PARTIE I : EXERCICES
corrig´ e
1. Les fonction ψn sont dites stationnaires car la densit´e de probabilit´e de pr´esence |ψn|2 est ind´ependante du temps. L’expression g´en´erale de la fonction d’ondeψ(x,t) s’obtient en utilisant le principe de superposition de la m´ecanique quantique et la lin´earit´e de l’´equation de Schr¨odinger. On
´ecritψ(x,t) comme combinaison lin´eaire des fonctionψn, soit :
ψ(x,t) =
∞
X
0
αnψn(x,t)
Les coefficientsαn sont complexes. La densit´e de probabilit´e de pr´esence
|ψ|2est maintenant d´ependante du temps. La fonction d’ondeψn’est pas stationnaire.
2. Pour montrer l’orthonormalit´e des fonctions propresψn, on calcule le pro- duit scalaire entre deux fonctions d’onde stationnairesψn etψm. On ob- tient :
< ψn,ψm> = Z ∞
−∞
ψ∗nψmdx
= 2
ae~i(En−Em)t Z a
0
sin(nπx/a)sin(mπx/a)dx
= 1
ae~i(En−Em)t Z a
0
cos((n−m)πx/a)dx− Z a
0
cos((n+m)πx/a)dx
On remarque que la seconde int´egrale est toujours nulle carn+m n’est jamais nul. Quant `a la premi`ere, elle est nulle sin6=m, et vautasin=m.
Ceci permet d’´ecrire :
< ψn,ψm>=δnm
Les fonctions propres forment donc une base orthonorm´ee dans l’espace des fonctions d’onde. Les coefficientsαn peuvent donc ˆetre ´ecrits sous la forme :
αn=< ψ,ψn >
3. La position et l’impulsion moyennes de la particule dans l’´etat ψn sont obtenues en int´egration les quantit´es suivantes :
< x >=
Z ∞
−∞
ψ∗nxψndx=2 a
Z a
0
sin2(nπx/a)xdx=a/2
< p >=
Z ∞
−∞
ψ∗n~/i(dψn/dx)dx= nh ia2
Z a
0
sin(nπx/a)cos(nπx/a)dx= 0
1
L’´ecart type est calcul´e sous la formeδx=< x2 >−< x >2 et ∆p=<
p2>−< p >2. pour cela, on ´evalue :
< x2>=
Z ∞
−∞
ψn∗x2ψndx= 2 a
Z a
0
sin2(nπx/a)x2dx=a2 1
3 − 1 2π2n2
< p2>=− Z ∞
−∞
ψ∗n~2(d2ψn/dx2)dx=h2n2 2a3
Z a
0
sin2(nπx/a)dx= π2~2n2 a2 Le produit des ´ecarts types donne :
∆x∆p=nπ~ r 1
12− 1 2π2n2
On peut constater que ce produit est toujours sup´erieur `a~, conform´ement
`
a la relation d’incertitude de Heisenberg.
2
