Chapitre 10 : Fonctions de référence

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Chapitre 10 : Fonctions de référence I - Fonctions affines

1. Définition et vocabulaire Définition :

Une fonction f est affine lorsqu'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, ( )

f x =a x b+ . Exemples :

● f x( )=3x+7 est l’expression d’une fonction affine.

(

^a⁼^{3 et} ^b⁼⁷

)

^.

● ( ) ² ⁵

3 7

g x = x+ est l’expression d’une fonction affine 2 5

3 et 7

a b

 = = 

 

 

● ( ) ^-4 ⁹ -⁴ ⁹

5 5 5

h x = x+ = x+ est l’expression d’une fonction affine 4 9 - et

5 5

a b

 = = 

 

 

● ^{k x}( )⁼

(

^x⁺²

) (

²^{− +}^x ¹

)(

^x⁻³

)

⁼^x²⁺⁴^x^{+ −}⁴

(

^x²⁻³^x^{+ − =}^x ³

)

^x²⁺⁴^x^{+ −}⁴ ^x²⁺³^{x x}^{− +}³

^k

( )

^x ⁼⁶^x⁺⁷ est l’expression d’une fonctions affine.

(

^a⁼^{6 et}^b⁼⁷

)

Vocabulaire :

- Si b = 0 , alors la fonction définie par ( )f x =ax est appelée fonction linéaire.

- Si a = 0 , alors la fonction définie par ( )f x =b est appelée fonction constante.

Propriété :

Soit f une fonction affine définie par ( )f x =a x b+ . Soit x₁ et x₂ deux réels distincts.

Alors ² ¹

2 1

( ) ( ) f x f x

a x x

= −

− et b= f x

( )

1 −ax1 (ou b= f x

( )

2 −ax2).

Exemples :

Déterminer la fonction affine f telle que :

a. f(2) 5= et (5) 11f = b. f(2)=-2 et (-1) 7f =

a. f est une fonction affine définie par ^{f x}

( )

⁼^{ax b}⁺ ^avec

( )

⁵

( )

² 11 5 5 2 5 2 2

f k

a= −− = −− = ^et

^b⁼ ^f

( )

² −  = −  =^a ^{2 5 2 2 1}. Donc f est définie par ^{f x}

( )

⁼²^x⁺¹^.

b. f est une fonction affine définie par ^{f x}

( )

⁼^{ax b}⁺ ^avec

( ) ( ) ( )

2 -1 -2 7

2 1 -3 2 -1

f f

a= − = − =

− + et

^b⁼ ^f

( )

¹ ^{−  = −}^a ^{2 -2}

( )

^-3 ^{ =}² ⁴. Donc f est définie par ^{f x}

( )

⁼^-3^x⁺⁴^.

2. Représentation graphique Rappels :

(^{x y}^; ) sont les coordonnées d'un point M. x est l'abscisse et y est l'ordonnée du point.

M(^{x y}^; )appartient à la courbe représentative de f  y = f(x)

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Propriété :

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Exemple :

Tracer, dans un repère les représentation graphiques des fonctions suivantes définies par : ( ) 3 7

f x = x+ , g x( )=-2x−1 et ( ) -4 1 5 ^x k x = + Méthode 1 :

Pour tracer une droite représentant une fonction affine on détermine les coordonnées de deux points appartenant à la droite.

On choisit deux valeurs distincts de x et on calcule les images par la fonction affine.

Avec la fonction définie par f x( )=3x+7 :

Pour x = 0, ^f

( )

⁰ ^{=  + =}^{3 0 7} ⁷ donc E(0 ; 7) ^

( )

^d^f

Pour x = -3, ^f

( )

^-3 ^{= }³

( )

^-3 ^{+ =}⁷ ^-2 donc F(-3 ; -2) ^

( )

^d^f

Avec la fonction définie parg x( )=-2x−1 :

Pour x = 0, ^g

( )

⁰ ^{=  − =}^{-2 0 1 -1} donc C(0 ; -1) ^

( )

^d^g

Pour x = -3, ^g

( )

^-3 ^{= }^-2

( )

^-3 ^{− =}^{1 5} donc D(-3 ; 5) ^

( )

^d^g

Méthode 2 :

On utilise le tableur de la calculatrice afin d'obtenir des coordonnées entières de deux points appartenant à la droite représentant la fonction.

Avec la fonction définie par ( ) ^-4 ¹ 5 ^x

k x = + : (Avec une T.I.)

Alors A(-5 ; 5) 

( )

dh et B(0 ; 1) 

( )

dh

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3. Variations Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. x₁et x₂sont deux réels de I tels que x₁ x₂. Si f x

( )

1  f x

( )

2 alors f est croissante sur I.

(les images dans le même ordre que les antécédents) Si f x

( )

1  f x

( )

2 alors f est décroissante sur I.

(les images dans l’ordre inverse que les antécédents) Propriété :

Soit f une fonction affine définie sur par ( )f x = +ax b

● Si a > 0 alors f est croissante.

● Si a < 0 alors f est décroissante.

Preuve :

x1_etx₂sont deux réels tels que x₁x₂. On a alors x₁− x₂ 0.

( ) ( ) (

1 2 1 b

) (

2 b

)

1 2 1 2

⁽

1 2

⁾

f x − f x = ax + − ax + =ax +b ax− −b=ax −ax =a x −x .

● Comme x₁− x₂ 0, si a > 0 alors a x

(

1−x2

)

 0 f

( ) ( )

x1 − f x2 0 f

( ) ( )

x1  f x2

et donc f est croissante.

● Comme x₁− x₂ 0, si a < 0 alors a x

(

1−x2

)

 0 f

( ) ( )

x1 − f x2 0 f

( ) ( )

x1  f x2

et donc f est décroissante.

Exemples :

La fonction définie par ^{f x}^{( )}⁼³^x⁺⁷est croissante La fonction définie par ^g^{( )}^x ⁼^-2^x⁺⁴ est décroissante

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II – Fonction carré Définition :

On appelle fonction carré la fonction f définie sur ]- ; +[ par ^{f x}

( )

⁼^x²

1. Sens de variation Théorème :

La fonction carré est décroissante sur ]- ; 0] et est croissante sur [0; +[.

Preuve :

Soit a et b tels que 0  a < b

Si on multiplie par a positif : a² < ab.

Et si on multiplie par b positif : ab < b².

Donc : a² < ab < b²

Donc f est croissante sur [0 ; +[

Soit a et b tels que a < b  0

Si on multiplie par a négatif : a² > ab.

Et si on multiplie par b négatif : ab > b².

Donc : a² > ab > b²

Donc f est décroissante sur ]- ; 0]

Conclusion :

2. Fonction paire Définition :

Un ensemble de (par exemple un intervalle) est dit symétrique par rapport à 0 si, pour tout nombre de l’ensemble, son opposé appartient aussi à l’ensemble.

Exemples :

● L’intervalle [-5 ; 5] est symétrique par rapport à 0

● L’intervalle [-4 ; 3] n’est pas symétrique par rapport à 0.

-4 appartient à l’intervalle mais pas son opposé 4.

Définition :

Une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0 est paire si pour tout x  D , f (-x) = f (x).

Remarque :

Graphiquement, cela signifie que pour réel x, de D, les points M(x ; f (x)) et M’(-x ; f (-x)) ont la même ordonnée, et sont donc symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété :

La fonction carrée, définie sur , est paire.

x f

- 0 +

0

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3. Représentation graphique

Pour construire la courbe, on va choisir quelques valeurs positives de x, puis on complétera le tracé par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées :

x 0 1 2 3

f(x) = x² 0 1 4 9

Cette courbe s’appelle une parabole.

4. Equation et inéquation Propriété :

Toute équation du type « x² = a » admet : Si a > 0, deux solutions a et - a Si a = 0, une solution unique : 0 Si a < 0, aucune solution

Propriété :

Si a > 0 : L’inéquation x² > a admet comme solutions S = ^_−; - a^{ }_{ } a ;+^_ L’inéquation x²  a admet comme solutions S = ^_- a ; a^_

y = a

y = a y = a

- a a

2 solutions 1 seule solution Pas de solution

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III – Fonction cube Définition :

On appelle fonction cube la fonction f définie sur ]- ; +[ par ^{f x}

( )

⁼^x³

1. Sens de variation Théorème :

La fonction cube est croissante sur ]- ; +[.

2. Fonction impaire Définition :

Une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0 est impaire si pour tout x  D , f (-x) = - f (x).

Remarque :

Graphiquement, cela signifie que pour réel x, de D, les points M(x ; f (x)) et M’(-x ; f (-x)) sont symétriques par rapport à l’origine du repère.

Propriété :

La fonction cube, définie sur , est impaire.

3. Représentation graphique

x 0 0,5 1 1,5

x³ 0 0,125 1 3,375

4. Equation et inéquation Propriété : (a est un réel)

L’équation x³ = a admet une unique solution appelée la racine cubique de a, notée ³ a ou

1

a3

Propriété :

L’inéquation x³ > a admet comme solutions S = ^_³a ;+ ^_ L’inéquation x³  a admet comme solutions S = ^_−; ³a^_ IV – Fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0 ; +[ par f x( )= x_. 1. Sens de variation

Propriété :

La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +[.

x

f(x)

- 0 +

0

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x 0 +

( )

f x

2. Equation et inéquation Propriété :

Toute équation du type « x =a » avec a0 admet une unique solution qui est a². Propriété :

L’inéquation x a admet comme solutions S = a² ;+ L’inéquation x a admet comme solutions S = 0 ;a² V – Fonction inverse

Définition :

On appelle fonction inverse la fonction f définie sur ]- ; 0[  ]0 ; +[ par ^{f x}

( )

⁼¹_x

Remarque :

La fonction inverse n’est pas définie en 0.

On dit que 0 est une valeur interdite Théorème :

La fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0; +[.

Preuve :

Soit a et b non nuls tels que a < b. On étudie le signe de f (b) – f (a) : f (b) – f (a) = 1 1 a 1 1 b a b

b a a b a b ab

  −

− = − =

 

Si a et b sont strictement positifs avec a < b : a – b < 0 et a  b > 0 alors f (b) – f (a) < 0 Donc f est décroissante sur ]0; +[

Si a et b sont strictement négatifs avec a < b : a – b < 0 et a  b > 0 alors f (b) – f (a) < 0 Donc f est décroissante sur ]- ; 0[

Conclusion :

Remarque :

La « double barre » verticale du tableau traduit le fait que l’image de 0 par f n’existe pas.

Propriété :

La fonction inverse est une fonction impaire.

Propriété :

Toute équation du type « 1

x =a » avec a0 admet une unique solution qui est 1 a.

x f

- 0 +