HAL Id: tel-00356994
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Submitted on 29 Jan 2009
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type Dirichlet-to-Neumann pour des frontières ellipsoïdales
Anne-Gaëlle Saint-Guirons
To cite this version:
Anne-Gaëlle Saint-Guirons. Construction et analyse de conditions absorbantes de type Dirichlet-to- Neumann pour des frontières ellipsoïdales. Mathématiques [math]. Université de Pau et des Pays de l’Adour, 2008. Français. �tel-00356994�
THÈSE
présentée à
L'Université de Pau et des Pays de l'Adour
éole dotorale des sienes exates et de
leurs appliations - ED 211
par
Anne-Gaëlle SAINT-GUIRONS
en vuede l'obtention du grade de
DOCTEUR
Spéialité : Mathématiques Appliquées
CONSTRUCTION ET ANALYSE DE CONDITIONS
ABSORBANTES DE TYPE DIRICHLET-to-NEUMANN
POUR DES FRONTIÈRES ELLIPSOÏDALES
soutenue le 28Novembre 2008
Après avis de :
M. X. ANTOINE Professeur - Institut ElieCartande Nany Rapporteur
Mme. L. HALPERN Professeur - Université de Paris13 Rapporteur
Devant la ommission d'examen formée des rapporteurs et de :
M. M. AMARA Professeur - UPPA Examinateur
Mme. H. BARUCQ Diretrie de Reherhe INRIA - UPPA Diretrie de thèse
M. R. DJELLOULI Professeur - Cal. State Univ.at Northridge(USA) Examinateur
M. B. HANOUZET Professeur - Université de Bordeaux 1 Examinateur
M. I. HARARI Professeur - Université de Tel-Aviv (Israel) Examinateur
Laboratoire de Mathématiques Appliquées,Unité Mixte de Reherhe CNRS
5142, Université de Pau et des Pays de l'Adour (UPPA)
−2008−
Remeriements
Je tiens tout d'abord à remerier très haleureusement ma diretrie de thèse
Hélène Baruq qui, pendant es trois années de thèse, a toujours été à mes tés.
Sadisponibilité et ses enouragements ont été de préieux alliés. Elle m'a, de plus,
permisdedéouvrirlemondedelareherhe mathématiqueàl'extérieurdePauàde
nombreuses reprises, 'estunehanequim'aapportédes expérienes enrihissantes
queje ne suis pas prête d'oublier.
Jesuis très reonnaissante àMadameLaurene Halpern etMonsieurXavier An-
toined'avoiraepté d'être lesrapporteursde ette thèse.Je les remerie profondé-
ment pour l'intérêtqu'ils ontaordé àmon travail.
Je remerie vivement Monsieur Bernard Hanouzet d'avoir bien voulu présider
monjury de thèse.
Je suis très reonnaissante à Monsieur Mohamed Amara d'avoir aepté d'être
membre de mon jury de thèse. Je le remerie vivement de m'avoir soutenue avant
mêmeque ette thèse ne démarre pour m'obtenir un nanement.
Je suis extrêmement sensible à l'honneur que m'a fait Monsieur Isaa Hararien
étant membre de mon jury de thèse.
Je remerie Monsieur Rabia Djellouli de m'avoir aueillie à deux reprises dans
son laboratoireà l'Université de Northridgeen Californie.
Une thèse ne peut se dérouler dans de bonnes onditions sans un environne-
ment positif. Je tiens à remerier haleureusement Madé Arman, Lina Gonçalves
et Martine Courbin, doumentalistes à l'UPPA et à l'INRIA pour leur aide tou-
jours préieuse, Olivier Autexier, Stéphane Leborgne, nos informatiiens, pour leur
disponibilité et pour m'avoir toujours dépannée dans les plus brefs délais ainsi que
BrigitteCournou, Josy Baron, Marie-Claire Hummel, SylvieBerton etMarie-Laure
Riuspour m'avoirtoujours failitélestâhes administritatives.
Je tiens aussi à dire un grand meri à toute l'équipe INRIA Magique 3D pour
tous lesbons momentsque nous avons partagés.
Troisannées de thèse 'estaussi beauoup de temps passéave tous lesthésards
du labo. A première vue travaillerà 11 dans une même pièe peut donner envie de
s'enfuirmais, aunal, ona du malà lequitter e fameuxbureau 214!!!
Agnès, un grand meri pour tous es très bons moments passés ensemble (Ah!
Venise! le Bellini! le tiramisu della Madonna!) et pour avoir été d'un soutien
sans retenue dans mes moments de stress. JJ, l'Indiana Jones du labo, tu auras,
parfois malgrè toi,bien ontribué à nos franhes rigolades, mais tule sais, quiaime
bien....! Julie, Caro, meri pour votre ompagnie toujours agréable. Véro et Cyril,
soyez ourageux les petits nouveaux, trois ans 'est long mais....que çapasse vite!!
Guillaumeet Pieyre, meri pour votre soutien dans ladernière ligne droite.
Un grand meri à tous les dotorants, aniens dotorants et membres du LMA
ave qui j'aipartagé d'agréables moments.
Auriane, tu as toujours été à mon éoute dans mes moments de doute. Meri
pour ton amitié, ton sens de l'humour et ta joie de vivre. Je te souhaite beauoup
de ouragepour lan de tathèse!
Guigui, allez ourage, tu es dans la dernière ligne droite, 'est ertainement la
plus éprouvantemais ela vaut le oup!!
Angela meri de m'avoir toujours soutenue. Ton sens de l'humour a toujours su
me dérider dans mes plus grands moments de stress et ta présene le jour de ma
soutenanem'a beauoup touhée!
Christian, meri pour ton soutien sans faille!!!
Meri à tous mes ollèguesbasketteurs du jeudisoirpour avoirontribué àmon
défoulement et permis d'évauer mes tensions tout le long de mon parours.... Que
e fut utile!!!
Laurène, à un mois d'intervalle nous avons relevé nos hallenges respetifs.... il
s'en est vraiment passé des hoses depuis nos 6 ans!! Je suis ertaine que tous les
merveilleux moments que nous avons partagés nous ont donné des fores pour en
arriverlà!!
Pour terminer, je tiens à remerier de tout mon oeur mes parents,mes grands-
parents etFrédéri. Ils m'ont enouragée et ontréussi à supporter mes sautes d'hu-
meur pendant es trois dernières années qui ne furent pas toujours un long euve
tranquille... Un grand meri en partiulier à ma mère et Frédéri qui ont souvent
assisté à mes répétitions à la maison, votre patiene me fut d'une grande utilité!!
Enn, mon dernier mot sera pour Frédéri qui, par son soutien aetif, m'a permis
d'avanermême dans mes plus grandsmomentsde doute.
Table des matières
Introdution 9
1 Fontions spéiales 15
1 Les fontions de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Equation de Mathieu et équation des ondes aoustiques en oordonnées elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Détermination des valeurs aratéristiques des fontions de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Quelques propriétés des valeursaratéristiques . . . . . . . . 21
1.4 Solutions de l'équationde Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Relations entre lesoeients de Fourier et les diérentes so- lutions de l'équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Solutions de l'équationde Mathieumodiée . . . . . . . . . . 25
1.7 Notations omparativesdes fontionsde Mathieu . . . . . . . 27
2 Les fontions sphéroïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Dénition des oordonnéessphéroïdales prolates . . . . . . . . 28
2.2 Fontions d'ondes sphéroïdales prolates . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Comportementsasymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Comportements asymptotiques des valeurs propres assoiées aux fontions d'ondes sphéroïdales angulaires . . . . . . . . . 32
2 Constrution et analyse de performane de onditions aux limites absorbantes de type DtN loal dans un adre OSRC pour des pro- blèmes extérieurs d'Helmholtz : as des frontières elliptiques 33 1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Dérivation des nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 La ondition DtN d'ordre 1(DtN1) . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Les onditions DtN d'ordre 2(DtN2) . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Analyse mathématique de performane pour les nouvelles onditions aux limitesabsorbantes de type DtN loales - Problèmemodal . . . . 46
4.1 Dénition des impédanes spéiques modales approhées . . 49
4.2 Analyse asymptotiquelorsque ka→0. . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Comportementsasymptotiques lorsque ka→+∞ . . . . . . . 55
5 Analyse numérique de performane pour les nouvelles onditions aux
limites absorbantes de type DtN loales -Problèmemodal . . . . . . 57
6 Analyse mathématique de performane pour les nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales - Problèmede sattering 74 6.1 Dénition des impédanes spéiques approhées pour le pro- blème de sattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Analyse asymptotiquelorsque ka→0. . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Analyse asymptotiquelorsque ka→+∞ . . . . . . . . . . . . 80
7 Analyse numérique de performane pour les nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales -Problèmede sattering . . . 83
8 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Constrution et analyse de performane de onditions aux limites absorbantesdetypeDtNloalpourdesproblèmesextérieursd'Helm- holtz : as des frontières ellipsoïdales 105 1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Dérivation des nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1 La ondition DtN d'ordre 1(DtN1) . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2 Les onditions DtN d'ordre 2(DtN2) . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Analyse mathématique de performane pour les nouvelles onditions aux limitesabsorbantes de type DtN loales - Problèmemodal . . . . 112
4.1 Dénition des impédanes spéiques modales approhées . . 114
4.2 Comportementsasymptotiques lorsque ka→0 . . . . . . . . . 115
4.3 Comportementsasymptotiques lorsque ka→+∞ . . . . . . . 117
5 Analyse numérique de performane pour les nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales -Problèmemodal . . . . . . 118
6 Analyse mathématique de performane pour les nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales - Problèmede sattering 135 6.1 Dénition des impédanes spéiques approhées pour le pro- blème de sattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2 Comportementsasymptotiques lorsque ka→0 . . . . . . . . . 138
6.3 Comportementsasymptotiques lorsque ka→+∞ . . . . . . . 140
7 Analyse numérique de performane pour les nouvelles onditions aux limites absorbantes de type DtN loales -Problèmede sattering . . . 141
8 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4 Formulationen volume : le problème 2D 163 1 Introdutionau problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2 Expression des diérentshampsaoustiques . . . . . . . . . . . . . . 165
2.1 Déomposition de la solutionexate uex,2D . . . . . . . . . . . 165
2.2 Déomposition de l'onde inidenteuinc,2D . . . . . . . . . . . . 166
2.3 Déomposition de la solutionapprohée uapp,2D . . . . . . . . 167
3 Détermination des oeientsdm et τm . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.1 Caluls préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.2 Calul des oeients dappm et τmapp . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5 Analyse hautefréquene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.1 Ave laondition DtN1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2 Ave laondition DtN2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5 Formulationen volume : le problème 3D 207 1 Introdutionau problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2 Expression des diérentshampsaoustiques . . . . . . . . . . . . . . 209
2.1 Déomposition de la solutionexate uex,3D . . . . . . . . . . . 209
2.2 Déomposition de l'onde inidenteuinc,3D . . . . . . . . . . . . 210
2.3 Déomposition de la solutionapprohée uapp,3D . . . . . . . . 211
3 Détermination des oeientsdappmn et τmnapp . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.1 Caluls préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.2 Identiations des oeients dappmn et τmnapp . . . . . . . . . . . . 212
4 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5 Analyse hautefréquene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.1 Ave laondition DtN1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.2 Ave laondition DtN2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Annexe A : Géométrie diérentielle pour la 2D 258 A Expression de la dérivée partielle par rapport auveteurnormal n . . 259
B Equation d'Helmholtz en oordonnéeselliptiques . . . . . . . . . . . . 261
Annexe B : Géométrie diérentielle pour la 3D 266 A Expression de la dérivée partielle par rapport auveteurnormal n . . 267
B Equation d'Helmholtz en oordonnéessphéroïdales prolates . . . . . . 271
Annexe C : Calul des Wronskiens 272 A Dénition du Wronskien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
B Calul du Wronskien ∆W h Rm(1)Σ, R(2)mΣ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
C Calul du Wronskien ∆W hRmn(1)Σ, R(2)mnΣ i . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Annexe D : Classiation des modes 278 A Classiation des modes pour leproblème 2D . . . . . . . . . . . . . 279
A.1 Cas du système de oordonnées artésiennes . . . . . . . . . . 279
A.2 Cas des oordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
A.3 Cas des oordonnées elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
B Classiation des modes pour leproblème 3D . . . . . . . . . . . . . 287
Annexe E : Quelques pistes pour une minimisation du oeient de
réexion 291
A Pour leproblème en volume2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.1 Prise en ompte des modes rampants . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2 Prise en ompte de modes partiuliers . . . . . . . . . . . . . 299
B Prise en omptede modes partiuliers pour le problème en volume 3D 306
Référenes 313
Introdution
La modélisationet la simulation numérique de problèmes de diration d'ondes
sont au oeur de nombreuses appliations qui peuvent être industrielles (itons par
exemple l'aéronautique, l'exploration pétrolière) mais aussi liées à la défense ou au
seteur médial.Le plus souvent, ledomainede propagationest soitinni dans une
diretion, soit très grand par rapport à la longueur d'onde des signaux que l'on
veut reproduire. On est alors onfrontéauproblème de résoudre numériquement un
système d'équations auxdérivées partiellesposé dans un domainenon borné.
Unepremière approhe onsisteàexploiterlessolutionsfondamentalesdel'équa-
tiondes ondespouren érireune formulationintégraleimpliquantdes potentiels(de
simpleetdoubleouhe)dénissurunesurfaebornée.Leadred'appliationleplus
fréquent de ette méthode est elui de la diration par un obstale (avion, sous-
marinparexemple) etl'équationintégraleest poséesur lasurfae, ettefoisbornée,
de l'obstale. On peut alors appliquer une méthode d'éléments nis pour la disré-
tisation qui onduit à l'inversion d'une matrie pleine. La méthode des équations
intégrales[12, 13℄estune approhe trèsrobustefournissantaunalune solutiontrès
préisedel'équationdes ondesmais, ettoutpartiulièrementàhautefréquene,elle
induitdesoûtsde alulquipeuventdevenir trèsviteprohibitifs,malgrélesprogrès
très onsidérables qui ont été réalisés pour aélérer les produits matrie/veteurs
(voir[16℄etsabibliographie).De plus,ellen'estpas évidenteàmettreen plaedans
leas où l'obstale et/ou lemilieu extérieur est hétérogène.
Uneautreapprohe s'appuiesur lefaitqu'ilest susantde représenter lehamp
d'ondedans un prohe voisinagede l'originedu phénomène(par exemple,l'obstale
ensattering,lasoureenimageriesismiqueoumédiale).C'estpourquoi,dansl'ob-
jetifde simuler numériquement lephénomène,onpeut dénir uneboitede alul à
l'intérieurde laquelleonseontentede représenter lehampd'ondevial'appliation
d'uneméthode d'éléments nis. Lesbords extérieurs de laboite sont artiielspour
leproblèmephysiqueonsidéréetnedoiventdonpasgénérerdesréexionsparasites
à l'intérieurdu domaine de alul. Pour la mise en oeuvre numérique, laprinipale
diultéest demodéliserlesbordsartiiels.Onpeut lesreprésenterparl'opérateur
Dirihlet-to-Neumann (DtN) qui va exprimer de façon exate le passage parfait de
l'onde de l'intérieur de la boite vers son extérieur (e qui exprime que le bord n'a
auune inuene sur le hamp intérieur). Mais omme l'opérateur DtN est global,
il va asser la struture a priori reuse de la matrie de disrétisation par éléments
nis, e qui va engendrer des oûts numériques équivalents à eux inhérents à la
