Traitement du Signal Numérique EI1c 2005-2006
Devoir Surveillé N° 2 Durée 2h30 avec documents
Exercice 1
On considère le filtre RIF de fonction de transfert : H1(Z)=2+Z−1−Z−2. 1) Donner la réponse impulsionnelle du filtre.
2) Exprimer la réponse en fréquence du filtre (module et phase). Le filtre est-il à phase linéaire ? 3) Calculer sa réponse à la fréquence 0 puis donner sa réponse v1(n) à l’échelon u(n).
4) Recommencer les 3 questions précédentes avec le filtre non causal H2(Z)=2+Z−Z2.
5) On considère maintenant le filtre de fonction de transfert . Donner sa réponse impulsionnelle .
) Z ( H ) Z ( H Z ) Z (
H = −2 1 2
) n ( h
6) Calculer puis placer les zéros du filtre H(Z) dans le plan en Z. Le filtre est-il stable ? Pourquoi ? 7) Exprimer la réponse en fréquence du filtre . Représenter son module et sa phase. Le filtre est-il à
phase linéaire ?
) Z ( H
8) Calculer sa réponse à la fréquence 0 puis donner sa réponse v(n) à l’échelon u(n).
9) On considère maintenant le filtre de réponse impulsionnelle . Représenter le module de sa réponse en fréquence. Placer ses zéros dans le plan en
) n ( h ) ( ) n (
g = −1 n Z.
1
Traitement du Signal Numérique EI1c 2005-2006
Exercice 2
Pour amplifier une fréquence f0 on emploie le filtre dont la fonction de transfert est la suivante :
2 2 1 09 9
0 1
1
−
− +
= −
Z . Z , ) Z ( H
1) Exprimer l’équation de récurrence du filtre.
2) Calculer puis placer les pôles dans le plan complexe. Le filtre est-il stable ? Pourquoi ? 3) Exprimer la réponse en fréquence du filtre. Calculer sa valeur en f =0 et en
2 f = fe. 4) Donner l’expression de la réponse y(n) du filtre au signal d’entrée : x(n) cos(n )
1+ π3
=
5) Calculer la fréquence f0 de résonance du filtre ainsi que le gain Hm à la résonance.
6) Représenter la réponse en fréquence du filtre (module uniquement).
7) On considère maintenant les deux filtres du premier ordre :
3 1 1
9 , 0 1 ) 1 (
+ −
−
=
Z e Z
H
jπ et
3 1 2
9 , 0 1 ) 1 (
− −
−
=
Z e Z
H
jπ
Donnez les fréquences de résonance f1 et f2 des deux filtres.
8) Représenter les réponses en fréquences H1(f ) et H2(f ) des deux filtres entre 2
− fe et 2 + fe. 9) Donner les réponses impulsionnelles h1(n) et h2(n) des deux filtres.
10) Calculer les valeurs
α
1 etα
2 permettant d’exprimer de la manière suivante :) (Z H
) ( )
( )
( 1 1 1 2 1 2
2H Z Z H Z Z H Z
Z− =α − +α −
11) En déduire l’expression de la réponse impulsionnelle h(n) du filtre H(Z).
2
Traitement du Signal Numérique EI1c 2005-2006
Exercice 1 – Correction 1) h1(n)=
{
2↑ 1 −1}
2) H1(f )=2+e−j2πfTe−e−j4πfTe Î H1(f )= 6+2cos(2πfTe)−4cos(4πfTe) et
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− +
− −
= cos( fTe cos( fTe) ) fTe sin(
fTe artg sin(
) f
( π π
π ϕ π
4 2
2
4 2
1 . Le filtre n’est pas à phase linéaire (h1(n) non symétrique).
3) H1(f =0)=H1(Z =1)=2+1−1=2 v1(n)=h1(n)∗u(n)=
{
2↑ 3 2 2 2 2 K}
4) h2(n)=
{
−1 1 2↑}
; H2( f )=2+e+j2πfTe−e+j4πfTe Î H2(f ) = 6+2cos(2πfTe)−4cos(4πfTe) et⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− +
= −
) fTe cos(
fTe cos(
) fTe sin(
fTe artg sin(
) f
( π π
π ϕ π
4 2
2
4 2
2 ; H2( f =0)=H2(Z =1)=−1+1+2=2
{
1 0 2 2 2 2 2 K}
2
2(n)=h (n)∗u(n)= − ↑
v
5) H(Z)=Z−2
(
−2Z2+Z+6+Z−1−2Z−2)
=−2+Z−1+6Z−2+Z−3−2Z−4 Î{
−2 +1 +6 +1 −2}
= ↑
) n ( h
6) Les zéros sont ceux de H1(Z) et de H2(Z) soit : 0.5 et -1 pour H1(Z) et 2 et -1 pour H2(Z) 7)H(f )=
(
6+2cos(2πfTe)−4cos(4πfTe))
e−j4πfTe Î) fTe cos(
) fTe cos(
) fTe cos(
) fTe cos(
) f (
H = 6+2 2π −4 4π =6+2 2π −4 4π Î ϕ(f )=4πfTe Î τ=2Te
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 5 10 15
|H(f)|
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-10 -5 0 5
|Phi(f)|
8) H(f =0)=H(Z =1)=−2+1+6+1−2=4 v(n)=h(n)∗u(n)=
{
−↑2 −1 5 6 4 4 K}
9) g(n)=
( )
−1nh(n)=ej2π⎜⎝⎛fe2⎟⎠⎞nTeh(n) Î G( f ) (f fe) H(f ) H(f fe)2
2 ∗ = −
−
=δ
{
2 1 6 1 2}
)
( = − − + − −
n ↑
g
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 5 10 15
|G(f)|
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-5 0 5
|Phi(f)|
3
Traitement du Signal Numérique EI1c 2005-2006
Exercice 2 – Correction
1) y(n)=x(n)+0,9y(n−1)−0,81y(n−2) 2) 0,45 0.78 0.9 3
jπ
e j
P
= ±
±
=
3) j fTe j fTe j fTe
e e
e Z H f
H π π π
4 2
2
81 , 0 9
, 0 1 ) 1 (
)
( − −
+
= −
=
=
099 , 91 1 . 0
1 81 , 0 9 , 0 1 ) 1 1 ( ) 0
( = =
+
= −
=
=H Z
H 0,369
71 . 2
1 81 , 0 9 , 0 1 ) 1 1 ( 2)
( = =
+
= +
−
=
=H Z H fe
-1 0 1
-1 -0.5 0 0.5 1
Real Part
Imaginary Part
4) 0.4932)
cos( 3 0746 , 6 099 , 1 6 )) 3 ( cos(
6) ( 1 ) 0 ( ) (
26 , 2823 1 °
− +
= +
+
×
= π ϕ π
fe n fe n
H H
n y
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0 2 4 6 8
|H(f)|
5)
( )
b fe b Arc b
f fe 0.1662
4 cos 1
2 2
2 1
0 ⎟⎟⎠=
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
= π
0774 . 6 4
4 1
1
2 1 2
2 2
− =
= −
b b
b Hm b
6) S’aider de l’interprétation géométrique :
7) Les cellules du premier ordre résonnent à la fréquence de leur pôle Î 1 fe6 f = ;
2 6fe f =−
8) S’aider de l’interprétation géométrique :
9)
∑
∞= + −
+ − ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
−
=
0
3 1 3 1
1 0,9
9 , 0 1 ) 1 (
n
n j j
Z e Z
e Z
H
π π
∑
∑
∞=
∞ −
= + −
⎟ =
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
0 1 0
3 ( )
9 , 0
n
n n
n n j
Z n h Z
e
π
Îh1(n)=0,9nejn3 ∀n>=0
π
et de même h2(n)=0,9ne−jn3 ∀n>=0
-0.50 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2π 0.3 0.4 0.5
2 4 6 8 10
[H1(f)|
|H2(f)|
10) Z−2H(Z)=α1Z−1H1(Z)+α2Z−1H2(Z) Î
3 2 3
1 3
3 2
9 , 0 9
, 0 9
, 0
1 9
, 0
1 81
. 0 9 , 0
1
π π
π π
α α
j j
j j
e Z e Z e
Z e Z Z
Z + − + −
− +
−
=
−
− + =
− Î c’est la décomposition en
éléments simples :
En multipliant par 0,9 3
jπ
e
Z− + , on trouve pour 0,9 3
jπ
e
Z = + :
) 3 / sin(
2 9 . 0
1 9
, 0 9
, 0
1
3 3
1 π
α π π
j e
e
j
j = ×
−
=
− +
En multipliant par 0,9 3
jπ
e
Z− − , on trouve pour 0,9 3
jπ
e Z = − :
) 3 / sin(
2 9 . 0
1 9
, 0 9
, 0
1
3 3
2 π
α π π
j e
e
j
j =− ×
−
=
+
−
11) H(Z)=α1ZH1(Z)+α2ZH2(Z) Î h(n)=α1h1(n+1)+α2h2(n+1)
)3 1 1 ( )3
1 1 (
9 , )0 3 / sin(
2 9 . 0 9 1
, )0 3 / sin(
2 9 . 0 ) 1 (
π π
π π
+ + − + +
− ×
= × n jn n e jn
e j n j
h
) 3 / sin(
) 3 / ) 1 sin((
9 , ) 0
( π
π
== n+
n h
n
Remarque : en n=0 : h(0)=1 et en n=−1 : h(−1)=α1h1(0)+α2h2(0)=α1+α2 =0
0 5 10 15 20 25 30
-1.5 -1 -0.5 0 1.5 1 0.5
4
