Examen de janvier 2016

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J. F´ejoz

Examen de janvier 2016

Deux heures — Sans document ni appareil ´electronique.

Chaque question numérotée sera notée sur environ 4 points.

Les r´eponses doivent ˆetre concises.

1. D´eriv´ee le long d’un chemin. — Soient γ : pR,0q Ñ pR²,0q et f : pR²,0q ÑR de classe C⁸, tels queγ¹ “ pB²f ˝γ,´B¹f ˝γq. Montrer que la fonction f ˝γ est localement constante.

2. ´Equation de propagation des ondes. — Trouver les fonctions f :R² Ñ R, px, tq ÞÑfpx, tq, de classeC² telles que B²_xf “ B_t²f; on pourra utiliser le changement de variables ϕ:px, tq ÞÑ pu, vq “ px`t, x´tq.

3. L’équation de degré trois. — Montrer que le lieu des points, dans le plan despp, qq, où l’équationx³`px`q“0 ne détermine pas de fonction implicite xpp, qq, a pour équation 4p³`27q² “0. Dessiner ce lieu.

4. Axes principaux d’un ellipso¨ıde. — Soitq une forme quadratique positive d´efinie sur Rⁿ. Quels sont les extrema de }x} sur l’hypersurface d’´equation q“1 en fonction des sous-espaces propres de q?

5. Paramétrage d’une hypersurface. — Soientϕ :pRⁿ, tq Ñ pRⁿ^`1, aqune application de classeC⁸telle queϕ¹ptqsoit de rangn, etθ:pRⁿ, tq ÑRⁿ^`1 une application C⁸ telle que, pour tout u, θpuq soit un vecteur unitaire orthogonal à Imϕ¹puq. Montrer que l’application F : pRⁿ ˆR,pt,0qq Ñ Rⁿ^`1,pu, vq ÞÑϕpuq `vθpuqest un difféomorphisme local. En déduire que l’image locale S de ϕ est une hypersurface dont l’espace tangent en a est Imϕ¹ptq, et que l’application pϕ|Sq^´1 : pS, aq Ñ pRⁿ, tq en est un système de coordonnées locales.

6. Distance à une hypersurface. — On reprend les hypothèses de la question 5, en supposant de plus que z est un point fixé de R^n`1 et que t est un point critique de la fonctionf :pRⁿ, tq ÑR, uÞÑ }ϕpuq ´z}². Soient Q1 et Q2 les deux formes quadratiques sur Rⁿ définies par

Q1pξq “ }ϕ¹ptq ¨ξ}² et Q2pξq “ pϕ²ptq ¨ξ²q ¨θptq.

Montrer que zá et θptq sont colinéaires, et qu’il existe un réel α tel que fpt`τq ´fptq “ Q1pτq ´αQ2pτq òp}τ}²q.

En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur les valeurs propres de Q^´11 Q2 et sur α pour que t soit un minimum local strict de f.

1

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Solution. —

1. Dérivée le long d’un chemin. — Notons γ “ px, yq. Par dérivation d’une fonction composée,

pf˝γq¹ptq “f¹pγptqq ¨γ¹ptq

“`

Bxfpγptqq Bygpγptqq˘

¨

ˆx¹ptq y¹ptq

˙

“ Bxfpγptqqx¹ptq ` Byfpγptqqy¹ptq

“ Bxfpγptqq Byfpγptqq ´ Byfpγptqq Bxfpγptqq

“0.

2. Équation de propagation des ondes. — Soient f une fonctions vérifiant l’équation et F la fonction surR² définie par ce diagramme:

px, tq

❴

ϕ

✤ ^f// fpx, tq “ Fpu, vq pu, vq

✴ ^F

77

♦♦

Comme fpx, tq “ F ˝ϕpx, tq “Fpx`t, x´tq,

#Bxfpx, tq “ BuFpx`t, x´tq ` BvFpx`t, x´tq Btfpx, tq “ BuFpx`t, x´tq ´ BvFpx`t, x´tq, donc (en omettant les arguments)

#B²_xxf “ B²_uuF `2B²_uvF ` B²_vvF B²_ttf “ B_uu² F ´2B²_uvF ` B_vv² F, donc

B_xx² fpx, tq ´ B²_ttfpx, tq “ 4B_uv² Fpx`t, x´tq “0 p@x, tq, donc

B_uv² F “0.

Donc BvF est une fonction de v (de classe C¹), donc F est de la forme Fpu, vq “ϕpuq `ψpvq,

o`u ϕ etψ sont des fonctions de classe C² sur R². En cons´equence, fpx, tq “ ϕpx`tq `ψpx´tq.

R´eciproquement, comme une double d´erivation le montre, les fonctions de cette forme sont bien des solutions.

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3. L’´equation de degr´e trois. — Soit f :R³ ÑR, px, p, qq ÞÑx³`px`q.

Là où Bxfpx, p, qq ‰ 0, soit 3x² `p ‰ 0, on peut résoudre implicitement l’équationf “0 par rapport àx, d’après le théorème des fonctions impli- cites.

R´eciproquement, si

(1) fpx, p, qq “0 et Bxfpx, p, qq “ 0,

x est une racine double du polynôme x³ `px `q, puisque, d’après la formule de Taylor à l’ordre 3,

fpx`ξ, p, qq “3x ξ²`ξ³ “ξ²p3x`ξq;

le reste est nul parce que f est de degré 3 en x. L’ensemble de ces points s’appelle le contour apparent de f “ 0 dans la direction de x, et sa projection sur le plan pp, qq est la courbe discriminante de f. L’équation de la courbe discriminante s’obtient en élminant x des équations 1 (on peut

élever la première équation au carré et la seconde au cube):

4p³`27q² “0.

Cette courbe est située entièrement dans le demi-planpď0, est symétrique par rapport à l’axe des p, et possède un point de rebroussement en 0. Elle est tracée figure 1.

p

q

Figure 1. Courbe discriminante

4. Axes principaux d’un ellipso¨ıde. — Posons fpxq “ }x}² sur Rⁿ (ses extremums sont les mêmes que ceux de }x}, et en plus f est de classe C⁸). La forme quadratique q est homogène de degré 2: qpλxq “ λ²qpxq, donc, en dérivant par rapport à λ enλ“0 on voit (formule d’Euler):

q¹pxq ¨x“2qpxq.

Commeq est définie, la forme linéaireq¹pxqest non nulle six‰0. Doncq est une submersion en dehors de l’origine. Donc l’ensemble S d’équation q “1, qui ne contient pas l’origine, est une hypersurface de Rⁿ.

D’après le théorème des extremums liés, si f possède un extremum en un point x de S, il existe λP LpR,Rq ” Rtel que

f¹pxq “ λq¹pxq, soit

x“λQ¨x,

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où Qest la matrice de q dans la base canonique. Autrement dit, x est un vecteur propre de Qassocié à la valeur propre 1{λ.

En multipliant `a gauche scalairement par ^tx, on voit en particulier que }x}² “λQpxq “λ,

mais peu nous importe ici.

Quitte `a faire un changement de bases orthogonal, on peut supposer que

#Qpxq “ř

1ďiďnλ_ix²_i, 0ăλ1 ď ¨ ¨ ¨ ďλ_n fpxq “ř

1ďiďnx²_i,

Remarquons que S est donc difféomorphe à la sphère de dimensionn´1.

De plus,

λ1}x}² “λ1fpxq ď Qpxq ďλ_n}x}² “λ_nfpxq.

En restriction `a S,

1 λn

ďfpxq ď 1 λ1

.

Le minimum 1{λn est atteint en tout point de S situé sur l’espace propre associé à λ_n (il y en a au moins deux), et uniquement en ces points, et le maximum 1{λ¹ est atteint en tout point de S situé sur l’espace propre associé à λ1 (il y en a au moins deux aussi), et uniquement en ces points.

5. Param´etrage d’une surface. — SoientV un suppl´ementaire de Imϕ¹ptq dans Rⁿ^`1. L’application

F :pRⁿˆV,pt,0qq ÑR^n`1, pu, vq ÞÑ pϕpuq, vq est un difféomorphisme local en pt,0q parce que sa dérivée

F¹pt,0q “ ϕ¹ptqdu`dv θptq

est de rang n `1. Le difféomorphisme F^´1 redresse S puisque F^´1pSq a pour équation pr2pu, vq “ v “ 0. Donc S est une surface de Rⁿ^`1, de dimension n, soit une hypersurface. De plus, la bijection pr1 ˝F^´1|S “ pϕ|Sq^´1 est un système de coordonnées locales. Enfin, on a l’inclusion

Imϕ¹ptq ĂT_aS.

Mais comme ces deux sous-espaces vectoriels ont mˆeme dimension, ils sont

´egaux.

6. Distance `a une hypersurface. — Comme t est un point critique de f, pour tout τ P Rⁿ,

0“f¹ptq ¨τ “2pa´zq ¨ pϕ¹ptq ¨τq,

donc, comme TaS “Imϕ¹ptq,a´z est orthogonal TaS, donc parall`ele au vecteur normal θ: il existe αPR tel que

z´a“αθ.

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Cherchons maintenant le développement limité de f au second ordre, au point t (comme t est critique, la partie linéaire est nulle). Notonsx1 la projection orthogonale dex“ϕpt`τqsur le plan passant paraet parallèle

à TaS, et x2 la projection orthogonale de x sur la droite orthogonale, passant par a et dirigée par θptq(voir la figure 2). D’après le théorème de Pythagore, on peut décomposer fpt`τqen

fpt`τq “ }x´z}² “ }x¹´a}²` }x²´z}². z

a

S

x∈S T_aS

ν

x1

x2

Figure 2. Distance `a une hypersurface Or,

x“ϕpt`τq “ a`ϕ¹ptq ¨τ `opτq, donc

x1 “a`ϕ¹ptq ¨τ `opτq et le premier terme vaut donc

}x¹´a}² “ }ϕ¹ptq ¨τ}² “Q1pτq.

Evaluons le second terme. Comme´ x2, a et z sont align´es sur une droite dirig´ee par le vecteur θptq,

}x²´z}² “ ppz´x2q ¨θq²

“ ppz´aq ¨θptq ´ px2´aq ¨θptqq². Or,

px²´aq ¨θptq “ px´aq ¨θptq

“ ˆ

ϕ¹ptq ¨τ `1

2ϕ²ptq ¨τ²`opτ²q

˙

¨θptq

“ 1

2pϕ²ptq ¨τ²q ¨θptq `opτ²q

“ 1

2Q2pτq `opτ²q,

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donc

}x²´z}² “ ˆ

α´ 1

2Q2pτq `opτ²q

˙

“α²´αQ2pτq `opτ²q. Finalement,

fpt`τq ´fptq “ Q1pτq ´αQ2pτq `opτ²q.

Commeϕ¹ptqest injective,Q1est d´efinie positive et l’on peut donc diagona- liser la forme quadratiqueQ2 dans une baseQ1-orthogonale: siτ1, ..., τ_n´1

sont les composantes de τ dans cette base, et si λ1 ď ¨ ¨ ¨ ď λ_n´1 sont les valeurs propres ordonn´ees de la matrice diagonale de Q2 (i.e. ce sont les valeurs propres de Q^´11 Q2), la fonction

Q2pτq Q1pτq “

řλiτ_i² řτ_i²

prend toutes les valeurs de l’intervalle rλ¹, λ_n´1s. En cons´equence, d’apr`es le lemme de Morse, t est un minimum local strict de

fpuq “ fptq ` ˆ

1´αQ2pu´tq Q1pu´tq

˙

Q1ptq `opτ²q

si et seulement si 1´αλn´1 ą0. Les valeurs propresλ1, ..., λ_n´1 s’appellent les rayons de courbure principaux deS; leur somme est lacourbure moyenne et leur produite la courbure de Gauss. La surface S ´etant fix´ee, quand z varie le long de la droite a`Rθptq, on voit que t est un minimum local strict si et seulement si z est assez proche de a (αă _λ¹

n´1).