Processus de Schwarz Discret

Soit la donnée initiale discrète

u⁰_h2 = h2 u⁰₂ = h2(u₂):

On dé…nit le processus multiplicatif discret de Schwarz comme suit: Pour tout n 0, uⁿ⁺¹_h

1 2A ^u

n h2

h1 solution de

a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

1 ; v ; 8v2Vh1 (1.3.4) etuⁿ⁺¹_h

2 2A ^u

n+1 h1

h2 solution de a₂(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

2 ; v ; 8v2V_h2: (1.3.5) Théorème 1.3Les deux suites discrètes de Schwarz convergent vers la solution du système (1.3.1).

Démonstration Le raisonnement est similaire à celui adopté dans le cas continu et repose sur le lemme de comparaison discret et le principe du maximum discret.

Chapitre 1 22 1. On montre par récurrence que les termes des deux suites discrètes de Schwarz sont des éléments de A_hi:Pour n= 0, sur le sous-domaine 1, on a pour tout v2V_h1

a₁(u¹_h1; v) = (f(u¹_h1); v)

et

u¹_h1 =u⁰_h2 = h2 u⁰₂ sur 1: Comme

v=

m(hX1) s=1

vs'¹_s; on obtient pour tout s= 1; :::; m(h₁) :

a₁(u¹_h1; '¹_s) = (f(u¹_h1); '¹_s)

et

u¹_h1 =u⁰_h2 = _h2 u⁰₂ sur 1: Donc8 s= 1; :::; m(h₁)

a1(u¹_h1; '¹_s) = (f(u¹_h1); '¹_s) et

u¹_h1 =u⁰_h2 =u_h2 =u_h1 sur 1: Avec

a1 u_h1; '¹_s f(u_h1); '¹_s :

Alors le lemme de comparaison discret appliqué au sous-domaine ₁ implique

u_h1 u¹_h1 dans ₁:

Chapitre 1 23 D’autre part, 8s= 1; :::; m(h₁)

a₁(u¹_h1; '¹_s) = (f(u¹_h1); '¹_s) et

u¹_h1 =u⁰_h2 =u_h2 =u_h1 uh1 sur 1: Avec

a₁ u_h1; '¹_s f(u_h1); '¹_s :

Alors le lemme de comparaison appliqué au sous-domaine 1 implique u¹_h

1 u_h1 dans ₁: Ainsi on obtient

u_h1 u¹_h1 u_h1 dans ₁: Pour n= 0, sur le sous-domaine ₂, on a

a₂(u¹_h2; '²_s) = (f(u¹_h2; '²_s),s= 1; :::; m(h₂) et

u¹_h2 =u¹_h1 sur 2: Donc

a₂(u¹_h2; '²_s) = (f(u¹_h2; '²_s),s= 1; :::; m(h₂) etu¹_h2 =u¹_h1 sur ₂: Comme on a prouvé que

u_h1 u¹_h1 u_h1 dans ₁ donc

u_h2 =u_h1 u¹_h2 =u¹_h1 u_h1 =u_h2 sur ₂:

Chapitre 1 24 Avec pour tout s= 1; :::; m(h₂)

a2 u_h2; '²_s f u_h2 ; '²_s

et

a₂(u_h2; '²_s) f(u_h2); '²_s :

Alors le lemme de comparaison discret appliqué au sous-domaine ₂ implique u_h2 u¹_h2 uh2 dans 2:

On suppose que les inégalités qui suivent sont vraies pouri= 1;2 u_hi uⁿ_hi u_hi dans ₂:

Et on démontre que pouri= 1;2

u_hi uⁿ⁺¹_h

i uhi dans i:

Comme pour touts= 1; :::; m(h₁) a₁(uⁿ⁺¹_h

1 ; '¹_s) = (f(uⁿ⁺¹_h

1 ); '¹_s) avec

uⁿ⁺¹_h

1 =uⁿ_h2 sur ₁: Alors on peut écrire, 8s= 1; :::; m(h₁)

a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; '¹_s) = (f(uⁿ⁺¹_h

1 ); '¹_s) et

u_h1 =u_h2 uⁿ⁺¹_h

1 =uⁿ_h2 u_h2 =u_h1 sur ₁:

Chapitre 1 25 Le lemme de comparaison discret implique alors

u_h1 uⁿ⁺¹_h

1 u_h1 dans ₁:

En utilisant cette dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

u_h2 uⁿ⁺¹_h

2 uh2 dans 2:

2. Monotonie des suites discrètes de Schwarz: On utilise le raisonnement par récurrence pour montrer que les suites discrètes de Schwarz sont monotones croissantes. En e¤et, pour n= 0;sur le sous-domaine ₁, on a

u_h1 u¹_h1 dans ₁

et

u⁰_h2 =u_h2 u¹_h2 dans ₂: Comme

a₁(u²_h1; '¹_s) = (f(u²_h1; '¹_s) et

u¹_h1 =u⁰_h2 u²_h1 =u¹_h2 sur ₁ Le lemme de comparaison discret implique

u¹_h1 u²_h1 dans 1:

Chapitre 1 26 Ainsi on vient de trouver

u_h1 u¹_h1 dans 1; u⁰_h2 = u_h2 u¹_h2 dans 2; u¹_h1 u²_h1 dans ₁: On suppose que

uⁿ_h ¹

1 uⁿ_h1 dans ₁ etuⁿ_h ¹

2 uⁿ_h2 dans ₂: Et on démontre

uⁿ_h1 uⁿ⁺¹_h

1 dans ₁ etuⁿ_h2 uⁿ⁺¹_h

2 dans ₂:

En e¤et, pour touts= 1; :::; m(h₁) a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; '¹_s) = (f(uⁿ⁺¹₁ ); '¹_s) avec

uⁿ_h1 =uⁿ_h ¹

2 uⁿ⁺¹_h

1 =uⁿ_h2 sur 1: Le lemme de comparaison discret implique alors

uⁿ_h1 uⁿ⁺¹_h

1 dans 1:

En utilisant la dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

uⁿ_h2 uⁿ⁺¹_h

2 dans ₂:

3. Les résultats de 1 et 2 impliquent que pour toutn 0 et pour i= 1;2 u_hi =u⁰_hi ::: uⁿ_hi uⁿ⁺¹_h

i u_hi dans _i:

donc les deux suites discrètes de Schwarz sont convergentes versuhi solution de(1.3.1):

27   

           

Bibliographie 

     

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    [3] P. L.  Lions: On  the Schwarz Alternating Method  II, Proc.  2nd, Int.  sympo.  On  domain 

Decomposition Methods for Partial Differential Equations. SIAM Philadelphia  pp.47‐70 (1989). 

 

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       Chapitre 2 

 

30

2.1 Introduction

Il est bien connu que la méthode alternée de Schwarz génère une suite de sous-problèmes dont la suite de solutions converge vers la solution du problème (cf. [1], [2], [3]

et [6]. Ce chapitre est consacré à l’analyse de la convergence de la méthode alternée de Schwarz - avec recouvrement - pour une classe de problèmes elliptiques non-linéaires, où les sous-problèmes générés par le processus de Schwarz sont linéaires.

Reconsidérons le même problème non-linéaire:

8>

On décompose en deux sous-domaines ₁ et ₂ avec recouvrement, tel que

= ₁[ 2

On note par@ _ile bord de _i et _i =@ _i\ j. L’intersection de _i et _j est supposée vide.

Cette décomposition permet de dé…nir le système de deux sous-problèmes non-linéaires avec deux inconnues u_i; i= 1;2solutions de

Chapitre 2 31 En démarrant deu⁰₂ =u₂sur ₁;la donnée initiale continue, la méthode alternée de Schwarz appliquée au problème(2.1.1)conduit à la résolution séquentielle des sous-problèmes linéaires suivants, pour tout n 0,uⁿ⁺¹₁ 2A₁ est solution de

Où l’ensembleA_i est dé…ni par

A_i = u_i 2V_i=C² _i ; tel queu_i u_i u_i dans _i ; la fonctionc(x) est positive et véri…e

c(x) (u_i v_i) f(u_i) f(v_i) pour toutv_i u_i 2A_i

u_i etu_i sont respectivement la sous-solution et la sur-solution relatives au problème (2.1.2) L’étude de la convergence monotone des suites de Schwarz, dans le cas oùu⁰₂ =u₂;la sous-solution de(2.1.2), pouri= 2, a été réalisée par S. H. Lui ( cf. [4]):

Chapitre 2 32 On applique une discrétisation indépendante ^hi pour chaque sous-domaine et on dé…nit le système discret suivant: Trouver (u_h1; u_h2)2V(^uh2)

Vhi est l’espace des fonctions linéaires, continues par morceaux et qui s’annulent sur la frontière @ _i, relatif à la triangulation ^hi, dé…ni par

V_hi = v2H₀¹( _i)\C( _i): v2P₁ sur chaque triangle et

V_h^uhj

i = u_hi 2V_hi tel queu_hi = _hi u_hj sur _i :

hi est l’operateur d’interpolation relatif à la triangulation ^hi dé…nie sur le sous-domaine

i:

On dé…nit l’algorithme de Schwarz discret: Partant de u⁰_h

2 = h2 u⁰₂ = h2(u₂), on dé…nit uⁿ⁺¹_h

1 2A ^u

n h2

h1 solution de a₁(uⁿ⁺¹_h

h2 solution de a2(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) +c uⁿ⁺¹_h

2 ; v = f uⁿ_h2 ; v +c uⁿ_h2; v ; 8v2Vh2:

Chapitre 2 33

Où les ensembles discretsA_hi etA_h^uhj

i sont dé…nis respectivement par A_hi = u_hi 2V_hi; tel queu_hi u_hi u_hi dans _i

et

A_h^uhj

i = u_hi 2A_hi tel queu_hi = _hi u_hj sur i :

u_hi et u_hi sont respectivement la sous-solution discrète et la sur-solution discrète relatives au système (2.1.5).

Chapitre 2 34

2.2 Position du Problème Continu

On s’intéresse au problème non-linéaire suivant 8>

On suppose que le problème (2.2.1) véri…e les hypothèses [1-5] du chapitre 1.

Théorème 2.1 (cf. [5]) Sous les hypothèses [1-5], le problème continu (2:2:1) admet une solution unique dans A.

On présente dans ce qui suit le lemme du principe du maximum continu.

Lemme 2.1 (cf. [4]): Soit w 2 H¹( )\C tel que: a(w; ) +c(w; ) 0 pour tout positive dans H₀¹( )et w 0 sur @ . Alors w 0 dans :

On considère un domaine borné deR² de frontière @ Lipschitzienne, considéré comme réunion de deux sous-domaines 1et 2 ayant respectivement, des frontières@ 1et

@ ₂ Lipschitziennes avec ₁\ 2 6=;:On note les frontières intérieures des sous-domaines par:

i =@ i\ ^j oùj 6=i:

On dé…nit alors le système suivant:

8>

Chapitre 2 35 On suppose que le sous-problème (2.2.2) admet une sous-solution continue u_i et une sur-solution continuui (voir dé…nition 1.2, chapitre 1):On dé…nit

Ai= ui2Vi =C² i ; tel queu_i ui ui dans i

On présente dans ce qui suit la dé…nition du processus de Schwarz continu pour deux sous-domaines, appliquée au problème(2.1.1):

2.2.1 Processus de Schwarz Continu

Soit u⁰₂ = u₂ sur 1; la donnée initiale continue du processus de Schwarz. On dé…nit l’algorithme de Schwarz continu comme suit, pour tout n 0, uⁿ⁺¹₁ 2A₁ solution

de 8

Théorème 2.2 Les deux suites continues de Schwarz sont convergentes dans C²( )vers la solution de (2.2.2).

Chapitre 2 36 Démonstration (cf. [4])1. On montre par récurrence que les termes des deux suites continues de Schwarz sont des éléments de Ai:Pour n= 0 sur le sous-domaine 1,

on a 8

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

:

u¹₁+c(x)u¹₁ =f(u⁰₁) +c(x)u⁰₁ dans ₁

u¹₁ =u⁰₂ sur 1:

Donc

u¹₁+c(x)u¹₁ =f(u⁰₁) +c(x)u⁰₁ dans 1 etu¹₁ =u⁰₂=u₂ =u₁ sur 1: Avec

u₁+c(x)u₁ f(u₁) +c(x)u₁ dans 1:

Alors le lemme du principe du maximum appliqué au sous-domaine ₁ implique

u₁ u¹₁ dans ₁:

D’autre part

u¹₁+c(x)u¹₁ =f(u⁰₁) +c(x)u⁰₁ dans ₁ etu¹₁ =u⁰₂=u₂=u₁ u₁ sur ₁:

Avec

u₁+c(x)u₁ f(u₁) +c(x)u₁ dans ₁:

Alors le lemme du principe du maximum appliqué au sous-domaine 1 implique

u¹₁ u1 dans 1:

Ainsi on obtient

u₁ u¹₁ u₁ dans ₁:

Chapitre 2 37 Pour n= 0, sur le sous-domaine ₂, on a

u¹₂+c(x)u¹₂ =f(u⁰₂) +c(x)u⁰₂ dans ₂ et

u¹₂=u¹₁ sur 2: Donc

u¹₂+c(x)u¹₂=f(u⁰₂) +c(x)u⁰₂ dans ₂ etu¹₂=u¹₁ sur ₂: Comme on a prouvé que

u₁ u¹₁ u₁ dans ₁; donc

u₂ =u₁ u¹₂=u¹₁ u₁ =u₂ sur ₂: Avec

u₂+c(x)u₂ f(u₂) +c(x)u₂ dans ₂ ainsi que

u₂+c(x)u₂ f(u₂) +c(x)u₂ dans ₂:

Alors le lemme du principe du maximum continu appliqué au sous-domaine ₂ implique u₂ u¹₂ u₂ dans ₂:

On suppose que les inégalités qui suivent sont vraies pouri= 1;2 u_i uⁿ_i ui dans i;

et on démontre que

u_i uⁿ⁺¹_i u_i dans _i:

Chapitre 2 38

Alors on peut écrire 8>

Le lemme du principe du maximum continu implique alors

u₁ uⁿ⁺¹₁ u₁ dans ₁:

Chapitre 2 39 En utilisant cette dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

u₂ uⁿ⁺¹₂ u₂ dans ₂:

2. Monotonie des suites de Schwarz: On utilise le raisonnement par récurrence pour montrer que les suites continues de Schwarz sont monotones croissantes. Pour n = 0, sur le sous-domaine ₁, on a

u₁ u¹₁ dans ₁ et

u⁰₂ =u₂ u¹₂ dans ₂:

Comme 8

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

:

u²₁+c(x)u²₁ =f(u¹₁) +c(x)u¹₁ dans 1

u¹₁ =u⁰₂ u²₁=u¹₂ sur ₁ Le lemme du principe du maximum continu implique

u¹₁ u²₁ dans 1: Ainsi on vient de trouver

u₁ u¹₁ dans 1; u⁰₂ = u₂ u¹₂ dans 2; u¹₁ u²₁ dans ₁: On suppose que

uⁿ₁ ¹ uⁿ₁ dans ₁ etuⁿ₂ ¹ uⁿ₂ dans ₂:

Chapitre 2 40 Et on démontre

uⁿ₁ uⁿ⁺¹₁ dans 1 etuⁿ₂ uⁿ⁺¹₂ dans 2:

En e¤et: 8

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

:

uⁿ⁺¹₁ uⁿ₁ +c(x) uⁿ⁺¹₁ uⁿ₁

=f(uⁿ₁) f(uⁿ₁ ¹) +c(x) uⁿ⁺¹₁ uⁿ₁ 0 dans ₁

uⁿ₁ =uⁿ₂ ¹ uⁿ⁺¹₁ =uⁿ₂ sur 1

Le lemme du principe du maximum implique alors

uⁿ₁ uⁿ⁺¹₁ dans 1:

En utilisant la dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

uⁿ₂ uⁿ⁺¹₂ dans ₂:

3. Les résultats de 1 et 2 impliquent que pour toutn 0 et pour i= 1;2

u_i=u⁰_i ::: uⁿ_i uⁿ⁺¹_i u_i dans _i:

Donc les deux suites de Schwarz sont convergentes vers u_i solution de(2.2.2):

2.3 Discrétisation

On discrétise chaque sous-domaine par une méthode d’éléments …nisP1 conforme, où les deux maillages sont incompatibles à l’intersection des deux sous-domaines dans le

Chapitre 2 41 sens qu’un triangle ou un nœud appartenant à l’une des discrétisation n’appartient pas à l’autre. On dé…nit alors les espaces V_hi

V_hi = v2H₀¹( i)\C( i): v2P₁ sur chaque triangle

correspondant ainsi que les espacesV_h^(w)

i suivants: Pour tout w2C _i eti= 1;2 : V_h^(w)

i =fv2V_hi tel quev_hi = _hi(w)g;

où _hi est l’opérateur d’interpolation relatif à ^hi. On note par 'ⁱ_s; s = 1; :::; m(h_i), les fonctions de bases relatives à ^hi. On dé…nit le système discret comme suit:

8>

Le Principe du Maximum Discret(cf. [7], [8]) On suppose que les matrices résultantes des discrétisations des problèmes (2.2.3) et (2.2.4) sont des M-matrices.

On dé…nit dans ce qui suit l’analogue discret du lemme du principe du maximum continu;dé…ni sur chaque sous-domaine _i:

Chapitre 2 42 Lemme 2.2 Soit w_hi 2H¹( _i)\C _i tel que: a(w_hi; ') +c(w_hi; ') 0 pour tout ' positive dans H₀¹( i) et w_hi 0 sur @ i. Alors w_hi 0 dans i:

Démonstration La démonstration est une conséquence directe du principe du maximum discret.

On suppose que le sous-problème discret (2.3.1) admet une sous-solution discrète u_hi et une sur-solution discrèteu_hi (voir dé…nition 1.4 du chapitre 1). On dé…nit alors

A_hi = u_hi 2V_hi; tel queu_hi u_hi u_hi dans _i :

On présente dans ce qui suit la dé…nition du processus de Schwarz discret pour deux sous-domaines, appliquée au système (2.3.1):

Remarque 2.1 Pour que les matrices résultantes des discrétisations des sous-problèmes, générés par le processus de Schwarz, soient des M-matrices, on rajoute la con-dition que c(x) =c, une constante positive.

2.3.1 Processus de Schwarz Discret

Soit la donnée initiale discrète

u⁰_h2 = _h2 u⁰₂ = _h2(u₂):

On dé…nit le processus multiplicatif discret de Schwarz comme suit: 8n 0,uⁿ⁺¹_h

1 2A ^u

n h2

h1

est solution de a(uⁿ⁺¹_h

1 ; v) +c uⁿ⁺¹_h

1 ; v = f uⁿ_h1 ; v +c uⁿ_h1; v ; 8v2V_h1 etuⁿ⁺¹_h

2 2A ^u

n+1 h1

h2 est solution de a(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) +c(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) = f uⁿ_h2 ; v +c(uⁿ_h2; v); 8v2V_h2:

Chapitre 2 43

Théorème 2.3 Les deux suites discrètes de Schwarz sont convergentes.

Démonstration Le raisonnement est similaire à celui adopté dans le cas continu et repose sur le principe du maximum discret.

1. On montre par récurrence que les termes des deux suites discrètes de Schwarz sont des éléments de A_hi. Pour n = 0, sur le sous-domaine 1, on a pour tout s = Le lemme du principe du maximum discret implique

u_h1 u¹_h1 dans ₁:

Chapitre 2 44 D’autre part

a(u¹_h1; '¹_s) +c u¹_h1; '¹_s = (f(u⁰_h1); '¹_s) +c u⁰_h1; '¹_s avec

u¹_h1 =u⁰_h2 =u_h2 =u_h1 u_h1 sur ₁: La sur-solution discrèteu_h1 véri…e

a u_h1; '¹_s +c u_h1; '¹_s f(u_h1); '¹_s +c u_h1; '¹_s :

Doncu¹_h1 uh1 véri…e

a u¹_h1 u_h1; '¹_s +c u¹_h1 u_h1; '¹_s f u¹_h1 f(u_h1); '¹_s +c u¹_h1 u_h1; '¹_s avec

u¹_h1 uh1 =u⁰_h1 uh1 =u_h1 uh1 0 sur 1: Le principe du maximum discret implique alors

u¹_h1 uh1 dans 1:

Chapitre 2 45 Comme on a prouvé que

u_h1 u¹_h1 u_h1 dans 1: Donc

u_h2 =u_h1 u¹_h2 =u¹_h1 u_h1 =u_h2 sur ₂: Avec

a u_h2; '²_s +c u_h2; '²_s f u_h2 ; '²_s +c u_h2; '²_s et

a(u_h2; '²_s) +c(u_h2; '²_s) f(u_h2); '²_s +c(u_h2; '²_s):

Donc

a(u¹_h2 u_h2; '²_s) +c u¹_h2 u_h2; '²_s

= (f(u⁰_h2) u_h2; '²_s) +c u⁰_h2 u_h2; '²_s 0 avec

u¹_h2 u_h2 =u¹_h1 u_h1 0sur 2: Et

a(u_h2 u¹_h2; '²_s) +c u_h2 u¹_h2; '²_s

= (f(u_h2) f u⁰_h2 ; '²_s) +c u_h2 u⁰_h2; '²_s ainsi que

u_h2 u¹_h2 =u_h1 u¹_h1 0 sur ₂ Alors le principe du maximum discret implique

u_h2 u¹_h2 u_h2 dans ₂:

Chapitre 2 46 On suppose que les inégalités qui suivent sont vraies pouri= 1;2

u_hi uⁿ_hi u_hi dans _i:

Et on démontre que

u_hi uⁿ⁺¹_h

Alors on peut écrire

a(uⁿ⁺¹_h Le principe du maximum discret implique

u_h1 uⁿ⁺¹_h

1 u_h1 dans ₁:

Chapitre 2 47 En utilisant cette dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

u_h2 uⁿ⁺¹_h

2 u_h2 dans ₂:

2. Monotonie des suites de Schwarz: On utilise le raisonnement par récurrence pour montrer que les suites discrètes de Schwarz sont monotones croissantes. Pour n = 0sous-domaine

1, on a

u_h1 u¹_h1 dans ₁ et

u⁰_h2 =u_h2 u¹_h2 dans 2: Comme

a(u¹_h

1 u²_h

1; '¹_s) +c u¹_h

1 u²_h

1; '¹_s

= (f(u_h1) f u¹_h1 ; '¹_s) +c u¹_h1 u²_h1; '¹_s 0 et

u¹_h1 u²_h1 =u⁰_h2 u¹_h2 0sur ₁: Le principe du maximum discret implique

u¹_h1 u²_h1 dans 1: Ainsi on vient de trouver

u_h1 u¹_h1 dans 1; u⁰_h2 = u_h2 u¹_h2 dans ₂; u¹_h1 u²_h1 dans ₁:

Chapitre 2 48 On suppose que

uⁿ_h ¹

1 uⁿ_h1 dans 1 etuⁿ_h ¹

2 uⁿ_h2 dans 2: Et on démontre

uⁿ_h1 uⁿ⁺¹_h

1 dans 1 etuⁿ_h2 uⁿ⁺¹_h

2 dans 2:

En e¤et:

a(uⁿ⁺¹_h

1 uⁿ_h1; '¹_s) +c uⁿ⁺¹_h

1 uⁿ_h1; '¹_s

= (f(uⁿ₁) f(uⁿ₁ ¹); '¹_s) +c uⁿ_h1 uⁿ_h ¹

1 ; '¹_s et

uⁿ⁺¹_h

1 uⁿ_h1 =uⁿ_h2 uⁿ_h ¹

2 0 sur 1:

Le principe du maximum discret implique alors

uⁿ_h1 uⁿ⁺¹_h

1 dans ₁:

En utilisant la dernière inégalité et en adoptant le même raisonnement pour le second sous-domaine on trouve

uⁿ_h

2 uⁿ⁺¹_h

2 dans ₂:

3. Les résultats de 1 et 2 impliquent que pour toutn 0 et pour i= 1;2:

u_hi =u⁰_hi ::: uⁿ_hi uⁿ⁺¹_h

i u_hi dans i:

Donc les deux suites discrètes de Schwarz sont convergentes versu_hi solution de (2.3.1):

49   

             

Bibliographie 

     

[1] P. L. Lions: On the Schwarz Alternating Method I, Proc. 1st, Int. sympo. On Domain Decomposition  Methods for Partial Differential Equations. SIAM Philadelphia (1988). 

 

[2]  P.  L.  Lions:  On  the  Schwarz  Alternating  Method  II,  Proc.  2nd,  Int.  sympo.  On  Domain  Decomposition Methods for Partial Differential Equations. SIAM Philadelphia  pp.47‐70 (1989). 

 

[3]  S.  H.  Lui:  On  Monotone  and  Schwarz  Alternating  Methods  For  Nonlinear  Elliptic  PDEs. 

Mathematical Modeling and Numerical Analysis, M2AN, Vol. 35, No 1, pp. 1‐15 (2001). 

 

[4] S. H. Lui: On the Linear Monotone Iteration and Schwarz Methods for Nonlinear Elliptic PDEs. 

Numerish Mathematik, pp. 109‐129 (2002). 

 

[5] C. V. Pao, Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenium Press, New York, (1992). 

 

[6]R. Glowinski, G. H. Golub, J. Periaux: First Int. Symp. on Domain Decomposition Methods. SIAM,  Philadelphia, (1988). 

 

50   

[7] P.G. Ciarlet, P.A. Raviart: Maximum Principle and Uniform Convergence for the Finite Element  Method, comput. Meth. in Appl. Mech. Eng. 2, pp. 17‐31 (1973). 

 

 [8] J. Karatson, S. Korotov, discrete maximum principle for finite element solutions for nonlinear  elliptic problems with mixed boundary conditions. Numer. Math. 99, 669‐‐698 (2005). 

         

        

       Chapitre 3 

 

52

3.1 Introduction

Dans ce chapitre on s’intéresse à l’analyse en norme uniforme de l’erreur d’ ap-proximation de la méthode alternée de Schwarz pour des problèmes elliptiques avec second membre dépendant de la solution ([1], [2], [3], [4], [5] et [6]. On considère un domaine , réunion de deux sous-domaines avec recouvrement, où chaque sous-domaine comporte sa propre triangulation dans le sens qu’un nœud ou un triangle appartenant à l’un des sous-domaines n’appartient pas à l’autre et dans le cas où les sous-problèmes dé…nis sur les sous-domaines sont non-linéaires.

Ce type de discrétisation est intéressant pour les problèmes où la discrétisation du problème global est impossible. Cette technique présente un intérêt considérable pour les ingénieurs ainsi que les experts en calcul scienti…que car elle permet l’utilisation des pas de discrétisations di¤érents ainsi que des ordres d’approximation di¤érents pour chaque sous-domaine selon les besoins et les propriétés des solutions et des problèmes étudiés.

On note que la littérature relative à l’analyse de l’erreur d’approximation en norme uniforme relative à cette technique de discrétisation est assez limitée (cf. [8]; [9]; [10] et [11]).

Dans le but de prouver le résultat principal de ce chapitre, on utilise une approche similaire à celle utilisée dans [9]; laquelle consiste à combiner la convergence géométrique du processus continu de Schwarz due à P. L. Lions [2] et un lemme qui consiste à estimer en norme uniforme l’erreur entre les itérés continus et discrets de Schwarz. L’ordre de convergence optimal est alors obtenu en utilisant l’estimation standard en norme L¹ pour les problèmes linéaires elliptiques [7]. La démonstration du lemme repose sur la dépendance

Chapitre 3 53 Lipschitzienne des conditions sur le bord et le second membre de l’équation linéaire tandis que dans [9] le lemme est obtenu seulement en fonction des conditions aux limites. On considère le problème qui suit

(P) 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

u+cu=f(u) dans ;

u=g sur@ :

(3.1.1)

Dont la formulation faible est:

a(u; v) +c(u; v) = (f(u); v); 8v2H₀¹( ): (3.1.2) Où

(1) f est une fonctionnelle non-linéaire monotone croissante.

(2) Lipschitzienne, il existe une constantek telle que 8x; y2R jf(x) f(y)j kjx yj

(3) cune constante positive telle que

k < c

On décompose en deux sous-domaines ₁ et ₂ avec recouvrement, tel que

= 1[ ²

On note par@ i le bord de i et i=@ i\ ^j. L’intersection de i et jest supposée vide. Cette décomposition permet de dé…nir le système de deux sous-problèmes non-linéaires avec deux inconnues u_i; i = 1;2: Trouver (u₁; u₂) 2 V₁^(u2) V₂^(u1) solution

Chapitre 3 54

En démarrant de la donnée initiale continue u⁰₂ dé…nie sur 1; la méthode alternée de Schwarz appliquée au problème (P) conduit à la résolution séquentielle des sous-problèmes suivants: Trouveruⁿ⁺¹₁ 2V(^un2) L’étude de la convergence géométrique des suites de Schwarz dans le cas d’une donnée initialeu⁰₂ a été réalisée par P. L. Lions [2]:

On applique une discrétisation indépendante ^hi pour chaque sous-domaine. Le système discret relatif aux deux discrétisations est: Trouver (u_h1; u_h2) 2 V(^uh2)

Où les espaces discrets

V_hi = v2H₀¹( _i)\C( _i): v2P₁ sur chaque triangle

Chapitre 3 55 et les espacesV_h^(w)

i suivants: Pour touti; j= 1;2etw2C _i : V_h^(w)

i =fv2V_hi tel que v_hi = _hi(w) sur _ig où hi est l’opérateur d’interpolation relatif à ^hi.

On dé…nit l’algorithme de Schwarz discret telle que u⁰_h

2 = _h2 u⁰₂ est la donnée initiale discrète, comme suit; Trouver uⁿ⁺¹_h

1 2V ^u

n h2

h1 solution de a1(uⁿ⁺¹_h

1 ; v) +c(uⁿ⁺¹_h

1 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

1 ; v ; 8v2V_h1; n 0 (3.1.8) etuⁿ⁺¹_h

2 2V ^u

n+1 h1

h2 solution de a₂(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) +c(uⁿ⁺¹_h

2 ; v) = f uⁿ⁺¹_h

2 ; v ; 8v2V_h2; n 0: (3.1.9) On obtient alors sous des hypothèses réalistes (pour n assez grand), l’ordre de convergence suivant: pour touti= 1;2, il existe une constante C indépendante de h et de ntelle que:

u_i uⁿ⁺¹_h

i L¹( i) Ch²jloghj² et

u_i uⁿ⁺¹_h

i L¹( i) Ch²jloghj

Chapitre 3 56

3.2 Préliminaires

3.2.1 Les Equations Linéaires Elliptiques

Soit un domaine convexe deR² ou deR³de frontière@ régulière. On considère la forme bilinéaire

a(u; v) = Z

(ru:rv)dx:

La forme linéaire

(f; v) = Z

f(x)v(x)dx où le second membre

f 2L¹( ) L’espace

V^(g) = v2H¹( ) tel quev=g sur@

où g est une fonction régulière dé…nie sur @ : On considère l’équation linéaire elliptique:

Trouver 2V^(g) tel que

a( ; v) +c( ; v) = (f; v); 8v2V^(g); (3.2.1) où c2Ret telle que:

c >0

Soit V_h l’espace des éléments …nis constitué de fonctions linéaires continues par morceaux et s’annulant sur la frontière @ et _s; s = 1;2; :::; m(h) les fonctions de bases de V_h. L’analogue discret du problème continu (3.2.1) est dé…ni par: Trouver _h2V_h^(g) tel que

a( _h; v) +c( _h; v) = (f; v); 8v2V_h^(g) (3.2.2)

Chapitre 3 57 où

V_h^(g)=fv2V_h tel quev= _h(g) sur@ g et _h est l’opérateur d’interpolation dé…ni sur@ :

Théorème 3.1 (cf.[7])Soient solution de (3.2.1) et _h solution de (3.2.2) alors il existe une constante C indépendante de h telle que

k hkL¹( ) Ch²jloghj:

Lemme 3.1 [4] Soit w2H¹( )\C tel que a(w; ) +c(w; ) 0 pour tout positive dans H₀¹( )et w 0 sur @ . Alors w 0 dans :

Notation 3.1 Soient (f; g) et f ;eeg deux données telles que = (f; g) et e= f ;ege deux solutions relatives au problème (3.2.1), alors on a la proposition qui suit:

Proposition 3.1 Sous les conditions du lemme 3.1 précédent on a

e

L¹( ) max 1

f fe

L¹( ); kg egkL¹(@ ) : Démonstration On pose

= max 1

f fe

L¹( ); kg egkL¹(@ ) : Comme

fe f + f fe

L¹( )

f + c

f fe

L¹( )

Chapitre 3 58

Donc

fe f+c1

f fe

L¹( )

f+cmax 1

f fe

L¹( ); kg egkL¹(@ )

f+c

Ce qui implique que pour tout positive dans H₀¹( ) f ;e (f +c ; )

Alors

a(e; ) +c(e; ) a( ; ) +c( ; ) +c( ; )

= a( + ; ) +c( + ); )

Donc 8

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

:

a( + e; ) +c + e ; ) 0dans ;

+ e=g+ eg 0 sur @ :

En utilisant le lemme 3.1 on obtient

+ e 0 dans : En échangeant les rôles de(f; g) et de f ;ege on trouve

e+ 0 dans :

Chapitre 3 59 Ce qui complète la démonstration.

Remarque 3.1 Le lemme 3.1 reste vrai dans le cas discret.

En e¤et, on suppose que le principe du maximum discret (p.m.d.) soit satisfait, alors on a:

Lemme 3.2 Soit w 2 V_h tel que: a(w; _s) +c(w; _s) 0, s = 1;2; :::; m(h) et w 0 sur @ . Alors w 0 dans .

DémonstrationLa démonstration est la conséquence directe du principe du max-imum discret.

Notation 3.2 Soient (f; g) et f ;eeg deux données discrètes telles que _h =

h(f; g) et e_h = _h f ;eeg deux solutions discrètes relatives au problème discret (3.2.2), alors on a la proposition suivante.

Proposition 3.2 Sous les conditions du principe du maximum discret (p.m.d.) et sous les conditions du lemme 3.2, on a

h e_h

L¹( ) max 1

f fe

L¹( ); kg egkL¹(@ ) : Démonstration On pose

h= max 1

f fe

L¹( ); kg egkL¹(@ )

On sait que:

fe f + fe f

f + c fe f

Chapitre 3 60 Ce qui implique

fe f +c _h:

Donc8 s; s= 1;2; :::; m(h);une fonction de base relative à ^h f ;e _s (f +c _h; _s)

= (f; _s) + (c _h; _s): Où(:; :) est le produit scalaire dansL²;alors

a e_h; _s a( _h; _s) + (c _h; _s)

= Z

(r hr s+c _{h s}) + (c _h; _s) Donc

a e_h; _s

Z

(r( _h+ _h)r s+c _{h s}) + (c _h; _s)

= Z

(r( _h+ h)r s+c _{h s}+c _{h s}) Ou encore

a e_h; _s

Z

(r( _h+ _h)r s+c( _h+ _h) _s)

= a( _h+ _h; _s) Ainsi

a e_h; _s a( _h+ h; _s)

Chapitre 3 61 ou

a e_{h h h}; _s 0:

et donc dans le cas où v_h est positif,v_h =P

s

v_h(a_s) _s, on a 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

a e_{h h h}; v_h 0;8 v_h 0

e_{h h h} =g eg _h 0 sur@ :

Le (p.m.d.) implique:

max e_{h h h} 0

ou encore

e_{h h h} dans :

En échangeant les rôles defeet de f on montre que

h e_{h h} dans : Et donc

e_{h h}

L¹( ) h: Dans le cas oùv_h est négatif alors,

f ; ve h (f+c h; vh)

= (f; v_h) + (c _h; v_h)

= a( _h; v_h) + (c _h; v_h):

Chapitre 3 62 Ce qui implique

a( _h; v_h) + (c _h; v_h) a e_h; v_h : Donc

Z

(r hrv_h+c _hv_h) + (c _h; v_h) a e_h; v_h Alors

Z

(r( _h+ _h)rv_h+c _hv_h) + (c _h; v_h) a e_h; v_h : Ce qui implique

a( _h+ _h; v_h) a e_h; v_h

et donc 8

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

:

a( _h+ _h e_h; v_h) 0; 8v_h 0

h+ _h e_h =g+ _h eg 2 _h sur@ : Le (p.m.d.) implique alors

max( _h+ _h e_h) 2 _h

et donc

h e_{h h} dans : En échangeant les rôles defeet de f on montre que

e_{h h h} dans

et donc

e_{h h}

L¹( ) h:

Chapitre 3 63 Dans le cas oùv_h change de signe on pose

v_h=v⁺_h v_h où

v⁺_h = max (v_h;0) 0 et

v_h = max ( v_h;0) 0:

Ce qui implique

a e_{h h h}; v_h⁺ 0 et

a e_{h h h}; v_h 0 La somme des deux inégalités implique

a e_{h h h}; v_h⁺+v_h 0 Comme

v⁺_h =vh+v_h Alors

a e_{h h h}; vh+ 2v_h 0 ou

a(e_{h h h}; v_h) + 2a e_{h h h}; v_h 0 Donc on distingue les deux cas possibles suivants

1: a e_{h h h}; vh 0 2a e_{h h h}; v_h

Chapitre 3 64 ou

2: 0 a e_{h h h}; v_h 2a e_{h h h}; v_h Ainsi le cas1 implique

8> Le cas2 implique

8>

Chapitre 3 65 et donc

e_h+ _{h h} dans :

En échangeant les rôles defeet de f on montre que:

e_{h h h} dans

et donc

e_{h h}

L¹( ) h:

Remarque 3.2 Si on considère le cas où f =feon retrouve alors le principe du maximum discret.

3.3 La Méthode Alternée de Schwarz pour les E.D.Ps. Non-Linéaires

On considère l’E.D.P. elliptique non-linéaire suivante 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

u+cu=f(u) dans ;

u= 0 sur@ :

(3.3.1)

Dont la formulation faible est:

a(u; v) +c(u; v) = (f(u); v); 8v2H₀¹( ); (3.3.2)

où

(1) f est une fonctionnelle non-linéaire monotone croissante.

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