement . . . . 48
2.4 Automate hybride . . . . 49
2.5 Validation d’une transition . . . . 50
2.6 Automate hybride mod´ elisant le cas d´ eterministe (a) et le cas non- d´ eterministe (b) d’un thermostat . . . . 52
2.7 Architecture g´ en´ erique d’un syst` eme de production . . . . 54
2.8 Conflit structurel dans un syst` eme de production . . . . 56
2.9 Synchronisation au niveau de la machine M 1 . . . . 57
2.10 Architecture d’un syst` eme de production . . . . 58
2.11 Un ´ etage du syst` eme de production . . . . 59
2.12 Ligne de production . . . . 60
2.13 Automate hybride mod´ elisant la ligne de production . . . . 62
2.14 Automate hybride avec commutations autonomes . . . . 63
3.1 Passage ` a l’automate hybride en temps-discret . . . . 72
3.2 Repr´ esentation des r´ egions par poly` edres en R 2 . . . . 73
3.3 Calcul des successeurs d’une r´ egion initiale convexe R 0 . . . . 74
3.4 Exemple de calcul des successeurs continus dans un sommet de l’automate hybride . . . . 76
3.5 Repr´ esentation de la dynamique dans un sommet de l’automate hybride . . 77
3.6 Sommet avec une transition d’entr´ ee et une transition de sortie . . . . 78
3.7 Sommet avec une transition d’entr´ ee et plusieurs transitions de sortie . . . 80
3.8 Pr´ esentation des variables . . . . 83
9
TABLE DES FIGURES
3.9 Automate hybride avec commutations autonomes mod´ elisant la ligne de
production . . . . 87
3.10 Automate atteignable pour la ligne de production . . . . 90
4.1 Etapes de la synth` ´ ese d’un superviseur . . . . 95
4.2 Mod` ele logique . . . . 97
4.3 Mod` ele temporis´ e . . . . 99
4.4 Sommet de l’automate hybride . . . 101
4.5 Illustration de la 1` ere situation : (a) sommet de l’automate hybride, (b) mod` ele d´ epli´ e ´ equivalent . . . 103
4.6 Illustration de la 2` eme situation : (a) partie d’un automate hybride, (b) mod` ele d´ epli´ e ´ equivalent . . . 103
4.7 Illustration du d´ epliage temporel : (a) sommet de l’automate hybride, (b) successeurs continus et (c) ´ equivalent d´ epli´ e . . . 104
4.8 Structures de contrˆ ole . . . 107
4.9 Automate d´ epli´ e . . . 114
4.10 R´ esultats de la synth` ese . . . 115
4.11 Re-pliage temporel : (a) groupe des sommets discrets et (b) ´ equivalent re-pli´ e116 4.12 Mod` ele de superviseur apr` es le re-pliage temporel . . . 117
4.13 Mod` ele de superviseur apr` es le re-pliage temporel . . . 117
4.14 Automate atteignable pour la ligne de production . . . 119
4.15 D´ epliage partiel de l’automate atteignable . . . 121
4.16 Mod` ele partiel du superviseur . . . 122
4.17 (a) R´ esultat du re-pliage temporel et (b) Mod` ele partiel de commande . . . 123
4.18 Mod` ele complet de commande pour la ligne de production . . . 123
A.1 Automate hybride mod´ elisant un thermostat . . . 136
A.2 Pas 1 pour la construction de l’automate bisimilaire . . . 136
A.3 Pas 1 pour la construction de l’automate bisimilaire . . . 137
A.4 G´ en´ eralisation de la m´ ethode ”Clock Translation” . . . 137
B.1 Automate hybride avec commutations autonomes mod´ elisant la ligne de production . . . 139
B.2 Dynamiques correspondant aux sommets de l’automate hybride obtenu par la d´ ecomposition structurelle . . . 140
B.3 Automate atteignable pour la ligne de production . . . 145
B.4 R´ esultats synth´ etiques de l’analyse d’atteignabilit´ e . . . 145
Introduction
L’automatique traite diff´ eremment les probl` emes de type continu et ceux de type s´ equentiel. Chacun de ces domaines a cr´ e´ e un ensemble de th´ eories et de m´ ethodes et d´ evelopp´ e des solutions performantes pour r´ egler les probl` emes homog` enes qui se posent, mais sans toujours int´ egrer les solutions et les apports de l’autre domaine.
En effet, les proc´ ed´ es industriels sont complexes. Pour les piloter d’une mani` ere au- tomatique, on utilise les syst` emes de contrˆ ole commande et des automates ex´ ecutant des programmes s´ equentiels coupl´ es ` a des boucles de r´ egulation, monovariables et parfois mul- tivariables qui peuvent comporter diff´ erents modes de fonctionnement. L’´ evolution dyna- mique du syst` eme de commande est ` a la fois continue et ´ ev´ enementielle. Le proc´ ed´ e peut lui aussi pr´ esenter ce double aspect. C’est le cas des productions batch, dans lesquelles la mati` ere est caract´ eris´ ee par des variables continues et est trait´ ee ´ etape par ´ etape. Pour garantir le bon fonctionnement de l’ensemble d’un syst` eme automatis´ e, il est n´ ecessaire de prendre en compte les aspects continus et ´ ev´ enementiels de sa dynamique. On pourra alors concevoir des syst` emes de d´ emarrage et d’arrˆ et plus fiables, ´ etudier de fa¸con plus rigoureuse des r´ egulations continues fonctionnant dans les diff´ erents modes de marche et proposer des solutions pour la conception et l’analyse du syst` eme de commande.
De mani` ere g´ en´ erale, les syst` emes dynamiques faisant intervenir explicitement et simul- tan´ ement des ph´ enom` enes ou des mod` eles de type dynamique continu et ´ ev´ enementiel sont appel´ es syst` emes dynamiques hybrides (SDH). Ces syst` emes sont classiquement constitu´ es de processus continus interagissant avec (ou supervis´ es par) des processus discrets.
L’´ etude des syst` emes hybrides a retenu l’attention de la communaut´ e automaticienne, ainsi que celle de la communaut´ e informatique. Les objectifs que l’on peut assigner ` a l’´ etude des SDH consistent ` a apporter une solution en terme de mod` ele, de m´ ethode, de performance et de qualit´ e globale ` a des probl` emes mal trait´ es par les approches ho- mog` enes. Parmi ceux-ci on peut citer les probl` emes g´ en´ er´ es par des variations de structure en fonction de diff´ erents modes de marche d’un syst` eme, des discontinuit´ es du fonction- nement des machines-outils ou en robotique, la mod´ elisation des ph´ enom` enes transitoires rapides par une commutation des mod` eles, la description des proc´ ed´ es manufacturiers (proc´ ed´ es batch). Pour apporter une solution ` a ces probl` emes, la recherche sur les SDH est concentr´ ee autour de trois axes : la mod´ elisation, l’analyse et la commande.
La mod´ elisation cherche ` a formaliser des mod` eles pr´ ecis qui peuvent d´ ecrire le com- portement riche (et complexe) des SDH. Ce domaine a re¸cu l’attention des chercheurs et plusieurs formalismes ont ´ et´ e propos´ es afin d’´ etablir un mod` ele homog` ene permet- tant la conciliation entre les parties discr` etes et continues. Dans Chombart [Cho97], les approches de mod´ elisation des syst` emes dynamiques hybrides sont class´ ees en trois prin- cipales classes : (i) l’approche discr` ete, consistant ` a approximer les dynamiques continues de fa¸con ` a se ramener ` a un syst` eme ` a ´ ev´ enements discrets ; (ii) l’approche continue, consis- tant ` a approximer les dynamiques discr` etes par des syst` emes continus afin d’utiliser la th´ eorie des syst` emes continus et (iii) enfin la troisi` eme approche est celle qui consid` ere
11
INTRODUCTION
`
a la fois les comportements continus et discrets dans une mˆ eme structure. L’int´ erˆ et de cette derni` ere approche r´ eside dans le fait qu’elle ne fait aucune abstraction d’information concernant le syst` eme ` a ´ etudier.
L’approche de mod´ elisation ` a laquelle nous nous sommes int´ eress´ es dans le cadre de notre travail fait partie de cette cat´ egorie de mod` eles et consid` ere le mod` ele du syst` eme hybride comme une extension de l’automate discret en associant une dynamique continue
`
a chaque ´ etat discret. La composante continue est d´ ecrite par un ensemble d’´ equations diff´ erentielles et la composante discr` ete par un automate fini. Le mod` ele r´ esultant de cette approche est connu comme ´ etant le mod` ele automate hybride [Hen96].
Un automate hybride op` ere par une alternance de pas continus, o` u les variables d’´ etat et le temps ´ evoluent de fa¸con continue, et de pas discrets, o` u plusieurs transitions discr` etes peuvent ˆ etre franchies. Il s’agit d’une extension de l’automate temporis´ e o` u la dynamique continue n’est plus repr´ esent´ ee par des horloges (des ´ equations d’´ etat de type ˙ x = 1) mais par des ´ equations diff´ erentielles quelconques.
L’analyse porte sur le d´ eveloppement des outils de simulation, de validation et de v´ erification des SDH. Les probl` emes rencontr´ es sont li´ es ` a la complexit´ e de cette analyse et ` a l’interpr´ etation physique de certaines propri´ et´ es ` a analyser telles que la stabilit´ e glo- bale du syst` eme ` a travers ses phases cons´ ecutives de fonctionnement.
Un probl` eme central dans la v´ erification des propri´ et´ es des syst` emes hybrides mod´ elis´ es par des automates hybrides est l’analyse d’atteignabilit´ e. Dans ce travail nous proposons une m´ ethode de calcul exacte de l’espace atteint par l’´ evolution du syst` eme hybride ´ etudi´ e, bas´ ee sur la repr´ esentation en temps discr´ etis´ e de la dynamique continue. L’approche consiste ` a repr´ esenter la dynamique continue par un syst` eme lin´ eaire discr´ etis´ e et la dy- namique ´ ev´ enementielle par un automate ` a ´ etats finis. L’ensemble donne un automate hybride appel´ e ` a temps-discrets sur lequel on applique les techniques d’atteignabilit´ e. Ces techniques permettent d’obtenir l’automate atteignable qui ne contient que les ´ evolutions possibles du syst` eme hybride.
La commande concerne la synth` ese de contrˆ oleurs discrets ou hybrides (ayant des sor- ties continues et la capacit´ e de prendre des d´ ecisions discr` etes) conform´ ement ` a certains objectifs de performance et de sˆ uret´ e de fonctionnement du proc´ ed´ e hybride command´ e.
Certaines approches de la commande des SDH portent sur la formulation et la r´ esolution d’un probl` eme de commande optimale ou des extensions de la th´ eorie de Lyapunov ; d’autres visent ` a rechercher une strat´ egie discr` ete qui permette de restreindre le compor- tement du SDH pour satisfaire des sp´ ecifications impos´ ees.
Notre travail concernant la synth` ese de la commande s’inscrit dans cette derni` ere cat´ egorie. L’objectif est d’apporter une solution originale au probl` eme de la synth` ese op- timale d’un mod` ele de commande pour les syst` emes dynamiques hybrides. A cet effet, nous proposons une d´ emarche bas´ ee sur une extension de la th´ eorie classique de la com- mande supervis´ ee, d´ evelopp´ ee par Ramadge et Wonham pour les syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets. L’utilisation du temps discr´ etis´ e pour la repr´ esentation de la dynamique conti- nue, permet d’abstraire un automate ` a ´ etats finis ` a partir de l’automate atteignable, mod´ elisant le syst` eme hybride. Les techniques de synth` ese formelle d´ ecoulant des travaux de Ramadge et Wonham ´ etendus pour les syst` emes temporis´ es par Brandin et Wonham [BW94], peuvent ainsi ˆ etre appliqu´ ees pour obtenir un superviseur optimal. Le mod` ele de commande r´ esultant de notre approche est repr´ esent´ e sous la forme d’un automate temporis´ e.
L’approche que nous proposons pour la synth` ese de la commande comporte les ´ etapes suivantes :
• On mod´ elise le comportement d’un syst` eme hybride par un automate ` a ´ etats finis
INTRODUCTION
obtenu par le d´ epliage temporel de la dynamique du syst` eme ;
• On applique les techniques formelles de synth` ese de superviseur ;
• Afin de r´ eduire la taille du mod` ele de commande, on r´ ealise le re-pliage temporel du mod` ele de commande synth´ etis´ e. Le mod` ele r´ esultant est un automate temporis´ e.
Nous noterons la simplicit´ e du mod` ele de commande ainsi obtenu. Ce qu’il est int´ eressant de noter est qu’on obtiens ` a la fin de la d´ emarche de synth` ese un automate tem- poris´ e avec une seul horloge, indiquant les dates d’occurrence auxquelles les ´ ev´ enements contrˆ olables doivent ˆ etre ex´ ecut´ es, alors que le mod` ele de d´ epart est un automate hy- bride ayant une dynamique hybride quelconque. On s’affranchit ici de l’aspect hybride du syst` eme. On a en quelque sorte ici, une g´ en´ eralisation de la m´ ethode ”clock translation”.
Celle-ci consiste ` a remplacer une ´ equation diff´ erentielle du premier ordre par une horloge moyennant une modification du pr´ edicat associ´ e ` a la transition discr` ete. Cette transfor- mation est analytique. Notre d´ emarche s’inspire de celle-ci, mais dans notre cas (syst` eme coupl´ e), seule une solution num´ erique est possible.
Le rapport est organis´ e en quatre chapitres, comme suit :
Le premier chapitre de ce m´ emoire est constitu´ e d’une ´ etude bibliographique sur les syst` emes dynamiques hybrides. L’objectif est de positionner notre travail par rapport aux approches existant dans la litt´ erature.
Le deuxi` eme chapitre est d´ edi´ e ` a la pr´ esentation de l’outil de mod´ elisation et nous introduisons une classe d’application bas´ ee sur les syst` emes de production. D’abord, nous proposons une structure g´ en´ erique de syst` eme hybride qui synth´ etise ses princi- pales caract´ eristiques comportementales. Ensuite, le formalisme de mod´ elisation est pr´ esent´ e. Nous verrons comment les mod` eles des syst` emes de production peuvent faire apparaˆıtre des comportements int´ eressants, tels que les commutations auto- nomes.
Dans le troisi` eme chapitre, l’approche d’analyse est pr´ esent´ ee. La question ` a la- quelle on veut r´ epondre est : ”Comment construire un mod` ele d’automate qui ne contient que les ´ evolutions possibles du syst` eme ´ etudi´ e ?”. Pour cela, nous propo- sons une m´ ethode bas´ ee sur l’analyse de franchissabilit´ e des transitions du graphe repr´ esentant le mod` ele automate hybride initial. Le r´ esultat de cette approche est l’automate atteignable.
Dans le quatri` eme chapitre, toutes les ´ etapes de la d´ emarche de synth` ese d’un mod` ele de commande pour un syst` eme hybride seront pr´ esent´ ees. L’objectif de la commande est de faire respecter au proc´ ed´ e hybride les sp´ ecifications impos´ ees par le cahier des charges. Dans ce but, nous allons r´ ealiser la synth` ese d’un superviseur repr´ esentant l’ensemble de toutes les lois de commande qui garantissent que le fonc- tionnement du syst` eme respecte les sp´ ecifications. Pour ce faire, nous allons proposer un mod` ele formel pour l’automate d´ epli´ e repr´ esent´ e sous la forme d’un automate
`
a ´ etats finis qui repr´ esente l’´ evolution du syst` eme hybride mod´ elis´ e par l’automate atteignable. Le mod` ele ainsi obtenu nous permettra d’utiliser la th´ eorie classique de la commande supervis´ ee de Brandin et Wonham et de garantir l’optimalit´ e des r´ esultats.
Nous achevons ce m´ emoire par une conclusion sur ce qui a ´ et´ e fait et des perspectives de continuation de ce travail.
13
Chapitre 1
Etude des syst` ´ emes dynamiques hybrides
Dans ce chapitre, une introduction de l’´ etude des syst` emes dynamiques hybrides (SDH) sera faite. Les syst` emes dans lesquels les dynamiques discr` ete et continue interagissent et o` u leur interaction d´ etermine le comportement qualitatif et quantitatif de ces syst` emes, sont appel´ es syst` emes dynamiques hybrides.
Apr` es une br` eve introduction de la probl´ ematique de l’´ etude des syst` emes hy- brides, les classes de ph´ enom` enes hybrides seront pr´ esent´ es. Parmi les approches de mod´ elisation existantes, les principales m´ ethodes de mod´ elisation ax´ ees sur une approche essentiellement continue seront d’abord illustr´ ees. Ensuite, le principe de mod´ elisation
´
ev´ enementielle d’un syst` eme hybride en vue de la supervision discr` ete sera discut´ e. Puis nous d´ etaillons une approche de mod´ elisation dite mixte dans la mesure o` u elle tient compte des informations continues et discr` etes dans la mˆ eme structure.
Ainsi, ce chapitre pr´ esente l’´ etat de l’art qui nous permettra de situer notre travail.
CHAPITRE 1. ´ETUDE DES SYST`EMES DYNAMIQUES HYBRIDES
1.1 Probl´ ematique
Traditionnellement, l’automatique traite diff´ eremment les probl` emes de type continu et ceux de type s´ equentiel. Ainsi, on distingue classiquement deux sp´ ecialit´ es : l’automatique des syst` emes continus et celle des syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets.
Les syst` emes continus se caract´ erisent par une ´ evolution continue de leur ´ etat dans le temps. Les mod` eles utilis´ es sont essentiellement les ´ equations diff´ erentielles ou aux diff´ erences. Par contre, l’´ etat des syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets prend ses valeurs dans un ensemble d´ enombrable et ´ evolue d’une mani` ere discontinue en fonction de changements discrets appel´ es ´ ev´ enements. Deux types de mod` eles sont ` a distinguer : les mod` eles non temporis´ es o` u seul l’ordre de l’occurrence des ´ ev´ enements intervient et les mod` eles temporis´ es o` u la variable temps, de nature discr` ete ou continue, sert d’horloge sur laquelle l’occurrence des ´ ev´ enements est synchronis´ ee. On utilise l’une ou l’autre de ces approches pour l’automatisation des proc´ ed´ es industriels, selon leur nature et celle des produits qu’ils fabriquent. Une synth` ese des techniques pour l’´ etude des syst` emes hybrides est pr´ esent´ ee dans [***01].
Par ailleurs, dˆ u au d´ eveloppement remarquable de la technologie digitale dans ces derni` eres d´ ecennies, l’utilisation des contrˆ oleurs digitaux a am´ elior´ e le degr´ e d’automati- sation des syst` emes de commande pour les proc´ ed´ es r´ eels. Un exemple typique est le cas des proc´ ed´ es batch rencontr´ es dans l’industrie chimique, o` u les ordinateurs sont utilis´ es pour assurer la supervision des r´ eactions chimiques complexes. La plupart des syst` emes r´ eels sont compos´ es par des sous-processus continus qui sont d´ emarr´ es, reconfigur´ es et arrˆ et´ es par une commande logique discr` ete, ` a la base des horloges et des signaux de capteurs install´ es sur les processus continus. De plus, mˆ eme les processus continus, ` a partir d’un certain niveau d’abstraction du mod` ele, peuvent ˆ etre vus comme passant d’un ´ etat discret vers un autre. Il s’agit, par exemple, de l’embrayage et la collision dans les syst` emes m´ ecaniques ou de changement de phase dans les proc´ ed´ es chimiques.
Les syst` emes dans lesquels les dynamiques discr` ete et continue interagissent et o` u leur interaction d´ etermine le comportement qualitatif et quantitatif de ces syst` emes sont appel´ es syst` emes dynamiques hybrides (SDH). Ces syst` emes peuvent ˆ etre de natures tr` es diverses. On peut rencontrer des syst` emes continus auxquels sont associ´ ees des com- mutations discr` etes ou bien des syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets auxquels sont associ´ ees certaines ´ evolutions continues (par exemple, c’est le cas d’un syst` eme ` a ´ ev´ enements discrets temporis´ e).
Les imp´ eratifs li´ es ` a la maˆıtrise de la complexit´ e des syst` emes automatis´ es et aux exigences de performances et de sˆ uret´ e ont conduit ` a devoir prendre en compte globalement le comportement de syst` emes qui comprennent des ph´ enom` enes hybrides.
Puisqu’il n’est pas toujours possible d’op´ erer un choix satisfaisant entre les approches continue et ` a ´ ev´ enements discrets, cette impossibilit´ e conduit, alors, ` a des difficult´ es dans la mod´ elisation, l’analyse de syst` emes ainsi que dans la conception et la synth` ese de la commande. Le d´ eveloppement d’une th´ eorie d´ edi´ ee aux syst` emes hybrides s’av` ere donc n´ ecessaire. Pour r´ epondre ` a ce besoin, dans la litt´ erature, on trouve plusieurs approches th´ eoriques, permettant de mod´ eliser les syst` emes hybrides ([ACHH93], [Hen96]), d’ana- lyser leurs ´ evolution ([ACH + 95], [Fav99], [ABDM00]) et de synth´ etiser une commande, telle que l’´ evolution du syst` eme en boucle ferm´ ee respecte les sp´ ecifications impos´ ees ([AK98], [LTS99], [ABD + 00]).
Notre travail concerne l’analyse et la synth` ese de la commande pour les syst` emes hybrides. Nous proposons d’introduire la probl´ ematique de la recherche dans ce domaine en nous appuyant sur un exemple tr` es simple. Ainsi, nous allons illustrer les principales
17
1.1. PROBL´ EMATIQUE
caract´ eristiques des syst` emes hybrides, qui rendent difficile l’analyse et la synth` ese de la commande.
Exemple 1.1. Consid´ erons l’exemple classique d’un thermostat utilis´ e pour maintenir la temp´ erature dans une chambre. Le syst` eme ´ etudi´ e est compos´ e par un syst` eme de chauffage et un capteur de temp´ erature. Les seuils inf´ erieur et sup´ erieur du thermostat sont fix´ es ` a des valeurs θ m et, respectivement, θ M , tel que θ m < θ M . Le syst` eme de chauffage est en marche tant que la temp´ erature dans la chambre est inf´ erieure au seuil θ M . Le chauffage est arrˆ et´ e lorsque le capteur d´ etecte le seuil sup´ erieur θ M et il reste en arrˆ et jusqu’au moment o` u la temp´ erature chute au-dessous du seuil inf´ erieur θ m .
La temp´ erature de la chambre et le thermostat peuvent ˆ etre vus comme un syst` eme dynamique dont l’´ evolution continue est d´ efinie par la variation de la temp´ erature x dans la chambre et l’´ evolution discr` ete par le passage de l’´ etat en marche du syst` eme de chauffage dans l’´ etat d’arrˆ et.
Consid´ erons que l’´ evolution de la temp´ erature peut ˆ etre mod´ elis´ ee par les ´ equations diff´ erentielles suivantes :
˙ x =
f 1 (x) = − x + α si le chauffage est en marche f 2 (x) = − x sinon
o` u α ∈ R + est une constante r´ eelle positive.
D’une mani` ere graphique, le syst` eme consid´ er´ e peut ˆ etre repr´ esent´ e par un graphe orient´ e pr´ esent´ e dans la Figure 1.1. Les sommets du graphe correspondent aux dynamiques continues des ´ etats discrets du syst` eme. Notamment, la dynamique f 1 est associ´ ee au sommet mod´ elisant l’´ etat en marche du syst` eme de chauffage et f 2 au sommet mod´ elisant l’´ etat d’arrˆ et.
Le passage d’un ´ etat vers l’autre est mod´ elis´ e par des arcs ´ etiquet´ es.
x = f . 1 (x)
x = f . 2 (x)
marche arrêt
x = θ M
x = θ m
Fig. 1.1 – Mod` ele du thermostat
Le probl` eme de l’analyse consiste ` a v´ erifier que la temp´ erature dans la chambre restera toujours dans l’intervalle d´ esir´ e, notamment
m ≤ x ≤ M (1.1)
Pour cet exemple simple, les solutions analytiques des ´ equations diff´ erentielles peuvent ˆ
etre facilement trouv´ ees. Ainsi, pour une valeur initiale de la temp´ erature x(0) = θ 0 , les solutions analytiques trouv´ ees sont : x(t) = θ 0 e −t + α(1 − e −t ) pour la dynamique correspondant ` a l’´ etat de marche du syst` eme de chauffage et x(t) = θ 0 e −t pour l’autre
´ etat.
Initialement, supposons que le syst` eme est dans l’´ etat en marche et la valeur initiale de
CHAPITRE 1. ´ETUDE DES SYST`EMES DYNAMIQUES HYBRIDES
la temp´ erature v´ erifie la relation θ 0 ∈ [m, M ]. Dans cet ´ etat, l’´ evolution de la temp´ erature respectera l’expression,
x(t) = θ 0 e −t + α(1 − e −t ).
L’´ evolution croissante fait que, au bout de t 1 unit´ es de temps, le seuil θ M est atteint.
Alors, le syst` eme de chauffage passera dans l’´ etat d’arrˆ et. Suite au changement d’´ etat du syst` eme, la dynamique de la temp´ erature change et la nouvelle ´ evolution est donn´ ee par
x(t) = θ 0 e −(t+t
1) .
Dans cet ´ etat, la temp´ erature aura une ´ evolution d´ ecroissante jusqu’au moment o` u le seuil inf´ erieur θ m est atteint. ` A cet instant, le chauffage sera remis en marche et le syst` eme reviendra dans l’´ etat initial.
x θ M
θ m
θ 0
t 1 t 2 t 3 t
marche
arrêt arrêt
marche
Fig. 1.2 – Trajectoire de la temp´ erature
La trajectoire de la temp´ erature est pr´ esent´ ee sur la Figure 1.2. Dans cette repr´ esentation, nous pouvons remarquer que la temp´ erature de la chambre restera dans l’intervalle d´ esir´ e (Relation 1.1) seulement si les seuils θ m et θ M v´ erifient les conditions suivantes :
θ m ≥ m et θ M ≤ M (1.2)
Nous pouvons conclure qu’une r´ esolution analytique pour le probl` eme d’analyse est possible seulement si les solutions des ´ equations diff´ erentielles sont connues et si elles ne sont pas trop complexes. Pour les expressions plus complexes, l’utilisation des techniques num´ eriques est indispensable pour simuler l’´ evolution du syst` eme et analyser son comportement.
L’´ evolution obtenue pour le mod` ele du thermostat est d´ eterministe puisque nous avons consid´ er´ e des conditions id´ eales de fonctionnement pour notre syst` eme. Notamment, nous avons suppos´ e que le capteur de temp´ erature d´ etecte d’une mani` ere tr` es pr´ ecise les seuils de commutations θ m et θ M , et d` es qu’un de ces deux seuils est d´ etect´ e, le syst` eme change instantan´ ement d’´ etat. Toutes ces conditions sont des conditions de fonctionnement jamais rencontr´ ees dans les syst` emes r´ eels, d’une part, puisque la pr´ ecision des capteurs est limit´ ee, d’autre part, parce que le changement d’´ etat du syst` eme ne peut pas se produire instantan´ ement dˆ u aux retards introduits par les composantes du syst` eme lors de la transmission d’une information.
L’effet de ces impr´ ecisions est que, en g´ en´ eral, les commutations entre les diff´ erents
´
etats du syst` emes ne peuvent pas ˆ etre garanties ` a des instants pr´ ecis. Cela implique une
´
evolution non-d´ eterministe du syst` eme. Par cons´ equent, avant de commencer ` a analyser l’´ evolution d’un syst` eme, nous devons ˆ etre sˆ urs que toutes les ´ evolutions du processus
19
1.1. PROBL´ EMATIQUE
r´ eel sont prises en compte.
Exemple 1.2. Pour pouvoir prendre en compte le non-d´ eterminisme dˆ u ` a l’impr´ ecision du capteur de temp´ erature dans l’exemple du thermostat, nous allons modifier les condi- tions de passage d’un ´ etat vers l’autre comme suit : le chauffage est arrˆ et´ e lorsque la temp´ erature v´ erifie la relation θ M − ε M ≤ x ≤ θ M + ε M et il est mis en marche lorsque θ m − ε m ≤ x ≤ θ m + ε m , o` u ε M , ε M ∈R +1 est une constante (Figure 1.3). Les conditions de commutation d’un ´ etat vers l’autre du syst` eme, exprim´ ees par des intervalles, signifient que le changement d’´ etat peut se faire ` a n’importe quel instant d` es que la temp´ erature prend des valeurs dans l’intervalle sp´ ecifi´ e.
x = f . 1 (x) .
marche arrêt
x ∈[ θ M - ε M , θ M + ε M ]
x ∈[ θ m - ε m , θ m + ε m ]
x = f . 2 (x)
Fig. 1.3 – Mod` ele non-d´ eterministe du thermostat
Le comportement du syst` eme est non-d´ eterministe dans le sens o` u pour une mˆ eme condition initiale les trajectoires de la temp´ erature peuvent ˆ etre diff´ erentes (Figure 1.4).
x
θ M
θ 0
t θ m
θ M - ε M
θ M + ε M
Fig. 1.4 – Deux trajectoires diff´ erentes pour la mˆ eme condition initiale θ 0
La plupart des syst` emes r´ eels ont une ´ evolution non-d´ eterministe. Parfois, dans les syst` emes r´ eels, les conditions initiales ne sont pas bien pr´ ecis´ ees, dans le sens o` u la va- leur initiale est donn´ ee comme ´ etant incluse dans un intervalle. Par exemple, pour le thermostat la valeur initiale de la temp´ erature n’est plus d´ efinie par une valeur pr´ ecise x(0) = θ 0 mais par une valeur x(0) appartenant ` a un intervalle, x(0) ∈ [θ 0 − ε 0 , θ 0 + ε 0 ], o` u ε 0 ∈ R + . Dans ce contexte, la trajectoire unique obtenue (Figure 1.2) sera remplac´ ee
1
Nous utilisons R
+pour indiquer l’ensemble des nombres r´ eels positifs.
CHAPITRE 1. ´ETUDE DES SYST`EMES DYNAMIQUES HYBRIDES
par un ensemble infini de trajectoires dont chacune correspond ` a un point appartenant ` a cet intervalle. Si le non-d´ eterminisme introduit par les composantes physiques du syst` eme est aussi pris en compte, alors, mˆ eme par simulations num´ eriques le probl` eme n’est pas facile ` a r´ esoudre.
G´ en´ eralement, l’´ evolution continue est d´ ecrite par une ´ equation diff´ erentielle
˙
x = f(x, u). Un autre type de non-d´ eterminisme peut ˆ etre introduit par la variation du vecteur d’entr´ ee u. Ainsi, pour une mˆ eme condition initiale, un ensemble de trajec- toires sera g´ en´ er´ e, chacune de ces trajectoires correspond ` a une entr´ ee du syst` eme. Dans l’exemple du thermostat, des incertitudes de ce genre peuvent ˆ etre introduites par la va- riation incontrˆ olable de la temp´ erature externe.
Comme nous avons pu le constater, le non-d´ eterminisme rend difficile l’analyse des syst` emes car, pour caract´ eriser toutes les ´ evolutions possibles, l’ensemble des trajectoires g´ en´ er´ ees par le syst` eme doit ˆ etre pris en compte. Si, pour un vecteur d’entr´ ee constant le probl` eme n’est pas facile ` a r´ esoudre, dans le cas o` u il y a ´ egalement une variation de ce vecteur, mˆ eme en utilisant des techniques de simulation num´ erique, il est impossible de si- muler l’´ evolution du syst` eme pour toutes les valeurs du vecteur d’entr´ ee. Alors, l’approche par simulation s’av` ere inadapt´ ee lorsque des solutions analytiques simples ne peuvent pas ˆ
etre trouv´ ees. Si pour les syst` emes uni-dimensionnels, o` u l’´ evolution est d´ eterministe, des m´ ethodes analytiques peuvent ˆ etre utilis´ ees pour analyser leurs ´ evolutions, dans le cas o` u les syst` emes sont multi-dimensionnels et leur ´ evolution est non-d´ eterministe ces m´ ethodes ne sont plus adapt´ ees. Ainsi, le probl` eme de l’analyse pour les syst` emes complexes reste ouvert.
Le probl` eme de synth` ese de la commande consiste ` a intervenir dans l’´ evolution du syst` eme au bon moment, pour assurer le respect des sp´ ecifications impos´ ees tout au long de son fonctionnement. Pour l’exemple du thermostat, l’objectif est de maintenir la temp´ erature de la chambre dans l’intervalle [m, M ]. Supposons que nous avons un ther- mostat dont la structure est fixe, mais dont les seuils de commutation, θ m et θ M , peuvent ˆ
etre modifi´ es tel que l’objectif de la commande puisse ˆ etre r´ ealis´ e. Donc, le but est de trouver l’instant de commutation entre les deux ´ etats du syst` eme tel que la valeur de la temp´ erature dans la chambre reste toujours entre les limites impos´ ees.
Par l’exemple pr´ esent´ e ainsi que par les remarques faites, pour d´ evelopper une ap- proche d’analyse et de synth` ese des syst` emes hybrides nous devons disposer :
– d’outils de mod´ elisation permettant de repr´ esenter l’interaction entre les dynamiques continues et discr` etes, ainsi que les sp´ ecifications relatives au fonctionnement d´ esir´ e du syst` eme ;
– de m´ ethodes d’analyse rigoureuses dans le sens o` u elles peuvent prendre en compte tous les comportements possibles du syst` eme.
Notre approche s’adresse aux syst` emes hybrides dont la dynamique continue est lin´ eaire, mod´ elis´ ee par ˙ x(t) = f (x, u) = Ax + Bu, et dont le vecteur d’entr´ ee est constant.
Le travail que nous allons pr´ esenter a pour but la synth` ese optimale d’un mod` ele de commande pour les syst` emes hybrides, bas´ ee sur une extension de la th´ eorie classique de la commande supervis´ ee d´ evelopp´ ee par Ramadge et Wonham pour les syst` emes ` a
´
ev´ enements discrets. Par ailleurs, les syst` emes hybrides sont souvent des syst` emes com- plexes, ainsi l’analyse et la synth` ese automatique de la commande est tr` es souhaitable.
Ceci nous a motiv´ e pour proposer une approche algorithmique dans la perspective d’une mise en oeuvre informatique.
21
1.2. CLASSES DE PH´ ENOM` ENES HYBRIDES
1.2 Classes de ph´ enom` enes hybrides
La nature hybride d’un syst` eme peut ˆ etre inh´ erente aux ph´ enom` enes physiques qui le r´ egissent. Un certain nombre des ph´ enom` enes physiques consid´ er´ es comme hybrides ont
´
et´ e regroup´ es en quatre cat´ egories principales traduisant leur influence sur les mod` eles math´ ematiques utilis´ es pour d´ ecrire les diff´ erentes classes des syst` emes ([Bra95]).
1.2.1 Commutation autonome
Une commutation autonome caract´ erise un ph´ enom` ene o` u le champ de vecteur f(x, t) change de fa¸con discontinue lorsque l’´ etat x(.) atteint certains seuils. C’est le cas d’un syst` eme ` a hysteresis.
Le saut autonome est un ph´ enom` ene similaire rencontr´ e dans les syst` emes m´ ecaniques, o` u l’´ etat x(.) effectue un saut lorsqu’il atteint certaines r´ egions de l’espace, c’est-` a-dire qu’il passe de fa¸con discontinue de sa valeur courante ` a une autre. Un exemple de ce ph´ enom` ene est donn´ e par la collision de deux corps o` u la vitesse change brutalement et subit un saut.
Consid´ erons, par exemple, une table de billard de longueur l et de largeur h, avec une boule, comme l’illustre la Figure 1.5(a).
y
x
v v x v y
x 0 y 0
h
l
x = x 0 y = y 0
x = v x y = v y
.
. x = - v x
y = v y
. .
x = - v x y = - v y
.
x = v x .
y = - v y
. .
1 2
3 4
x = l
x = 0
y = 0 y = h
x = 0 x = l
y = h y = 0
( a ) ( b )
Fig. 1.5 – (a) Trajectoire d’une boule de billard et (b) Automate associ´ e
La position initiale de la boule est (x 0 , y 0 ) et apr` es avoir ´ et´ e frapp´ ee elle commence
`
a se d´ eplacer avec une vitesse v. Quand la boule arrive ` a un cˆ ot´ e de la table parall` ele ` a l’axe y, elle rebondit et le signe de la composante de la vitesse v x change. De mˆ eme, le signe de la composante de la vitesse v y change lorsque la boule arrive ` a un cˆ ot´ e parall` ele ` a l’axe x. La combinaison des signes des composantes de la vitesse donne quatre directions diff´ erentes du mouvement de la boule.
L’automate mod´ elisant le mouvement de la boule est repr´ esent´ e dans la Figure 1.5(b).
Le vecteur de la vitesse peut avoir quatre ´ etats diff´ erents [v x , v y ] T , [ − v x , v y ] T , [v x , − v y ] T
et [ − v x , − v y ] T . Chaque ´ etat de la vitesse caract´ erise une dynamique des variables x et
CHAPITRE 1. ´ETUDE DES SYST`EMES DYNAMIQUES HYBRIDES
y, repr´ esent´ ee par un sommet de l’automate. Le passage d’une dynamique ` a une autre est mod´ elis´ e par les arcs de l’automate et se produit lorsque la boule atteint un cˆ ot´ e de la table, c’est-` a-dire, quand x atteint les valeurs 0 ou l et/ou y atteint les valeurs 0 ou h.
1.2.2 Commutation contrˆ ol´ ee
Une commutation contrˆ ol´ ee traduit une ph´ enom` ene o` u le champ de vecteur f(x, t) change de fa¸con discontinue et instantan´ ee en r´ eponse ` a une entr´ ee de commande.
Le ph´ enom` ene de commutation contrˆ ol´ ee est illustr´ e ` a travers l’exemple de l’embrayage m´ ecanique. Il s’agit d’un syst` eme compos´ e de deux masses en rotation. Les masses sont coupl´ ees par un embrayage m´ ecanique id´ eal. Chaque masse i, dont l’inertie est J i , est entraˆın´ ee par un couple Q i ` a une vitesse de rotation ω i . Quand les masses sont coupl´ ees, les valeurs des vitesses de rotation sont identiques. Ces vitesses sont ind´ ependantes quand les masses sont d´ ecoupl´ ees (Figure 1.6).
J 1 J 2
ω 1 Q 2 ω 2
Q 1
Fig. 1.6 – Syst` eme d’embrayage m´ ecanique
Lorsque les axes de rotation sont ind´ ependants le syst` eme est d´ ebray´ e. Le mod` ele math´ ematique est donn´ e par
J 1 0 0 J 2
˙ ω 1
˙ ω 2
=
0 0 0 0
ω 1 ω 2
+
1 0 0 1
Q 1 Q 2
Quand les axes de rotation sont coupl´ ees le syst` eme est embray´ e, les vitesses de rotation sont identiques et le syst` eme peut ˆ etre d´ ecrit par l’´ equation
J 1 J 2
0 0
˙ ω 1
˙ ω 2
=
0 0 1 − 1
ω 1 ω 2
+
1 1 0 0
Q 1 Q 2
D’une mani` ere plus g´ en´ erale, le syst` eme peut donc ˆ etre d´ ecrit par une ´ equation sous la forme :
I k x ˙ = A k x + B k u
o` u les matrices I k , A k et B k d´ ependent de l’´ etat k du syst` eme. Nous avons donc une
´
equation d’´ etat dans laquelle figure la repr´ esentation hybride d´ ecrivant la dynamique continue du syst` eme dans ses diff´ erents ´ etats.
1.3 Mod´ elisation des SDH
De fa¸con g´ en´ erale, un syst` eme hybride sera mod´ elis´ e par un ensemble de syst` emes ` a dy- namique continue interagissant avec un ou plusieurs syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets.
23
1.3. MOD´ ELISATION DES SDH
Un survol des principales approches propos´ ees dans la litt´ erature, portant sur la mod´ elisation des syst` emes hybrides, peut ˆ etre trouv´ e dans [AK98]. Le point commun entre ces diff´ erentes approches est que l’´ evolution continue est affect´ ee par les ´ ev´ enements discrets et les mod` eles n´ ecessitent ` a la fois des variables d’´ etat continues et discr` etes.
Dans les travaux de th` ese de Chombart [Cho97], les approches de mod´ elisation sont regroup´ ees en trois classes principales :
– L’approche continue : il s’agit d’´ etudier le comportement des mod` eles continus en pr´ esence des discontinuit´ es, et ´ eventuellement, de d´ efinir un mod` ele ”´ etendu”.
– L’approche ´ ev´ enementielle : contrairement ` a l’approche continue, cette approche consiste dans l’approximation de la dynamique continue de telle mani` ere que le syst` eme hybride ne soit repr´ esent´ e que par les ´ ev´ enements qui le caract´ erisent.
– L’approche mixte : cette approche repose sur la supposition que le fonctionnement d’un syst` eme dynamique hybride est une s´ equence de deux phases : une trans- formation continue de l’´ etat continu suivie d’un changement discret instantan´ e.
L’approche conduit ` a rechercher des modifications dans les mod` eles discrets adapt´ ees ` a la mod´ elisation des ph´ enom` enes hybrides, en particulier en ´ etudiant l’insertion des variables continues.
Dans la suite de cette section nous n’avons retenu, parmi les approches propos´ ees dans la litt´ erature, que les plus int´ eressantes pour situer notre travail et celles dans lesquelles nous avons trouv´ e des r´ eponses ` a l’objectif que nous nous sommes fix´ e.
1.3.1 Approche de mod´ elisation continue
Cette approche consiste ` a d´ efinir une approximation des dynamiques discr` etes du syst` eme hybride par des ´ equations diff´ erentielles (ou aux diff´ erences) pour mod´ eliser l’occurrence des ´ ev´ enements discrets. L’id´ ee est qu’en utilisant une approche unifi´ ee dans le domaine des syst` emes continus, o` u les th´ eories sont bien ´ etablies, les questions de stabilit´ e, de commandabilit´ e et d’observabilit´ e pourront ˆ etre ´ etudi´ ees selon les th´ eories classiques.
Dans la litt´ erature nous trouvons plusieurs travaux qui traitent la mod´ elisation des syst` emes hybrides par une approche continue. Ces travaux peuvent ˆ etre divis´ es en deux cat´ egories. Une partie orient´ ee vers la d´ efinition d’ensemble de transitions pour pouvoir prendre en compte l’´ evolution discr` ete du syst` eme hybride. L’autre partie est bas´ ee sur l’introduction des variables suppl´ ementaires dans le mod` ele continu, repr´ esent´ e par des
´
equations diff´ erentielles, pour d´ ecrire le fonctionnement des syst` emes hybrides.
D´ efinition d’un ensemble de transitions
Dans [Wit66], l’auteur consid` ere une classe des syst` emes hybrides pour laquelle : – lors d’une transition discr` ete, le vecteur d’´ etat x(.) est continu (pas de saut d’´ etat),
alors que le champ du vecteur f (x, t) peut subir une discontinuit´ e ;
– une transition a lieu seulement si le vecteur d’´ etat continu satisfait une condition pr´ ed´ efinie.
Les entr´ ees n’influencent les transitions que par int´ egration des ´ equations diff´ erentielles mod´ elisant les dynamiques continues, mais jamais directement. Cela signifie qu’il n’y a pas de dynamique discr` ete ind´ ependante.
Le mod` ele propos´ e est con¸cu pour s’appliquer ` a un certain nombre de syst` emes r´ eels
comme par exemple les bascules logiques, les relais tout ou rien, ainsi que les ruptures
m´ ecaniques. La partie continue du mod` ele a une forme traditionnelle ` a laquelle un argu-
CHAPITRE 1. ´ETUDE DES SYST`EMES DYNAMIQUES HYBRIDES
ment m prenant en compte l’aspect discret est ajout´ e : ˙ x = f(m, x(t), u(t)). Ainsi, l’´ etat du syst` eme hybride est caract´ eris´ e par la paire (m, x) ∈ M × E n o` u E n est l’espace d’´ etat continu et M est un ensemble fini d’entiers positifs qui indexe les ´ etats discrets.
Les conditions de transition sont d´ efinies par des ensembles. L’´ etat discret change de m = i ` a m = j =i lorsque x atteint un ensemble donn´ e I ij ⊂ E n pour chaque paire ordonn´ ee (i, j). L’ensemble d’arriv´ ee et de d´ epart d’un ´ etat discret i sont d´ efini et l’auteur intro- duit des hypoth` eses sur ces ensembles pour garantir l’existence et l’unicit´ e de l’´ evolution dynamique du syst` eme. ` A partir de ce mod` ele, le probl` eme de la commande optimale d’un syst` eme hybride, formul´ e en terme de minimisation d’un crit` ere choisi est ´ etudi´ e. Il s’agit de trouver les commandes admissibles dans un ensemble de commandes possibles qui minimisent le coˆ ut de fonctionnement du syst` eme.
D’autres travaux [Tav87] et [BBM94], reprennent la notion d’ensemble de transitions en d´ efinissant des fronti` eres correspondant ` a des valeurs particuli` eres de l’´ etat continu qui entraˆınent des changements d’´ etat discret non seulement sous forme de commutations de champs de vecteur dans les travaux de Tavernini, mais ´ egalement des sauts d’´ etat dans les travaux plus r´ ecents de Branicky.
Utilisation d’une variable compteur
Dans [Bro93], l’auteur propose des ´ equations diff´ erentielles et des ph´ enom` enes discrets pour d´ ecrire les syst` emes dynamiques. Dans [Bro94], une ´ etude reposant sur le principe de mod´ elisation d’un syst` eme hybride par une approche continue est pr´ esent´ ee. Dans ce travail, l’auteur ´ etudie la mod´ elisation d’une classe de syst` emes qui a comme entr´ ees, d’une part, des fonctions continues et, d’autre part, des chaˆınes de symboles, et dont les sorties se trouvent ´ egalement sous la forme de chaˆınes de symboles et de valeurs r´ eelles.
L’id´ ee correspond ` a un ´ echantillonnage en temps r´ egulier.
Afin de bien mod´ eliser et pr´ evoir les aspects significatifs dans le comportement dyna- mique d’un syst` eme hybride, l’auteur consid` ere que le mod` ele doit :
– donner une description temporelle de l’´ evolution de l’automate, – sp´ ecifier l’interaction entre les parties discr` etes et continues et – sp´ ecifier les ´ equations d’´ evolution.
Le mod` ele propos´ e est donn´ e sous la forme d’´ equations aux diff´ erences : x(k + 1) = f (x(k), u(k))
y(k) = h(x(k))
Pour ”mixer” les commandes symboliques et continues, une nouvelle variable p, illustr´ ee sur la Figure 1.7, est introduite jouant le rˆ ole de compteur. La variable t p est utilis´ ee pour d´ enoter la valeur t quand la variable p atteint une valeur enti` ere.
La commande continue u(t) est exerc´ ee ` a l’instant t et la commande discr` ete υ p 2 est appliqu´ ee lorsque la variable p atteint une valeur enti` ere, c’est-` a-dire quand t = t p . Ainsi, le temps t p peut ˆ etre interpr´ et´ e comme le temps (valeur de t) au moment de l’occurrence d’un ´ ev´ enement discret. Une repr´ esentation de la dynamique dans le mod` ele de Brockett est illustr´ ee dans la Figure 1.8.
Le mod` ele propos´ e permet de d´ ecrire le fonctionnement de syst` emes hybrides r´ egis par des ph´ enom` enes de commutations autonomes et de commutations contrˆ ol´ ees, suivant une logique de commande.
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