ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL

ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL

Roland FORTUNIER

Centre Micro-électronique de Provence "Georges Charpak"

Avenue des anémones 13541 - GARDANNE

2

Table des matières

Introduction . . . 7

Chapitre 1. Notions de base . . . 9

1.1. Espace vectorielEet espace dualE^∗ . . . 9

1.2. Covariance et contravariance . . . 10

1.3. Cas pré-euclidien et euclidien : identification deEetE^∗ . . . 11

1.4. Le tenseur métrique . . . 12

Chapitre 2. Algèbre tensorielle . . . 13

2.1. Les tenseurs pré-euclidiens . . . 13

2.2. Composantes d’un tenseur . . . 14

2.3. Opérations sur les tenseurs . . . 15

2.4. Notions d’algèbre extérieure . . . 15

Chapitre 3. Géométrie différentielle . . . 17

3.1. Repère naturel . . . 17

3.2. Symboles de christoffel . . . 18

3.3. Différentielle absolue, dérivée covariante . . . 19

3.4. Les tenseurs de courbure et de torsion . . . 20

Chapitre 4. Expression de quelques opérateurs . . . 23

4.1. Accélération d’un point . . . 23

4.2. Gradient . . . 24

4.3. Divergence . . . 24

4.4. Rotationel . . . 25

4.5. Laplacien . . . 25

Annexes . . . . 25

A. Coordonnées cylindriques . . . 27

B. Coordonnées sphériques . . . 31

Bibliographie . . . . 35

5

6

Introduction

En 1900, Ricci et Levi-Civita ont donné le premier exposé systématique relatif au calcul tensoriel. Dans cet ouvrage, les auteurs ont attiré l’attention des mathématiciens et des physiciens sur un certain nombre d’applications de cette théo- rie mathématique. Depuis, l’apparition de la théorie de la relativité, qui n’a été possible que grâce à l’existence préalable du calcul tensoriel, lui a fait réaliser par contrecoup d’immenses progrès. Ce calcul est devenu l’un des instruments essentiels de toute la physique théorique moderne.

L’étude du calcul tensoriel peut être réalisée au sein d’un cadre mathématique formel, à l’aide de définitions et de démonstrations plus ou moins compliquées. Mais le calcul tensoriel est aussi un outil très pratique pour l’écriture et l’étude des équations servant à décrire des phénomènes physiques. En effet, les lois physiques ne sont valables que si elles sont indépendantes de tout système de coordonnées particulier utilisé pour les représenter mathématiquement. Il est ainsi très commode d’utiliser l’analyse tensorielle en relativité générale, en géométrie différentielle, en mécanique, en thermodynamique, et dans de nombreuses autres branches de la science ou de la technologie, et il n’est pas nécessaire pour cela de connaître l’ensemble des fondements mathématiques de la théorie.

Dans ce document, nous avons choisi de traiter l’analyse tensorielle comme un outil de description simple et concis des lois physiques que l’ingénieur aura sans doute à connaître et à utiliser au cours de sa vie professionnelle. Le premier chapitre est consacré à la définition des notions élémentaires nécessaires à la compréhension du calcul tensoriel. Il donne le cadre mathématique, volontairement restreint, dans lequel se place ce document. Ensuite, nous définissons dans le second chapitre les tenseurs, leurs composantes, et les différentes opérations classiques qui y sont associées. Quelques notions d’algèbre extérieure sont également fournies. Dans le troisième chapitre, nous utilisons le calcul tensoriel pour introduire la géométrie différentielle, qui concrétise cet outil. Enfin, dans le quatrième chapitre, quelques opérateurs différentiels sont introduits dans un cadre tensoriel. Ces opérateurs sont à la base de la plupart des lois physiques. Ils sont explicités dans les annexes A et B pour le cas de systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques.

Le cadre théorique de ce document a été réalisé à l’aide des document [LIC 87, RIE 85]. Le lecteur pourra également trouver des applications du calcul tensoriel dans [HIL 78, FOR 96] pour la mécanique et la déformation plastique, ainsi que dans [HEI 73] pour la cosmologie. Enfin, de nombreux exercices résolus se trouvent dans [MUR 73].

7

8

Chapitre 1

Notions de base

1.1. Espace vectorielEet espace dualE^∗

Dans l’ensemble de ce document, nous considérons un espace vectorielEde dimensionNsur un corpsK, dont les vecteurs de base sont notésai. D’une façon générale, les éléments deEseront notés en caractère gras ("vecteurs"), pour les différencier des éléments deK ("scalaires"). Un élémentxdeE se décomposera donc sur la base desaisous la forme de composantesxⁱtelles quex=x¹a1+x²a2+. . .+x^NaN.

Nous utiliserons donc fréquemment des sommes sur des indices variant de1à la dimensionNde l’espace considéré.

Pour simplifier les notations, ces sommes seront rendues implicites lorsque, dans un produit ou sur un seul terme, le même indice apparaîtra à la fois en position inférieure et supérieure. Par exemple, la décomposition d’un élémentxde E sur la base desa_is’écrira de façon condensée sous la formex = xⁱa_i. De même, en notantA^j_i les termes d’une matrice, les composantesyⁱde lélément deEissu du produit de cette matrice par un élémentxdeE, et la trace de cette matrice, s’écriront successivement :

yⁱ=Aⁱ_jx^j=Aⁱ₁x¹+. . .+Aⁱ_Nx^N

Aⁱ_i=A¹₁+. . .+A^N_N (1.1)

Il s’agit de la convention de sommation dite d’Einstein.

Souvent, cette convention de sommation est étendue à tous les indices présents dans un produit ou sur un seul terme, quelle que soit leur position (inférieure ou supérieure). Dans ce document, nous n’effectuerons pas cette extension. Nous verrons en effet que la signification mathématique d’un indice dépend de sa position.

La première notion fondamentale utile en calcul tensoriel est celle d’espace vectoriel dualE^∗, issue de l’analyse vectorielle. Pour simplifier, nous citerons simplement la définition deE^∗. Il s’agit de l’ensemble des formes linéairesu deEdansK, qui satisfont les conditions :

∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈K,

u(x+y) =u(x) +u(y)

u(λx) =λu(x) (1.2)

Dans la suite, les éléments deE^∗seront différenciés des éléments deEpar un "trait supérieur".

Considérons maintenant un certain nombre d’éléments de l’espaceE^∗définis sous la forme :

∀x∈E,aⁱ(x) =xⁱsix=xⁱai (1.3)

9

On peut remarquer sur l’équation précédente que les élémentsaⁱde l’espaceE^∗sont associés aux élémentsaide E. En particulier, ils sont au nombre deNet satisfont la relation :

a^j(ai) =δ_i^j=

1sii=j

0sii6=j (1.4)

Les élémentsaⁱforment une base deE^∗. Pour démontrer cela, nous vérifions qu’ils forment dansE^∗:

– une famille libre, en considérant une combinaison linéaire nulleλiaⁱ, où les λi sont des éléments du corpsK.

L’image des vecteurs de baseajdeEpar cette combinaison linéaire est donc également nulle, et on peut écrire :

λ_iaⁱ(a_j) =λ_iδⁱ_j=λ_j = 0 (1.5)

– une famille génératrice, en écrivant pour tout élémentudeE^∗:

∀x∈E,u(x) =u(xⁱa_i) =xⁱu(a_i) =u(a_i)aⁱ(x) =u_iaⁱ(x) (1.6) ce qui montre que les composantes deu sur la base desaⁱ sont les images paru des vecteurs de baseai de E (ui=u(ai)).

La base desaⁱest souvent appelée "base duale" desai. Elle est constituée deN termes, ce qui montre queE^∗est de dimensionN.

1.2. Covariance et contravariance

Nous considérons maintenant dansEdeux systèmes de vecteurs de baseai etbj, qui se déduisent l’un de l’autre par une combinaison linéaire (bj=B_jⁱaietai=A^j_ibj, où les termesB_i^jetA^j_i forment des matrices inverses l’une de l’autre). Les bases duales associées à ces deux systèmes se déduisent alors l’une de l’autre par des relations analogues, mais en inversant les deux matrices mises en jeu. On obtientb^j =A^j_iaⁱetaⁱ =B_jⁱb^j. Ceci se montre facilement par exemple en écrivant l’image parb^jd’un élémentxdeEsous la forme :

b^j(x) =b^j(xⁱa_i) =b^j(a_i)xⁱ=b^j(A^k_ib_k)xⁱ

=A^k_ib^j(b_k)xⁱ=A^k_iδ_k^jxⁱ=A^j_ixⁱ=A^j_iaⁱ(x) (1.7)

Considérons maintenant un élément quelconqueudeEetudeE^∗. Notonsxⁱetyⁱles composantes deudans les deux systèmes de base (u=xⁱa_i=y^jb_j). Notons maintenantf_ietg_iles composantes deudans ces deux systèmes de base (u=fiaⁱ=gjb^j). A l’aide des relations précédentes, on montre alors facilement que l’on a :

xⁱ=B_jⁱy^j y^j =A^j_ixⁱ et

f_i=A^j_ig_j

g_j=Bⁱ_jf_i (1.8)

On remarque sur l’équation précédente que les composantesf_i et g_j de u évoluent de la même façon (dans le même "sens") que les vecteurs de base deE. On dit qu’elles évoluent de façon covariante par rapport à ces vecteurs.

Inversement, les composantesxⁱety^j deuévoluent de façon inverse (dans le sens "inverse") des vecteurs de base de E. On dit qu’elles évoluent de façon contravariante par rapport à ces vecteurs.

Notions de base 11

1.3. Cas pré-euclidien et euclidien : identification deEetE^∗

Lorsque E est un espace pré-euclidien, il existe dans cet espace une loi de composition, appelée "produit scalaire", qui à tout couple d’élémentsxetydeE fait correspondre un élément du corpsK(le "scalaire"), que nous noterons x.y. Ce produit scalaire satisfait de plus les conditions suivantes :

–∀x∈E,∀y∈E,x.y=y.x

–∀λ∈E,∀x∈E,∀y∈E,(λx).y=x.(λy) =λ(x.y) –∀x∈E,∀y∈E,∀z∈E,x.(y+z) =x.y+x.z – Si∀x∈E,x.y= 0, alorsy=0

Le caractère pré-euclidien deEa une conséquence importante surE^∗. En effet, chaque élément de baseaⁱdeE^∗ est une forme linéaire deEdansK. On peut donc écrire :

∀x∈E,aⁱ(x) =aⁱ.x (1.9)

Pour obtenir lesaⁱ, il suffit d’utiliser la définition desaⁱpour écrire :

aⁱ.aj=δⁱ_j (1.10)

Lesaⁱsont donc les éléments deEorthogonaux aux vecteursa_i. Il s’en suit que lesaⁱforment une base deE.

Plus généralement, l’image de tout élémentxdeEpar un élémentudeE^∗peut être écrite sous la formeu(x) = u.x. En effet, on a :

u(x) =fiaⁱ(x) =fiaⁱ.x= (fiaⁱ).x (1.11) Les composantesfideudansE^∗sont celles deudansE, relativement à la base desaⁱ(on a doncu=fiaⁱ). On peut donc identifier tout élémentudeE^∗avec son vecteur associéudeE, et donc ne considérer qu’un seul espaceE.

Dans un espace vectoriel pré-euclidienE, la base desa_iest dite "covariante" et celle desaⁱest dite "contravariante".

Un vecteur quelconque u de E aura donc des composantes dans ces deux bases. Pour simplifier les notations, les composantesf_isont souvent notéesx_iet on peut écrire :

u=xⁱai

u=xiaⁱ et

xi=u.ai

xⁱ=u.aⁱ (1.12)

Les composantesxⁱdeusont dites "contravariantes", tandis que les composantesxi(i.e.fi) sont dites "covariantes".

La figure 1.1 illustre ce résultat dans le cas d’un espace euclidien de dimension 2.

Les espaces euclidiens sont des espaces pré-euclidiens sur le corps des réels, où la dernière condition satisfaite par le produit scalaire est remplacée par la suivante :

– Six6=0, alorsx.x>0

Il est alors possible de définir une norme sur cet espace vectoriel sous la forme :

∀x∈E,kxk=√

x.x (1.13)

Figure 1.1. Covariance et contravariance dans un espace de dimension 2

1.4. Le tenseur métrique

Dans un espace pré-euclidienE, le produit scalaire entre deux vecteursxety, de composantes contravariantesxⁱet yⁱ, et covariantesxietyi, par rapport à des vecteurs de baseaietaⁱ, s’écrit sous la forme :

∀x∈E,∀y∈E,x.y=g^j_ixⁱyj =gⁱ_jxiy^j =gijxⁱy^j=g^ijxiyj (1.14)

avec :







g_ij=a_i.a_j =a_j.a_i=g_ji g^ij =aⁱ.a^j=a^j.aⁱ=g^ji

g^j_i =ai.a^j =δ_i^j=δⁱ_j=aⁱ.aj=g_jⁱ

(1.15)

Les termesgij, g^ij,g_i^j = δ^j_i etgⁱ_j = δⁱ_j forment les composantes d’un tenseur symétrique appelé "tenseur mé- trique" ou "tenseur fondamental", qui est d’une grande importance en calcul tensoriel. En effet, il permet de calculer le produit scalaire de deux vecteurs quelconques. On peut d’ailleurs remarquer que les composantes contravariantesg^ij sont obtenues en "inversant" la matrice formée par lesgij, tandis que les composantes "mixtes"g_i^j forment la matrice identité.

Chapitre 2

Algèbre tensorielle

2.1. Les tenseurs pré-euclidiens

Les tenseurs sont construits sur la base d’une opération appelée "produit tensoriel". Par exemple, siEetFsont deux espaces vectoriels de dimensionN etPrespectivement, sur un même corpsK, on définit leur produit tensorielE⊗F de la façon suivante. Chaque élément deE⊗F peut être écrit sous la formeu⊗v, oùuetvsont des vecteurs deEet F respectivement, l’opération jouissant des propriétés suivantes :

–

∀u∈E,∀v1∈F,∀v2∈F,u⊗(v1+v2) =u⊗v1+u⊗v2

∀u1∈E,∀u2∈E,∀v∈F,(u1+u2)⊗v=u1⊗v+u2⊗v –∀λ∈K,∀u∈E,∀v∈F, λ(u⊗v) =λu⊗v=u⊗λv

– SiN vecteursaiconstituent une base deE etP vecteursbj une base deF, alors lesN ×P vecteursai⊗bj

constituent une base deE⊗F.

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels est également un espace vectoriel. On peut donc à son tour le mul- tiplier (de façon tensorielle) par un troisième espace vectorielG, et on obtiendra l’espace vectoriel(E⊗F)⊗G. En constatant que l’opérateur⊗est associatif, on peut noter l’espace finalE⊗F ⊗G. D’une façon générale, on appelle tenseur construit sur les espaces E,F,G, ... tout élément de l’espace vectorielE⊗F ⊗G⊗... Dans ce qui suit, nous nous limiterons au cas où l’espace vectoriel est engendré uniquement par un espaceEet son dualE^∗, tous deux éventuellement multipliés plusieurs fois entre eux. Dans ce cas les éléments de l’espace vectoriel engendré sont appelés tenseurs affines.

Considérons par exemple un élémentT de l’espace vectorielE ⊗E^∗. Si les vecteurs ai et a^j constituent des bases respectives deEetE^∗, alors les composantes deT dans l’espace vectorielE⊗E^∗ seront notéesT_jⁱet on aura T = T_jⁱai⊗a^j. Il est évident queT aura des équivalents dans les espacesE⊗E,E^∗ ⊗E, et E^∗⊗E^∗, mais les notations dans ce cas deviennent vite lourdes. Or dans la plupart des applications, l’espace vectorielEest pré-euclidien, de sorte que l’on identifieEetE^∗. Il s’en suit que l’on peut identifierT et ses équivalents. Dans la suite, nous nous limiterons au cas d’un espace vectoriel pré-euclidienE.

Les tenseurs affines définis dans des espaces vectoriels issus de produits tensoriels (successifs ou non) entre un espace vectoriel pré-euclidienEet son dual (identifié à E) sont appelés tenseurs pré-euclidiens. En notanta^jles vecteurs de la base duale desa_i, on peut alors écrire :

∀T ∈E⊗E,T =T^ija_i⊗a_j =T_ijaⁱ⊗a^j=T_i^jaⁱ⊗a_j =T_jⁱa_i⊗a^j (2.1)

Ceci permet de définir l’ordre d’un tenseur (nombre d’indices sur les composantes), ainsi que le type de ses compo- santes (voir paragraphe suivant).

13

2.2. Composantes d’un tenseur

Nous avons vu que les composantes d’un vecteurudeEexprimées par rapport à deux systèmes de vecteurs de base a_i(de duala^j) etb_i(de dualb^j) se déduisaient les unes des autres par des combinaisons linéaires faisant intervenir une matrice ou son inverse suivant leur caractère covariant ou contravariant. D’une façon plus générale, on peut définir des tenseurs d’ordre quelconque qui se transforment de façon mixte (covariante et contravariante). Par exemple, X_ij^klm et Y_ij^klmsont les composantes trois fois contravariantes et deux fois covariantes d’un même tenseurTd’ordre 5, exprimées respectivement par rapport aux vecteurs de basea_ietb_i. Ces composantes respectent donc la relation suivante :

T =X_ij^klmaⁱ⊗a^j⊗ak⊗al⊗am=Y_ij^klmbⁱ⊗b^j⊗bk⊗bl⊗bm (2.2) et se déduisent les unes des autres sous la forme :

Y_pq^rst=Aⁱ_pA^j_qB^r_kB_l^sB_m^tX_ij^klm (2.3)

Un tenseur d’ordre zéro est un scalaire invariant par changement de système de coordonnées. Un tenseur est dit symétrique par rapport à deux indices covariants ou deux indices contravariants si ses composantes restent inchangées dans une permutation des deux indices. Il sera dit antisymétrique par rapport à ces indices si ses composantes changent de signe dans une permutation.

Le tenseur métrique permet de relier entre elles les différentes composantes d’un tenseur. En effet,la multiplication parg^ijpeut être interprétée de la façon suivante : poseri=j(ouj=i) dans tout ce qui suit et élever l’indice. De même nous pouvons donner à la multiplication pargijla signification suivante : poseri=j(ouj=i) dans tout ce qui suit et abaisser l’indice. Par exemple, les composantes covariantes du tenseurY de l’équation précédente sont obtenues sous la forme :

Ypqrst=grigsjgtkY_pq^ijk (2.4)

Il existe enfin pour les tenseurs un autre type de composantes, largement utilisé en physique, dans les espaces eu- clidiens. Ces composantes sont d’ailleurs appelées "composantes physiques". Ce sont les projections du tenseur sur les vecteurs de base de l’espace. Nous avons donc pour un vecteurules composantes physiquesuI suivantes, en fonction de ses composantes covariantes et contravariantes, et de la métrique :

u_I =u. ai

kaik = ui

√g_ii =giju^j

√g_ii (2.5)

De même, pour un tenseurAd’ordre 2, les composantes physiquesAIJs’obtiennent de la façon suivante :

AIJ =A: ai⊗aj

ka_i⊗a_jk = Aij

√g_iig_jj = gikgjlA^kl

√g_iig_jj (2.6)

Dans le cas d’une base orthogonale, les composantes de la métriques forment une matrice diagonale, ce qui permet de simplifier les relations précédentes. Dans un système orthonormé, les composantes du tenseur métrique coïncident toutes avec la matrice identité. Il s’en suit que tous les types de composantes d’un tenseur sont identiques. Dans ce cas, les indices sont tous placés "en bas" en ne considérant que les composantes covariantes des tenseurs. En calcul matriciel, ceci est couramment utilisé. La convention de sommation d’Einstein est alors étendue aux indices répétés en même position (et non en haut et en bas comme c’est normalement le cas).

Algèbre tensorielle 15

2.3. Opérations sur les tenseurs

Considérons deux tenseursX etY du même ordre. Alors, leur sommeZ sera un tenseur du même ordre dont les composantes sont la somme des composantes correspondantes de X etY. Toutefois, il convient de sommer les composantes de même type uniquement. De même, la soustraction de deux tenseursXetY donne un tenseur dont les composantes sont obtenues en soustrayant celles deXetY.

Le produit de deux tenseursX etY se fait également en multipliant les composantes. Par contre, dans ce cas, le tenseurZ =X⊗Y obtenu a un ordre égal à la somme des ordres deXetY. De plus, le produit de composantes de types différents peut être réalisé. Notons enfin que l’on ne peut pas écrire n’importe quel tenseur comme le produit de deux tenseurs d’ordres inférieurs. Pour cette raison, la division des tenseurs n’est pas toujours possible.

Si on pose l’égalité entre un indice contravariant et un indice covariant des composantes d’un même tenseur, le résultat indique qu’on doit faire une sommation sur les indices égaux d’après la convention d’Einstein. La somme résultante est la composante d’un tenseur d’ordreN −2oùN est l’ordre du tenseur initial. Le procédé s’appelle une contraction. Par exemple, dans un tenseur X d’ordre 5, si on applique une contraction à ses composantes X_ij^klm en posantm=j, on obtient les composantesY_i^kld’un nouveau tenseurY d’ordre 3. De plus, en posantl =i, on obtient les composantes contravariantesZ^kd’un tenseurZd’ordre 1.

Par un produit tensoriel de deux tenseurs suivi d’une contraction, on obtient un nouveau tenseur appelé produit contracté des tenseurs donnés. Par exemple, le produit d’un tenseurX d’ordre 3 et d’un tenseurY d’ordre 2 fournit un tenseur d’ordre 5. En effectuant une contraction d’indice, on obtient un tenseurZd’ordre 3 dont les composantes sontZ_k^il =X_k^ijY_j^l. Un exemple courant de produit contracté est le produit matriciel. Ainsi, le produit de deux matrices (d’ordre 2) donne par contraction une nouvelle matrice (d’ordre 2x2-2=2).

Parfois, on utilise un produit "doublement contracté" de deux tenseurs. Il y a alors sommation sur deux indices, et l’ordre du tenseur final est diminué de 4. C’est le cas par exemple de l’énergie de déformation élastique (scalaire ou tenseur d’ordre 0), issue du produit doublement contracté entre les tenseurs de contraintes (ordre 2) et de déformations (ordre 2).

Notons enfin qu’il existe un critère, dit "critère de tensorialité", pour vérifier si une quantité est un tenseur. Si le produit contracté de cette quantité avec un tenseur donne un tenseur, alors cette quantité est elle-même un tenseur. Ce critère est également appelé "loi du quotient" en anglais.

2.4. Notions d’algèbre extérieure

Nous nous intéressons ici aux tenseurs d’ordrep≤N (oùN est la dimension deE) complètement antisymétriques.

SoitT un tel tenseur, alors ses composantes covariantesTi₁i₂...i_pchangent de signe dès que l’on permute deux indices.

On montrent alors qu’il en est de même pour tous ses types de composantes. SiE^(p)est l’ensemble des tenseurs com- plètement antisymétriques d’ordrep≤ N, alorsE^(p)est un sous-espace vectoriel de celui des tenseurs d’ordre p sur E.

SoitTun élément deE^(p). On définit ses composantes "strictes"Tα₁α₂...α_ptelles que1≤α1< α2 < . . . < αp≤ N. On a alors :

Ti₁i₂...i_p =δ_i^α1α2...αp

1i₂...i_p Tα₁α₂...α_p (2.7)

où le termeδ^j_i^1j2...jp

1i₂...i_p est une généralisation du symbole de Kroeneckerδ^j_i qui vaut(−1)^q si les deux suitesi1i2. . . ip

etj1j2. . . jpse déduisent l’une de l’autre parqpermutations d’indices, et0sinon.

Ainsi, tous les types de composantes deT se déduisent de ses composantes strictes, qui sont au nombre de C_n^p. Par exemple, pour N = 3, les tenseurs d’ordre 2 complètement antisymétriques ont C₃² = 3composantes strictes (T12, T23, T13). On reconnaît ici les termes indépendants des matrices3x3antisymétriques.

On peut maintenant définir le "produit extérieur" entrepéléments deE(u1,u2, . . . ,up), qui est une généralisation du produit vectoriel classique, sous la forme du tenseur suivant :

u1∧u2∧. . .∧up=δ_12...p^i1i2...ipui₁⊗ui₂⊗. . .⊗ui_p (2.8)

Si on noteaj les vecteurs de base deE, etx^j_i les composantes contravariantes deui sur cette base (ui =x^j_iaj), alors le produit extérieur s’écrit :

u1∧u2∧. . .∧up =x^j_i¹

1x^j_i²

2. . . x^j_i^p

pδⁱ_12...p^1i2...ipaj₁⊗aj₂⊗. . .⊗aj_p

=x^j₁¹x^j₂². . . x^jp^paj₁∧aj₂∧. . .∧aj_p

(2.9)

On montre ainsi que lesC_n^ptenseursa_α1∧a_α2∧. . .∧a_αpforment une base de l’espace vectorielE^(p)des tenseurs complètement antisymétriques d’ordrep. Ceci permet de donner la dimension de cet espace, et d’exprimer tout tenseur T sous la forme :

T =T^α1α2...αpaα₁∧aα₂∧. . .∧aα_p

=Tα1α2...αpa^α1∧a^α2∧. . .∧a^αp (2.10)

Lors d’un changement de base dansE(passage desai auxbj avecbj =B_jⁱaietai =A^j_ibj), on constate que les composantes strictesX^α1α2...αp etY^β1β2...βpd’un même tenseurT deE^(p)dans les deux bases issues de celles deE sont reliées de la façon suivante :

T =X^α1α2...αpaα₁∧aα₂∧. . .∧aα_p=Y^β1β2...βpbβ₁∧bβ₂∧. . .∧bβ_p (2.11)

avec :

X^α1α2...αp=δ^α_j^1α2...αp

1j2...jp B_β^j1

1B_β^j2

2. . . B_β^jp

pY^β1β2...βp (2.12)

Chapitre 3

Géométrie différentielle

3.1. Repère naturel

Nous nous plaçons ici dans un espace ponctuel (affine) euclidienE0, dont l’espace vectoriel associéEest de dimen- sionN, muni d’un repère (R) d’origine O et d’un système de coordonnées curvilignes (xⁱ). Ce système de coordonnées est caractérisé parN fonctions plusieurs fois continuement différentiables reliant les coordonnées curvilignesxⁱd’un pointM à ses coordonnéesXⁱdans le repère (R). De plus, nous supposerons qu’il existe autour du pointMune relation bi-univoque entre lesxⁱet lesXⁱ. Les coordonnées curvilignes les plus utilisées en dimension 3 sont les coordonnées cylindriques (r, θ, z) et les coordonnées sphériques (r, θ, φ).

En un pointM de coordonnées curvilignesxⁱ, on définit un repère naturel de la façon suivante. L’origine du repère est fixée enM, et les vecteurs de basea_isont définis par :

dOM=aidxⁱsoitai =∂OM

∂xⁱ (3.1)

Figure 3.1. Repère naturel en un point de l’espace

Ce repère naturel est donc tangent aux lignes de coordonnées (figure 3.1). L’équation précédente montre que lesdxⁱ sont les composantes contravariantes dedOM (vecteur deE) dans le repère naturel. Il est donc possible de définir le tenseur métrique (souvent appelé "métrique") de cet espace. Les composantes covariantes de ce tenseur sont issues du repère naturel (gij =ai.aj). Ce tenseur dépend du pointM, origine du repère naturel, et donc de la position à laquelle on se trouve dans l’espaceE0.

Supposons maintenant que l’on définisse un nouveau système de coordonnées curvilignes (yⁱ). Au pointM, un nouveau repère naturel sera constitué du pointMet de vecteurs de basebi. D’après la formule de dérivation des fonctions composées, on peut écrire :

17

( ai=^∂OM_∂xi = ^∂OM_∂yj

∂y^j

∂xⁱ =^∂y_∂x^jibj=A^j_ibjavecA^j_i =^∂y_∂x^ji

b_j =^∂OM_∂yj =^∂OM_{∂xi ∂y}^∂xi_j = ^∂x_∂yjⁱa_i=B_jⁱa_iavecB_jⁱ= ^∂x_∂yjⁱ (3.2) Cette équation montre qu’un changement de coordonnées curvilignes est caractérisé par un changement de repère naturel. Les composantes d’un tenseur T changeront donc lorsque, en un point M fixé, on changera de système de coordonnées. Pour obtenir les nouvelles composantes deT dans le repère naturel défini par les bi, on utilisera donc les relations de changement de base vues précédemment. Les composantes d’un tenseurT pourront également changer lorsque l’on déplacera le pointM, tout en gardant le même système de coordonnées, puisque le repère naturel change.

On parle alors de "champs de tenseurs".

3.2. Symboles de christoffel

Nous avons vu que, en chaque pointM de l’espaceE0, on pouvait caractériser la métrique de cet espace par un tenseur de composantes covariantesgij. Ainsi, si l’on se déplace de quantitésdxⁱdans le repère naturel desai, l’élément de longueur engendrédsest obtenu par le produit scalaire, dansE, du vecteurdxde composantesdxⁱavec lui-même.

On obtient alors :

ds²=dx.dx=gijdxⁱdx^j (3.3)

Le problème fondamental en géométrie différentielle réside dans le fait que le repère naturel, et donc la métrique, dépend du pointM de l’espace. Il s’en suit que deux tenseurs définis par leurs composantes par rapport à deux repères différents (ou en deux points distincts de l’espace) ne pourront être comparés que si l’on connaît le lien entre ces deux repères. L’objectif des symboles de Christoffel est de réaliser le lien entre deux repères naturels infiniment voisinsa_iet a_i+da_i.

Lorsque l’on déplace l’origineM du repère naturel d’une quantité dx, les vecteurs de base ai de ce repère se modifient d’une quantitédai. En notant dans le repère naturel initialdxⁱ etdxi les composantes dedx(dx=dxⁱai, dxi = dx.ai) etdω^j_i etdωij celles dedai (dai = dω^j_iaj,dωij = dai.aj), les symboles de Christoffel relient ces quantités sous la forme :

dωkj= Γikjdxⁱ

dω^k_j = Γ^k_ijdxⁱ (3.4)

Les fonctionsΓikjetΓ^k_ijsont appelés symboles de Christoffel respectivement de première et de deuxième espèce. Il s’agit deN³fonctions reliées entre elles sous la formeΓ_ikj=g_klΓ^l_ij etΓ^k_ij =g^klΓ_ilj. Pour obtenir cesN³fonctions, on différencie les composantes covariantes de la métrique pour obtenir :

dgjk= ^∂g_∂x^jkidxⁱ

dgjk=dak.aj+daj.ak = (Γikj+ Γijk)dxⁱ ⇒ ∂g_jk

∂xⁱ = Γikj+ Γijk (3.5)

On peut enfin interpréter les symboles de Christoffel de seconde espèce comme les composantes dans le repère naturel des dérivées partielles secondes du vecteur positionOM:

da_i=dω_i^ja_j = Γ^j_kidx^ka_j= (Γ^j_kia_j)dx^k ⇒Γ^j_kia_j = ∂a_i

∂x^k = ∂²OM

∂x^k∂xⁱ (3.6)

Géométrie différentielle 19

La symétrie des dérivées secondes croisées du vecteurOM (qui sera discutée lors de la définition du tenseur de torsion) implique les relations de symétrieΓikj= ΓjkietΓ^l_ij = Γ^l_ji, qui permettent d’écrire par permutation circulaire des indices les relations suivantes :







Γkij+ Γikj=^∂g_∂x^jki

Γikj+ Γjik=^∂g_∂x^kij

Γ_jik+ Γ_kji=^∂g_∂x^ij_k

(3.7)

En effectuant dans l’équation précédente la somme des deux premières relations moins la dernière, on obtient la définition des termesΓikj. On peut finalement écrire l’expression des symboles de Christoffel de première et de seconde espèce sous la forme :

Γikj= ¹₂(^∂g_∂x^ikj +^∂g_∂x^jki −^∂g_∂x^ijk) Γ^k_ij=g^klΓilj

(3.8)

On remarque sur les équations précédentes que les symboles de Christoffel peuvent être exprimés directement en fonction des variations des composantes du tenseur métrique le long des lignes de coordonnées.

3.3. Différentielle absolue, dérivée covariante

Considérons un vecteur quelconqueudéfini par ses composantes contravariantesuⁱdans le repère naturel desai

au point M. Lorsque l’on va se déplacer d’un quantité infinitésimale sur le système de coordonnées curvilignes, les composantes deuvont être modifiées d’une quantitéduⁱ, mais comme le repère naturel change également, un terme (souvent appelé "convectif") va venir s’ajouter à cette variation pour obtenir :

du=du^jaj+u^jdaj (3.9)

Le dernier terme de cette équation est appelé "convectif". Il est dû à la variation du repère naturel au cours du déplacement dans l’espace. Il est illustré sur la figure 3.2, où un vecteuruest simplement transporté dans le système de coordonnées. On n’a donc pas de variation de ses coordonnées dans le repère initial (duⁱ = 0), mais ses nouvelles composantes (dans le nouveau repère naturel) sont tout de même modifiées.

Figure 3.2. Transport d’un vecteur en coordonnées curvilignes

En utilisant les définitions précédentes, les composantes contravariantes du vecteurdupeuvent être écrites sous la forme :

du= (∆u^k)akavec∆u^k=du^k+u^jdω^k_j (3.10) On donne à∆u^k le nom de "différentielle absolue" deu^k. Il s’agit des composantes contravariantes du tenseurdu, ce qui n’est pas le cas pour les termesdu^k. Par abus de language, on dit souvent queduest la différentielle absolue de u. En introduisant maintenant les dérivées partielles par rapport aux coordonnées curvilignesxⁱ, on peut écrire :

∆u^k=u^k_,idxⁱavecu^k_,i= ∂u^k

∂xⁱ + Γ^k_iju^j (3.11)

Les termesu^k_,isont les composantes mixte d’un tenseur appelé "dérivée covariante" deu. Siuavait été donné par ses composantes covariantesuk, alors le même raisonnement nous aurait conduit à définir la dérivée covariante deupar rapport à ses composantes covariantes. On peut résumer ces résultats par les formules suivantes :

u^k_,i= ^∂u_∂x^k_i + Γ^k_iju^j

u_k,i=^∂u_∂x^k_i −Γ^j_kiu_j (3.12)

D’une façon plus générale, on définit la dérivée covariante d’un tenseur d’ordre quelconqueT par celles de ses composantes. Par exemple, siT est d’ordre 5, sa dérivée covariante sera d’ordre 6. Ses composantes mixtes (4 fois covariantes et 2 fois contravariantes) seront données par :

T_ijk,l^mn =







∂T_ijk^mn

∂x^l

−Γ^r_ilT_rjk^mn−Γ^r_jlT_irk^mn−Γ^r_klT_ijr^mn +Γ^m_lrT_ijk^rn+ Γⁿ_lrT_ijk^mr

(3.13)

En applicant par exemple ces formules au tenseur métrique, et en utilisant les relations précédentes, on obtient :

gij,k= ∂g_ij

∂x^k −Γ^l_ikglj−Γ^l_kjgli=∂g_ij

∂x^k −(Γjik+ Γkji) = 0 (3.14) La différentielle absolue du tenseur métrique est donc nulle. Ce résultat est connu sous la nom de "théorème de Ricci".

3.4. Les tenseurs de courbure et de torsion

La dérivée covariante peut être calculée sur tout tenseur, et donc en particulier sur des tenseurs eux-même dérivée covariante. En utilisant les relations précédentes, on peut relier la différence entre les dérivées covariantes secondes croisées d’un vecteur à ce vecteur sous la forme :

uj,kl−uj,lk=Rⁿ_jklunavecRⁿ_jkl= Γ^m_jlΓⁿ_mk−Γ^m_jkΓⁿ_ml+∂Γⁿ_jl

∂x^k −∂Γⁿ_jk

∂x^l (3.15)

Les termesRⁿ_jklsont les composantes d’un tenseur. En effet, d’après cette équation, leur produit contracté avec un tenseur d’ordre1donne une différence de tenseurs, et donc un tenseur. Le tenseurRainsi obtenu est d’ordre 4. Il est appelé "tenseur de Riemann-Christoffel" ou "tenseur de courbure". Ses composantes covariantes sontRijkl=ginRⁿ_jkl. On montre qu’elles sont :

Géométrie différentielle 21

– antisymétriques en(k, l):Rijkl=−Rijlk

– antisymétriques en(i, j):R_ijkl=−R_jikl – symetriques en(i, j),(k, l):Rijkl =Rklij

Par exemple, en dimension 2, ce tenseur ne possède qu’une seule composante non nulle :R₁₂₁₂. De plus, les pro- priétés preécédentes montrent que l’on peut caractériser ce tenseur à l’aide des seules composantesR_jk=g^ilR_ijkl, qui forment un tenseur symétrique d’ordre 2 appelé "tenseur de Ricci". Enfin, la trace de ce tenseur est appelée "courbure scalaire".

Dans un espace euclidien, le tenseur de Riemann-Christoffel est nul. En effet, dans ce type d’espace, le changement de repère naturel ne dépend pas du chemin suivi. Ceci signifie que, si en chaque point d’un espace une métrique (c’est à dire des composantesg_ij) peut être choisie de façon arbitraire, celle-ci ne correspondra pas forcément à celle d’un espace euclidien. Pour cela, il faudra qu’elle annule le tenseur de Riemann-Christoffel. On peut maintenant se poser la question : si le tenseur de Riemann-Christoffel est nul, l’espace est-il euclidien ? En fait, l’espace n’est alors que "localement"

euclidien, puisque ce tenseur n’est défini qu’autour d’un pointMde l’espace. Plus généralement, si ce tenseur n’est pas nul, alors l’espace est dit "localement" non-euclidien. Nous entrons alors dans le domaine de la géométrie riemannienne (espaces de Riemann), géométrie par exemple largement utilisée en cosmologie [HEI 73].

Les symboles de Christoffel ont été définis comme des fonctionsΓikjetΓ^k_ij. Toutefois, ces fonctions ne sont pas les composantes d’un tenseur. Considérons en effet deux repères naturels en un pointM de l’espace, avec des vecteurs de basea_ietb_itels queb_i=B^j_ia_jeta_i=A^j_ib_j. On montre alors facilement que :

db_i= Ω^j_ib_j dai=ω^j_iaj

⇒Ω^j_i =B_i^kA^j_lω_k^l +dB_i^kA^j_k (3.16)

En notant maintenantxⁱles coordonnées curvilignes associées auxai, etyⁱcelles associées auxbi, etΓ^k_ijetΠ^k_ijles symboles de Christoffel associés respectivement à ces deux systèmes de coordonnées, on obtient la relation suivante de transformation des symboles de Christoffel par changement de coordonnées :

Π^k_ij =A^l_iA^m_j B_n^kΓⁿ_lm+B_n^k ∂²xⁿ

∂yⁱ∂y^j (3.17)

Le dernier terme de cette équation montre que les symboles de Christoffel n’ont pas de caractère tensoriel. Par contre, ce dernier terme est symétrique en(i, j). Il s’en suit que les termes :

τ_ij^k = Γ^k_ij−Γ^k_ji (3.18)

forment les composantes d’un tenseurT du troisième ordre, antisymétrique en(i, j), appelé "tenseur de torsion" ou

"tenseur de Cartan". Ce tenseur est par exemple utilisé dans la description des défauts linéaires (dislocations) dans les cristaux [FOR 96].

Nous avions précédemment relié les symboles de Christoffel aux dérivées secondes du vecteur positionOM. Il apparaît que la nullité du tenseur de torsion equivaut à la permutabilité des dérivées partielles de fonctions vectorielles (telles que le vecteur position). Elle conduit à la symétrie des symboles de Christoffel, et à leur expression explicite en fonction des variations de la métrique le long des lignes de coordonnées.

22

Chapitre 4

Expression de quelques opérateurs

4.1. Accélération d’un point

Nous considérons ici un pointMde l’espace dont la trajectoire est paramétrée part(que nous interprèterons comme le temps). Cette trajectoire est donc donnée par l’évolution au cours du temps des coordonnées du pointM, que nous no- teronsuⁱ(t). La vitesse instantanée du point sera un vecteurv, de composantes contravariantesvⁱ= ^du_dtⁱ. L’accélération instantanéeγdu pointM sera également un vecteur, obtenu comme la dérivée du vecteur vitesse, soitγ= ^dv_dt. Comme le vecteurdv a pour composantes contravariantes les différencielles absolues desvⁱ, alors le vecteur accélération aura comme composantes contravariantes :

γⁱ= ∆vⁱ dt = dvⁱ

dt + Γⁱ_klv^ldu^k

dt =d²uⁱ

dt² + Γⁱ_kldu^k dt

du^l

dt (4.1)

Considérons maintenant les trajectoires des pointM d’accélération nulle. Ces trajectoires sont communément ap- pelées des "droites". En fait, les trajectoires d’accélération nulle sont données d’une façon générale par le système d’équations différentielles suivant, issu de l’équation précédente :

∀i= 1, ..., N,d²uⁱ

dt² + Γⁱ_kldu^k dt

du^l

dt = 0 (4.2)

Elles sont appelées "géodésiques". Dans un espace dont la métrique est constante, c’est-à-dire ne dépend pas du pointMconsidéré, alors les symboles de Christoffel sont par définition nuls, est on retombe sur l’équation d’une droite.

Notons enfin que la distancedqui sépare deux points situés sur une courbe paramétréexⁱ =xⁱ(t), aux abscissest₁et t₂, est donnée par :

d= Z t₂

t₁

r gij

duⁱ dt

du^j

dt dt (4.3)

On montre que les géodésiques rendent extrémale cette distance (minimum ou maximum). Par exemple, la surface d’une sphère peut être considérée comme un espace de dimension 2, dans lequel on peut définir un système de coordon- nées curvilignes (lattitude et longitude), et dans lequel les grands cercles joignent deux point avec une distance minimum ou maximum. Ces grands cercles sont des courbes paramétrées qui satisfont le système d’équations différentielles pré- cédent. Ce sont les géodésiques de cet espace.

23

4.2. Gradient

Le gradient d’un tenseurTest à son tour un tenseur, dont les composantes sont obtenues comme la dérivée covariante des composantes deT. Le gradient d’un tenseur d’ordreN est donc un tenseur d’ordreN + 1. Si f est un scalaire (tenseur d’ordre 0, invariant par changement de repère), le gradient def est un tenseur d’ordre 1 (un vecteur) dont les composantes covariantes sont définies par f,i = _∂x^∂fi. Siuest un vecteur (tenseur d’ordre 1), le gradient deuest un tenseur d’ordre 2, dont les composantes covariantes et mixtes sont :

u_i,j = ∂ui

∂x^j −Γ^k_iju_ketuⁱ_,j = ∂uⁱ

∂x^j + Γⁱ_jku^k (4.4)

Le gradient est largement présent dans les disciplines scientifiques. Il sert par exemple à définir les déformations en mécanique, et les forces motrices en thermique (gradient thermique) et en chimie minérale (gradients de potentiels chimiques ou d’activité). En coordonnées orthonormées (x, y, z), on obtient par exemple :

grad(f) =







∂f

∂f∂x

∂y

∂f

∂z

(4.5)

grad(u) =







∂u_x

∂x

∂u_x

∂y

∂u_x

∂z

∂uy

∂x

∂uy

∂y

∂uy

∂z

∂uz

∂x

∂uz

∂y

∂uz

∂z





 (4.6)

4.3. Divergence

La divergence d’un tenseurT est à son tour un tenseur, dont les composantes sont obtenues par contraction de sa dérivée covariante (son gradient) par rapport à son dernier indice contravariant. La divergence d’un tenseur d’ordreN est donc un tenseur d’ordreN−1. La divergence d’un vecteuruest donc le scalaireuⁱ_,i, tandis que celle d’un tenseur Ad’ordre 2 est un vecteur dont les composantes contravarientes sontA^ij_,j. L’expression générale de la divergence d’un tenseur d’ordre 2 peut être simplifiée en utilisant le théorème de Ricci.

La divergence est largement présente dans les équations d’équilibre en mécanique, ainsi que dans les équations de conservation en thermique et en transfert de masse. Elle est principalement appliqué sur des tenseurs d’ordre 1 et 2. En coordonnées orthonormées (x, y, z), on obtient :

div(u) = ∂u_x

∂x +∂u_y

∂y +∂u_z

∂z (4.7)

div(A) =







∂Axx

∂x +^∂A_∂y^xy +^∂A_∂z^xz

∂A_yx

∂x +^∂A_∂y^yy +^∂A_∂z^yz

∂Azx

∂x +^∂A_∂y^zy +^∂A_∂z^zz

(4.8)

Expression de quelques opérateurs 25

4.4. Rotationel

Le rotationel appliqué sur un vecteuru(tenseur d’ordre 1) est un tenseur d’ordre 2 dont les composantes covariantes sontui,j−uj,i. Du fait de la symétrie des symboles de Christoffel de seconde espèce sur les indices covariants, les composantes covariantes du rotationel d’un vecteur s’écrivent simplement _∂x^∂ujⁱ − ^∂u_∂x^ji. Le rotationel d’un vecteur est un tenseur anti-symétrie. Il est présent dans les équations de Maxwell en électromagnétisme. Il peut être écrit sous la forme :

Rot(u) =





0 −R3 R2

R3 0 −R1

−R2 R1 0



 (4.9)

oùR₁,R₂etR₃sont les composantes d’un "vecteur rotation".

En coordonnées orthonormées (x, y, z), on obtient :







R_x=^∂u_∂y^z −^∂u_∂z^y Ry= ^∂u_∂z^x −^∂u_∂x^z Rz=^∂u_∂x^y −^∂u_∂y^x

(4.10)

4.5. Laplacien

Le laplacien est la divergence du gradient. Il est souvent noté∆. Cet opérateur conserve donc l’ordre d’un tenseur.

Appliqué sur une fonction scalairef, on obtient le scalaire∆(f) = (g^ijf_,i)_,i =g^ijf_,ji. Appliqué sur un vecteuru, on obtient un tenseur d’ordre 1 dont les composantes covariantes sontg^kju_i,jk.

Le laplacien est largement utilisé dans les équations d’équilibre ou de bilan, lorsque le comportement du matériau est linéaire. En coordonnées orthonormées (x, y, z), on obtient :

∆(f) =∂²f

∂x² +∂²f

∂y² +∂²f

∂z² (4.11)

∆(u) =







∂²ux

∂x² +^∂_∂y^2u2^x+^∂_∂z^2u2^x

∂²u_y

∂x² +^∂_∂y^2u2^y +^∂_∂z^2u2^y

∂²u_z

∂x² +^∂_∂y^2u₂^z +^∂_∂z^2u₂^z

(4.12)

26

Annexe A

Coordonnées cylindriques

Figure A.1. Système de coordonnées cylindriques

Le système de coordonnées cylindriques est un système particulier de coordonnées curvilignes défini de la façon suivante (figure A.1). Soit un espace vectorielEde dimension 3 sur le corps des réels, muni d’un système de coordonnées orthonormées (xⁱ) dans un repère (ei). Soituun vecteur deEjoignant les pointsOetM. Le système de coordonnées cylindriques(r, θ, z)est généré par un repère naturel (ai) tel que, au voisinage du pointM :

du=dx¹e₁+dx²e₂+dx³e₃=dra₁+dθa₂+dza₃ (A.1)

avec la relation suivante entre les coordonnées :







x¹=rcosθ x²=rsinθ x³=z

(A.2)

Les vecteursaiont donc comme composantes dans le repère orthonormé :

a1=

cosθ sinθ 0

,a2=

−rsinθ rcosθ 0

,a3=

0 0 1

(A.3)

ce qui donne pour la métrique :

27