Sur l Analyse Numérique de la Méthode de Schwarz Pour une Classe de Problèmes Elliptiques Non Linéaires

(1)

ﻲﻤﻠﻌﻟا ﺚﺤﺒﻟاو ﱄﺎﻌﻟا ﻢﻴﻠﻌﺘﻟا ةرازو

رﺎـﺘﺨﻣ ﻲـﺟﺎﺑ ﺔـﻌﻣﺎﺟ ﺔـﺑﺎـﻨﻋ

Université Badji Mokhtar Annaba

Badji Mokhtar University – Annaba

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

THESE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

Doctorat en Mathématiques

Option : Analyse Numérique

Sur l’Analyse Numérique de la Méthode de Schwarz Pour une Classe

de Problèmes Elliptiques Non Linéaires

Par:

ABIDA HARBI

Sous la direction de

Pr. MESSAOUD BOULBRACHENE Sultan Qaboos University - Oman

ET

Pr. MOHAMED HAIOUR U.B.M. Annaba

Devant le jury

PRESIDENT : Sissaoui Hocine Professeur U.B.M. Annaba

EXAMINATEUR : Siddiqi Abul Hasan Professeur Sharda University

EXAMINATEUR : Chibi Ahmed Salah Professeur U.B.M. Annaba

EXAMINATEUR : Ayadi Abdelhamid Professeur U.Oum El Bouaghi

Année : 2012

(2)

REMERCIEMENTS

En premier lieu et avant tout je remercie Dieu le tout puissant, de m'avoir aidé à réaliser et à terminer cette thèse.

Je voudrais exprimer ma profonde reconnaissance au directeur de thèse, le Professeur M. Boulbrachène de l'université du Sultan Qaboos ‐ Oman, de m'avoir mis sur la voie des méthodes de décomposition de domaine et spécialement la méthode de Schwarz, je voudrais le remercier également pour toutes ses directives et conseils objectifs et précieux qui m'ont amené à terminer cette thèse.

Je remercie également le Professeur M. Haiour à l'université Badji Mokhtar Annaba pour toute la documentation qu'il a mit à ma disposition et ses encouragements qui m'ont été d'un apport estimable.

Mes vifs remerciements au Professeur H.Sissaoui à l'université Badji Mokhtar Annaba pour l'honneur qu'il me fait en présidant le Jury de cette thèse.

Mes vifs remerciements également au professeur A.H.Siddiqi de Sharda University – Inde, pour l'intérêt qu'il a manifesté à mon travail.

Mes remerciements vont également au Professeur A.S.Chibi et au Dr. A.Laouar Maître de Conférence A, à l'université Badji Mokhtar Annaba, pour avoir bien voulu consacrer du temps à la lecture de cette thèse ainsi que pour leurs conseils avisées.

De même je remercie le Professeur A.Ayadi de l'université de Oum El Bouaghi,

pour avoir bien voulu accepter de faire partie du Jury.

(3)

Résumé

Le travail de cette thèse concerne l'analyse numérique de méthode de Schwarz pour une classe de problèmes elliptiques non‐linéaires.

Plus précisément, cette thèse traite de l'approximation par décomposition en sous‐domaines d'une classe d'équations aux dérivées partielles elliptiques non‐

linéaires, dans le contexte de la méthode de Schwarz.

Pour cela on considère le cas de deux sous domaines avec recouvrement, en utilisant des discrétisations indépendantes sur chaque sous‐domaine ( Nonmatching Grids ); ce type de discrétisation offre la possibilité de choisir la discrétisation la mieux adaptée à la géométrie du sous‐domaine ainsi qu'a la régularité de la solution.

Le résultat principal obtenu est l'ordre de convergence optimal entre la solution exacte et de 'EDP et le énième itéré de l'algorithme de Schwarz discret.

Mots clés: Méthode de Schwarz‐ Méthode des Eléments Finis‐ Estimation de

l’Erreur d’Approximation Ordre de convergence‐ Algorithme.

(4)

Table des Matières

1. Chapitre 1 4

1.1 Introduction…….………..………....…...5

1.2 Position du Problème Continu……….……..….10

1.2.1 Processus de Schwarz Continu………...……..………12

1.3 Discrétisation……...……….……...…………...18

1.3.1 Processus de Schwarz Discret……...……...…...………...21

2. Chapitre 2 29

2.1 Introduction.……….………...………….………....…...30

2.2 Position du Problème Continu.……….…..…..…...…..….34

2.2.1 Processus de Schwarz Continu………….………….…...……35

2.3 Discrétisation….………...……….………..……...40

2.3.1 Processus de Schwarz Discret….……....…….…...……...42

3. Chapitre 3 51

3.1 Introduction………...….52

3.2 Préliminaires………...56

3.2.1 Les Equations Linéaires Elliptiques….………....56

3.3 La Méthode Alternée de Schwarz pour les E.D.PS. Non-Linéaires...65

3.3.1 Les Suites Continues de Schwarz………..…………...67

3.3.2 Discrétisation……….………...67

3.3.3 Les Suites de Schwarz Discrètes………..68

3.4 Analyse de l’Erreur d’Approximation………69

3.4.1 Définition des deux Suites Auxiliaires de Schwarz……...…69

3.4.2 Estimation Optimale de l’Erreur d’approximation. Premier Résultat………....70

3.4.3 Estimation Optimale de l’Erreur d’approximation. Second Résultat.………...………...77

4. Chapitre 4 Essais Numériques 98

4.1 Position du Problème……….………..…….99

4.2 Les Résultats Numériques……….…….……….100

4.2.1 Première Décomposition……….……….………….100

4.2.2 Deuxième Décomposition……….……...….108

4.3 Conclusion………...……...113

(5)

Chapitre 1

(6)

5

1.1 Introduction

La méthode alternée de Schwarz a été introduite par H. A. Schwarz dans le but de résoudre les problèmes aux limites linéaires. La méthode génère une suite de sous-problèmes dont la suite de solutions converge vers la solution du problème. La littérature relative à cette méthode appliquée à des problèmes linéaires est très vaste ( [1], [7], [10] et [11] ainsi que la bibliographie qui s’y trouve). Cependant, quelques travaux seulement sont connus sur cette méthode pour les e.d.ps. non-linéaires où l’étude est portée seulement sur la convergence de l’algorithme de Schwarz continu. (cf. [1], [2], [3], [4], [5]).

Ce chapitre est consacré à l’analyse de la convergence de la méthode alternée de Schwarz pour deux sous-domaines -avec recouvrement-, appliquée à une classe de problèmes elliptiques non-linéaires, dans ses deux versions continue et discrète. Dans le cas discret, on considère que chaque sous-domaine possède sa propre discrétisation par une méthode des éléments …nis conforme: " non matching grid " dans le sens qu’un nœud ou un triangle appartenant à un sous-domaine n’appartient pas à l’autre.

L’étude de la convergence est établie dans le cas où les deux processus continu et discret de Schwarz conservent la dé…nition de base de la méthode de Schwarz dans le sens où les deux suites de sous-problèmes générées par le processus de Schwarz restent des problèmes non-linéaires. L’existence de la solution du problème initial dans les deux cas continu et discret est prouvée par une méthode de monotonie dite également la méthode des sous et sur-solutions [6].

(7)

Chapitre 1 6 On considère le problème non-linéaire suivant

8>

>>

><

>>

:

u=f(u) dans

u=g sur@

(1.1.1)

On décompose en deux sous-domaines 1 et 2 avec recouvrement, tels que

= 1[ ²

On note par @ i le bord du sous-domaine i et i = @ i \ ^j où i 6= j. L’intersection de _i et _j est supposée vide. Cette décomposition permet de dé…nir le système de deux sous-problèmes non-linéaires avec deux inconnuesu_i; i= 1;2 solutions de

8>

>>

><

>>

:

ui=f(ui) dans i

ui =uj sur i

u_i =g sur@ _i= _i:

(1.1.2)

En démarrant d’une donnée initiale continue u⁰₂ dé…nie sur ₁, la méthode alternée de Schwarz appliquée au problème(1.1.1)conduit à la résolution séquentielle des sous-problèmes non-linéaires suivants: 8n 0;

(8)

Chapitre 1 7 uⁿ⁺¹₁ 2A₁ est solution de

8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₁ =f(uⁿ⁺¹₁ ) dans ₁

uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ sur 1

uⁿ⁺¹₁ =g sur @ 1= 1

(1.1.3)

etuⁿ⁺¹₂ 2A2 est solution de 8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₂ =f(uⁿ⁺¹₂ ) dans 2

uⁿ⁺¹₂ =uⁿ⁺¹₁ sur ₂

uⁿ⁺¹₂ =g sur @ ₂= ₂:

(1.1.4)

Où l’ensembleAi est dé…ni par

Ai = ui 2Vi=C² i ; tel queu_i ui ui dans i ;

u_i etui sont respectivement la sous-solution et la sur-solution relatives au problème (1.1.2)

Notons que l’étude de la convergence géométrique des suites de Schwarz dans le cas d’une donnée initiale continue u⁰₂ a été réalisée par P. L. Lions [3], tandis que l’étude de la convergence monotone des suites de Schwarz, dans le cas où u⁰₂ =u₂;la sous- solution de (1.1.2), pour i= 2;a été réalisée par S. H. Lui [4].

On applique une discrétisation indépendante ^hⁱ;sur chaque sous-domaine et on

(9)

Chapitre 1 8

dé…nit le système discret suivant: Trouver (u_h₁; u_h₂)2V(^uh2)

h1 V(^uh1)

h2 solution de 8>

>>

><

>>

:

a₁(u_h₁; v) = (f(u_h₁); v); 8v2V_h₁:

a₂(u_h₂; v) = (f(u_h₂); v); 8v2V_h₂:

(1.1.5)

OùV_h_i est l’espace des fonctions linéaires, continues par morceaux et qui s’annulent sur la frontière @ i, relatif à la triangulation ^hⁱ:L’espace V_h^(w)

i est dé…ni, pour tout w2C i

et pour touti= 1;2

V_h^(w)

i =fv2V_h_i tel quev= _h_i(w)sur _ig: Avec _h_i est l’opérateur d’interpolation sur _i.

Soit u⁰_h

2 = _h₂ u⁰₂ = _h₂(u₂)la donnée initiale discrète.

La suite discrète de Schwarz uⁿ⁺¹_h

1 est dé…nie dans 1 telle que uⁿ⁺¹_h

1 2A ^u

n h2

h1

est solution de

a₁(uⁿ⁺¹_h

1 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

1 ; v ; 8v2V_h₁ (1.1.6) et la suite discrète de Schwarz uⁿ⁺¹_h

2 est dé…nie dans ₂ telle que uⁿ⁺¹_h

2 2 A ^u

n+1 h1

h2 est solution de

a2(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

2 ; v ; 8v2Vh2: (1.1.7) Avec

ai(uhi; v) = Z

i

ruhirvdx et

(f(uhi); v) = Z

i

f(uhi)vdx

(10)

Chapitre 1 9

Les ensembles discrets A_h_i etA_h^u^hj

i ; i6=j; sont respectivement dé…nis par A_h_i = u_h_i 2V_h_i; tel queu_h_i u_h_i u_h_i dans _i

et

A_h^u^hj

i = u_h_i 2A_h_i tel queu_h_i = _h_i u_h_j sur i

u_h_i et u_h_i sont respectivement la sous-solution discrète et la sur-solution discrète relatives au système (1.1.5).

Le but de ce chapitre est d’établir la convergence monotone du processus de Schwarz discret.

(11)

Chapitre 1 10

1.2 Position du Problème Continu

On s’intéresse au problème non-linéaire suivant 8>

>>

><

>>

:

u=f(u) dans

u=g sur @ :

(1.2.1)

On présente dans ce qui suit la dé…nition de sous et sur-solution relative au problème(1.2.1).

Dé…nition 1.11. Une fonction u 2 V est dite une sous-solution du problème (1:2:1)si

u f(u) 0 dans et u g sur @ : (1.2.2)

2: Une fonction u2V est dite une sur-solution du problème (1:2:1) si

u f(u) 0 dans et u g sur @ : (1.2.3)

On présente dans ce qui suit les hypothèses relatives à l’existence et l’unicité de la solution du problème (1.2.1):

(1) Le problème (1.2.1) admet une sous-solution u et une sur-solution u. On dé…nit l’ensemble continu

A= u2V =C² ; tel queu u u dans :

(2) La fonctionnelle f est non-linéaire et continue surA:

(3) g est une fonction positive dé…nie sur la frontière@ : (4) L’existence d’une fonction positive c(x) telle que

c(x) (u v) f(u) f(v) pour toutv u2A:

(12)

Chapitre 1 11 (5) Pour toutv < u2A;on a

F(u) F(v)<0:

Où

F(u) = f(u) u

Théorème 1.1 (cf.[6]) Sous les hypothèses énoncées ci-dessus le problème continu (1.2.1) admet une solution unique dans A.

On présente dans ce qui suit le lemme de comparaison suivant:

Lemme 1.1 (cf.[4]) Soient deux fonctions u; v 2 V positives telles que u f(u)et v f(v)dans et u v 0sur @ . Alors u v dans :

On considère un domaine borné de R² de frontière @ Lipschitzienne. On décompose en de deux sous-domaines ₁ et ₂ tels que ₁\ 2 6=;;avec les frontières respectives@ ₁ et@ ₂Lipschitziennes:On note les frontières intérieures des sous-domaines par:

i =@ _i\ j, où j6=i:

On dé…nit alors le système suivant : 8>

>>

><

>>

:

ui =f(ui) dans i

u_i=u_j sur _i

u_i=g sur @ _i= _i:

(1.2.4)

Dont la solution est

u_i=u= _i; i= 1;2:

(13)

Chapitre 1 12 Dé…nition 1.2 On dé…nit u_i (resp. u_i ) la sous-solution (resp. la sur-solution ) de (1:2:4)comme suit

8>

>>

><

>>

:

u_i f(u_i) dans i

u_i =u_j sur _i

u_i g sur @ _i= _i

(1.2.5)

(resp.)

8>

>>

><

>>

:

u_i f(u_i) dans _i

u_i=u_j sur _i

ui g sur @ i= i

(1.2.6)

On suppose que les sous-problèmes(1.2.4)admettent une sous-solutionu_iet une sur-solution u_i:On dé…nit les ensembles continus

A_i = u_i 2V_i=C² _i ; tel queu_i u_i u_i dans _i :

1.2.1 Processus de Schwarz Continu

On présente dans ce qui suit la dé…nition du processus de Schwarz continu pour deux sous-domaines, appliquée au problème(1.2.1).

Soitu⁰₂ =u₂ sur ₁, la donnée initiale continue. On dé…nit l’algorithme de Schwarz

(14)

Chapitre 1 13 continu comme suit. Pour n 0; uⁿ⁺¹₁ 2A₁ solution de

8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₁ =f(uⁿ⁺¹₁ ) dans ₁

uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ sur 1

uⁿ⁺¹₁ =g sur@ 1= 1:

(1.2.7)

Et uⁿ⁺¹₂ 2A2 solution de 8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₂ =f(uⁿ⁺¹₂ ) dans 2

uⁿ⁺¹₂ =uⁿ⁺¹₁ sur ₂

uⁿ⁺¹₂ =g sur @ ₂= ₂:

(1.2.8)

Théorème 1.2 Les deux suites continues de Schwarz sont convergentes dans C²( ) vers la solution du problème (1.2.1).

Démonstration (cf.[4]) 1. On montre par récurrence que les termes des deux suites continues de Schwarz sont des éléments deA_i. Pourn= 0;dans le sous-domaine ₁,

on a 8

>>

<

>>

:

u¹₁ =f(u¹₁) dans 1

u¹₁ =u⁰₂ sur 1

u¹₁ =g sur @ ₁= ₁:

(15)

Chapitre 1 14 Donc

u¹₁ =f(u¹₁) dans 1 etu¹₁=u⁰₂ =u₂ =u₁ sur 1: Avec

u₁ f(u₁) dans ₁:

Alors le lemme de comparaison appliqué au sous-domaine ₁ implique u₁ u¹₁ dans 1:

D’autre part

u¹₁ =f(u¹₁) dans ₁ etu¹₁=u⁰₂ =u₂ =u₁ u₁ sur ₁: Avec

u₁ f(u₁) dans ₁:

Alors le lemme de comparaison appliqué au sous-domaine 1 implique u¹₁ u₁ dans ₁:

Ainsi on obtient

u₁ u¹₁ u₁ dans ₁: Pour n= 0, sur le sous-domaine 2, on a

8>

>>

><

>>

:

u¹₂=f(u¹₂) dans ₂

u¹₂ =u¹₁ sur 2

u¹₂ =g sur@ ₂= ₂:

(16)

Chapitre 1 15 Donc

u¹₂=f(u¹₂) dans 2 etu¹₂ =u¹₁ sur 2: Comme on a prouvé que

u₁ u¹₁ u1 dans 1

donc

u₂ =u₁ u¹₂=u¹₁ u1 =u2 sur 2: Avec

u₂ f(u₂) dans 2

et

u2 f(u2) dans 2:

Alors le lemme de comparaison appliqué au sous-domaine ₂ implique

u₂ u¹₂ u₂ dans ₂:

On suppose que les inégalités qui suivent sont vraies pouri= 1;2

u_i uⁿ_i u_i dans _i;

et on démontre que

u_i uⁿ⁺¹_i u_i dans _i:

(17)

Chapitre 1 16

Comme 8

>>

<

>>

:

uⁿ⁺¹₁ =f(uⁿ⁺¹₁ ) dans ₁

uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ sur ₁

uⁿ⁺¹₁ =g sur@ 1= 1

Alors on peut écrire 8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₁ =f(uⁿ⁺¹₁ ) dans ₁

u₁=u₂ uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ u₂=u₁ sur ₁: Le lemme de comparaison implique alors

u₁ uⁿ⁺¹₁ u₁ dans ₁:

En utilisant cette dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

u₂ uⁿ⁺¹₂ u₂ dans ₂:

2. Monotonie des suites de Schwarz: On utilise le raisonnement par récurrence pour montrer que les suites de Schwarz sont monotones croissantes. Pourn= 0, sur le sous-domaine ₁, on a

u₁ u¹₁ dans 1

et

u⁰₂ =u₂ u¹₂ dans 2:

(18)

Chapitre 1 17

Comme 8

>>

<

>>

:

u²₁ =f(u²₁) dans ₁

u¹₁=u⁰₂ u²₁ =u¹₂ sur ₁

u¹₁=g sur@ 1= 1: Le lemme de comparaison implique

u¹₁ u²₁ dans 1: Ainsi on vient de trouver

u₁ u¹₁ dans ₁; u⁰₂ = u₂ u¹₂ dans ₂; u¹₁ u²₁ dans ₁: On suppose que

uⁿ₁ ¹ uⁿ₁ dans 1 etuⁿ₂ ¹ uⁿ₂ dans 2: Et on démontre

uⁿ₁ uⁿ⁺¹₁ dans ₁ etuⁿ₂ uⁿ⁺¹₂ dans ₂:

En e¤et: 8

>>

<

>>

:

uⁿ⁺¹₁ =f(uⁿ⁺¹₁ ) dans ₁

uⁿ₁ =uⁿ₂ ¹ uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ sur 1

uⁿ⁺¹₁ =g sur@ ₁= ₁:

(19)

Chapitre 1 18 Le lemme de comparaison implique alors

uⁿ₁ uⁿ⁺¹₁ dans ₁:

En utilisant la dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous- domaine on trouve

uⁿ₂ uⁿ⁺¹₂ dans 2:

3. Les résultats de 1 et 2 impliquent que pour toutn 0 et pour i= 1;2

u_i=u⁰_i ::: uⁿ_i uⁿ⁺¹_i u_i dans _i:

Ainsi les deux suites de Schwarz sont convergentes vers u_i l’unique solution de(1.2.4):

1.3 Discrétisation

On discrétise chaque sous-domaine par une méthode d’éléments …nisP₁ conforme, où les deux maillages sont incompatibles à l’intersection des deux sous-domaines, dans le sens qu’un triangle ou un nœud appartenant à l’une des discrétisation n’appartient pas à l’autre. On dé…nit alors les espaces V_h_i

Vhi = v2H₀¹( i)\C( i): v2P1 sur chaque triangle ;

correspondant ainsi que les espacesV_h^(w)

i suivants, pour tout w2C i eti= 1;2 : V_h^(w)

i =fv2Vhi tel quev= hi(w)sur ig;

où _h_i est l’opérateur d’interpolation sur i. On note par'ⁱ_s; s= 1; :::; m(hi);les fonctions de bases relatives à ^hⁱ;la triangulation sur _i.

(20)

Chapitre 1 19

Remarque 1.1 Comme les deux maillages sont incompatibles à l’intersection des deux sous-domaines, il est impossible de dé…nir le problème discret global.

On dé…nit donc le système discret pour tout i; j = 1;2, comme suit: Trouver u_h_i 2V_h^(u^hj⁾

i ; i6=j solution de

a_i(u_h_i; v) = (f(u_h_i); v); 8v2V_h_i: (1.3.1) Où

a_i(u_h_i; v) = Z

i

ru_h_irvdx et

(f(u_h_i); v) = Z

i

f(u_h_i)vdx

Dé…nition 1.3 Une matrice A est dite une M-matrice si A ¹ existe et est non-négative.

Le Principe du Maximum Discret (cf. [8], [9]): On suppose que les matrices résultantes des discrétisations des problèmes(1.2.7) et(1.2.8) sont des M-matrices.

Lemme 1.2 Soient deux fonctions discrètes u_h_i; v_h_i 2V_h_i positives telles que: 8 s= 1; :::; m(hi); a(uhi; 'ⁱ_s) f(uhi); 'ⁱ_s et a vhi; 'ⁱ_s f(vhi); 'ⁱ_s avec uhi vhi 0 sur @ _i alors u_h_i v_h_i dans _i.

Démonstration Soit

S=fx2 tel queu_h_i < v_h_ig alors

@S=fx2 tel queu_h_i =v_h_ig Donc dans l’ensembleS on a

f(u_h_i); 'ⁱ_s a u_h_i; 'ⁱ_s Z

@S

@u_h_i

@n 'ⁱ_s et f(v_h_i); 'ⁱ_s a v_h_i; 'ⁱ_s Z

@S

@v_h_i

@n 'ⁱ_s

(21)

Chapitre 1 20 Ce qui implique

(f(u_h_i); v_h_i) (f(v_h_i); u_h_i) Z

@S

@u_h_i

@n v_h_i+ Z

@S

@v_h_i

@n u_h_i = Z

@S

@v_h_i

@n

@u_h_i

@n v_h_i Alors

(u_h_iF(u_h_i); v_h_i) (v_h_iF(v_h_i); u_h_i) Z

@S

@v_h_i

@n

@u_h_i

@n v_h_i Ainsi

0<(F(u_h_i) F(v_h_i); u_h_iv_h_i) Z

@S

@v_h_i

@n

@u_h_i

@n v_h_i 0 Ce qui est une contradiction alorsS =;

Dé…nition 1.4 On dé…nit u_h_i (resp. u_h_i ) la sous-solution discrète (resp. la sur-solution discrète) relative au sous-problème (1.3.1) comme suit

8>

>>

><

>>

:

a u_h_i; 'ⁱ_s f u_h_i ; 'ⁱ_s ; 8s= 1; :::; m(h_i)

u_h

i =u_h

j sur _i

u_h_i g sur @ i= i

(1.3.2)

(resp.)

8>

>>

><

>>

:

a u_h_i; 'ⁱ_s f(u_h_i); 'ⁱ_s ; 8s= 1; :::; m(h_i)

u_h_i =u_h_j sur _i

u_h_i g sur @ i= i

(1.3.3)

(22)

Chapitre 1 21 On suppose que le sous-problème discret (1.3.1) admet une sous-solution discrète u_h_i et une sur-solution discrèteu_h_i:On dé…nit alors l’ensemble A_h_i comme suit:

A_h_i = u_h_i 2V_h_i; tel queu_h_i u_h_i u_h_i dans _i : Et pour i; j= 1;2 eti6=j;l’ensemble A_h^u^hj

i suivant:

A_h^u^hj

i = u_h_i 2A_h_i tel queu_h_i = _h_i u_h_j sur _i :

On présente dans ce qui suit la dé…nition du processus de Schwarz discret pour deux sous- domaines, appliquée au système discret (1.3.1).

1.3.1 Processus de Schwarz Discret

Soit la donnée initiale discrète

u⁰_h₂ = h2 u⁰₂ = h2(u₂):

On dé…nit le processus multiplicatif discret de Schwarz comme suit: Pour tout n 0, uⁿ⁺¹_h

1 2A ^u

n h2

h1 solution de

a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

1 ; v ; 8v2Vh1 (1.3.4) etuⁿ⁺¹_h

2 2A ^u

n+1 h1

h2 solution de a₂(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

2 ; v ; 8v2V_h₂: (1.3.5) Théorème 1.3Les deux suites discrètes de Schwarz convergent vers la solution du système (1.3.1).

Démonstration Le raisonnement est similaire à celui adopté dans le cas continu et repose sur le lemme de comparaison discret et le principe du maximum discret.

(23)

Chapitre 1 22 1. On montre par récurrence que les termes des deux suites discrètes de Schwarz sont des éléments de A_h_i:Pour n= 0, sur le sous-domaine 1, on a pour tout v2V_h₁

a₁(u¹_h₁; v) = (f(u¹_h₁); v)

et

u¹_h₁ =u⁰_h₂ = h2 u⁰₂ sur 1: Comme

v=

m(hX1) s=1

vs'¹_s; on obtient pour tout s= 1; :::; m(h₁) :

a₁(u¹_h₁; '¹_s) = (f(u¹_h₁); '¹_s)

et

u¹_h₁ =u⁰_h₂ = _h₂ u⁰₂ sur 1: Donc8 s= 1; :::; m(h₁)

a1(u¹_h₁; '¹_s) = (f(u¹_h₁); '¹_s) et

u¹_h₁ =u⁰_h₂ =u_h₂ =u_h₁ sur 1: Avec

a1 u_h₁; '¹_s f(u_h₁); '¹_s :

Alors le lemme de comparaison discret appliqué au sous-domaine ₁ implique

u_h₁ u¹_h₁ dans ₁:

(24)

Chapitre 1 23 D’autre part, 8s= 1; :::; m(h₁)

a₁(u¹_h₁; '¹_s) = (f(u¹_h₁); '¹_s) et

u¹_h₁ =u⁰_h₂ =u_h₂ =u_h₁ uh1 sur 1: Avec

a₁ u_h₁; '¹_s f(u_h₁); '¹_s :

Alors le lemme de comparaison appliqué au sous-domaine 1 implique u¹_h

1 u_h₁ dans ₁: Ainsi on obtient

u_h₁ u¹_h₁ u_h₁ dans ₁: Pour n= 0, sur le sous-domaine ₂, on a

a₂(u¹_h₂; '²_s) = (f(u¹_h₂; '²_s),s= 1; :::; m(h₂) et

u¹_h₂ =u¹_h₁ sur 2: Donc

a₂(u¹_h₂; '²_s) = (f(u¹_h₂; '²_s),s= 1; :::; m(h₂) etu¹_h₂ =u¹_h₁ sur ₂: Comme on a prouvé que

u_h₁ u¹_h₁ u_h₁ dans ₁ donc

u_h₂ =u_h₁ u¹_h₂ =u¹_h₁ u_h₁ =u_h₂ sur ₂:

(25)

Chapitre 1 24 Avec pour tout s= 1; :::; m(h₂)

a2 u_h₂; '²_s f u_h₂ ; '²_s

et

a₂(u_h₂; '²_s) f(u_h₂); '²_s :

Alors le lemme de comparaison discret appliqué au sous-domaine ₂ implique u_h₂ u¹_h₂ uh2 dans 2:

On suppose que les inégalités qui suivent sont vraies pouri= 1;2 u_h_i uⁿ_h_i u_h_i dans ₂:

Et on démontre que pouri= 1;2

u_h_i uⁿ⁺¹_h

i uhi dans i:

Comme pour touts= 1; :::; m(h₁) a₁(uⁿ⁺¹_h

1 ; '¹_s) = (f(uⁿ⁺¹_h

1 ); '¹_s) avec

uⁿ⁺¹_h

1 =uⁿ_h₂ sur ₁: Alors on peut écrire, 8s= 1; :::; m(h₁)

a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; '¹_s) = (f(uⁿ⁺¹_h

1 ); '¹_s) et

u_h₁ =u_h₂ uⁿ⁺¹_h

1 =uⁿ_h₂ u_h₂ =u_h₁ sur ₁:

(26)

Chapitre 1 25 Le lemme de comparaison discret implique alors

u_h₁ uⁿ⁺¹_h

1 u_h₁ dans ₁:

En utilisant cette dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

u_h₂ uⁿ⁺¹_h

2 uh2 dans 2:

2. Monotonie des suites discrètes de Schwarz: On utilise le raisonnement par récurrence pour montrer que les suites discrètes de Schwarz sont monotones croissantes. En e¤et, pour n= 0;sur le sous-domaine ₁, on a

u_h₁ u¹_h₁ dans ₁

et

u⁰_h₂ =u_h₂ u¹_h₂ dans ₂: Comme

a₁(u²_h₁; '¹_s) = (f(u²_h₁; '¹_s) et

u¹_h₁ =u⁰_h₂ u²_h₁ =u¹_h₂ sur ₁ Le lemme de comparaison discret implique

u¹_h₁ u²_h₁ dans 1:

(27)

Chapitre 1 26 Ainsi on vient de trouver

u_h₁ u¹_h₁ dans 1; u⁰_h₂ = u_h₂ u¹_h₂ dans 2; u¹_h₁ u²_h₁ dans ₁: On suppose que

uⁿ_h ¹

1 uⁿ_h₁ dans ₁ etuⁿ_h ¹

2 uⁿ_h₂ dans ₂: Et on démontre

uⁿ_h₁ uⁿ⁺¹_h

1 dans ₁ etuⁿ_h₂ uⁿ⁺¹_h

2 dans ₂:

En e¤et, pour touts= 1; :::; m(h₁) a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; '¹_s) = (f(uⁿ⁺¹₁ ); '¹_s) avec

uⁿ_h₁ =uⁿ_h ¹

2 uⁿ⁺¹_h

1 =uⁿ_h₂ sur 1: Le lemme de comparaison discret implique alors

uⁿ_h₁ uⁿ⁺¹_h

1 dans 1:

En utilisant la dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous- domaine on trouve

uⁿ_h₂ uⁿ⁺¹_h

2 dans ₂:

3. Les résultats de 1 et 2 impliquent que pour toutn 0 et pour i= 1;2 u_h_i =u⁰_h_i ::: uⁿ_h_i uⁿ⁺¹_h

i u_h_i dans _i:

donc les deux suites discrètes de Schwarz sont convergentes versuhi solution de(1.3.1):

(28)

27

Bibliographie

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[11] B. E Smith, P. Bjorstad, W. D. Gropp: Domain Decomposition : Parallel Multilevel. Algorithms for Elliptic Partial Differential Equations. Cambridge University Press, New York, (1996).

(30)

Chapitre 2

(31)

30

2.1 Introduction

Il est bien connu que la méthode alternée de Schwarz génère une suite de sous- problèmes dont la suite de solutions converge vers la solution du problème (cf. [1], [2], [3]

et [6]. Ce chapitre est consacré à l’analyse de la convergence de la méthode alternée de Schwarz - avec recouvrement - pour une classe de problèmes elliptiques non-linéaires, où les sous-problèmes générés par le processus de Schwarz sont linéaires.

Reconsidérons le même problème non-linéaire:

8>

>>

><

>>

:

u=f(u) dans

u=g sur@

(2.1.1)

On décompose en deux sous-domaines ₁ et ₂ avec recouvrement, tel que

= ₁[ 2

On note par@ _ile bord de _i et _i =@ _i\ j. L’intersection de _i et _j est supposée vide.

Cette décomposition permet de dé…nir le système de deux sous-problèmes non-linéaires avec deux inconnues u_i; i= 1;2solutions de

8>

>>

><

>>

:

u_i=f(u_i) dans _i

ui =uj sur i

u_i =g sur @ _i= _i

(2.1.2)

(32)

Chapitre 2 31 En démarrant deu⁰₂ =u₂sur ₁;la donnée initiale continue, la méthode alternée de Schwarz appliquée au problème(2.1.1)conduit à la résolution séquentielle des sous-problèmes linéaires suivants, pour tout n 0,uⁿ⁺¹₁ 2A₁ est solution de

8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₁ +c(x)uⁿ⁺¹₁ =f(uⁿ₁) +c(x)uⁿ₁ dans ₁

uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ sur ₁

uⁿ⁺¹₁ =g sur@ 1= 1

(2.1.3)

etuⁿ⁺¹₂ 2A₂ est solution de 8>

>>

><

>>

:

uⁿ⁺¹₂ +c(x)uⁿ⁺¹₂ =f(uⁿ₂) +c(x)uⁿ₂ dans 2

uⁿ⁺¹₂ =uⁿ⁺¹₁ sur ₂

uⁿ⁺¹₂ =g sur @ ₂= ₂

(2.1.4)

Où l’ensembleA_i est dé…ni par

A_i = u_i 2V_i=C² _i ; tel queu_i u_i u_i dans _i ; la fonctionc(x) est positive et véri…e

c(x) (u_i v_i) f(u_i) f(v_i) pour toutv_i u_i 2A_i

u_i etu_i sont respectivement la sous-solution et la sur-solution relatives au problème (2.1.2) L’étude de la convergence monotone des suites de Schwarz, dans le cas oùu⁰₂ =u₂;la sous-solution de(2.1.2), pouri= 2, a été réalisée par S. H. Lui ( cf. [4]):