Exemple La relation binaire 6=N n’est pas antisymétrique
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Texte intégral
(2) Relations binaires transitives Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E.. 119 / 240.
(3) Relations binaires transitives Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. On dit que R est transitive si pour tous x, y, z ∈ E, x R y et y R z impliquent x R z.. 119 / 240.
(4) Relations binaires transitives Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. On dit que R est transitive si pour tous x, y, z ∈ E, x R y et y R z impliquent x R z.. Exemple Soient E := {e1 , e2 , e3 } et R la relation binaire sur E vérifiant e1 R e2 et e2 R e3 . Cette relation binaire n’est pas transitive. En effet, on peut exhiber un contre-exemple qui met en défaut la propriété : on a e1 R e2 , e2 R e3 et e1 R e3 .. 119 / 240.
(5) Relations binaires transitives Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. On dit que R est transitive si pour tous x, y, z ∈ E, x R y et y R z impliquent x R z.. Exemple Soient E := {e1 , e2 , e3 } et R la relation binaire sur E vérifiant e1 R e2 et e2 R e3 . Cette relation binaire n’est pas transitive. En effet, on peut exhiber un contre-exemple qui met en défaut la propriété : on a e1 R e2 , e2 R e3 et e1 R e3 .. Exemple La relation binaire 6Z est transitive. En effet, pour tous nombres x, y, z ∈ Z, si x 6Z y et y 6Z z, alors x 6Z z.. 119 / 240.
(6) Relations binaires transitives Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. On dit que R est transitive si pour tous x, y, z ∈ E, x R y et y R z impliquent x R z.. Exemple Soient E := {e1 , e2 , e3 } et R la relation binaire sur E vérifiant e1 R e2 et e2 R e3 . Cette relation binaire n’est pas transitive. En effet, on peut exhiber un contre-exemple qui met en défaut la propriété : on a e1 R e2 , e2 R e3 et e1 R e3 .. Exemple La relation binaire 6Z est transitive. En effet, pour tous nombres x, y, z ∈ Z, si x 6Z y et y 6Z z, alors x 6Z z.. Exemple La relation binaire 6=N n’est pas transitive. En effet, on peut exhiber un contre-exemple qui met en défaut la propriété : on a 0 6=N 1, 1 6=N 0 et 0 n’est pas en relation par 6=N avec 0. 119 / 240.
(7) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E 6=E 6F <F |G. 120 / 240.
(8) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. =E. Oui. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. 6=E 6F <F |G. 120 / 240.
(9) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. =E. Oui. Non. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. 6=E 6F <F |G. 120 / 240.
(10) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. =E. Oui. Non. Oui. Antisymétrique. Transitive. 6=E 6F <F |G. 120 / 240.
(11) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Transitive. 6=E 6F <F |G. 120 / 240.
(12) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E 6F <F |G. 120 / 240.
(13) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. 6F <F |G. 120 / 240.
(14) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. 6F <F |G. 120 / 240.
(15) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. 6F <F |G. 120 / 240.
(16) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. 6=E. Non. Oui. Oui. Oui. Oui. Oui. Non. 6F <F |G. 120 / 240.
(17) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F <F |G. 120 / 240.
(18) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. <F |G. 120 / 240.
(19) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. <F |G. 120 / 240.
(20) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. <F |G. 120 / 240.
(21) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. <F |G. 120 / 240.
(22) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F |G. 120 / 240.
(23) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. |G. 120 / 240.
(24) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. |G. 120 / 240.
(25) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. |G. 120 / 240.
(26) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. |G. 120 / 240.
(27) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. Oui. |G. 120 / 240.
(28) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. Oui. |G. Oui. 120 / 240.
(29) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. Oui. |G. Oui. Non. 120 / 240.
(30) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. Oui. |G. Oui. Non. Non. 120 / 240.
(31) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. Oui. |G. Oui. Non. Non. Oui. 120 / 240.
(32) Classification des relations binaires usuelles. Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici, E est un ensemble quelconque, F est un ensemble de nombres et G est un ensemble de nombres entiers non nuls. Relation. Réflexive. Irréflexive. Symétrique. Antisymétrique. Transitive. =E. Oui. Non. Oui. Oui. Oui. 6=E. Non. Oui. Oui. Non. Non. 6F. Oui. Non. Non. Oui. Oui. <F. Non. Oui. Non. Oui. Oui. |G. Oui. Non. Non. Oui. Oui. 120 / 240.
(33) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Il est possible de lire certaines des propriétés de R sur son graphe orienté.. 121 / 240.
(34) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Il est possible de lire certaines des propriétés de R sur son graphe orienté.. R est réflexive si chaque sommet x possède une boucle.. x. 121 / 240.
(35) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Il est possible de lire certaines des propriétés de R sur son graphe orienté.. R est réflexive si chaque sommet x possède une boucle. R est irréflexive si aucun sommet x ne possède de boucle.. x. x. 121 / 240.
(36) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Il est possible de lire certaines des propriétés de R sur son graphe orienté.. R est réflexive si chaque sommet x possède une boucle.. x. R est irréflexive si aucun sommet x ne possède de boucle. R est symétrique si dès qu’il existe un arc de x vers y, il existe aussi un arc de y vers x.. x. x. y. 121 / 240.
(37) Lecture de propriétés sur les graphes orientés. R est antisymétrique si entre deux sommets x et y, il n’y a aucun arc entre x et y ou bien il y a un arc de x vers y ou bien il y a un arc de y vers x.. y. x. ou y. x. ou x. y. 122 / 240.
(38) Lecture de propriétés sur les graphes orientés. R est antisymétrique si entre deux sommets x et y, il n’y a aucun arc entre x et y ou bien il y a un arc de x vers y ou bien il y a un arc de y vers x.. y. x. ou y. x. ou y. x. R est transitive si dès qu’il existe un arc de x vers y et un arc de y vers z, alors il existe un arc de x vers z.. x. y. z. 122 / 240.
(39) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. 123 / 240.
(40) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive,. 123 / 240.
(41) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique. 123 / 240.
(42) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique et transitive.. 123 / 240.
(43) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique et transitive.. Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. N. Z. Q. 123 / 240.
(44) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique et transitive.. Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. N. Z. Q. n’est ni réflexive, 123 / 240.
(45) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique et transitive.. Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. N. Z. Q. n’est ni réflexive, ni irréflexive. 123 / 240.
(46) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique et transitive.. Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. N. Z. Q. n’est ni réflexive, ni irréflexive. Elle est symétrique 123 / 240.
(47) Lecture de propriétés sur les graphes orientés Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. 1. 2. 3. 4. réflexive, antisymétrique et transitive.. Exemple La relation binaire R dont le graphe orienté est. N. Z. Q. n’est ni réflexive, ni irréflexive. Elle est symétrique et non transitive. 123 / 240.
(48) Plan. Relations binaires Définition et représentations Propriétés Relations d’ordre Relations d’équivalence Opérations. 124 / 240.
(49) Relations d’ordre Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.. 125 / 240.
(50) Relations d’ordre Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce contexte, si un élément x de E est en relation avec un élément y de E, on dit que x est plus petit que y.. 125 / 240.
(51) Relations d’ordre Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce contexte, si un élément x de E est en relation avec un élément y de E, on dit que x est plus petit que y. Si pour tous x, y ∈ E, x est plus petit que y ou y est plus petit que x, alors on dit que R est une relation d’ordre totale.. 125 / 240.
(52) Relations d’ordre Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce contexte, si un élément x de E est en relation avec un élément y de E, on dit que x est plus petit que y. Si pour tous x, y ∈ E, x est plus petit que y ou y est plus petit que x, alors on dit que R est une relation d’ordre totale.. Les relations d’ordre généralisent les relations de comparaison usuelles. Les relations de comparaison usuelles sont en effet des relations d’ordre particulières.. 125 / 240.
(53) Relations d’ordre Exemple La relation binaire 6R est une relation d’ordre totale.. 126 / 240.
(54) Relations d’ordre Exemple La relation binaire 6R est une relation d’ordre totale.. Exemple La relation binaire d’inclusion ⊂ sur P(E) où E est un ensemble quelconque est une relation d’ordre.. 126 / 240.
(55) Relations d’ordre Exemple La relation binaire 6R est une relation d’ordre totale.. Exemple La relation binaire d’inclusion ⊂ sur P(E) où E est un ensemble quelconque est une relation d’ordre.. Exemple Soit la relation binaire R := {(x, y) : x, y ∈ N et x et y commencent par le même chiffre}. R n’est pas une relation d’ordre car elle n’est pas antisymétrique. Pour le montrer, on construit un contre-exemple : on a 21 R 2 et 2 R 21.. 126 / 240.
(56) Déterminer si une relation est une relation d’ordre Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E.. 127 / 240.
(57) Déterminer si une relation est une relation d’ordre Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Pour démontrer que R est une relation d’ordre, on procède en démontrant toutes les trois propriétés suivantes : 1. R est réflexive ; 2. R est antisymétrique ; 3. R est transitive.. 127 / 240.
(58) Déterminer si une relation est une relation d’ordre Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Pour démontrer que R est une relation d’ordre, on procède en démontrant toutes les trois propriétés suivantes : 1. R est réflexive ; 2. R est antisymétrique ; 3. R est transitive. À l’inverse, pour démontrer que R n’est pas une relation d’ordre, il suffit de mettre en évidence que R ne vérifie pas au moins l’une des trois propriétés suivantes : 1. la réflexivité ; 2. l’antisymétrie ; 3. la transitivité.. 127 / 240.
(59) Relations d’ordre — démonstration 1 Soit l’énoncé « La relation binaire |M est une relation d’ordre. », où M := N \ {0}.. 128 / 240.
(60) Relations d’ordre — démonstration 1 Soit l’énoncé « La relation binaire |M est une relation d’ordre. », où M := N \ {0}. Rappel : on a x |M y s’il existe z ∈ N tel que xz = y.. 128 / 240.
(61) Relations d’ordre — démonstration 1 Soit l’énoncé « La relation binaire |M est une relation d’ordre. », où M := N \ {0}. Rappel : on a x |M y s’il existe z ∈ N tel que xz = y.. Démonstration : on commence par démontrer le fait que |M est réflexive. Soit x ∈ M . Comme x1 = x, on a x |M x. Ainsi, |M est réflexive.. 128 / 240.
(62) Relations d’ordre — démonstration 1 Soit l’énoncé « La relation binaire |M est une relation d’ordre. », où M := N \ {0}. Rappel : on a x |M y s’il existe z ∈ N tel que xz = y.. Démonstration : on commence par démontrer le fait que |M est réflexive. Soit x ∈ M . Comme x1 = x, on a x |M x. Ainsi, |M est réflexive. Montrons maintenant que |M est antisymétrique. Soient x, y ∈ M tels que x |M y et y |M x. Alors, il existe z1 , z2 ∈ N tels que xz1 = y et yz2 = x. On a ainsi (xz1 )z2 = x, ce qui entraîne successivement que x(z1 z2 ) = x, que z1 = z2 = 1 et que x = y. La relation binaire |M est donc antisymétrique.. 128 / 240.
(63) Relations d’ordre — démonstration 1 Soit l’énoncé « La relation binaire |M est une relation d’ordre. », où M := N \ {0}. Rappel : on a x |M y s’il existe z ∈ N tel que xz = y.. Démonstration : on commence par démontrer le fait que |M est réflexive. Soit x ∈ M . Comme x1 = x, on a x |M x. Ainsi, |M est réflexive. Montrons maintenant que |M est antisymétrique. Soient x, y ∈ M tels que x |M y et y |M x. Alors, il existe z1 , z2 ∈ N tels que xz1 = y et yz2 = x. On a ainsi (xz1 )z2 = x, ce qui entraîne successivement que x(z1 z2 ) = x, que z1 = z2 = 1 et que x = y. La relation binaire |M est donc antisymétrique. Finalement, montrons que |M est transitive. Soient x, y, z ∈ M tels que x |M y et y |M z. Alors, il existe t1 , t2 ∈ N tels que xt1 = y et yt2 = z. On a ainsi (xt1 )t2 = z, ce qui entraîne x(t1 t2 ) = z et ainsi x |M z. La relation binaire |M est donc transitive.. 128 / 240.
(64) Relations d’ordre — démonstration 1 Soit l’énoncé « La relation binaire |M est une relation d’ordre. », où M := N \ {0}. Rappel : on a x |M y s’il existe z ∈ N tel que xz = y.. Démonstration : on commence par démontrer le fait que |M est réflexive. Soit x ∈ M . Comme x1 = x, on a x |M x. Ainsi, |M est réflexive. Montrons maintenant que |M est antisymétrique. Soient x, y ∈ M tels que x |M y et y |M x. Alors, il existe z1 , z2 ∈ N tels que xz1 = y et yz2 = x. On a ainsi (xz1 )z2 = x, ce qui entraîne successivement que x(z1 z2 ) = x, que z1 = z2 = 1 et que x = y. La relation binaire |M est donc antisymétrique. Finalement, montrons que |M est transitive. Soient x, y, z ∈ M tels que x |M y et y |M z. Alors, il existe t1 , t2 ∈ N tels que xt1 = y et yt2 = z. On a ainsi (xt1 )t2 = z, ce qui entraîne x(t1 t2 ) = z et ainsi x |M z. La relation binaire |M est donc transitive. En conclusion, |M est réflexive, antisymétrique et transitive. C’est donc une relation d’ordre. 128 / 240.
(65) Relations d’ordre — démonstration 2 Soit l’énoncé « Pour tout ensemble E, la relation binaire ⊂ sur P(E) est une relation d’ordre. ».. 129 / 240.
(66) Relations d’ordre — démonstration 2 Soit l’énoncé « Pour tout ensemble E, la relation binaire ⊂ sur P(E) est une relation d’ordre. ». Démonstration : montrons que ⊂ est réflexive. Soit F ∈ P(E). Comme tout ensemble est inclus dans lui-même, on a bien F ⊂ F . Ainsi, ⊂ est réflexive.. 129 / 240.
(67) Relations d’ordre — démonstration 2 Soit l’énoncé « Pour tout ensemble E, la relation binaire ⊂ sur P(E) est une relation d’ordre. ». Démonstration : montrons que ⊂ est réflexive. Soit F ∈ P(E). Comme tout ensemble est inclus dans lui-même, on a bien F ⊂ F . Ainsi, ⊂ est réflexive. Montrons maintenant que ⊂ est antisymétrique. Soient F, G ∈ P(E) tels que F ⊂ G et G ⊂ F . Alors, par le théorème de la double inclusion, on a F = G. Ceci entraîne que ⊂ est antisymétrique.. 129 / 240.
(68) Relations d’ordre — démonstration 2 Soit l’énoncé « Pour tout ensemble E, la relation binaire ⊂ sur P(E) est une relation d’ordre. ». Démonstration : montrons que ⊂ est réflexive. Soit F ∈ P(E). Comme tout ensemble est inclus dans lui-même, on a bien F ⊂ F . Ainsi, ⊂ est réflexive. Montrons maintenant que ⊂ est antisymétrique. Soient F, G ∈ P(E) tels que F ⊂ G et G ⊂ F . Alors, par le théorème de la double inclusion, on a F = G. Ceci entraîne que ⊂ est antisymétrique. Montrons finalement que ⊂ est transitive. Soient F, G, H ∈ P(E) tels que F ⊂ G et G ⊂ H. Ainsi, pour tout x ∈ F , on a x ∈ G et pour tout x ∈ G, on a x ∈ H. Ceci montre que pour tout x ∈ F , on a aussi x ∈ H. Ceci entraîne que F ⊂ H. La relation binaire ⊂ est donc transitive.. 129 / 240.
(69) Relations d’ordre — démonstration 2 Soit l’énoncé « Pour tout ensemble E, la relation binaire ⊂ sur P(E) est une relation d’ordre. ». Démonstration : montrons que ⊂ est réflexive. Soit F ∈ P(E). Comme tout ensemble est inclus dans lui-même, on a bien F ⊂ F . Ainsi, ⊂ est réflexive. Montrons maintenant que ⊂ est antisymétrique. Soient F, G ∈ P(E) tels que F ⊂ G et G ⊂ F . Alors, par le théorème de la double inclusion, on a F = G. Ceci entraîne que ⊂ est antisymétrique. Montrons finalement que ⊂ est transitive. Soient F, G, H ∈ P(E) tels que F ⊂ G et G ⊂ H. Ainsi, pour tout x ∈ F , on a x ∈ G et pour tout x ∈ G, on a x ∈ H. Ceci montre que pour tout x ∈ F , on a aussi x ∈ H. Ceci entraîne que F ⊂ H. La relation binaire ⊂ est donc transitive. En conclusion, ⊂ est réflexive, antisymétrique et transitive. C’est donc une relation d’ordre. 129 / 240.
(70) Plan. Relations binaires Définition et représentations Propriétés Relations d’ordre Relations d’équivalence Opérations. 130 / 240.
(71) Relations d’équivalence. Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.. 131 / 240.
(72) Relations d’équivalence. Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive. Dans ce contexte, si un élément x de E est en relation avec un élément y de E, on dit que x et y sont équivalents.. 131 / 240.
(73) Relations d’équivalence. Soit E un ensemble. Une relation binaire R sur E est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive. Dans ce contexte, si un élément x de E est en relation avec un élément y de E, on dit que x et y sont équivalents.. Les relations d’équivalence généralisent la notion d’égalité usuelle. La notion d’égalité usuelle est en effet une relation d’équivalence particulière.. 131 / 240.
(74) Relations d’équivalence Exemple La relation binaire =R est une relation d’équivalence.. 132 / 240.
(75) Relations d’équivalence Exemple La relation binaire =R est une relation d’équivalence.. Exemple La relation binaire R := {(x, y) : x, y ∈ Z \ {0} et x et y ont le même signe} est une relation d’équivalence.. 132 / 240.
(76) Relations d’équivalence Exemple La relation binaire =R est une relation d’équivalence.. Exemple La relation binaire R := {(x, y) : x, y ∈ Z \ {0} et x et y ont le même signe} est une relation d’équivalence.. Exemple La relation binaire 6Z n’est pas une relation d’équivalence. En effet, cette relation binaire n’est pas symétrique. Pour le montrer, on construit un contre-exemple : on a −1 6Z 2 et 2 6 Z − 1.. 132 / 240.
(77) Relations d’équivalence Exemple La relation binaire =R est une relation d’équivalence.. Exemple La relation binaire R := {(x, y) : x, y ∈ Z \ {0} et x et y ont le même signe} est une relation d’équivalence.. Exemple La relation binaire 6Z n’est pas une relation d’équivalence. En effet, cette relation binaire n’est pas symétrique. Pour le montrer, on construit un contre-exemple : on a −1 6Z 2 et 2 6 Z − 1.. Exemple La relation binaire 6=N n’est pas une relation d’équivalence. On peut ici réfuter le fait qu’elle soit réflexive en donnant un contre-exemple : 0 n’est pas en relation avec 0. 132 / 240.
(78) Déterminer si une relation est une relation d’équivalence Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E.. 133 / 240.
(79) Déterminer si une relation est une relation d’équivalence Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Pour démontrer que R est une relation d’équivalence, on procède en démontrant toutes les trois propriétés suivantes : 1. R est réflexive ; 2. R est symétrique ; 3. R est transitive.. 133 / 240.
(80) Déterminer si une relation est une relation d’équivalence Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. Pour démontrer que R est une relation d’équivalence, on procède en démontrant toutes les trois propriétés suivantes : 1. R est réflexive ; 2. R est symétrique ; 3. R est transitive. À l’inverse, pour démontrer que R n’est pas une relation d’équivalence, il suffit de mettre en évidence que R ne vérifie pas au moins l’une des trois propriétés suivantes : 1. la réflexivité ; 2. la symétrie ; 3. la transitivité.. 133 / 240.
(81) Relations d’équivalence — démonstration Soit l’énoncé « Soit R la relation sur Z × Z telle que l’on a (x, y) R (x0 , y 0 ) si x + y = x0 + y 0 . Alors, R est une relation d’équivalence. ».. 134 / 240.
(82) Relations d’équivalence — démonstration Soit l’énoncé « Soit R la relation sur Z × Z telle que l’on a (x, y) R (x0 , y 0 ) si x + y = x0 + y 0 . Alors, R est une relation d’équivalence. ». Démonstration : on commence par démontrer le fait que R est réflexive. Soit (x, y) ∈ Z × Z. Comme x + y = x + y, on a (x, y) R (x, y). Ainsi, R est réflexive.. 134 / 240.
(83) Relations d’équivalence — démonstration Soit l’énoncé « Soit R la relation sur Z × Z telle que l’on a (x, y) R (x0 , y 0 ) si x + y = x0 + y 0 . Alors, R est une relation d’équivalence. ». Démonstration : on commence par démontrer le fait que R est réflexive. Soit (x, y) ∈ Z × Z. Comme x + y = x + y, on a (x, y) R (x, y). Ainsi, R est réflexive. Montrons maintenant que R est symétrique. Soient (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ Z × Z tels que (x, y) R (x0 , y 0 ). On a alors x + y = x0 + y 0 . Ainsi, on a x0 + y 0 = x + y, ce qui entraîne (x0 , y 0 ) R (x, y). La relation binaire R est donc symétrique.. 134 / 240.
(84) Relations d’équivalence — démonstration Soit l’énoncé « Soit R la relation sur Z × Z telle que l’on a (x, y) R (x0 , y 0 ) si x + y = x0 + y 0 . Alors, R est une relation d’équivalence. ». Démonstration : on commence par démontrer le fait que R est réflexive. Soit (x, y) ∈ Z × Z. Comme x + y = x + y, on a (x, y) R (x, y). Ainsi, R est réflexive. Montrons maintenant que R est symétrique. Soient (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ Z × Z tels que (x, y) R (x0 , y 0 ). On a alors x + y = x0 + y 0 . Ainsi, on a x0 + y 0 = x + y, ce qui entraîne (x0 , y 0 ) R (x, y). La relation binaire R est donc symétrique. Finalement, montrons que R est transitive. Soient (x, y), (x0 , y 0 ), (x00 , y 00 ) ∈ Z × Z tels que (x, y) R (x0 , y 0 ) et (x0 , y 0 ) R (x00 , y 00 ). On a alors x + y = x0 + y 0 et x0 + y 0 = x00 + y 00 . Ainsi, on a x + y = x00 + y 00 , ce qui entraîne (x, y) R (x00 , y 00 ). La relation binaire R est donc transitive.. 134 / 240.
(85) Relations d’équivalence — démonstration Soit l’énoncé « Soit R la relation sur Z × Z telle que l’on a (x, y) R (x0 , y 0 ) si x + y = x0 + y 0 . Alors, R est une relation d’équivalence. ». Démonstration : on commence par démontrer le fait que R est réflexive. Soit (x, y) ∈ Z × Z. Comme x + y = x + y, on a (x, y) R (x, y). Ainsi, R est réflexive. Montrons maintenant que R est symétrique. Soient (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ Z × Z tels que (x, y) R (x0 , y 0 ). On a alors x + y = x0 + y 0 . Ainsi, on a x0 + y 0 = x + y, ce qui entraîne (x0 , y 0 ) R (x, y). La relation binaire R est donc symétrique. Finalement, montrons que R est transitive. Soient (x, y), (x0 , y 0 ), (x00 , y 00 ) ∈ Z × Z tels que (x, y) R (x0 , y 0 ) et (x0 , y 0 ) R (x00 , y 00 ). On a alors x + y = x0 + y 0 et x0 + y 0 = x00 + y 00 . Ainsi, on a x + y = x00 + y 00 , ce qui entraîne (x, y) R (x00 , y 00 ). La relation binaire R est donc transitive. En conclusion, R est réflexive, symétrique et transitive. C’est donc une relation d’équivalence.. 134 / 240.
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