Systèmes dynamiques hybrides pour les communications privées

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Systèmes dynamiques hybrides pour les communications privées

Hamid Hamiche, Malek Ghanes, Jean-Pierre Barbot

To cite this version:

Hamid Hamiche, Malek Ghanes, Jean-Pierre Barbot. Systèmes dynamiques hybrides pour les com-

munications privées. CIFA, Jun 2010, Nancy, France. pp.6. �inria-00531075�

ommuniations privées

Hamid HAMICHE

1

, Malek GHANES 1

, Jean-Pierre BARBOT 1,2

1

ECS, ENSEA,

6avenue du Poneau, 95014 Cergy-Pontoise Cedex, Frane

2

EPI-ALIEN, INRIA.

{hamid.hamihe, ghanes, barbot}ensea.fr

RésuméDansetravail,unshémadetransmissionàbase

dedynamiquehybrideethaotiquepourlesommuniations

privéesest proposé.L'émetteurest onstituéd'un système

entempsontinuetd'unsystèmeentempsdisretdansle-

quel le messageest inséré à l'aide de la méthode ditepar

inlusion.Lesétatsdusystèmeontinusonteuxaussiaprès

éhantillonnageinlusdanslesystèmedisret.Leréepteur

est onstitué d'un observateur entempsdisret retardéet

d'un observateur entemps ontinu. Le prinipede la mé-

thode hybride proposée est de montrer que la reonstitu-

tiondesétatsduréepteurdisretainsiquelemessagepasse

d'abordparlasynhronisationdesdeuxsystèmeshaotiques

entempsontinu.Cettenouvellestratégierobustielesys-

tèmedetransmission,notammentàuneattaqueàtextelair

onnu.Lesrésultatsdesimulationsontprésentésand'étu-

dierlesperformanesdelaméthodeproposée.

I. Introdution

Depuis quelquesannées,lathéorie des systèmes nonli-

néairesomplexesetsurtouthaotiquesaétéappliquéeàla

ryptographie,andeproposerd'autresméthodesdehif-

frement.En1990,T.PeorraetL.Caroll[15℄ontmontréla

possibilitédesynhroniserdessystèmeshaotiques.Alors,

denombreuxshémasdehirementbaséssurlehaosont

été proposés dansla littérature.En revanhe,très peu de

travauxontréellementfaitlelien entre lesalgorithmesde

hirementstandardeteuxbaséssurlagénérationdesé-

quenes haotiques. En ryptographie usuelle, parmi une

grandevariétédeméanismesdehirement,ondistingue

le hirementsymétriqueet lehirementàlé publique.

Unlienentrelehirementsymétriquestandardetlehif-

frementparinlusionbasésurlehaosaétéproposéparF.

Anstett [1℄.D'autresméthodesdehirementutilisantles

systèmes haotiques ont étéproposéesdans lalittérature,

parmilesquelles,onpeutiterlaméthodeparaddition[17℄,

lamodulation paramétrique[14℄,lamodulationhaotique

[5℄,et.Cesméthodessonttoutesbaséessurlasynhronisa-

tionduréepteuravel'émetteur,andepouvoirextraire

le message initialement noyé dans la porteuse haotique.

En 1997,H.Nijmeijeret I.Mareels[12℄ontmontréquela

synhronisation unidiretionnelle des systèmes haotiques

peutêtreonsidéréeommeunproblèmedesynthèsed'ob-

servateur. Diérents types d'observateurs sont alors pro-

posés pour lessystèmes haotiques (observateurs destinés

aussipourlessystèmeshaotiquesàentréesinonnues(ob-

servateursdestinésàreonstruirelesétatsdel'émetteuret

réupérer l'information)[2℄. Lefontionnementorretde

esobservateursdépenddeplusieursonditions:laondi-

tiond'observabilitépourretrouverlesétatsdusystème;la

ondition de reouvrement de l'observabilité ("observabi-

litymathing ondition")pourretrouverlesétats dusys-

tème et l'information noyée dans le système (inversibilité

àgauhedusystème);laonditiond'identiabilitédespa-

ramètresquireprésenteleslésdeodage.Dansnotretra-

vail,nousnoussommesintéressésàl'étuded'unshémade

transmission onstitué de systèmes dynamiques hybrides.

L'émetteurestomposéd'unsystèmehaotiqueontinudit

deColpittsetd'unsystèmehaotiquedisretditdeHénon.

Leréepteurestomposéd'unobservateurontinuetd'un

observateurdisret.Au niveaudel'émetteur,desétatsdu

système ontinu seront introduits dans la dynamique du

système disret dans le but de rendre sa struture plus

omplexe.Lenouveausystèmehybride,ainsiobtenurendle

système diilementobservablearil permet d'avoirplus

deparamètresinonnusqued'équationseteimêmedans

lesattaques àtexteslairsonnus.Lasortie transmiseau

réepteurestomposéed'unsignaldesynhronisationissu

dusystèmeontinuetd'unsignalutilequiontientlemes-

sage (ajouté parla méthode d'inlusion) issu du système

disret.Pouravoirunebonnetransmission,ilestnéessaire

d'avoirunrapportsignalutilesursignaldetransmissionle

plusprohede1possible.Lareonstitutiondesétatsainsi

que le message de l'observateur disret passe par la syn-

hronisationdesdeuxsystèmeshaotiquesontinus(émet-

teuretréepteur)avantlasynhronisationdessystèmesen

temps disret. Cetteméthode présente néanmoins l'avan-

tage que les deux systèmes peuvent se resynhroniseren

asdepertedesynhronisation.Notretravaileststruturé

omme suit : Dans la setion 2, nous présentons le prin-

ipe denotre méthode en étudiant séparémentl'émetteur

et le réepteur du système de transmission. La setion 3

estonsaréeàlaprésentationdesrésultatsdesimulation.

Enn, nous terminons, ommeil est detradition parune

onlusion.

Dansetravail,nousavonsréaliséunsystèmedeommu-

niationbasésurlasynhronisationdesystèmeshaotiques

hybridesàl'aided'observateurs.Leshémaglobaldenotre

système pour les ommuniations privées est montré par

la gure1.Ii, dans lebut de simplier notre exposé, les

retardsajoutésentre lapartieontinueet disrèteontété

supprimés.Ceux-in'ontpourbutquederobustierenore

lesystèmeparrapportàuneattaqueàtextelair onnu.

Fig.1. Synhronisationdelahaînedetransmissionbaséesur

unsystèmedynamiquehybride

Ledéveloppementdelaméthodesefaitommesuit:

A. Etudede l'émetteur

L'émetteurestonstituédetroisblos:unsystèmehao-

tique ontinu, unsystème haotique disret et unblo de

synhronisationd'impulsions.Cesblossontdétaillésdela

manièresuivante:

A.1 Etude dusystèmehaotiqueontinu

Ce système a été largement étudié dans la littérature

([10℄,[11℄).LeséquationsnormaliséesduColpittsentemps

ontinusontdonnéesommesuit:

Σ C :







˙

z ¹ = (g/Q(1 − k))(−exp(−z ² ) + 1 + z ³ )

˙

z ² = (g/Q(k))z ³

˙

z 3 = −(Qk(1 − k)/g)(z 1 + z 2 ) − (1/q)z 3 )

Pouravoirunomportementhaotique,lesparamètresdu

système (1)sontdonnésommesuit:

g = 4.46

^;

Q = 1.38

et

k = 0.5

^ave

z ¹ (0) = 1.6

^;

z ² (0) = 8

^et

z ³ (0) = 0.1

^{, les}

onditionsinitialesdusystème.

Toutd'abord,nousétudionsl'observabilitédusystèmeave

y ¹ = z ¹

^{sasortie.En utilisantlestravauxde[9℄,ilestaisé}

système (1) est égal à 3, don le système est loalement

faiblement observable. Par onséquent, il est possible de

retrouvertousles étatsàpartirdelasortie

y ¹ = z ¹

^{et de}

sesderivées.

A.2 Etude dusystèmehaotiquedisret

Lesystèmehaotiqueentempsdisretutilisédansnotre

travail est dit système de Hénon modié. Ce système a

étélargementétudiédans lalittérature,onpeutiter par

exemple les travaux de Vesely [16℄. Il est donné par les

équationssuivantes:

Σ D :







x 1 (n + 1) = a − x ² 2 (n) − bx 3 (n) x 2 (n + 1) = x 1 (n)

x ³ (n + 1) = x ² (n)

(1)

Pouravoirunomportementhaotique,lesparamètresdu

système (2)sontdonnésommesuit :

a = 1.76

^et

b = 0.1

ave

x 1 (0) = 0.1 x 2 (0) = 0.1

^et

x 3 (0) = 0.1

^{, les ondi-}

tions initialesdu système. Au niveau de l'émission, notre

objetifest derendrelastruture dusystèmedisret plus

omplexe. Pour ela, nous allons introduire (sans retard)

dansla dynamique dusystèmeen temps disret,lesétats

z 1 , z 2

^et

z 3

^{dusystèmeentempsontinu.Ilestànoterque}

les états du système ontinu seront d'abord éhantillon-

nés ave une période

T 1

^{avant d'être introduits dans le}

système en temps disret. Cette période

T 1

^{(dont la va-}

leur est donnée en simulation) est hoisiepour assurer la

synhronisation entre l'émetteur et le réepteur des deux

systèmes en temps ontinu (et argument est détaillé en

setion (II-B.1)). Malgré, lefait quele système deHénon

soitunsystèmeentempsdisretpur,sansauunlienave

letemps,ii, haqueitérationsera faiteaprès unepériode

detempsxe

T 1

^{.Cehoixdefréquenexeaétéfaitpour}

simplierlamiseenoeuvre duréepteur.

Dansettepartie,nousallonsutiliserlesystèmedonnépar

(2) ommeémetteurave

y ² (n) = x ² (n)

^{, lasortie dusys-}

tème.

Dansnotretravail,nousavonsajoutélesdeuxétats

(z 2 , z 3 )

etlemessage

m

^{surlatroisièmedynamiquedusystème(2).}

Ledétaildelareonstrutiondesétatsetdumessage

m

^est

donnédanslasetion(II-B.2).Lenouveausystèmehybride

obtenuest donnéommesuit:

Σ H :







x ¹ (n + 1) = a − x ² 2 (n) − bx ³ (n) x ² (n + 1) = x ¹ (n)

x 3 (n + 1) = x 2 (n) + Az 2 (n) + Bz 3 (n) + Cm(n)

(2)

Ave :

A

^,

B

^et

C

^{desnouveauxoeientsdusystèmeen}

temps disret et

m

^{le message àenvoyer. Pouronserver}

le omportementhaotique dusystème déni par(3), es

paramètresdoiventêtrehoisisavepréaution.Dansnotre

as,il fautrespeterlesvaleurssuivantes :

A ≤ 0.04

^,

B ≤ 0.1

^et

C ≤ 1

^.

En utilisantlestravaux([4℄,[6℄), ilest failedemontrer

que le rang de la matrie d'observabilité du système (3)

est égale à3, don le système est loalement observable.

Deplus,laonditiondereouvrementd'observabilitéaété

En onséquene, il est alors possible de reonstituer tous

lesétatsetlemessageàpartirdelasortieetdesessorties

retardées.En utilisantlesméthodes (approheégalité des

sorties et approhe relation entrée-sortie) détaillées dans

les travaux de [1℄, il est failede montrer quele système

(3) estidentiable àpartirde laonnaissanede lasortie

et de susamment de es itérations et du messagesi les

variablesontinuesnehangentpasfréquemment.

A.3 Etude dublodemultiplexage

Le signal de sortie

y 1 = z 1

^{issu du système en temps}

ontinu sera d'abord éhantillonné ave un pas d'éhan-

tillonnage

T 2

^{mais bloqué uniquement durant}

T 1

^{. Le si-}

gnal

y ¹ = z ¹

^{joue le rle dusignal de} synhronisation,il est envoyédansleanal pendantune durée

T 1

^.Quantau

signal

y 2

^{, il seraenvoyépendant 9durées}

T 1

^{. Lesystème}

en temps disret n'est pas itéré pendant le dixième yle

(T1)quiorrespondàl'envoidusignaldesynhronisation.

Leyleseomposedonde10durées

T 1

^{,ommel'illustre}

lehronogrammei-dessous.

Fig.2. Cylesdetransmissiondessignaux

y

1 ^et

y

2

B. Etudeduréepteur

Leréepteurestonstituédetroisblos:unobservateur

haotique en temps ontinu, un observateur haotique en

tempsdisret etunblodesynhronisationd'impulsions.

Dans e qui suit, nous allons nous intéresser à l'étude de

lasynhronisation entre lesémetteurs etlesréepteursdu

shémadetransmissionproposé.Nousallonsprésenterles

deux observateurs respetivement ontinu et disret per-

mettantdesynhroniserlessystèmes(1)et(3)respetive-

mentaveleursréepteurs.

B.1 Etudedel'observateurhaotiqueàtempsontinu

Soit le système (1), ave la sortie

y 1 = z 1

^{. Le but est}

deonevoirunobservateurréduitdetypeParlitz[14℄qui

permet à partir,de la sortie

y ¹ = z ¹

^{, de} reonstruire les étatsdusystème (1)(notés

z ˆ ¹ , z ˆ ² , z ˆ ³

^).

Leséquationsdel'observateursontdonnéespar(4) :

Σ OC :



 



 



˙ˆ

z ¹ = (g/Q(1 − k))( − exp(ˆ z ² ) + 1 + ˆ z ³ ) +K(z 1 − ˆ z 1 )

˙ˆ

z 2 = (g/Q(k))ˆ z 3

˙ˆ

z ³ = − (Qk(1 − k)/g)(ˆ z ¹ + ˆ z ² ) − (1/q)ˆ z ³ )

Le gain

K

^{est hoisi de telle sorte que la dynamique de}

l'erreur de synhronisation

e ¹ = z ¹ − z ˆ ¹

^{soit stable. Cei}

tion

e 3 = z 3 − z ˆ 3

^{verszéroetparonséquentlaonvergene}

de l'erreur de synhronisation

e ² = z ² − z ˆ ²

^{vers zéro. La}

périoded'éhantillonnage

T 2 = 10T 1

^{esthoisieenaord}

avelethéorèmedeShannon.

B.2 Etudedel'observateurhaotiquedisret

Dansettepartie,nousonsidéronslesystèmedonnépar

(3) ave

y ² (n) = x ² (n)

^{sa sortie} orrespondante.Pour la reeption,enutilisantlestravauxde ([4℄,[6℄), nousallons

onevoir un observateur en temps disret retardé, fon-

tionnantàlapériode

T 1

^{,delafaçonsuivante:}

-Construtiondel'état

x ˆ ¹

^:

Apartirdusystème(3), ona:

ˆ

x ² (n + 1) = ˆ x ¹ (n)

⁽³⁾

En appliquant unretard surla sortie,on déduit l'état

x ˆ ¹

ommesuit:

ˆ

x ¹ (n − 1) = y ² (n)

-Construtiondel'état

x ˆ ³

^:

Dusystème(3),onaégalement:

ˆ

x ³ (n) = (a − x ˆ ¹ (n + 1) − x ˆ ² 2 (n))/b

⁽⁴⁾

Appliquantette foisdeuxretardssurlasortieet enutili-

santl'équation(5), onobtientl'état

x ˆ 3

^:

ˆ

x ³ (n − 2) = (a − y ² (n) − y ² 2 (n − 2))/b

-Construtiondumessage

m ˆ

^:

Dusystème(3),ona:

m(n) = (ˆ x ³ (n + 1) − x ˆ ² (n) − Aˆ z ² (n) − B z ˆ ³ (n))/C

⁽⁵⁾

En appliquantette fois-itroisretardssur lasortieeten

utilisantl'équation(6),onaura:

m(n − 3) = a − y 2 (n) − y 2 ² (n − 2) bC

− y ² (n − 3) + Aˆ z ² (n − 3) + B z ˆ ³ (n − 3)

C

⁽⁶⁾

L'équation(7)permetdereonstituerlemessagemaisei

uniquementaprèssynhronisationdesdeuxsytèmesonti-

nus((1)et(4)).

B.3 Etudedublodedémultiplexage

A laréeption,lesignalreçusera d'aborddémultiplexé

endeux signaux

y ¹

^et

y ²

^{.Le signal}

y ¹

^{qui n'estaessible}

quedurantlapériode

T 1

^{estmaintenantmémorisésurune}

période

T 2 = 10T 1

^{(voirgure2).Ensuite,ilestintroduit}

dansl'observateurontinu. L'autresignal

y 2

^estaessible

pendant9yleset hange touslesyles.Ilestintroduit

dansl'observateurdisret (voirgure2).

Dans ette setion, les performanes de la méthode

proposée seront étudiées en utilisant le logiiel Mat-

lab/Simulink.

Nous allonsd'abord présenter les résultats de simulation

surlessynhronisationsdesdeuxsysèmesontinus.Legain

K

^{est égal à}

1

^{. Il est hoisi pour assurer la stabilité de}

l'observateur (onvergene des diérentes erreurs de syn-

hronisationdonnéesdanslasetionII-B.1).Lesonditions

initiales hoisies de l'observateur (4) sont :

z ˆ ¹ (0) = 1.8

^,

ˆ

z 2 (0) = 3

^et

z ˆ 3 (0) = 0

^{. Celles du système émetteur sont}

donnéesdanslasetionII-A.1.

A. Résultats de synhronisation des deux systèmesonti-

nus

Lesgures(3,5et7)et(4,6et8)présententrespetive-

mentlesétatset leurs éartsdesynhronisation.Àpartir

de

t = 15s

^{, nouspouvonsremarquer queles}pourentages d'erreurssur

e 1

^,

e 2

^et

e 3

^{(Figures(4,6et8))sontdel'ordre}

de

4.2%

^,

0.8%

^et

0.08%

^{.Ceonstatnouspermetd'armer}

queleserreurssontnégligeableset touslesétatssontbien

estimésparl'observateurentempsontinu.

0 5 10 15 20 25 30

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10

Temps(s)

z

1

z

1

obs

Fig.3.

z

1^et

z ˆ

1

0 5 10 15 20 25 30

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30

Temps(s)

e

1

Fig.4. Erreurdesynhronisationsurl'état

z

1

0 5 10 15 20 25 30

−5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Temps(s)

z2 z₂obs

Fig.5.

z

2^et

ˆ z

2

0 5 10 15 20 25 30

−4

−2 0 2 4 6 8

Temps(s)

e

2

Fig.6. Erreurdesynhronisationsurl'état

z

2

0 5 10 15 20 25 30

−2

−1 0 1 2 3 4

Temps(s)

z₃ z₃obs

Fig.7.

z

3^et

ˆ z

3

B. Résultats de synhronisation des deux systèmes hy-

brides

Dans e qui suit, nous allons présenter les résultats de

simulation sur la synhronisation des deux systèmes hy-

brides, -à-d le système (3) et l'observateur détaillé dans

la setion (II-B.2). Les nouveaux paramètres A, B, C de

et observateur sont :

A = 0.04

^,

B = 0.1

^et

C = 1

^{et le}

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Temps(s)

e

3

Fig.8. Erreurdesynhronisationsurl'état

z

3

.

C

^{(lehoixde es amplitudes est justiéjuste après l'ob-}

servateur(3)).Dansnotreas,touslessystèmesentemps

ontinu (1)et (4)et entemps disret(3) et(II-B.2)fon-

tionnent toujours à la période

T 1 = 0.001s

^{. Quand à la}

sortie (

y ¹

^et

y ²

^{) du système émetteur, elle est transmise}

dansleanaldetransmissionàhaquepériode

T 2 = 10T 1

^.

Les gures (9, 11) et (10, 12) présentent respetivement

les états et les éarts de synhronisation du système hy-

bride ave sonobservateur orrespondant.Notons que les

états

x 1

^et

x 3

^{ne dépendent pasdes états}

z 1

^,

z 2

^et

z 3

^du

systèmeontinu.Ceipermetdebienonstaterquel'éart

sur

e ¹ = x ¹ − x ˆ ¹

^{s'annule après une période}

T 1 = 0.001s

quiorrespondàunretardd'unpassurlasortie(enaord

avel'équation(5))etl'éartsur

e 3

^{s'annuleaprèsunepé-}

riode

T = 2T 1 = 0.002s

^{quiorrespondàunretarddedeux}

passurlasortie(enaordavel'équation(6)).Parontre,

lareonstitutiondumessage

m

^{(voiréquation(7))dépend}

de la synhronisation des états

z ¹

^,

z ²

^et

z ³

^{de l'émetteur}

entempsontinu(1)etduréepteurentempsontinu(4).

Onpeutremarquersur lesgurespréédentes((3, 5et7)

et(4, 6et8))queletempsdesynhronisationdeesdeux

systèmes ((1) et (4)) se produit à

t = 15s

^{. Ce n'est qu'à}

partir de et instant que le message est reonstitué (voir

gures13et14).

IV. Conlusion

Dansepapier,unshémadetransmissionbasé surdes

systèmes dynamiques hybrides aété onçu pour les om-

muniationsprivées. Dans lapartie émetteur, unsystème

haotiqueentempsontinuditdeColpittsestombinéave

un systèmeen temps disret ditde Hénondans le but de

réaliserunestrutureomplexe del'émetteurquisoit "ro-

buste" notamment àune attaque àtexte lair onnu. Ii,

le système doit enore être robustié en introduisant des

retards[18℄etaussienfaisantintervenirlesétatsontinus

defaçonànepasrespeterlaonditiondereouvrementde

l'observabilité.(Ceiseradéveloppédansnostravauxulté-

rieures).Dansleanaldetransmission,lessortiesenvoyées

ontété hoisiesen aordavela onditionde rangd'ob-

servabilitépourle systèmeen tempsontinu (Colpitts)et

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Temps(s)

x₁ x₁obs

Fig.9.

x

1^et

x ˆ

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Temps(s)

e

1

Fig.10. Erreurdesynhronisationsurl'état

x

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Temps(s)

x3 x3obs

Fig.11.

x

3^et

x ˆ

3

reouvrementd'observabilitépourlesystèmeentempsdis-

ret (Hénon). La stratégieadoptée pourl'envoidu signal

de sortie est réalisée par la omposition des deux sorties

y ¹ = z ¹

^{(du Colpitts) et}

y ² = x ² (n)

^{(du Hénon) dans un}

signaldesortieompositequiesttransmisdansleanalde

transmission.Dansnotreétude,nousavonsmontréquela

reonstitutiondumessagedel'émetteur disret estsubor-