Algorithmes de Schwarz et conditions absorbantes pour le couplage océan-atmosphère

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Algorithmes de Schwarz et conditions absorbantes pour le couplage océan-atmosphère

Sophie Théry

To cite this version:

Sophie Théry. Algorithmes de Schwarz et conditions absorbantes pour le couplage océan-atmosphère.

CANUM 2018 - 44e Congrès National d’Analyse Numérique, May 2018, Cap d’Agde, France. �hal- 01947885�

Algorithmes de Schwarz et conditions

absorbantes pour le couplage océan atmosphère

Sophie THERY

UGA, LJK, AIRSEA

CANUM, 31 mai 2018

Le couplage océan atmosphère Cadre général

Cadre général : le couplage océan-atmosphère

Phénomènes physiques régis par les interactions océan atmosphère : Climat

El Ni˜no

Cyclones tropicaux ...

Le couplage océan atmosphère Cadre général

Motivations

Les méthodes utilisées pour le couplage océan-atmosphère sont peu satisfaisantes :

Couplage asynchrone

I équilibre des flux moyen sur chaque fenêtre de temps

I problème de synchronisation

atmosphère

océan

ti−1 ti

ti−2 ti+1

!."i

i-2

i-2 i-1

i

i i-1

Foa(!uoce"_i−1,uatm|i)

Foa(!uoce"i−3,uatm|i−2) Foa(!uoce"_i−2,uatm|_i−1)

!Foa(!uoce"i−2,uatm|i−1)"

i−1

!Foa(!uoce"i−3,uatm|i−2)"

i−2

!Foa(!uoce"i−1,uatm|i)"

i

!."_i−2 !."_i−1

Couplage synchrone

Utilisation des algorithmes de Schwarz : ANR COCOA ⇒

implémentation pratique de Schwarz dans le couplé IPSL et Météo France.

Le couplage océan atmosphère Cadre général

Motivations

Les méthodes utilisées pour le couplage océan-atmosphère sont peu satisfaisantes :

Couplage asynchrone Couplage synchrone

I beaucoup de communication⇒implémentions inefficace

I problèmes de validité physique et de stabilité mathématique.

atmosphère

océan

∆t_{ a

{ ^{Foa Foa Foa}

Utilisation des algorithmes de Schwarz : ANR COCOA ⇒

implémentation pratique de Schwarz dans le couplé IPSL et Météo France.

Le couplage océan atmosphère Cadre général

Motivations

Les méthodes utilisées pour le couplage océan-atmosphère sont peu satisfaisantes :

Couplage asynchrone Couplage synchrone

Utilisation des algorithmes de Schwarz : ANR COCOA⇒

implémentation pratique de Schwarz dans le couplé IPSL et Météo France.

Le couplage océan atmosphère Cadre général

1 Le couplage océan atmosphère

2 Les algorithmes de Schwarz

3 Application au couplage océan-atmosphère

4 Objectifs futurs

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère

Équations de Navier-Stokes

I Les variables recherché : mouvement et contrainte sur fluide, force de gravitation et effet de Coriolis→équation vectorielle surv,p,ρ.

I Les principes physiques :conservation de la masse et de l’énergie thermique, conservation/diffusivité de la salinité et humidité, loi de conservation d’état.

Approximation

Système d’équation primitives :







∂_tu+∇ ·(vu)−fv−ν_m∆u+∂_xρ/ρ_oa = 0

∂tv+∇ ·(vv) +fu−νm∆v+∂yρ/ρoa = 0 + d’autre équations enρ, p, v

I v= (u,v,w) : vitesse

I νm : diffusion moléculaire

I f : fréquence de Coriolis

I ppression

I ρmasse volumique

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère

Équations de Navier-Stokes Approximation

I champs gravitationnel vertical et constant

I approximation du terme de Coriolis

I approximation de Boussinecq→variation deρfaible

I Hypothèse quasi-hydrostatique→simplifie l’équation suivante_z.

Système d’équation primitives :







∂_tu+∇ ·(vu)−fv−ν_m∆u+∂_xρ/ρ_oa = 0

∂tv+∇ ·(vv) +fu−νm∆v+∂yρ/ρoa = 0 + d’autre équations enρ, p, v

I v= (u,v,w) : vitesse

I ν_m : diffusion moléculaire

I f : fréquence de Coriolis

I ppression

I ρmasse volumique

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère

Équations de Navier-Stokes Approximation

Système d’équation primitives :







∂tu+∇ ·(vu)−fv−νm∆u+∂xρ/ρoa = 0

∂_tv+∇ ·(vv) +fu−ν_m∆v+∂_yρ/ρ_oa = 0 + d’autre équations enρ, p, v

I v= (u,v,w) : vitesse

I ν_m : diffusion moléculaire

I f : fréquence de Coriolis

I ppression

I ρmasse volumique

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère simplifié

Paramétrisation de la turbulence à petite échelle

(Conzemius & Fedorovich, 2008)

o(20km)

o(−5km) o(−100m) o(1000m)

CLA CLO

océan intérieur atmosphère

libre

z

0

CLA

CLO

o(m)

CLS

o(10m)

Principaux échanges selonz.

Décomposition de Reynoldz :

I u= ˜u+u⁰

I <u⁰>= 0,<˜u>= ˜uet<w u˜ ⁰>= 0







∂t˜u−f˜v−νm∆˜u+ = 0

∂_t˜v+f˜u−ν_m∆˜v+ = 0 + d’autre équations en ˜ρ, p˜, ˜v Hypothèse de hydrostatique proche de la surface : ˜w = 0 Hypothèse de Boussinesq (1897) : <U_β⁰U_γ⁰ >=νt∂γU˜_β Notre modèle d’étude ⇒ Couche d’Ekman (1905)

( ∂tu−fv−∂z(ν(z)∂zu) =F^u

∂_tv+fu−∂_z(ν(z)∂_zv) =F^v avec ν(z) =az+b >0,

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère simplifié

Principaux échanges selonz. Décomposition de Reynoldz :

I u= ˜u+u⁰

I <u⁰>= 0,<˜u>= ˜uet<w u˜ ⁰>= 0







∂_tu∂˜ _z( ˜w˜u)−f˜v−ν_m∆˜u+∂_z<w⁰u⁰ >= 0

∂_tv˜+∂_z( ˜w˜v) +f˜u−ν_m∆˜v+∂_z<w⁰v⁰>= 0 + d’autre équations en ˜ρ, ˜p, ˜v

Hypothèse de hydrostatique proche de la surface : ˜w = 0 Hypothèse de Boussinesq (1897) : <U_β⁰U_γ⁰ >=νt∂γU˜β

Notre modèle d’étude ⇒ Couche d’Ekman (1905) ( ∂tu−fv−∂z(ν(z)∂zu) =F^u

∂tv+fu−∂z(ν(z)∂zv) =F^v avec ν(z) =az+b >0,

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère simplifié

Principaux échanges selonz. Décomposition de Reynoldz :

I u= ˜u+u⁰

I <u⁰>= 0,<˜u>= ˜uet<w u˜ ⁰>= 0







∂_tu˜−fv˜−ν_m∆˜u+∂_zν_t∂_zu˜= 0

∂_tv˜+fu˜−ν_m∆˜v+∂_zν_t∂_z˜v= 0 + d’autre équations en ˜ρ, ˜p, ˜v Hypothèse de hydrostatique proche de la surface : ˜w = 0 Hypothèse de Boussinesq (1897) : <U_β⁰U_γ⁰ >=νt∂γU˜_β

Notre modèle d’étude ⇒ Couche d’Ekman (1905) ( ∂tu−fv−∂z(ν(z)∂zu) =F^u

∂tv+fu−∂z(ν(z)∂zv) =F^v avec ν(z) =az+b >0,

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Modèle couplé d’océan-atmosphère simplifié

Principaux échanges selonz. Décomposition de Reynoldz :

I u= ˜u+u⁰

I <u⁰>= 0,<˜u>= ˜uet<w u˜ ⁰>= 0







∂_tu˜−fv˜−ν_m∆˜u+∂_zν_t∂_zu˜= 0

∂_tv˜+fu˜−ν_m∆˜v+∂_zν_t∂_z˜v= 0 + d’autre équations en ˜ρ, ˜p, ˜v Hypothèse de hydrostatique proche de la surface : ˜w = 0 Hypothèse de Boussinesq (1897) : <U_β⁰U_γ⁰ >=νt∂γU˜_β Notre modèle d’étude ⇒ Couche d’Ekman (1905)

( ∂tu−fv−∂z(ν(z)∂zu) =F^u

∂tv+fu−∂z(ν(z)∂zv) =F^v avec ν(z) =az+b >0,

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Notre modèle d’étude

Γ

Océan Atmosphère

F₁(u₁) = 0 in Ω₁ F2(u₂) = 0 in Ω₂

G₁(u₁) = 0 on∂Ω₁\∂Ω₂ G₂(u₁) = 0 on∂Ω₂\∂Ω₁

B₂(u₂|_Γ,u₁|_Γ) = 0

B₁(u₁|_Γ,u₂|_Γ) = 0

SurΩ2×[0,T]:

( ∂_tu₂−fv₂−∂_z(ν₂(z)∂_zu₂) =F₂^u

∂_tv₂+fu₂−∂_z(ν₂(z)∂_zv₂) =F₂^v SurΩ1×[0,T] :

( ∂_tu₁−fv₁−∂_z(ν₁(z)∂_zu₁) =F₁^u

∂_tv₁+fu₁−∂_z(ν₁(z)∂_zv₁) =F₁^v + Conditions initiales + Conditions au limites extérieurs + + Conditions d’interfaces

Effet du terme de Coriolis

Effet d’une coefficient de diffusion variable

Le couplage océan atmosphère Modélisation de l’interaction océan atmosphère

Notre modèle d’étude

Γ

Océan Atmosphère

F₁(u₁) = 0 in Ω₁ F2(u₂) = 0 in Ω₂

G₁(u₁) = 0 on∂Ω₁\∂Ω₂ G₂(u₁) = 0 on∂Ω₂\∂Ω₁

B₂(u₂|_Γ,u₁|_Γ) = 0

B₁(u₁|_Γ,u₂|_Γ) = 0

SurΩ2×[0,T]:

( ∂_tu₂−fv₂−∂_z(ν₂(z)∂_zu₂) =F₂^u

∂_tv₂+fu₂−∂_z(ν₂(z)∂_zv₂) =F₂^v SurΩ1×[0,T] :

( ∂_tu₁−fv₁−∂_z(ν₁(z)∂_zu₁) =F₁^u

∂_tv₁+fu₁−∂_z(ν₁(z)∂_zv₁) =F₁^v + Conditions initiales + Conditions au limites extérieurs + + Conditions d’interfaces

Effet du terme de Coriolis

Effet d’une coefficient de diffusion variable

Les algorithmes de Schwarz L’algorithme de Schwarz

Rappel sur les algorithme de Schwarz

Rappel sur les algorithme de Schwarz dans le cas : deux sous domaines sans recouvrement sur une dimension

sur des opérateurs linéaires :

(L₁u₁=F₁ sur Ω₁, B₁u₁=G₁ sur∂Ω^ext₁ (L₂u2=F2 sur Ω2, B₂u2=G2 sur∂Ω^ext₂ (C₁u₁ =C₁u₂ sur Γ

Les algorithmes de Schwarz L’algorithme de Schwarz

Les algorithmes de Schwarz

Algorithm 1 Schwarz alterné Require: u⁰₂ sur Γ

n= 0

while non convergence oun <nmax do

résoudre _









L₁u₁ⁿ=F1 sur Ω1, B₁u₁ⁿ=G1 sur∂Ω^ext₁ , C₁u₁ⁿ=C₁u₂ⁿ⁻¹ sur Γ.

puis résoudre











L₂u₂ⁿ=f₂ sur Ω₂, B₂u₂ⁿ=g2 sur ∂Ω^ext₂ , C₂u₂ⁿ=C₂u₁ⁿ sur Γ.

end while

Les algorithmes de Schwarz Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Système vérifié par les erreurs : e_jⁿ(z) =u_jⁿ(z)−u_j^∗(z)







Leⁿ_j(z) = 0 sur Ω_j Be_jⁿ= 0 sur Ω^ext_j C_je_jⁿ(0) = C_je_kⁿ⁻¹(0)

Définition du facteur de convergence : ρ= ||e_jⁿ||

||e_jⁿ⁻¹||

La facteur de convergence dépends fortement des conditions d’interface.

Les algorithmes de Schwarz Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Système vérifié par les erreurs : e_jⁿ(z) =u_jⁿ(z)−u_j^∗(z)







Leⁿ_j(z) = 0 sur Ω_j Be_jⁿ= 0 sur Ω^ext_j C_je_jⁿ(0) = C_je_kⁿ⁻¹(0)

Définition du facteur de convergence : ρ= ||e_jⁿ||

||e_jⁿ⁻¹||

La facteur de convergence dépends fortement des conditions d’interface.

Les algorithmes de Schwarz Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Impacte des conditions d’interfaces

Conditions d’interfaces "naturelles" ⇒ sans degrés de liberté.

Introduction de nouveaux opérateur avec degrés de liberté ⇒ conditions de transmissions exactes (convergence en 2 itérations).

Instationnaire⇒ conditions non local en temps Optimisation :

I méthode "min-max" :

Cminj∈C

max

ω∈[ωmin,ω_max]ρ(ω,Cj)

Introduit par : Japhet(1997),Japhet & Nataf (2000),

Notion d’algorithme de Schwarz optimisé : Gander et al. (2001)

I approximation basse fréquence : Développement de Taylor sur les conditions de transmission exacte . 0Nataf et al. (1994)

Les algorithmes de Schwarz Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Impacte des conditions d’interfaces

Conditions d’interfaces "naturelles" ⇒ sans degrés de liberté.

Introduction de nouveaux opérateur avec degrés de liberté ⇒ conditions de transmissions exactes (convergence en 2 itérations).

Instationnaire⇒ conditions non local en temps Optimisation :

I méthode "min-max" :

Cminj∈C

max

ω∈[ωmin,ω_max]ρ(ω,Cj)

Introduit par : Japhet(1997),Japhet & Nataf (2000),

Notion d’algorithme de Schwarz optimisé : Gander et al. (2001)

I approximation basse fréquence : Développement de Taylor sur les conditions de transmission exacte . 0Nataf et al. (1994)

Les algorithmes de Schwarz Étude de la convergence des algorithmes de Schwarz

Impacte des conditions d’interfaces

Conditions d’interfaces "naturelles" ⇒ sans degrés de liberté.

Introduction de nouveaux opérateur avec degrés de liberté ⇒ conditions de transmissions exactes (convergence en 2 itérations).

Instationnaire⇒ conditions non local en temps Optimisation :

I méthode "min-max" :

Cminj∈C

max

ω∈[ωmin,ω_max]ρ(ω,Cj)

Introduit par : Japhet(1997),Japhet & Nataf (2000),

Notion d’algorithme de Schwarz optimisé : Gander et al. (2001)

Application au couplage océan-atmosphère

Modèle simplifié pour le couplage océan-atmosphère

Sur [0,H_j]×[0,T] :

( ∂tuj(t,z)−fvj(t,z)−∂z(νj(z)∂zuj(t,z)) =F_j^u(t,z)

∂tvj(t,z) +fuj(t,z)−∂z(νj(z)∂zvj(t,z)) =F_j^v(t,z) ( uj(t,Hj) =G_j^u(t), vj(t,H2) =G_j^v(t)

u_j(0,z) =X_j^u(z), v_j(0,z) =X_j^v(t) Conditions naturelles de continuité à l’interface :

( u₁(t,0) = u₂(t,0) ν1(0)u1(t,0) = ν2(0)u2(t,0)

Difficultés de ce cas d’étude : Couplage des variables u et v. Coefficients de diffusions variables

Application au couplage océan-atmosphère

Modèle simplifié pour le couplage océan-atmosphère

Sur [0,H_j]×[0,T] :

( ∂tuj(t,z)−fvj(t,z)−∂z(νj(z)∂zuj(t,z)) =F_j^u(t,z)

∂tvj(t,z) +fuj(t,z)−∂z(νj(z)∂zvj(t,z)) =F_j^v(t,z) ( uj(t,Hj) =G_j^u(t), vj(t,H2) =G_j^v(t)

u_j(0,z) =X_j^u(z), v_j(0,z) =X_j^v(t) Conditions naturelles de continuité à l’interface :

( u₁(t,0) = u₂(t,0) ν1(0)u1(t,0) = ν2(0)u2(t,0)

Application au couplage océan-atmosphère

État de l’art

Application au couplage océan-atmosphère

État de l’art

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Étude de l’effet de Coriolis sur la convergence

Effet de Coriolis →couplage des composante u et v















∂tuj−fvj −νj∂zz(uj) =F_j^u

∂tvj +fuj −νj∂zz(vj) =F_j^v + conditions extérieurs + conditions d’interfaces + conditions initiales

Solution

On montre que le facteur de convergence est le même avec le changement de variable ϕ=u+iv.

Coefficients de diffusions constant pour étudier seulement l’impacte de l’effet de Coriolis.

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Étude de l’effet de Coriolis sur la convergence

Effet de Coriolis →couplage des composante u et v















∂tuj−fvj −νj∂zz(uj) =F_j^u

∂tvj +fuj −νj∂zz(vj) =F_j^v + conditions extérieurs + conditions d’interfaces + conditions initiales

Solution

On montre que le facteur de convergence est le même avec le changement de variable ϕ=u+iv.

Coefficients de diffusions constant pour étudier seulement l’impacte de l’effet de Coriolis.

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Étude de l’effet de Coriolis sur la convergence

Effet de Coriolis →couplage des composante u et v











∂_tϕ_j +ifϕ_j−∂_z(ν_j∂_zϕ_j) =F_j^u+iF_j^v + conditions extérieurs + conditions d’interfaces + condition initiale

Solution

On montre que le facteur de convergence est le même avec le changement de variable ϕ=u+iv.

Coefficients de diffusions constant pour étudier seulement l’impacte de l’effet de Coriolis.

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Étude de l’effet de Coriolis sur la convergence

Effet de Coriolis →couplage des composante u et v











∂_tϕ_j +ifϕ_j−∂_z(ν_j∂_zϕ_j) =F_j^u+iF_j^v + conditions extérieurs + conditions d’interfaces + condition initiale

Solution

On montre que le facteur de convergence est le même avec le changement de variable ϕ=u+iv.

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Avec des conditions d’interfaces Dirichlet-Neumann

( e₁ⁿ(ω,0) = e₂ⁿ⁻¹(ω,0) ν₂∂_ze₂ⁿ(ω,0) = ν₁∂_ze₁ⁿ(ω,0) Facteur de convergence

Domaines infinis :

η_DN^cst(ω) = sD1

D2

Indépendant de la fréquence temporelle Domaines finis :

ρ^cst_DN(ω) = sD1

D₂

tanh H₂ s

i ω+f D₂

!

tanh H1

s i ω+f

D₁

!

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Facteur de convergence instationnaire

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Facteur de convergence instationnaire

min ρ^cst_DN(ω)≤ρobs ≤ max ρ^cst_DN(ω)

Sophie THERY (UGA, LJK, AIRSEA) Algorithmes de Schwarz et conditions absorbantes pour le couplage océan atmosphèreCANUM, 31 mai 2018 16 / 23

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion constants

Conditions d’interfaces Robin-Robin

( ν1∂ze₁ⁿ(ω,0) +p1eⁿ₁(ω,0) = ν2∂zeⁿ⁻¹₂ (ω,0) +p2e₂ⁿ⁻¹(ω,0) ν₂∂_ze₂ⁿ(ω,0) +p₂eⁿ₂(ω,0) = ν₁∂_zeⁿ₁(ω,0) +p₁e₁ⁿ(ω,0) Domaines infinis :

| −^pi(f +ω)D₂+p₁|

| −^pi(f +ω)D1+p1|

|^pi(f +ω)D₁+p₂|

| −^pi(f +ω)D2+p2| les p_j optimaux sont en général résultats de l’équioscillation

Sur l’équioscillation : Gan- der, Halpern (2006), Sur l’optimisation sans effet de Cori-

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion affines

Étude de l’effet de la turbulence

∂_tϕ_j +ifϕ_j−∂_z(ν_j∂_zϕ_j) =F_j^u+iF_j^v

Équation de Bessel

z∂_zz² u+ (2α−2βν+ 1)z∂_zu+ (β²γ²z^2β+α(α−2βν))u = 0 Solutions générale : φj =CII0(µj(ω,z)) +CKK0(µj(ω,z)) avec µ_j(ω,z) = 2

s iω+f

a²_j (a_jz+b_j)

Facteur de convergence avec des conditions d’interfaces Dirichlet-Neumann :

ρ^aff_DN(ω) = sb1

b2

˜ ρ(ω)

avec ˜ρ en terme de fonctions de Bessel : I0(µj(ω,z)),I1(µj(ω,z)), K₀(µ_j(ω,z)),K₁(µ_j(ω,z))

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion affines

Facteur de convergence instationnaire

Application au couplage océan-atmosphère Coefficients de diffusion affines

Facteur de convergence instationnaire

min ρ^cst_DN(ω)≤ρobs ≤ max ρ^cst_DN(ω)

Sophie THERY (UGA, LJK, AIRSEA) Algorithmes de Schwarz et conditions absorbantes pour le couplage océan atmosphèreCANUM, 31 mai 2018 19 / 23